Mechanika Budowli I FINITE ELEMENT ANALYSIS SYSTEM WPROWADZENIE DO PROGRAMU FEAS - KAM Wersja - 04.11.2006 r. Opracował: mgr inż. Piotr Bilko Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli
Informacje ogólne Program FEAS v 1.0 (Finite Element Analysis System) jest systemem opracowanym na Politechnice Warszawskiej przez zespół pod kierunkiem p. dr Z. Kasprzyka i przeznaczonym do analizy konstrukcji (prętowych, powierzchniowych) w zakresie statyki, dynamiki oraz stateczności. Podsystem KAM ( komponowanie algorytmów mechaniki) jest narzędziem pomocniczym w nauczaniu mechaniki konstrukcji. Podsystem KAM realizuje podstawowe funkcje rachunku macierzowego wzbogaconych o generowanie macierzy Metody Elementów Skończonych Opracowany zestaw komend umożliwia komponowanie algorytmów analizy statycznej (w zakresie liniowym i nieliniowym) oraz dynamicznej konstrukcji przy zastosowaniu MES, poznany na zajęciach Mechaniki Budowli W ramach podsystemu opracowano interpreter komend, który jest uruchamiany po załadowaniu programu (plik wykonywalny kam.exe). Każde polecenie (komenda) ma swój specyficzny format oraz oddzielane spacją parametry umieszczane w tej samej linii lub w liniach następnych : Nazwa_komendy parametr_typu _macierz parametr_typu_wektor parametr_liczba Możliwe są dwa rodzaje pracy z systemem: interakcyjny (polecenia podawane są bezpośrednio z klawiatury) lub wsadowy - polecany ( wszystkie komendy zapisane są w pliku wsadowym o rozszerzeniu *. kam, wywoływanym z poziomu programu poleceniem wyk nazwa_pliku_wsadowego. Uwaga: Program FEAS- KAM pracuje w trybie tekstowym systemu MS-DOS (lub sesji MS-DOS w Windows) 2
Rodzaje komend systemu FEAS/KAM - przykłady Uwaga: po uruchomieniu systemu FEAS (plik kam.exe), wydając komendę help - wyświetlona będzie listę dostępnych komend systemu, polecenie help nazwa_komendy - wyświetla składnię komendy, jej zastosowanie oraz przykład zastosowania. Komenda.. (dwie kropki) powoduje wyjście z programu. A) Operacje konstrukcji macierzy: np. IMI - inicjacja wektora liczb całkowitych; IM - inicjacja macierzy prostokątnej; DM - definicja macierzy prostokątnej i jej wyzerowanie B) Operacje algebry macierzowej: np.: D - dodaj macierze; RO - rozwiąż układ równań liniowych; DAL - dodawanie macierzy lokalnej do globalnej na podstawie wektora alokacji C) Operacje pomocnicze (systemu DOS): np: Dir - wyświetl katalog; WYK - wykonaj komendy we wskazanym liku wsadowym. D) Komendy biblioteki elementów skończonych - w naszym zadaniu stosujemy bibliotekę ram płaskich R2 Uwaga: polecenie help R2 - wyświetla listę dostępnych poleceń biblioteki ram płaskich np: XY - wektor topologii elementu; GEO - wektor geometrii; R2-LN - wektor sił przywęzłowych dla obc. liniowo rozłożonego; R2-ST - zwraca macierz sztywności pręta ramy płaskiej. 3
Format pliku z komendami systemu FEAS- KAM plik wsadowy musi być zapisany formacie tekstowym ASCII bez polskich znaków znak! (wykrzyknik) w pierwszej linii - oznacza komentarz (dowolny ciąg znaków), który należy stosować dla wprowadzenia objaśnień w algorytmie pozostałe linie powinny zawierać komendy systemu KAM- FEAS wraz z potrzebnymi parametrami (parametry można podawać w kilku liniach pliku) nie można umieszczać linii pustych (nie zawierających komend ani parametrów) komendy mogą być podane pełna nazwą np. DODAJ lub dozwolonym skrótem D 4
8 Przykład rozwiązywanego zadania Sporządzić dla podanej ramy płaskiej wykresy sił przekrojowych korzystając z programu FEAS_KAM. Dane: E=0.21x10 9 kn/m 2, J 2 = 0.18 x 10-3 m 4, J 1 = 2J 2 = 0.36x10-3 m 4, A=0.15x10 5 m 2 q = 29 kn/m EJ 1 EJ 1 EJ 1 EJ 2 EJ 2 12 12 12 [m] 5
Algorytm rozwiązania ramy płaskiej za pomocą macierzowej wersji metody przemieszczeń I. Przyjęcie globalnego i lokalnego układu współrzędnych II. Podział konstrukcji na elementy - pręty, numeracja prętów III.Określenie liczby niewiadomych - numeracja globalnych stopni swobody i przypisanie ich poszczególnym prętom ( z uwzględnieniem warunków podparcia) IV. Zdefiniowanie geometrii konstrukcji (położenie węzłów, prętów w przyjętym układzie współrzędnych), określenie przekrojów i parametrów materiałowych) V. Budowa lokalnych macierzy sztywności Ki poszczególnych prętów w układzie lokalnym VI. Budowa globalnej macierzy sztywności konstrukcji K (w układzie globalnym) na podstawie macierzy sztywności poszczególnych prętów (agregacja globalnej macierzy sztywności) VII. Budowa globalnego wektora obciążeń R (wg zadanego obciążenia) na podstawie wektorów obciążeń węzłowych poszczególnych prętów: od obciążeń węzłowych Q W0 i obciążeń międzywęzłowych Q E 0 VIII. Rozwiązanie układu równań kanonicznych MP: K * X + R = 0, wyznaczenie niewiadomych metody - przemieszczeń węzłów konstrukcji IX. Przejście z uzyskanego rozwiązania w przemieszczeniach do rozwiązania konstrukcji w siłach - wyznaczenie sił wewnętrznych od przemieszczeń końców pręta oraz od obciążenia elementowego (międzywęzłowego) 6
Szczegółowy algorytm rozwiązania zadania ramy płaskiej programem FEAS - KAM I. Przyjęcie układów współrzędnych: globalnego i lokalnego wg. wymagań programu: Y X Układ globalny y x k i Układ lokalny (prawoskrętny), i - początek, k- koniec pręta II. Podział konstrukcji na pręty - numeracja prętów - patrz przykład na następnym slajdzie i - numer pręta III-V. Ustalenie liczby niewiadomych, ich numeracja (globalnych stopni swobody), przypisanie do poszczególnych prętów - patrz przykład na następnym slajdzie Uwaga!: W programie FEAS-KAM niewiadomą jest również kąt obrotu końca pręta w węźle przegubowym. Niewiadome numeruje się w kolejności wyznaczonej przemieszczeniami końców pręta wg globalnego układu współrzędnych. 7
8 2 4 Przykład rozwiązywanego zadania - pkt. 1 do 5 algorytmu r r 2 3 r r 5 6 r 1 r 4 r 9 r 8 1 1 2 3 4 5 6 Y (v) Z ( ) X (u) 3 r 7 5 12 12 12 [m] r 4, r 5, r 6 numeracja niewiadomych w węźle pręta (w kolejności odpowiadającej globalnemu układowi współrzędnych) 8
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności VI. Budowa globalnej macierzy sztywności konstrukcji K OPIS GEOMETRII 1. Inicjacja wektorów geometrii prętów - opisujących ich długość oraz orientację w stosunku do globalnego układu współrzędnych (dx, dy - przyrosty współrzędnych: koniec pręta- początek) IM XYi 2 1 dx dy Uwaga: np. IM XYi - jest komendą w systemie FEAS- KAM, dx dy - są parametrami XY i = [ dx, dy] KAM> IM XYH 1 2 12.000 0.00000E+00 KAM> IM XYV 1 2 0.00000E+00-8.0000 9
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności 2. Inicjacja wektorów własności materiałowych : E, Ro i alfat - odpowiednio moduł Younga, gęstość właściwa, współczynnik rozszerzalności termicznej materiału IM MATi 3 1 MAT i = [ E Ro alfat ] T KAM> IM MAT 3 1 0.21000E+09 0.00000E+00 0.00000E+00 KAM> WS MAT Matrix MAT 1 ------------- 1 0.21000E+09 2 0.00000E+00 3 0.00000E+00 -------------- 10
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności 3. Inicjacja wektorów własności geometrycznych : A, Jz - odpowiednio pole przekroju, moment bezwładności przekroju IM GEOi 2 1 GEO i = [ A Jz ] T KAM> IM GEO1 2 1 15000. 0.36000E-03 KAM> IM GEO2 2 1 15000. 0.18000E-03 KAM> WS GEO1 Matrix GEO1 1,-------------. 1 15000. 2 0.36000E-03 ------------- 11
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności 4. Inicjacja wektorów alokacji Ai - opisujących rozmieszczenie niewiadomych w kolejnych prętach: n1, n2 n3 - nr niewiadomych na początku, n4n5n6- na końcu pręta. IMI Ai 6 Ai = [ n1 n2 n3 n4 n5 n6 ] KAM> IMI A1 6 0 0 0 1 2 3 KAM> IMI A2 6 1 2 3 0 0 0 KAM> IMI A3 6 1 2 3 4 5 6 KAM> IMI A4 6 4 5 6 0 0 7 KAM> IMI A5 6 4 5 6 8 0 9 12
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności 5. Budowa macierzy sztywności prętów Ki na podstawie biblioteki R2 - XYi, MATi, GEOi - poprzednio zdefiniowane macierze. R2-ST Ki XYi MATi GEOi KAM> R2-ST KH XYH MAT GEO1 KAM> R2-ST KV XYV MAT GEO2 KAM> WS KH Matrix KH 1 2 3 4 5 6-1 - 0.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 -.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00-2 - 0.00000E+00 525.00 3150.0 0.00000E+00-525.00 3150.0-3 - 0.00000E+00 3150.0 25200. 0.00000E+00-3150.0 12600. - 4 - -.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00 0.26250E+12 0.00000E+00 0.00000E+00-5 - 0.00000E+00-525.00-3150.0 0.00000E+00 525.00-3150.0-6 - 0.00000E+00 3150.0 12600. 0.00000E+00-3150.0 25200. - L - 13
Szczegółowy algorytm... budowa macierzy sztywności 6. Zdefiniowanie i wyzerowanie globalnej macierzy sztywności konstrukcji K - n - jest liczbą niewiadomych metody DM K n n 7. Wypełnienie globalnej macierzy sztywności K - na podstawie macierzy sztywności prętów Ki i wektorów alokacji Ai DAL K Ki Ai KAM> DM K 9 9 KAM> DAL K KH A1 KAM> DAL K KH A3 KAM> DAL K KH A5 KAM> DAL K KV A2 KAM> DAL K KV A4 14
Szczegółowy algorytm... - budowa wektora obciążeń węzłowych VII. Budowa wektora obciążeń węzłowych R 1. Inicjacja wektorów pomocniczych DSi - określających obciążenie elementowe (międzywęzłowe) prętów - dla sił skupionych - wektor SIi, w którym Px, Py - składowe lokalne siły skupionej, Mz - moment skupiony, ksi - bezwymiarowa odcięta położenia obciążenia IM SIi 4 1 SI i = [ Px Py Mz ksi ] T - dla obc. rozłożonego - wektor TRi, w którym qx1, qy1, mz1 oraz qx2, qy2, mz2 rzędne składowych obciążenia rozłożonego w ukl. lokalnym na początku i końcu, ksi1, ksi2 - bezwymiarowe odcięte wyznaczające początek i koniec obciążenia IM TRi 8 1 TR i = [ qx1 qy1 mz1 qx2 qy2 mz2 ksi1 ks2 ] T 2. Budowa wektorów sił przywęzłowych QLi, QSi dla poszczególnych prętówsprowadzających obciążenie elementowe do końców prętów (na podstawie biblioteki R2) R2-SS QSi XYi SIi - dla obciążeń skupionych elementowych R2-LN QRi XYi TRi - dla obciążeń rozłożonych elementowych 15
Szczegółowy algorytm... - budowa wektora obciążeń węzłowych 3. Zdefiniowanie i wyzerowanie sumarycznego wektora sił przywęzłowych konstrukcji od obciążeń elementowych QEO - n - liczba niewiadomych DM QEO n 1 4. Wypełnienie sumarycznego wektora sił przywęzłowych konstrukcji od obciążeń elementowych QEO - na podstawie wektorów obciążeń poszczególnych prętów QSi lub QRi i wektorów alokacji Ai DWA QEO QSi Ai DWA QEO QRi Ai 5. Inicjacja wektora obciążeń węzłowych konstrukcji QW0 - pochodzących od obciążeń konstrukcji działających na jej węzły; w1, w2, w3,... wn - składowe obciążeń węzłowych w układzie globalnym w kolejności odpowiadanej kolejnym niewiadomym metody lub zero IM QWO n 1 w1 w2 w3..wi... wn 6. Zdefiniowanie sumarycznego wektora wyrazów wolnych R DM R n 1 7. Obliczenie sumarycznego wektora wyrazów wolnych R układu równań metody przemieszczeń jako sumy wektora sił przywęzłowych QEO i obciążeń węzłowych QWO. D QEO QWO R 16
Szczegółowy algorytm... - budowa wektora obciążeń węzłowych KAM> DM R 9 1 KAM> IM TR1 8 1 0.00000E+00-29.000 0.00000E+00 0.00000E+00-29.000 0.00000E+00 0.00000E+00 1.0000 KAM> R2-LN QEO XYR TR1 KAM> DWA R QEO A1 KAM> WS R Matrix R 1 ------------- 1-0.00000E+00-2 - -174.00-3 - 348.00-4 - 0.00000E+00-5 - 0.00000E+00-6 - 0.00000E+00-7 - 0.00000E+00-8 - 0.00000E+00-9 - 0.00000E+00 - --------------- 17
Szczegółowy algorytm... - rozwiązanie układu równań MP VIII. Rozwiązywanie układu równań K*X + R = 0 1. Kopiowanie utworzonej macierzy sztywności konstrukcji K i wektora wyrazów wolnych QO: KP R RKOP KP K KKOP 2. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody przemieszczeń K* X = R Rozwiązanie (niewiadome geometryczne) umieszczone jest przez program w wektorze wyrazów wolnych R. Matrix X RO KKOP RKOP KAM>KP R RKOP KAM>KP K KKOP KAM>RO KKOP RKOP KAM> KP RKOP X KAM> WS X -------------- 1 - -.62938E-10-2 - -.43286E-09-3 - 0.52271E-02-4 - -.55309E-10-5 - 0.37296E-10-6 - -.11302E-02-7 - 0.56510E-03-8 - -.55309E-10-9 - 0.56510E-03 - --------------- 18
Szczegółowy algorytm... - rozwiązanie układu równań MP 3. Wyznaczenie wektorów przemieszczeń przywęzłowych Qi dla poszczególnych prętów - na podstawie globalnego wektora przemieszczeń układu X wyznaczonego powyżej oraz wektora alokacji (wyjmowanie wektora na podstawie alokacji). TWA X Ai Qi KAM> TWA X A1 R1 KAM> TWA X A2 R2 KAM> TWA X A3 R3 KAM> TWA X A4 R4 KAM> TWA X A5 R5 KAM>WS R4 Matrix R4 1 -------------- 1 - -.55309E-10-2 - 0.37296E-10-3 - -.11302E-02-4 - 0.00000E+00-5 - 0.00000E+00-6 - 0.56510E-03 - --------------- 19
Szczegółowy algorytm... - rozwiązanie układu równań MP IX. Wyznaczenie sił węzłowych 1. Wyznaczenie wektorów zawierających rzędne wykresów sił przekrojowych na końcach oraz w k przekrojach pośrednich - od przemieszczeń węzłów pręta NQi, obciążeń międzywęzłowych.nsi, NLi, NMi R2-NP NQi XYi MATi GEOi Qi k - od przemieszczeń końców pręta R2-NS NSi XYi DSi k - od sił skupionych międzywęzłowych pręta R2-NS NMi XYi DMi k - od momentów skupionych międzywęzłowych pręta R2-NL NLi XYi DTi k - od obciążeń rozłożonych międzywęzłowych pręta 2. Wyznaczenie sumarycznych macierzy sił przekrojowych dla poszczególnych prętów jako suma wektorów wyznaczonych w punkcie poprzednim, np D NQi NSi Ni - dla pręta obciążonego siła skupioną D NQi NLi Ni - dla pręta obciążonego obciążeniem rozłożonym KP NQi Ni - dla pręta nieobciążonego 3. Wyświetlenie wyników - macierzy Ni, zapisanie do pliku WS Ni ZAP Ni nazwa_pliku Wyniki umieszczone zostaną w pliku nazwa_pliku.mat w katalogu FEAS/BIN 20
KAM>R2-NP N1 XYH MAT GEO1 R1 10 KAM>R2-NP N3 XYH MAT GEO1 R3 0 KAM>R2-NP N5 XYH MAT GEO1 R5 0 KAM>R2-NP N2 XYV MAT GEO2 R2 0 KAM>R2-NP N4 XYV MAT GEO2 R4 0 KAM>R2-NL NEL1 XYH TR1 10 KAM>D N1 NEL1 KAM>WS N2 Matrix N2 1 2 -------------------------- 1 - -170.44-170.44-2 - -18.524-18.524-3 - -98.793 49.396 - --------------------------- 21
KAM>WS N1 Matrix N1 1 2 3 4 5 6-1 - -16.521-16.521-16.521-16.521-16.521-16.521-2 - -190.47-158.83-127.19-95.556-63.920-32.284-3 - -413.86-223.34-67.326 54.174 141.16 193.64 - L - [1m<Ent er> [0m [7D [24;73H [K 7 8 9 10 11 12-1 - -16.521-16.521-16.521-16.521-16.521-16.521-2 - -.64729 30.989 62.625 94.262 125.90 157.53-3 - 211.60 195.05 143.99 58.411-61.677-216.28 - L - 22
KAM>WS N3 Matrix N3 1 2-1 - 2.0026 2.0026-2 - -12.905-12.905-3 - -117.48 37.381 - L - KAM>WS N4 Matrix N4 1 2-1 - 14.685 14.685-2 - 2.0026 2.0026-3 - 16.020 0.00000E+00 - L - 23
KAM>WS N5 Matrix N5 1 2-1 - -.16964E-14 -.16964E-14-2 - 1.7801 1.7801-3 - 21.361 -.44409E-14 - L - KAM>ZAP X WCR1 KAM>ZAP N1 WCR1 KAM>ZAP N2 WCR1 KAM>ZAP N3 WCR1 KAM>ZAP N4 WCR1 KAM>ZAP N5 WCR1 KAM>STOP 24
Sporządzenie wykresów sił wewnętrznych na podstawie otrzymanych wyników Fragment pliku WCR1 z wynikami (niezwiązany z podanym przykładem) MTM1 3 5-22.5262-5.97683-11.8210-22.5262-5.97683-5.84416-22.5262-3.47683 0.132671-22.5262-0.976829 1.10950-22.5262-0.976829 2.08633 MTM2 3 5-5.97683 22.5262 11.8210-5.97683 12.5262-5.70524-5.97683 2.52622-13.2315-5.97683-7.47378-10.7577-5.97683-17.4738 1.71609 Interpretacja macierzy NTMi sił przekrojowych pręta i-tego: wiersz 1-szy zawiera składowe N, T, M w przekroju początkowym pręta wiersz ostatni zawiera składowe N, T, M w przekroju końcowym pręta kolejne kolumny są odpowiednio siłą osiowa, siła tnącą i momentem zginającym w przekroju dodatnie zwroty momentów zginających zależne są od obranego układu lokalnego. 25
Sporządzenie wykresów sił wewnętrznych na podstawie otrzymanych wyników 413,9 216,3 117,5 37,4 211,59 98,8 16,0 21,4 M 49,4 190,5-157,5 12,9-1,78 18,5-2,0 T -16,5 2,0-170,4 14,7 N 26
KONIEC 27