ALGEBRA Tematyka LITERATURA

ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych, ciało liczb zespolonych. Algebra macierzy. Definicja i własności wyznaczników. Rozkłady macierzy. Układy równań liniowych. Twierdzenie Cramera. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Wektory, działania na wektorach, iloczyny wektorów. Płaszczyzna i prosta. Sfera i okrąg w przestrzeni. Powierzchnie w przestrzeni. Definicja i przykłady przestrzeni liniowych. Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar, współrzędne wektora w bazie. Przekształcenia liniowe. Wartości własne i wektory własne, wielomian charakterystyczny. Diagonalizacja macierzy. Przykłady zastosowań algebry. LITERATURA 1. K.Lisiecki - Elementy algebry i geometrii analitycznej, wyd. SCIRE, Łódź, 2012 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas - Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. GiS, Wrocław, 2002 3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas - Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Wyd. GiS, Wrocław, 2002 4. J. Klukowski, I. Nabiałek - Algebra dla studentów, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999 5. http://wazniak.mimuw.edu.pl 6. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence - Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2003 1

STRUKTURY ALGEBRAICZNE Definicja 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Zbiór A B = {(a, b) : a A b B} wszystkich par uporządkowanych (a, b) takich, że a A i b B nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B. Definicja 2. Działaniem jednoargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi a A pewnego elementu b A, inaczej A a b A. Uwaga 1. W szczególności, gdy każdemu elementowi a A przyporządkowujemy ten sam element a, to także działanie jednoelementowe nazywamy działaniem identycznościowym lub tożsamościowym. Definicja 3. Działaniem dwuargumentowym wewnętrznym w niepustym zbiorze A nazywamy odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego A A w zbiór A. O zbiorze, w którym określone jest działanie dwuargumentowe wewnętrzne mówimy, że jest zamknięty ze względu na to działanie. Działanie dwuargumentowe oznaczamy zwykle,, łub +. Wówczas zamiast (a, b) c piszemy a b, a b, a b lub a + b. Zbiór A z określonym w nim działaniem wewnętrznym oznaczamy (A, ). Definicja 4. Działanie dwuargumentowe wewnętrzne w zbiorze A nazywamy 1. przemiennym, gdy a,b A a b = b a, 2. łącznym, gdy a,b,c A a (b c) = (a b) c. Definicja 5. Niech (A, ) będzie zbiorem z określonym w nim dwuargumentowym działaniem wewnętrznym. Element e A nazywamy elementem neutralnym względem działania, gdy a e = e a = a. a A Twierdzenie 1. Jeśli w zbiorze A określone jest działanie i istnieje element neutralny tego działania, to jest on dokładnie jeden. Definicja 6. Załóżmy teraz, że w zbiorze A określone jest działanie posiadające element neutralny e oraz niech a A. Element b A nazywamy elementem odwrotnym (przeciwnym, symetrycznym) do elementu a, gdy a b = b a = e Element odwrotny do elementu a oznaczamy zwykle a 1 lub a. 2

Twierdzenie 2. Dla dowolnego elementu a A, jeżeli istnieje element odwrotny, to jest on dokładnie jeden. Definicja 7. Niech K i A będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Lewostronnym (prawostronnym) działaniem dwuargumentowym zewnętrznym (działaniem zbioru K na zbiór A) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego K A dokładnie jednego elementu ze zbioru A. Definicja 8. Grupą nazywamy parę (A, ) złożoną z niepustego zbioru A i określonego w nim działania wewnętrznego, które spełnia warunki: 1. a,b,c A a, (b c) = (a b) c (łączność działania), 2. e A a A a e = e a = a (istnienie elementu neutralnego), 3. a A a 1 A a a 1 = a 1 a = e (istnienie elementu odwrotnego). Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną lub abelową. Definicja 9. Pierścieniem nazywamy trójkę (A, +, ), w której 1. para (A, +) jest grupą przemienną (abelową), 2. działanie jest łączne, 3. działanie jest rozdzielne względem działania +. Gdy dodatkowo działanie jest przemienne, to pierścień nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeżeli istnieje element neutralny mnożenia, to oznaczać będziemy go przez 1, a pierścień taki nazywać będziemy pierścieniem z jednością. Definicja Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (A, +, ), w której 1. (A, +) jest grupą przemienną (abelową), 2. (A \ {0}, ) jest grupą przemienną (abelową), 3. działanie (mnożenie) jest rozdzielne względem działania + (dodawania). Uwaga 2. Wprost z definicji wynika, że ciało zawiera co najmniej dwa elementy; są to elementy neutralne obu działań. 3

Przykład 1. Rozważmy zbiór C = (a, b) : a R b R. W zbiorze C wprowadzamy działania dodawania i mnożenia w nastepujący sposób: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a,b) C (c,d) C (a,b) C (c,d) C (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Można łatwo sprawdzić, że trójka (C, +, ) jest ciałem. Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi. Ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych. Przekształceniem, które wkłada zbiór liczb rzeczywistych w zbiór liczb zespolonych jest funkcja φ : R C określona dla x wzorem φ(x) = (x, 0). W ciele liczb zespolonych wyróżniamy parę (0, 1) oznaczając ja literą i. Wobec utożsamienia liczby x z parą (x, 0), parę (x, y) możemy zapisać w postaci (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + (0, 1)y = x + iy. Postać z = x + iy nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej z. Liczbę rzeczywistą x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, zaś liczbę rzeczywistą y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z. Liczbę zespoloną z = x iy nazywamy liczbą sprzężoną z liczbą z = x + iy. Twierdzenie 3. (zasadnicze twierdzenie algebry (d Alembert/Gauss)) Każdy wielomian stopnia dodatniego ma w ciele liczb zespolonych co najmniej jeden pierwiastek. Wniosek 1. Każdy wielomian stopnia n ma w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków. Wniosek 2. Jeżeli liczba zespolona z = x + iy jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 to liczba z nią sprzężona z = x iy też jest pierwiastkiem tego wielomianu. Definicja 10. Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem (K, +, ) nazywamy grupę przemienną (V, ) z działaniem zewnętrznym : K V V ciała K na grupę V spełniającym warunki: 4

1. 2. 3. 4. a K a,b K a,b K v,w V v,w V v V v V a (v w) = a v a w (a + b) v = a v b v (a b) v = a (b v) 1 v = v, gdzie 1 oznacza element jednostkowy ciała K. 5

MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicja 11. Rzeczywistą (zespoloną) macierzą prostokątną o m wierszach i n kolumnach nazywamy funkcję o wartościach rzeczywistych (zespolonych) określoną na iloczynie kartezjańskim {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. Macierze oznaczamy dużymi, pogrubionymi literami alfabetu i zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =...... a m1 a m2 a mn O takiej macierzy mówimy, że ma wymiar m n. Symbol a ij oznacza element macierzy (liczbę), który znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Często macierze zapisujemy w postaci skróconej A = [a ij ] i m,j n. Gdy m = n, macierz nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Definicja 12. Elementy a ii macierzy [a ij ] i,i n tworzą główną przekątną macierzy zwaną też diagonalą, a same nazywane są elementami diagonalnymi. Definicja 13. Macierzą zerową nazywamy macierz 0 M (m,n) (C), której wszystkie elementy są zerami. Uwaga 3. Wymiar macierzy zerowej zwykle wynika z kontekstu Definicja 14. Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową spełniającą warunek: a ij = 0, gdyi j. Oznaczenia: M (m,n) (R)- zbiór macierzy rzeczywistych o m wierszach i n kolumnach, M (m,n) (C)- zbiór macierzy zespolonych o m wierszach i n kolumnach, M n (R) zbiór macierzy rzeczywistych stopnia n, M n (C) zbiór macierzy zespolonych stopnia n. Definicja 15. Niech A M (m,n) (C). Macierzą transponowaną do macierzy A = [a ij ] i m,j n nazywamy macierz A T = [a ji ] j n,i n Definicja 16. Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową spełniającą warunek: a ij = 0, gdyi j Definicja 17. Macierzą jednostkową (identycznościową) stopnia n nazywamy macierz dia- 6

gonalną, której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1: 1 0 0 0 1 0 1 n = diag(1, 1,..., 1) =...... 0 0 1 Uwaga 4. Macierz jednostkową oznaczamy 1 n. Kiedy 1 pojawia się bez indeksu, stopień macierzy wynika z kontekstu. Często używa się też oznaczeń I n oraz I. Definicja 18. Macierzą symetryczną nazywamy macierz kwadratową A, która spełnia warunek A = A T, tzn., gdy a ij = a ji. i,j 1,...,n Definicja 19. Sumą macierzy A = [a ij ] i m,j n oraz B = [b ij ] i m,j n nazywamy macierz A + B = [a ij + b i,j ] i m,j n Definicja 20. Iloczynem macierzy A = [a ij ] i m,j n przez liczbę (rzeczywista lub zespoloną) k nazywamy macierz k A = [k a ij ] i m,j n Twierdzenie 4. Zbiór M (m,n) (R) wraz z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Definicja 21. Iloczynem A B macierzy A = [a ij ] i m,j p przez macierz B = [b ij ] i p,j n nazywamy macierz C = [c ij ] i m,j n której elementy określone są wzorami: c ij = p a ik b kj i = 1,..., m, j = 1,..., n. k=1 Uwaga 5. Aby pomnożyć dwie macierze liczba kolumn pierwszej z nich musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy! Twierdzenie 5. Dla dowolnych macierzy zespolonych (rzeczywistych) A, B, C oraz stałych α, β C (lub R), prawdziwe są równości (zakładamy, że wymiary macierzy pozwalają na wykonanie wskazanych działań): 1. A + B = B + A, 2. (A + B) + C = A + (B + C), 3. α (A + B) = α A + α B, 4. (α + β) A = α A + β A, 5. α (β A) = (αβ) A = β (α A), 7

6. 1 A = A 1 = A, 7. α (A B) = (α A) B = A (α B) = (A B) α, 8. (A B) C = A (B C), 9. (A + B) C = A C + B C, 10. C (A + B) = C A + C B, 11. A B B A 12. (A T ) T = A, 13. (A B) T = B T A T, Definicja 22. Niech A = [a ij ] i,j n będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę det A określoną następująco: 1. det A = a 11, gdy n = 1 2. det A = n k=1 ( 1) 1+k a 1k A 1k, gdy n > 1, gdzie A 1k jest wyznacznikiem macierzy stopnia (n 1) powstałej z macierzy A przez usunięcie pierwszego wiersza oraz k-tej kolumny. Liczbę A ij = ( 1)i+j A ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A. Wyznacznik macierzy stopnia n nazywamy wyznacznikiem stopnia n. Definicja 23. Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A M (n,n) (C) nazywamy [ ] macierz A ij której elementami są dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A. i,j n Twierdzenie 6. (Laplace) Wartość wyznacznika macierzy kwadratowej jest równa sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnego wiersza (lub dowolnej kolumny) przez odpowiadające im dopełnienia algebraiczne. Twierdzenie 7. Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi stopnia n, to ( ) 1. det A T = det A, 2. det(a B) = det(b A) = det A det B. Twierdzenie 8. Wartość wyznacznika jest równa zero, gdy 1. wszystkie elementy dowolnego wiersza (lub dowolnej kolumny) są równe zero lub 2. dwa wiersze (lub dwie kolumny) są identyczne lub 3. wszystkie elementy pewnego wiersz (lub pewnej kolumny) są proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) lub 8

4. dowolny wiersz (lub dowolna kolumna) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn). Twierdzenie 9. Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej (górnej) jest równy iloczynowi elementów diagonalnych tej macierzy (elementów leżących na głównej przekątnej). Twierdzenie 10. Wartość wyznacznika nie zmieni się, gdy do elementów pewnego wiersza (lub pewnej kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersz (kolumny) pomnożone przez tę sama liczbę. Twierdzenie 11. Pomnożenie wyznacznika przez dowolną liczbę jest równoważne pomnożeniu przez tę liczbę dowolnego wiersza (lub dowolnej kolumny) tego wyznacznika. Definicja 24. Niech A, B M n (C). Macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A (odwrotną względem macierzy A), gdy A B = B A = 1 n Uwaga 6. Jeżeli macierz B istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie. Definicja 25. Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest rożny od zera. Definicja 26. Macierzą osobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero. Twierdzenie 12. Macierz kwadratowa A M n (C) posiada macierz odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa. Twierdzenie 13. Jeżeli macierz kwadratowa A M n (C) jest nieosobliwa, to macierz odwrotna A 1 M n (C) jest postaci A 1 = 1 det A AD gdzie A D jest macierzą dołączoną macierzy A, czyli transponowaną macierzą dopełnień elementów macierzy A. Rozważmy równania A X = B A X = B A 1 A 1 A X = A 1 B 1 X = A 1 B X = A 1 B X A = B X A = B A 1 X A A 1 = B A 1 X 1 = B A 1 X = B A 1 9

UKŁADY RÓWNAŃ Definicja 27. Układem m równań liniowych o n niewiadomych nazywamy układ równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (1)..... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Z układem równań (1) związane są cztery ważne macierze: macierz współczynników przy niewiadomych a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =...... a m1 a m2 a mn, macierz niewiadomych macierz wyrazów wolnych oraz macierz uzupełniona U = X = B = x 1 x 2. x n b 1 b 2. b m, a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2....... a m1 a m2 a mn b m, która powstaje przez dopisanie do macierzy współczynników kolumny macierzy wyrazów wolnych. Uwaga 7. Układ równań (1) można równoważnie zapisać w postaci równania macierzowego A X = B. 10

Definicja 28. Układ równań (1), w którym macierz B złożona jest z samych zer nazywamy jednorodnym. Twierdzenie 14. (Cramera) Układ n równań liniowych z n niewiadomymi a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2 (2)..... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a nn x n = b n ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy macierz współczynników przy niewiadomych jest nieosobliwa. Rozwiązanie to wyraża się wzorami Cramera x i = A i deta i = 1, 2,..., n (3) gdzie A i jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych (macierzą kolumnową B). Wniosek 3. Jednorodny układ n równań liniowych z n niewiadomymi o nieosobliwej macierzy współczynników przy niewiadomych ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to rozwiązanie zerowe. Definicja 29. Minorem stopnia k macierzy A M m,n (C), k min{m, n} nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej stopnia k powstałej przez usunięcie z macierzy A (m k) wierszy i (n k) kolumn Definicja 30. Niech A M (m,n) (C). Rzędem macierzy A nazywamy liczbę r, gdy w macierzy tej istnieje niezerowy minor stopnia r i jednocześnie nie istnieje w tej macierzy niezerowy minor stopnia wyższego niż r. Rząd macierzy oznaczamy r(a). Uwaga 8. Wprost z definicji wynika, że jeśli macierz A M (m,n) (C) (macierz ma m wierszy oraz n kolumn), to 0 r(a) min{m, n}. Twierdzenie 15. Jeżeli r(a) = r, to r(a T ) = r. Twierdzenie 16. Rząd macierzy nie zmieni się jeżeli: 1. usuniemy wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, 2. usuniemy jeden z dwóch identycznych lub proporcjonalnych wierszy, 3. usuniemy jedną z dwóch identycznych lub proporcjonalnych kolumn, 4. dodamy do elementów pewnego wiersza (lub kolumny) odpowiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę, 5. pomnożymy (lub podzielimy) elementy dowolnego wiersza (lub kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera 11

Twierdzenie 17. (Kronecker-Capella) Układ równań zawierający m równań oraz n niewiadomych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników przy niewiadomych jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej. Rozwiązanie to jest zależne od liczby parametrów równej różnicy pomiędzy liczbą niewiadomych a wspólnym rzędem macierzy. W przypadku, gdy wspomniane rzędy są różne układ jest sprzeczny. Procedura wyznaczania rozwiązania (rozwiązań) w przypadku, gdy istnieje jest następująca: 1. ustalamy wspólny rząd r macierzy współczynników A i macierzy uzupełnionej U, 2. w macierzy A znajdujemy różny od zera minor stopnia r, 3. odrzucamy równania nie objęte tym minorem (jeśli minor obejmuje wszystkie równania, to oczywiście żadnego nie odrzucamy), 4. nieobjęte tym minorem niewiadome traktujemy jako parametry (jeśli minorem objęte są wszystkie parametry, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie), 5. uzyskany w ten sposób układ równań rozwiązujemy dowolną metodą (np. stosując wzory Cramera). 12

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3. Definicja 31. Wektorem nazywać będziemy uporządkowany odcinek (P, Q) o początku w punkcie P i końcu w punkcie Q. Wektor (P, Q) oznaczać będziemy symbolem P Q lub, jeśli nie jest dla nas istotne wyróżnienie początku i końca wektora, symbolami u, v, w,.... Definicja 32. Wektorem przeciwnym do wektora P Q nazywamy wektor QP, w którym punkty są uporządkowane przeciwnie. Mówimy wówczas, że wektor QP ma zwrot przeciwny do wektora P Q. Jeżeli początek i koniec wektora pokrywają się, to wyznaczają wektor zerowy. Będziemy oznaczali go symbolem 0. Definicja 33. Długością wektora P Q nazywać będziemy długość odcinka P Q i oznaczać będziemy P Q. W szczególności, 0 = 0. Definicja 34. Dwa wektory mają ten sam kierunek, gdy są równoległe. Definicja 35. Dwa wektory nazywać będziemy równymi, jeżeli mają tę samą długość oraz ten sam kierunek i zwrot. Definicja 36. Sumą wektorów u oraz v nazywamy wektor u + v, którego początkiem jest początek wektora u, zaś końcem koniec wektora v. Twierdzenie 18. Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne, tzn. dla dowolnych wektorów u, v oraz w zachodzą równości u + v = v + u, ( u + v) + w = u + ( v + w). Dla dowolnego wektora v prawdziwa jest też równość v + 0 = v. Definicja 37. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą k nazywamy wektor k u określony następująco: 1. gdy k > 0, to wektor k u ma ten sam zwrot i kierunek co wektor u, a jego długość k u = k u, 2. gdy k < 0, to wektor k u ma kierunek wektora u, zwrot do niego przeciwny, a długość k u = k u, 3. gdy k = 0, to wektor k u jest wektorem zerowym. Gdy u = 0, to dla dowolnego k R przyjmujemy k u = 0. Wniosek 4. Mnożenie wektora przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania wektorów k( u + v) = k u + k v. Twierdzenie 19. Dwa niezerowe wektory u i v są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista k 0 taka, że u = k v 13

Definicja 38. Różnicą wektorów u i v nazywamy wektor u v = u + ( 1) v. Definicja 39. Zespół złożony z punktu O, uporządkowanej trójki osi (Ox, Oy, Oz) oraz wersorów i, j, k nazywamy kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej. Taki układ współrzędnych nazywamy układem prawoskrętnym (lub układem o orientacji dodatniej). Mówiąc bardziej obrazowo, układ prawoskrętny możemy wyobrazić sobie następująco: jeśli osią pewnej śruby z tzw. prawym gwintem (obracając w prawo wkręcamy śrubę) jest oś Oz i obracamy tę śrubę od osi Ox do osi Oy, to przesuwa się ona zgodnie z dodatnim zwrotem osi Oz. Równoważnie można zdefiniować układ lewoskrętny jako zespół złożony z punktu O, uporządkowanej trójki osi (Oy, Ox, Oz) oraz wersorów j, i, k. Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny dzielą trójwymiarową przestrzeń na osiem części zwanych oktantami (podobnie jak dwie prostopadłe proste dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki). W prawoskrętnym układzie współrzędnych oktanty numerujemy rzymskimi liczbami od I do VIII jak na poniższym rysunku. W tabeli, przedstawiono znaki współrzędnych x, y, z punktu P (x, y, z) w zależności od oktantu, w którym punkt jest położony. Dla dowolnych dwóch punktów P 1 (x 1, y 1, z 1 ) oraz P 2 (x 2, y 2, z 2 ) definiujemy ich odległość P 1 P 2 wzorem P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Definicja 40. Wektorem zaczepionym w punkcie P 1 (początku wektora) o końcu w punkcie P 2 nazywamy uporządkowaną parę punktów (P 1, P 2 ). Wektor (P 1, P 2 ) oznaczać będziemy P 1 P 2. 14

oktant znak x znak y znak z I + + + II - + + III - - + IV + - + V + + - VI - + - VII - - - VII + - - Tablica 1: Znaki współrzędnych w poszczególnych oktantach. Definicja 41. Długością wektora P 1 P 2 nazywać będziemy odległość punktów P 1 i P 2. Zatem P 1 P 2 = P 1 P 2. Każdy wektor v przestrzeni R 3 zaczepiony w punkcie (0, 0, 0) można przedstawić w postaci tzw. kombinacji liniowej wersorów osi (czyli sumy wersorów pomnożonych przez pewne liczby rzeczywiste), to znaczy v = a i + b j + c k. Liczby a, b, c nazywamy współrzędnymi wektora v. Oczywiście liczby te są współrzędnymi punktu, który jest końcem wektora v. Uwaga 9. Wersory osi możemy zapisać następująco: i = 1 i + 0 j + 0 k, j = 0 i + 1 j + 0 k, k = 0 i + 0 j + 1 k. Dla dowolnych punktów P 1 (x 1, y 1, z 1 ) oraz P 2 (x 2, y 2, z 2 ) wektor P 1 P 2 można przedstawić w postaci P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k = = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ]. Liczby (x 2 x 1 ), (y 2 y 1 ), (z 2 z 1 ) nazywamy współrzędnymi wektora P 1 P 2. W tym zapisie wersory osi mają następującą postać i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. 15

Definicja 42. Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów u, v R 3 nazywamy liczbę u v będącą iloczynem długości obu wektorów i cosinusa zawartego pomiędzy nimi kąta, u v = u v cos ( u, v ). Jeśli któryś z wektorów jest wektorem zerowym przyjmujemy, że ich iloczyn skalarny jest równy zero. u v = v u. Twierdzenie 20. Dla dowolnych wektorów u, v, w R 3 oraz liczby k R zachodzą następujące równości u ( v + w ) = u v + u w, k ( u v ) = (k u ) v = u (k v ). Twierdzenie 21. Dla wersorów i, j, k osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych, zachodzą równości i i = j j = k k = 1, i j = i k = j k = 0. Twierdzenie 22. Jeżeli u = [u x, u y, u z ] oraz v = [v x, v y, v z ], to u v = u x v x + u y v y + u z v z. Wniosek 5. Dla dowolnego wektora u zachodzi równość u = u u więc cos ( u, v) = ( u, v ) = arccos u v u v, u v u v. Wniosek 6. Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Definicja 43. Iloczynem wektorowym dwóch niezerowych i nierównoległych wektorów u i v nazywamy wektor oznaczany u v określony następująco: 1. u v = u v sin ( u, v), 2. wektor u v jest prostopadły do wektora u i do wektora v, 3. zwrot wektora u v jest taki, aby trójka ( u, v, u v) miała orientację zgodną z orientacją układu współrzędnych. Gdy wektory u i v są równoległe lub choć jeden z nich jest wektorem zerowym, przyjmujemy, że ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym. 16

i i = 0, i j = k, i k = j, j i = k, j j = 0, j k = i, k i = j, k j = i, k k = 0. Twierdzenie 23. Dla dowolnych wektorów u, v, w oraz dowolnego k R prawdziwe są równości: v u = ( u v), u ( v + w) = u v + u w, k( u v) = (k u) v = u (k v). Ponadto, dla niezerowych wektorów v 1 oraz v 2 równość v 1 v 2 = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v 1 i v 2 są równoległe. Twierdzenie 24. Dla dowolnych wektorów u = [u x, u y, u z ] oraz v = [v x, v y, v z ] ich iloczyn wektorowy można obliczyć korzystając z symbolu wyznacznika (choć formalnie, wyznacznik jest liczbą, a nie wektorem, zapis ten jednak ułatwia obliczenia) u v = i j k u x u y u z v x v y v z. Twierdzenie 25. Pole równoległoboku wyznaczonego przez dwa nierównoległe wektory jest liczbowo równe długości iloczynu wektorowego tych wektorów P = u v. Wniosek 7. Pole trójkata o wierzchołkach w punktach A, B, C nieleżących na jednej prostej jest równe P ABC = 1 2 AB AC. Definicja 44. Iloczynem mieszanym wektorów u, v oraz w nazywamy liczbę ( u v ) w. 17

Twierdzenie 26. Jeżeli u = [u x, u y, u z ], v = [v x, v y, v z ], w = [w x, w y, w z ] R 3, to Ponadto, ( u v) w = u x u y u z v x v y v z w x w y w z. ( u v) w = ( w u) v = ( v w) u. Twierdzenie 27. Iloczyn mieszany trzech niezerowych wektorów o wspólnym początku jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy leżą w jednej płaszczyźnie. Definicja 45. Trzy niezerowe wektory nazywamy komplanarnymi (współpłaszczyznowymi), gdy ich iloczyn mieszany jest równy zero. Twierdzenie 28. Objętość równoległościanu wyznaczonego przez trzy niekomplanarne i nierównoległe wektory jest równa wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego tych wektorów, a objętość czworościanu wyznaczonego przez te wektory jest równa jednej szóstej objętości wyznaczonego przez nie równoległościanu. 18

Płaszczyzna w przestrzeni R 3 Załóżmy, że dana jest płaszczyzna π, pewien punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) leżący w tej płaszczyźnie oraz wektor v = [A, B, C] 0 do tej płaszczyzny prostopadły. Równanie opisujące płaszczyznę π ma postać Równanie ogólne płaszczyzny ma postać A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Ax + By + Cz + D = 0. Równanie płaszczyzny w postaci odcinkowej x p + y q + z r = 1. równaniem wektorowym Weźmy pod uwagę dwa nierównoległe wektory u = [u x, u y, u z ] oraz v = [v x, v y, v z ] o wspólnym początku w punkcie P 0 (x 0, y 0, z 0 ). Niech P (x, y, z) będzie dowolnym punktem płaszczyzny różnym od punktu P 0. Punkt P należy do płaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy wektor P 0 P leży w tej płaszczyźnie. A tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u, v oraz P 0 P leżą w tej samej płaszczyźnie. Oznacza to, że muszą istnieć takie liczby rzeczywiste α i β, że P 0 P = α u + β v. 19

Otrzymane równanie nazywamy równaniem wektorowym płaszczyzny. Wykorzystując fakt, że dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, możemy przekształcić otrzymane równanie wektorowe P 0 P = α u+β v do układu równań skalarnych następująco: a stąd P 0 P = α u + β v [x x 0, y y 0, z z 0 ] = α[u x, u y, u z ] + β[v x, v y, v z ] [x x 0, y y 0, z z 0 ] = [αu x + βv x, αu y + βv y, αu z + βv z ], P 0 P = α u + β v x = x 0 + αu x + βv x y = y 0 + αu y + βv y z = z 0 + αu z + βv z. Otrzymane równania nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny. Twierdzenie 29. Odległość punktu P 0 (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny π danej równaniem Ax+ By + Cz + D = 0 jest równa d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2. Wniosek 8. Odległość płaszczyzny danej równaniem Ax + By + Cz + D = 0 od początku układu współrzędnych obliczamy ze wzoru d = D A 2 + B 2 + C 2. Wzajemne położenie płaszczyzn Dwie płaszczyzny mogą być wzajemnie położone na trzy istotnie różne sposoby: być równoległe nie pokrywając się, pokrywać się lub przecinać się wzdłuż linii prostej. Załóżmy, że dane są dwie płaszczyzny π 1 oraz π 2 określone równaniami π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Zapiszmy te równania w postaci układu równań { A1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2. Analitycznie wzajemne położenie dwóch płaszczyzn poznajemy po wzajemnej relacji pomiędzy rzędem macierzy współczynników przy niewiadomych [ ] A1 B A = 1 C 1, A 2 B 2 C 2 20

a rzędem macierzy uzupełnionej [ A1 B U = 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 ]. relacja rzędów układ równań wzajemne położenie płaszczyzn r(a) r(u) sprzeczny płaszczyzny są równoległe i nie pokrywają się r(a) = r(u)=1 nieoznaczony płaszczyzny pokrywają się r(a) = r(u)=2 nieoznaczony płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej 21

Prosta w przestrzeni R 3 Rozważmy prostą l w przestrzeni R 3. Niech dany będzie punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) leżący na tej prostej i wektor v = [a, b, c] równoległy do niej. Weźmy teraz dowolny punkt P (x, y, z) P 0 (x 0, y 0, z 0 ). Punkt ten leży na prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy wektory P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] oraz v = [a, b, c] są równoległe, czyli gdy istnieje liczba rzeczywista t taka, że P 0 P = v t. (4) Otrzymane równanie nazywamy równaniem wektorowym prostej l, a wektor v nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej. Równania parametryczne Równanie wektorowe prostej l możemy zapisać w postaci równości [x x 0, y y 0, z z 0 ] = [a, b, c] t, t R. Równość tych wektorów zachodzi wówczas, gdy spełniony jest układ równań x x 0 = at y y 0 = bt z z 0 = ct. A ten z kolei, równoważny jest układowi x = x 0 + at y = y 0 + bt t R. z = z 0 + ct, (5) Otrzymane równania nazywamy równaniami parametrycznymi prostej l. Zauważmy, że mając dane równania parametryczne prostej, bez trudu odczytujemy z nich współrzedne wektora kierunkowego v = [a, b, c]. Równania kierunkowe Załóżmy teraz, że współrzędne a, b, c wektora kierunkowego v są jednocześnie różne od zera. Wówczas z każdego z równań parametrycznych prostej l możemy wyznaczyć parametr t t = x x 0 a t = y y 0 b t = z z 0 c Wobec równości lewych stron, równe są też prawe strony tych równań. 22

x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c. (6) Otrzymane równania nazywamy równaniami kierunkowymi prostej l. Z równań tych bez trudu odczytujemy współrzedne wektora kierunkowego v = [a, b, c]. Równanie krawędziowe Wcześniejsze rozważania o wzajemnym położeniu dwóch płaszczyzn pokazały, że dwie nierównoległe płaszczyzny mają wspólną prostą (dokładnie jedną). Rysunek 1: Prosta jako wspólna krawędź dwóch płaszczyzn. Fakt ten pozwala napisać równania tej prostej w postaci układu równań dwóch płaszczyzn, które przecinając się tworzą prostą. Niech prosta l będzie częścią wspólną płaszczyzn π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 oraz π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 przy czym A 1 A 2 B 1 B 2 lub A 1 A 2 C 1 C 2. Wówczas układ równań { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 (7) nazywamy równaniami krawędziowymi prostej l. Pęk płaszczyzn Każda prosta jest częścią wspólną nieskończenie wielu nierównoległych płaszczyzn. Tworzą one tzw. pęk płaszczyzn (wyobraźcie sobie kartki otwartej książki jako płaszczyzny, których wspólną krawędzią jest grzbiet książki). Wszystkie płaszczyzny należące do takiego pęku można opisać za pomocą równania parametrycznego. 23

Rysunek 2: Pęk płaszczyzn. Jeżeli prosta l dana jest równaniami krawędziowymi { A1 x + B l : 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, to równanie λ 1 (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + λ 2 (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0, (8) w którym parametry λ 1 oraz λ 2 nie są jednocześnie równe zeru, opisuje wszystkie płaszczyzny, których częścią wspólną jest prosta l. Wniosek 9. Znając równanie pęku płaszczyzn zawierających daną prostą bez trudu możemy wyznaczyć tę płaszczyznę z pęku, która spełnia jakiś dodatkowy warunek, np. jest równoległa (prostopadła) do innej danej płaszczyzny lub przechodzi przez dany punkt (patrz zadania rozwiązane). Wzajemne położenie prostych Jak wiemy dwie proste mogą się przecinać, być równoległe i nie pokrywać się, być równoległe i pokrywać się lub, nie być równoległe i nie mieć punktów wspólnych. W tym ostatnim przypadku mówimy, że proste są skośne. Symbolicznie możemy te przypadki opisać następująco: wzajemne położenie prostych l 1 i l 2 opis symboliczny proste przecinają się l 1 l 2 = {punkt} proste są równoległe i nie pokrywają się l 1 l 2 l 1 l 2 = proste są równoległe i pokrywają się l 1 l 2 proste są skośne l 1 l 2 24

Sfera i okrąg w przestrzeni trójwymiarowej Definicja 46. Sferą o środku w punkcie O(x0, y0, z0 ) i promieniu o długości R nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu O jest równa R. Wprost z powyższej definicji wynika, że punkt P (x, y, z) należy do sfery o środku w punkcie O(x0, y0, z0 ) i promieniu o długości R wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 = R2. Równanie to nazywamy równaniem sfery o środku w punkcie O(x0, y0, z0 ) i promieniu o długości R. Rozważmy teraz płaszczyznę daną równaniem ogólnym π : Ax + By + Cz + D = 0 oraz sferę o środku w punkcie O(x0, y0, z0 ) i promieniu o długości R daną równaniem (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 = R2. Jeżeli odległość płaszczyzny π od środka sfery jest mniejsza od jej promienia, to ich częścią wspólną jest okrąg leżący w płaszczyźnie π. Rysunek 3: Okrąg jako część wspólna płaszczyzny i sfery. Układ równań ( Ax + By + Cz + D = 0 (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z0 )2 = R2 (9) nazywamy równaniami tego okręgu. Okrąg w przestrzeni trójwymiarowej ustala płaszczyznę, w której jest zawarty. Ale łatwo sobie wyobrazić inną sferę, której przecięciem (częścią wspólną) z daną płaszczyzną jest 25

dany okrąg. Załóżmy, że dany jest okrąg będący częścią wspólną płaszczyzny danej równaniem F (x, y, z) = 0 i sfery danej równaniem postaci G(x, y, z) = 0. Wówczas równanie p F (x, y, z) + G(x, y, z) = 0, p R. (10) przedstawia rodzinę wszystkich sfer zawierających dany okrąg. Rysunek 4: Okrąg jako część wspólna płaszczyzny i pęku sfer. Przez dany okrąg przechodzi nieskończenie wiele sfer. Dla różnych wartości parametru p mamy oczywiście inną sferę. Każda z tych sfer może być określona przez jakiś dodatkowy warunek, np. przechodzenia przez dany punkt. 26

PRZESTRZENIE LINIOWE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE Definicja 47. Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem (K, +, ) nazywamy grupę przemienną (V, ) z działaniem zewnętrznym : K V V ciała K na grupę V spełniającym warunki: 1. a K v, w V a ( v w) = a v a w, 2. a,b K 3. a,b K v V v V (a + b) v = a v b v, (a b) v = a (b v), 4. v V 1 v = v, gdzie 1 oznacza element jednostkowy ciała K. Przestrzeń liniową zapisujemy jako czwórkę (V,, K, ) lub krótko V. Twierdzenie 30. Każde ciało (K, +, ) jest przestrzenią liniową (K, +, K, ) nad ciałem K. Wniosek 10. (R, +, R, ) jest przestrzenią liniową nad ciałem R. Twierdzenie 31. Niech (K, +, ) będzie ciałem. Wówczas czwórka (K n, +, K, ) z działaniami określonymi następująco: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) dla (x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n ) K n, α (x 1, x 2,..., x n ) = (α x 1, α x 2,..., α x n ) dla (x 1, x 2,..., x n ) K n, α K jest przestrzenią liniową nad ciałem K (K n = K K... K). }{{} n egzemplarzy Wniosek 11. (R n, +, R, ) jest przestrzenią liniową nad ciałem R. Definicja 48. Przestrzeń liniową W nad ciałem K nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V nad ciałem K, jeżeli W V oraz działania w przestrzeni W są działaniami w przestrzeni V ograniczonymi do zbioru W. Twierdzenie 32. Podzbiór W V z działaniami z przestrzeni liniowej V ograniczonymi do zbioru W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V nad ciałem K, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów v 1, v 2 W oraz dowolnego a K v 1 + v 2 W oraz a v 1 W. 27

Definicja 49. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech v 1, v 2,..., v n będą dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V oraz α 1, α 2,..., α n niech będą dowolnymi elementami ciała K. Wektor v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n nazywamy kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,..., v n o współczynnikach α 1, α 2,..., α n. Definicja 50. Wektory v 1, v 2,..., v n V nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli kombinacja liniowa tych wektorów jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej są równe zeru. w zapisie symbolicznym v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n = 0 α 1 = α 2 =... = α n = 0. Definicja 51. Wektory v 1, v 2,..., v n V nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli nie są liniowo niezależne. Innymi słowy, gdy istnieje taka kombinacja liniowa tych wektorów v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n = 0, której nie wszystkie współczynniki α 1, α 2,..., α n są zerami. Twierdzenie 33. Wektory v 1, v 2,..., v n V są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Definicja 52. Układ wektorów v 1, v 2,..., v n V przestrzeni liniowej V nazywamy maksymalnym układem liniowo niezależnym, gdy dodanie dowolnego innego wektora czyni go układem liniowo zależnym. Definicja 53. Niech U będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Liniowym domknięciem zbioru U nazywamy zbiór Lin U wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru U. Twierdzenie 34. Dla dowolnego podzbioru U V przestrzeni liniowej nad ciałem K jego liniowe domkniecie jest podprzestrzenią liniową nad ciałem K przestrzeni liniowej V. Twierdzenie 35. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz U 1 V oraz U 2 V. Wówczas 1. Lin U 1 Lin U 2 Lin (U 1 U 2 ), 2. Lin (U 1 U 2 ) Lin U 1 LinU 2 Definicja 54. Układ wektorów { v 1, v 2,..., v n } przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K, jeżeli: 1. wektory v 1, v 2,..., v n są liniowo niezależne, 2. Lin { v 1, v 2,..., v n } = V. Twierdzenie 36. Dla dowolnego układu wektorów { v 1, v 2,..., v n } przestrzeni liniowej V nad ciałem K następujące warunki są równoważne 1. wektory { v 1, v 2,..., v n } tworzą bazę przestrzeni liniowej V, 28

2. układ wektorów { v 1, v 2,..., v n } jest maksymalnym układem liniowo niezależnym, 3. dowolny wektor v można jednoznacznie przedstawić w postaci v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n, gdzie α 1, α 2,..., α n K. Uwaga 10. Wektor v mający w bazie { v 1, v 2,..., v n } przedstawienie v = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α n v n zapisywać będziemy krócej v = [α 1, α 2,..., α n ]. Uwaga 11. W różnych bazach ten sam wektor może mieć różne przedstawienie, a zatem różne współrzędne. Definicja 55. Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów jej bazy. Twierdzenie 37. (Steinitz a) Każdy układ m (m < n) liniowo niezależnych wektorów n- wymiarowej przestrzeni liniowej V można uzupełnić do bazy tej przestrzeni. Innymi słowy, jeśli wektory { v 1, v 2,..., v m }, m < n, przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne, to istnieje n m wektorów { v m+1,..., v n } należących do tej przestrzeni takich, że układ wektorów { v 1, v 2,..., v n } tworzy bazę tej przestrzeni. Twierdzenie 38. Każdy układ n liniowo niezależnych wektorów n-wymiarowej przestrzeni liniowej V tworzy bazę tej przestrzeni. Definicja 56. Bazę przestrzeni liniowej (R n, +, R, ), którą tworzą wektory e 1 = [1, 0,..., 0], e 2 = [0, 1,..., 0],..., e n = [0, 0,..., 1] nazywamy bazą kanoniczną tej przestrzeni. Definicja 57. Dwie przestrzenie liniowe (U, +, K, ) oraz (V,, K, ) nad tym samym ciałem K nazywamy izomorficznymi, jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczne przekształcenie h : U V przestrzeni U na V takie, że 1. h( u 1 + u 2 ) = h( u 1 ) h( u 2 ) dla u 1, u 2 U, 2. h(a u) = a h( u) dla a K oraz u U. Odwzorowanie h nazywamy izomorfizmem przestrzeni liniowych. Twierdzenie 39. Każda przestrzeń liniowa V wymiaru n nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową K n. Definicja 58. Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nazywamy funkcję f : V W taką, że dla dowolnych wektorów v 1, v 2 V i dowolnych α, β K zachodzi równość f(α v 1 + β v 2 ) = αf( v 1 ) + βf( v 2 ). 29

Definicja 59. Obrazem przekształcenia liniowego f : V W przestrzeni V w przestrzeń W nazywamy zbiór If tych wektorów w W, dla których istnieje taki wektor v V, że f( v) = w, tzn. If = { w W : f( v) = w} W. Definicja 60. Jądrem przekształcenia liniowego f : V W przestrzeni V w przestrzeń W nazywamy zbiór ker f tych wektorów V, dla których f( v) = 0, tzn. ker f = { v V : f( v) = 0} V. Twierdzenie 40. Obraz przekształcenia liniowego f : V W przestrzeni V w przestrzeń W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej W. Twierdzenie 41. Jądro przekształcenia liniowego f : V W przestrzeni V w przestrzeń W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V. Twierdzenie 42. Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nad tym samym ciałem K. Jeżeli przestrzeń V ma skończony wymiar, to dim ker f + dim If = dim V. Definicja 61. Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nad tym samym ciałem K. Niech wektory { v 1, v 2,..., v n } będą bazą przestrzeni V, a wektory { w 1, w 2,..., w m } bazą przestrzeni W. Każdy wektor f( v i ), i = 1,..., n ma jednoznaczne przedstawienie w bazie przestrzeni W postaci m f( v i ) = a ji w j, i = 1,..., n. j=1 Macierzą przekształcenia f nazywać będziemy macierz A f = [a ji ], i = 1,..., n, j = 1,..., m. Uwaga 12. Jeżeli macierz A f jest macierzą przekształcenia f : V W, to: 1. liczba wierszy macierzy A f jest równa wymiarowi przestrzeni W, 2. liczba kolumn macierzy A f jest równa wymiarowi przestrzeni V, 3. kolumny macierzy A f są utworzone ze współrzędnych wektorów f( v i ), które są obrazami wektorów bazy przestrzeni V, 4. jeżeli dim V = dim W = n, to macierz A f jest macierzą kwadratową stopnia n. Przykład 2. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : R 2 R 3 określonego (w bazach kanonicznych) wzorem f( x) = f ([ x1 x 2 ] ) = 2x 1 x 2 x 1 + x 2 2x 2. 30

Rozwiązanie: Mamy: Stąd f ([ 1 0 ] ) = 2 1 0 oraz f A f = 2 1 1 1 0 2 ([ 0 1 Twierdzenie 43. Jeśli f : V W jest przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W nad tym samym ciałem K, bazami przestrzeni V i W są odpowiednio układy wektorów { v 1, v 2,..., v n } i { w 1, w 2,..., w m } oraz macierzą przekształcenia f w tych bazach jest macierz A f, to dla dowolnego wektora u V f( u) = A f u Przykład 3. Niech [ f] będzie przekształceniem liniowym określonym w poprzednim przykładzie i niech u =. Wówczas 3 5 ([ ]) 2 1 [ ] 1 3 3 f( u) = f = 1 1 = 8. 5 5 0 2 10 Uwaga 13. aa. ] ) 1. Różnym przekształceniom liniowym odpowiadają różne macierze. 2. Równym przekształceniom liniowym odpowiadają równe macierze. Definicja 62. Przekształcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem przestrzeni V w siebie. Wniosek 12. Macierz endomorfizmu przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą kwadratową stopnia n. Twierdzenie 44. Niech f 1 : V W oraz f 2 : W U będą dwoma przekształceniami liniowymi przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem K i niech A 1, A 2 będą odpowiednio macierzami tych przekształceń w ustalonych bazach. Wówczas: 1. złożenie f 2 f 1 : V U jest przekształceniem liniowym, 2. macierz A przekształcenia f 2 f 1 jest iloczynem macierzy tych przekształceń, tzn. A = A 2 A 1, 3. dla dowolnego wektora v V (f 2 f 1 )( v) = A 2 A 1 v. = 1 1 2. 31

Definicja 63. Rozważmy endomorfizm f : V V przestrzeni V nad ciałem K w siebie. Podprzestrzenią niezmienniczą względem przekształcenia f nazywamy podzbiór U przestrzeni V taki, że f( u) U. u U Twierdzenie 45. Jądro i obraz endomorfizmu f : V V są podprzestrzeniami niezmienniczymi względem przekształcenia f przestrzeni V. Definicja 64. Rozważmy przekształcenie liniowe f : K n K n przestrzeni liniowej K n w siebie. Niezerowy wektor v K n nazywamy wektorem własnym przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej λ K, gdy f( v) = λ v. Twierdzenie 46. Jeżeli v jest wektorem własnym endomorfizmu f : K n K n, to zbiór Lin{ v} jest podprzestrzenią niezmienniczą względem przekształcenia f. Twierdzenie 47. Zbiór wektorów własnych endomorfizmu f : K n K n odpowiadających tej samej wartości własnej λ wraz z wektorem zerowym tworzą podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej K n. Uwaga 14. Z definicji wektora własnego v przekształcenia liniowego f : K n K n odpowiadającego wartości własnej λ wynika, że jeśli A jest macierzą przekształcenia f, to więc f( v) = A v = λ v, (A λ I n ) v = 0. I n oznacza macierz jednostkową stopnia n. Definicja 65. Wielomianem charakterystycznym przekształcenia liniowego f : K n K n nazywamy wyznacznik W (λ) = det(a λ I n ). Uwaga 15. Wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego f : K n K n jest wielomianem stopnia n. Twierdzenie 48. Wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego f : K n K n nie zależy od wyboru bazy przestrzeni K n. Definicja 66. Równaniem charakterystycznym przekształcenia liniowego f : K n K n nazywamy równanie W (λ) = 0, czyli równanie det(a λ I n ) = 0. Twierdzenie 49. Liczba λ K jest wartością własna przekształcenia liniowego f : K n K n wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem równania charakterystycznego tego przekształcenia. 32

Wniosek 13. Przekształcenie liniowe przestrzeni n-wymiarowej w siebie ma co najwyżej n wartości własnych. 33