Rozwiązywanie równań różniczkowych

Podobne dokumenty
Metody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)

2+3*5= 2+3/5= 2+3spacja/5= <Shift+6> 3 spacja / spacja <Shift+6> 1/3 = ( ) a:10. zmienna π jest już zdefiniowana w programie

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe

Do wprowadzania symboli pochodnych można wykorzystać paletę Calculus lub skróty klawiszowe: SHIFT+? - wprowadza symbol pierwszej pochodnej.

Równania różniczkowe cząstkowe

RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego

WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Programowanie wypukłe i kwadratowe. Tadeusz Trzaskalik

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

i j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015

Elektrodynamika. Część 2. Specjalne metody elektrostatyki. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) (1.1) (1.2a)

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

Obliczenia iteracyjne

Wielomiany Hermite a i ich własności

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

Ważny przykład oscylator harmoniczny

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

Analityczne metody kinematyki mechanizmów

więc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

Dyskretyzacja równań różniczkowych Matlab

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

Wprowadzenie do Mathcada 1

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

1 Postulaty mechaniki kwantowej

1. Podstawy rachunku wektorowego

Algorytmy graficzne. Metody binaryzacji obrazów

Ć W I C Z E N I E N R E-17

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

Temat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1

ANALIZA MATEMATYCZNA

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

w.solnik, z.zajda Sieci przemysłowe Profibus DP i MPI w automatyce 1

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4

Metoda simpleks. Gliwice

Chemia teoretyczna. Postulaty mechaniki kwantowej. Katarzyna Kowalska-Szojda

ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Przekształcenie całkowe Fouriera

1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

Mikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx.

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Metody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Modelowanie i obliczenia techniczne. Równania różniczkowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Układy równań liniowych

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Komputerowe Laboratorium Mechaniki 2M135 / 2M31. L a bora t o rium n r 6 TEMAT:

WYBRANE PROBLEMY DOTYCZĄCE OPTYMALIZACJI FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI

I. Ruch krzywoliniowy, opis ruchu we współrzędnych biegunowych

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Zaawansowane metody numeryczne

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe

Równania różniczkowe zwyczajne

Katedra Silników Spalinowych i Pojazdów ATH ZAKŁAD TERMODYNAMIKI. Badanie pompy ciepła - 1 -

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

Automatyka. Treść wykładów: Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Podstawowe operacje na macierzach

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Automatyka. Treść wykładów: Układ kombinacyjny AND. Układ sekwencyjny synchroniczny. Układ sekwencyjny asynchroniczny. Układ sekwencyjny synchroniczny

Transkrypt:

Rozwiązwanie równań różniczkowch. Równanie różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie - zaimplementowana w Mathcazie metoa Rungego-Kutt. rzęu ze stałm krokiem całkowania: rkfie(,,ma, N, P) gzie: ma N P wartość początkowa la lub wektor wartości początkowch zmiennej zależnej - w przpaku ukłau równań początkow zakres zmiennej niezależnej końcow zakres zmiennej niezależnej liczba kroków całkowania wektor pochonch Przkła A.. Rozwiązać równanie różniczkowe '+= z warunkiem początkowm ()= la kroków w zakresie <;>. P ( ) R rkfie( P) R R.Definiujem punkt startow. Definujem pochoną. Wwołanie integratora la zakresu <;> i liczb kroków Wnik ma postać macierz wukolumnowej, w kórej pierwsza kolumna to zmienna niezależna, a kolumna ruga to zmienna zależna. R 6 7 8..8.8.7..79.6.7..9..97.8.77.... B. Metoa Rkaapt - metoa Rungego-Kutt. rzęu ze zmiennm krokiem całkowania Rkaapt(,,ma, N, P) - parametr ientncze jak la rkfie Przkła B.. Rozwiązać równanie różniczkowe '+ -= la warunku początkowego ()= la kroków w zakresie <;>. P ( ) R Rkaapt( P) R R. Definiujem punkt startow. Definujem pochoną. Wwołanie integratora

C.. zaania: rozwiązać to samo równanie metoą rkfie. P ( ) R rkfie( P) R R Metoa rkfie la zaanej liczb kroków okazała się niestabilna. Zwiększm liczbę kroków o. P ( ) R rkfie( P) R R

. Ukła równań różniczkowch zwczajnch. rzęu A. Metoa rkfie Sposób rozwiązwania ukłaów równań różniczkowch pierwszego rzęu jest poobn jak w przpaku rozwiązwania samch równań z tm, że tu wektor P skłaa się z n pierwszch pochonch tworzącch ukła równań. Przkła A.. Oblicz następując ukła równań la <; >, kroków =. ( ) = =. ( ) =. Warunek początkow P ( )... Definiujem pochone (stosujem ineks numerczne) R rkfie( P) R R R. Wwołanie integratora - wnik ma postać macierz -kolumnowej, w której. kolumna to zmienna niezależna,.- wartości całki funkcji pierwszej,.- wartości całki funkcji rugiej. Uwaga - la zmiennch wkresu, wstawiam ineks nienumerczne (przez kropkę)..

B. Metoa rkaapt Przkła B.. Oblicz następując ukła równań la <;> oraz kroków = 8 8 ( ) = = ( ) = 8 = ( ) =. Definiujem wektor punktów początkowch P ( ) 8 8 8. Definujem wektor pochonch R Rkaapt( P). Wwołanie integratora R R R R 6 6 8

. Metoa Stiffb - szttwne ukła równań różniczkowch Metoa Stiffb - wkorzstuje metoę Bulirscha-Stoera. Sztwn ukłau równań różniczkowch wstępuje wte, g jena z poszukiwanch funkcji zmienia się barzo szbko lub barzo wolno w stosunku o pozostałch. W przpaku zwkłch integratorów prowaziłob to o konieczności wkonwania obliczeń z barzo małm krokiem zmiennej niezależnej. Przkła. Rozwiąż ukła równań la kroków w zakresie <;.8> = 96 99 ( ) = = 97 997 ( ) = Kolejne kroki obliczeń: Warunek początkow: Wektor pochonch: P ( ) 96 99 97 997 Jakobian: J ( ) 96 97 99 997 Pierwsza kolumna - pochona funkcji po zmiennej, ruga kolumna - pochona po i trzecia kolumna - pochona po Wwołanie integratora: R Stiffb(.8P J) R R R...6.8

. Równania różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie Postępujem poobnie jak powżej, różnice pojawiają się w efiniowaniu wektora punktów startowch - tu skłaa się z wóch wielkości: wartości początkowej la funkcji i la pochonej funkcji, również wrażenie P skłaa się z wóch funkcji: pochonej i rugiej pochonej. Przkła A.. Rozwiąż równanie różniczkowe '' = -' + la wartości początkowej ()= i '()= la kroków w zakresie <;>. Wektor wartości początkowch. Wektor pochonch: efiniujm =/t i zapisujem równanie różniczkowe jako ukła wóch równań. rzęu P ( ) R rkfie( P) = = =. Wwołanie integratora. Wnik jest macierzą trzkolumnową. Kolumna pierwsza - zmienna niezależna, ruga - zmienna zależna, trzecia - pochona ' R R ' R '.. B. Metoa Rkaapt - rozwiązujem analogicznie jak metoą rkfie Przkła B.. Rozwiąż równanie różniczkowe '' = + - la <;>, wartości początkowe ()=, '()=-, kroków P ( ) R Rkaapt( P) R R ' R '...6.8 6