2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni (niekonicznie kanoniczną). Wtedy każdy element x X ma jednoznaczne przedstawienie m x = t k e k, gdzie t, t 2,...,t m są współrzędnymi elementu x w tej bazie (wyznaczonymi jednoznacznie). Sformułujemy najpierw pomocny lemat techniczny. Lemat 2.5. Istnieje taka liczba dodatnia γ, że dla dowolnych liczb t,t 2,...,t k. m t k e k γ m t k 2 (4) Twierdzenie 2.8. W przestrzeni unormowanej skończenie wymierowej X zbaząe,e 2,...,e m zbieżność ciągu punktów (x n ) n= tej przestrzeni do elementu x X oznacza zbiezność ciągów współrzędnych do współrzędnych punktu x. Innymi słowy, jeśli x n = m n= t k,n e n X zbiega (przy n )dox = m t k e k X, to lim t k,n = t k dla k =, 2,...,m. n Dowód. Niech x n x. Na mocy poprzedniego lematu dlakażdego wskaźnika n zachodzi nierówność m m m x n x = t k,n e n t k e n = (t k,n t k )e n γ m t k,n t k 2, n= n= skąd t k,n t k dla k =, 2...,m. Na odwrót, jeśli t k,n t k dla k =, 2...,m, to z ciągłości działań algebraicznych w przestrzeni X izwiązku m m m x n x = t k,n e n t k e n = (t k,n t k )e n wynika, że x n x. n= Wniosek 2.. W przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej każde dwie normy są równoważne. n= Dowód. Weźmy dwie normy i 2. Załóżmy, że (x n ) n= jest ciągiem elementów zbieżnych do x względem normy,tzn.dlax n = m n= t k,n e n i x = m t k e k mamy n= n= x n x 0 przy n lim t k,n = t k n na podstawie poprzedniego twierdzenia. dla k =, 2,...,m x n x 2 0 przy n 23

Przypomnijmy, że dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych takie twierdzenie nie zachodzi. Na przykład, jeśli X oznacza przestrzeń funkcji ciągłych okrerślonych na przedziale [0, ], to normy zdefiniowane wzorami: x = sup x(t) i x 2 = u(t) dt t [0,] 0 nie są równoważne. Wystarczy wziąć ciąg funkcji x n (t) =t n dla n =, 2,...Wtedy x n 2 = 0 t n dt = n + tn+ 0 = 0 przy n, n + a x n = sup t n = przy n. t [0,] Twierdzenie 2.9. Każda przestrzeń unormowana skończenie wymiarowa jest przestrzenią Banacha. Dowód. Jeśli dim(x) = 0, to twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Jeśli dim(x) =m, tonieche,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną w tej przestrzeni. Weźmy ciąg punktów postaci x n = m t k,n e k X dla n =, 2,... spełniający warunek Cauchy ego. Wtedy z nierówności (4) otrzymujemy m x n x n = t k,n e k m m t k,n e k = (t k,n e k t k,n e k ) γ m t k,n t k,n 2, n,n =, 2,.... Zatem każdy z ciągów (t k,n ) n= (k =, 2,...m) jest zbieżny. Zatem x n x, gdziex = m t k e k i t k = lim n t k,n dla k =, 2,...,m. Twierdzenie 2.0. Każda podprzestrzeń liniowa skończenie wymiarowa przestrzeni unormowanej jest zbiorem domkniętym. 3 Przestrzenie Hilberta 3. Przestrzenie unitarne Rozważmy przestrzeń liniową X. Definicja 3.. Iloczynem skalarnym elementów x i y z X nazywamy funkcję ( ) :X X R(C), która każdej parze uporządkowanej tych elementów przyporządkowuje liczbę rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czy X jest przestrzenią rzeczywistą lub zespoloną), przy czym zachodzą warunki:. (x y) =(y x), 24

2. (x + y z) =(x z)+(y z), 3. (αx y) =α(x y), 4. (x x) 0 i (x x) =0tylko, gdy x = θ. ILoczyn skalarny (x y) można zapisywać również jako (x, y, x, y, x y. Z trzech pierwszych warunków łatwo wywnioskować, że (z x + y) =(z x)+(z y), (x αy) =α(x y). Twierdzenie 3.. Nierówność Schwarza Ilooczyn skalarny spełnia nierówność (x y) 2 (x x)(y y), zwaną nierównością Schwarza. Dowód. Nierówność ta jest oczywiśćie prawdziwa, jeśli y = 0. Załóżmy więc, że y 0. Z czwartego aksjomatu iloczyny skalarnego mamy dla każdej liczby λ (x + λy x + λy) 0. Dostajemy Podstawimy teraz idostaniemy (x x)+λ(x y)+λ(x y)+ λ 2 (y y) 0. λ = (x y) (y y) (x x) (x y) (x y) (x y) (y y) (y y) (x y)+ 2 (x y) (y y) 0, (y y) czyli nierówność Schwarza. (x x) (x y) 2 (y y) 0, Twierdzenie 3.2. Jeśli (x y) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej X, towzór określa normę w X. x = (x x) (5) 25

Dowód. Wystarczy sprawdzić warunki normy. Warunek x 0i x = 0 tylko, gdy x = θ jest natychmiastową konsekwencją aksjomatu czwartego. Dalej αx = Zostaje do pokazania nierówność trójkąta. (αx αx) = αα(x x) = α 2 (x x) = α (x x) = α x. x + y 2 =(x + y x + y) =(x x)+(x y)+(y x)+(y y) (x x)+2 (x y) +(y y), a na mocy nierównośći Schwarza x + y 2 (x x)+2 (x x) (y y)+(y y) = x 2 +2 x y = y 2 =( x + y ) 2, czyli x + y x + y. Uwaga 5. Nierówność Schwarza można zapisać również w postaci (x y) x y, (6) jeśli wykorzystamy normę. Definicja 3.2. Przestrzeń X nazywamy przestrzenią unitarną, jeżeli: X jest przestrzenią liniową, został w niej określony iloczyn skalarny (x y) oraz zdefiniowano normę wzorem (5). Zauważmy więc, że przestrzeń unitarne jest zawsze przestrzenią unormowaną. Twierdzenie 3.3. Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest funkcjonałem ciągłym na X X, tzn. jeżeli x n x i y n y, to (x n y n ) (x y). Dowód. Teza wynika natychmiast z ciągłości normy: (x n y n ) (x y) (x n y n ) (x n y) + (x n y) (x y) = (x n y n y) + (x n x y) x n y n y + x n x y dla n =, 2,... Jeżeli x n x i y n y, to mamy tezę. 26

3.2 Przestrzeń Hilberta Definicja 3.3. Przestrzenią Hilberta nazywamy przestrzeń unitarną zupełną. Z definicji tej wynika natychmiast, że z wszystkich poznanych wcześniej przykładów przestrzeni Banacha, te będą przestrzeniami Hilberta, w których jest wprowadzony iloczyn skalarny. Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni Hilberta. Przykład 20. Przestrzeń euklidesowam m wymiarowa l 2 m Określmy iloczyn skalarny wzorem m (x y) = t k s k dla x =(t,t 2,...t m )iy =(s,s 2,...s m ). Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni wyraża się wzorem (5). x = m t k 2 Przykład 2. Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem l 2 Określmy iloczyn skalarny wzorem (x y) = t k s k dla x =(t,t 2,...)iy =(s,s 2,...). Zbieżność tego szeregu wynika natychmiast z nierówności t k s k ( t 2 k 2 + s k 2 ). Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni x = t k 2 wyraża się wzorem (5). Zauważmy jeszcze, że nierówność Schwarza (6) w tej przestrzeni przyjmuje postać: t k s k t k 2 s k 2 i jest poznaną już wcześniej nierównością Cauchy ego dla szeregów. Przykład 22. Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem L 2 (Ω) Określmy iloczyn skalarny wzorem (x y) = x(t)y(t) dt Ω 27

dla x, y L 2 (Ω). Zbieżność tego szeregu wynika natychmiast z nierówności x(t)y(t) 2 ( x(t) 2 + y(t) 2 ). Łatwo sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty iloczynu skalarnego (ćw.). Ponadto łatwo widać, że norma w tej przestrzeni x = x(t) 2 dt Ω wyraża się wzorem (5). Zauważmy jeszcze, że nierówność Schwarza (6) w tej przestrzeni przyjmuje postać: x(t)y(t) dt x(t) 2 dt y(t) 2 dt. Ω Ω Ω 3.3 Liniowa niezależność elementów przestrzeni unitarnej, ortogonalność i ortonormalność Niech dane będą elementy a,a 2,...,a m przestrzeni unitarnej X. Określmy G(a,a 2,...,a m )=det[(a i a k )] = (a a ) (a a 2 )... (a a m ) (a 2 a ) (a 2 a 2 )... (a 2 a m )............ (a m a ) (a m a 2 )... (a m a m ) zwany wyznacznikiem Grama elementów a,a 2,...a m. Wyznacznik ten jest nieujemny. Twierdzenie 3.4. Na to, aby elmenty a,a 2,...,a m przestrzeni unitarnej X były liniowo niezależne, potrzeba i wystarcza, aby ich wyznacznik Grama był różny od zera. Dowód. Definicja 3.4.. Dwa elementy x i y przestrzeni unitarnej X są ortogonalne, jeżeli (x y) =0. Piszemy wtedy x y. 2. Jeżeli X 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni unitarnej X ipewienelementx X jest ortogonalny do każdego elementu y X 0, to mówimy, że element x jest ortogonalny do podprzestrezni X 0 i piszemy x X 0. 3. Podprzestrzenie liniowe X,X 2 X są ortogonalne, jeżeli każde dwa elementy x X i x 2 X 2 są do siebie ortogonalne. Piszemy wtedy X X 2. Łatwo zauważyć (ćw.), że jeśli elementy x i y są ortogonalne, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa, czyli x + y 2 = x 2 + y 2. Można też sformułować tzw. uogólnione twierdzenie Pitagorasa, x + x 2 +...+ x n 2 = x 2 + x 2 2 +...+ x n 2, 28

o ile elementy x,x 2,...,x n są parami ortogonalne. Podstawowym twierdzeniem w teorii przestrzeni Hilberta jest twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Twierdzenie 3.5. (o rzucie ortogonalnym) Niech X 0 będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X. Wtedykażdyelementx X da się przedstawić w postaci x = x 0 + z, gdzie x 0 X 0,z X 0, przy czym rozkład ten jest jednoznaczny. Element x 0 nazywamy wtedy rzutem ortogonalnym elementu x na podprzestrzeń X 0. Zauważmy teraz, że jeśli X 0 jest podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X, tozbiórx wszystkich elementów x X ortogonalnych do podprzestrzeni X 0 jest też podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni X (domkniętość wynika z ciągłości iloczynu skalarnego). Twierdzenie o rzucie ortogonalnym mówi w takim razie, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X 0 i X : X = X 0 X Ponieważ x 0 i X są ortogonalne, to ten przypadek sumy prostej nazywamy sumą ortogonalną, a każdą z popdrzestrzeni X 0 i X nazywamy dopełnieniem ortogonalmym drugiej z nich do przestrzeni X i piszemy X 0 = X X oraz X = X X 0. Najważniejsze wnioski z twierdzenia o rzucie ortogonalnym są następujące Wniosek 3.. Niech X 0 będzie podprzestrzenią liniową domkniętą przestrzeni Hilberta X. Jeżeli x 0 jest rzutem ortogonalnym elementu x X na podprzestrzeń X, to x x 0 x y dla każdego y X 0 (co oznacza, że x x 0 równa się odległości d(x, X 0 )), przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy y = x 0. Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to podprzestrzeń liniowa X 0 X jest gęsta w X wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem x X ortogonalnym do podprzestrzeni X 0 jest x = θ. Ciąg (a n ) n elementów przestrzeni Hilberta X generuje przestrzeń X (tzn. zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów a,a 2,... jest gęsty w przestrzeni X) wtedyitylkowtedy,gdy(a n x) =0dla n =, 2,... Definicja 3.5. Układem ortogonalnym przestrzeni Hilberta X nazywamy każdy zbiór Z X, którego elementy są parami ortogonalne. Jeżeli ponadto wszystkie elementy tego zbioru mają normę równą, to mówimy, że zbiór Z jest układem ortonormalnym. 29

Największe znaczenie mają układy ortonormalne przeliczalne, tzn. złożone ze wszystkich wyrazów pewnego ciągu nieskończonego (e k ) k. Zgodnie z definicją taki ciąg jest ortonormalny wtedy i tylko wtedy, gdy (e n e m )= dla n = m 0 dla n m. Przykład 23. Przykłady układów ortonormalnych. X = l 2. Wtedy ciąg elementów e =(, 0, 0,...),e 2 =(0,, 0,...),... jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni. X = L 2 (0, 2π). Wtedy ciąg funkcji 2π, π coskt, π sinkt (k =, 2,...) jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni. Jest to tzw. układ trygonometryczny. X = L 2 (0, 2π) zespolona. Wtedy ciąg funkcji 2π e ikt (k =0, ±, ±2,...) jest układem ortonormalnym w tej przestrzeni. Łatwo można zauważyć, że każdy układ ortonormalny (e k ) k jest utworzony z elementów liniowo niezależnych, tzn. dla każdej liczby naturalnej m elementy e,e 2,...,e m są liniowo niezależne. Istotnie, jeśli dla pewnych liczb a,a 2,...a m mamy m a k e k =0, czyli dla n =, 2,...,m. ( m m ) a n = a k (e k e n )= a k e k e n =0 Twierdzenie 3.6. Niech (a k ) k będzie dowolnym ciągiem liniowo niezależnych elementów przestrzeni Hilberta X. Istniejewtedy w X układ ortonormalny (e k ) k taki, że lin(e,e 2,...,e m ) = lin(a,a 2,...,a m ) dla m =, 2... 30

Dowód. Przekształcamy ciąg (a k ) k w układ ortonormalny (e k ) k za pomocą procesu ortonormalizacji, tzn. przyjmujemy kolejno e = a, a e 2 = x 2, gdzie x x 2 2 = a 2 (a 2 e )e,... e m+ = x m+, gdzie x x m+ m+ = a m+ m (a m+ e k )e k Oczywiście a 0,x 2 0,...x m+ 0, bo elementy a,a 2,...,a m+ były liniowo niezależne. Ponadto e =, e 2 =,..., e m+ = oraz (e e 2 )=0,...,(e m+ e k )=0dlak =, 2,...m. Natychmiast z definicji e m lin(a,a 2,...,a m )ia m lin(e,e 2,...,e m )dlam =, 2,... Zauważmy, że jeśli w naszej konstrukcji elementów ortonormalnych nie będziemy dzielić przez normę elementu, to otrzymamy układ ortogonalny, a proces nazywać się wtedy będzie procesem ortogonalizacji. 3.4 Szeregi w przestrzeni Hilberta Będziemy zajmować się teraz badaniem zbieżności szeregów postaci a k e k, gdzie a k są liczbami, a e k elementami układu ortonormalnego. Twierdzenie 3.7. Niech (e k ) k będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X. Jeżeli (a k ) jest ciągiem elementów przestrzeni l 2, to szereg a k e k, jest zbieżny i a k e k, = a k 2. Dowód. Przypuśćmy teraz, że dla pewnego ciągu liczbowego (a k ) k szereg a k e k jest zbieżny i jego sumą jest dany element x X (X jest przestrzenią Hilberta): x = a k e k. Wtedy a k =(x e k ) k =, 2,.... Istotnie, wystarczy zauważyć, że a k =( m n= a n e n e k )dlam k i przejść do granicy dla m. 3

Definicja 3.6. Liczby (x e k ) (k =, 2,...) nazywamy współczynnikami Fouriera elementu x względem układu ortonormalnego (e k ) k, a szereg (x e k )e k nazywamy szeregiem Fouriera elementu x względem tego układu. Twierdzenie 3.8. Nierówność Bessela Jeżeli (e k ) k jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X, to dla dowolnego elementu x X szereg (x e k ) 2 jest zbieżny i zachodzi nierówność (x e k ) 2 x 2, zwana nierównośćią Bessela, która przechodzi w równość wtedy i tylko wtedy, gdy (x e k )e k = x. Twierdzenie 3.9. Jeżeli (e k ) k jest układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X, to dla każdego elementu x X szereg Fouriera (x e k )e k jest zbieżny i 2 (x e k )e k = (x e k ) 2. 3.5 Układy ortonormalne zupełne Definicja 3.7. Układ ortonormalny (e k ) k w przestrzeni Hilebrta X nazywamy zupełnym, jeśli nie istnieje w przestrzeni X element różźny od zera, ortogonalny do wsztystkich elementów e k. Układ ortonormalny (e k ) k w przestrzeni Hilebrta X nazywamy zamkniętym, jeśli dla każdego x X zachodzi równość (x e k ) 2 = x 2. Twierdzenie 3.0. Dla układu orotonormalnego (e k ) k przestrzeni Hilberta X następujące warunki są równoważne: układ (e k ) k jest zupełny; ciąg (e k ) k generuje przestrzeń X; każdy element x X jest sumą swojego szeregu Fouriera względem układu (e k ) k ; układ (e k ) k jest zamknięty. 32

Zauważmy, że jesli rozważamy układy ortonormalne skończone, tzn. zlożone ze skańczonej ilości elementóew, to wszystkie sumy pojawiającer się w powyższej teroii są skończone Ponadto dostajemy natychmiast, że układ skończony (e k ) m w przestrzeni X jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenia m-wymiarową. Wtedy układ taki nazywa się bazą ortonormalną przestrzeni X (jest on oczywiście bazą algebraiczną tej przestrzeni). Twierdzenie 3.. W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta X (o dodatnim wymiarze) istnieje układ ortonormalny zupełny (skończony lub przeliczalny). Przykłady układów ortonormalnych zupełnych w konkretnych przestrzeniach X. X = l 2 m - przestrzeń euklidesowa m-wymiarowa. Układem ortonormalnym zupełnym jest np. e =(, 0, 0,...,0), e 2 =(0,, 0,...,0),...,e m =(0, 0,...,0, ). Istotnie, weźmy x =(t,t 2,...t m ) lm 2 ortogonalny do wszystkich elementów e k.wtedyt k =(x e k ) dla k =, 2,l...,m, więc z ortogonalności x do każdego z elementów e k,wynika,żex = θ. X = l 2 - przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem. Układem ortonormalnym zupełnym jest np. e =(, 0, 0,...), e 2 =(0,, 0,...),...,e m =(0, 0,...),.... Istotnie, weźmy x =(t,t 2,...) l 2 ortogonalny do wszystkich elementów e k.wtedyt k =(x e k )dla k =, 2,l..., więc ponieważ x = t k e k = (x e k )e k, czyli każdy element x jest sumą swojego szeregu Fouriera. Zatem układ (e k ) k jest zupełny. X = L 2 (a, b) - przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale [a, b]. Rozważmy ciąg potęg:, t,t 2,t 3,... Zortonormalizujmy go w tej przestrzeni. Otrzymamy wtedy pewien układ ortonormalny wielomianów (w k ), który będzie zupełny, bo generuje całą przestrzeń L 2 (a, b) (zbiór wszystkich wielomianów jest gęsty w tej przestrzeni, a każdy weielomian jest kombinacją liniową potęg, t,t 2,t 3,..., które są z kolei kombinacjami liniowymie wielomianów w,w 2,... X = L 2 (0, 2π) - rzeczywista. Układ ortonormalny zupełny tworzą funkcje trygonometryczne: 2π, π coskt, π sinkt (k =, 2,...). (7) Wystarczy sprawdzić, że ciąg ten generuje całą przestrzeń, czyli, że zbiór kombinacji liniowych m w(t) =α 0 + (α k coskt + β k sinkt) 33

(czyli tzw. wielomianów trygonometrycznych) jest gęsty w L 2 (0, 2π). Weźmy zatem u L 2 (0, 2π). Ponmieważ przerstrzeń ta jest ośrodkowa, to istnieje funkcja ciągła v określona na [0, 2π] (nawet wielomian) dowolnie blisko u. Można założyć, że v(0) = v(2π). Rozszerzamy teraz v wsposóbokresowy, dostając funkcję v ciągłą i okresową o okresie 2π. Na mocy drugiego twierdzenia aproksymacyjnego Weierstrassa ([4]), istnieje wielomian trygonometryczny dowolnie blisko v, co kończy dowód. X = L 2 (0, 2π) - zespolona. Układ ortonormalny zupełny tworzą funkcje 2π e ikt,(k =0, ±, ±2,...). Istatnie, wynika to natychmiast ze związków: coskt = 2 (eikt + e ikt ), sinkt = 2i (eikt e ikt ). Wprowdzimy jeszcze jedno pojęcie, które często wykorzystuje się podczas rozwiązywania niektórych równań różniczkowych cząstkowych. Definicja 3.8. Szeregiem trygonometrycznym Fauriera funkcji u L 2 (0, 2π) względem układu (7) jest szereg przy czym α 0 + (α k coskt + β k sinkt), α 0 = 2π u(s) ds, α k = 2π u(s)cosks ds, β k = 2π u(s)sinks ds, k =, 2,.... 2π 0 π 0 π 0 Ponieważ układ (7) jest zupełny, to szereg ten jest zbieżny przeciętnie do funkcji u, tzn. 2π n 2 lim n 0 u(s) α 0 (α k cosks + β k sinks) ds =0. To nie daje oczywiście zbieżności punktowej du u na [0, 2π]. Ale można sie posłużyć standardowymi kryteriami zbieżności szeregów znanymi z analizy. 34