1. ALGEBRA Liczby zespolone

Podobne dokumenty
LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:

III. LICZBY ZESPOLONE

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

LICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

A B - zawieranie słabe

MACIERZE I WYZNACZNIKI

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

I. Podzielność liczb całkowitych

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

MATERIA LY DO ĆWICZEŃ Z ANALIZY ZESPOLONEJ Literatura: [Ch] J. Cha

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów prawa WYKŁAD 4. nazwa c.d. funktor operator

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Mechanika kwantowa III

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASACH I - III GIMNAZJUM. Rok szkolny 2015/16

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Funkcje zespolone. 2 Elementarne funkcje zespolone zmiennej zespolonej

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych zadania z rozwiązaniami

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

Z-TRANSFORMACJA Spis treści

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Transformata Z Matlab

Zbiór wszystkich punktów brzegowych D nazywamy brzegiem D (ozn. D). Mówimy, że zbiór D jest domknięty D D. Domknięciem zbioru D nazywamy D D (ozn. D).

Przestrzeń liniowa R n.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Definicja interpolacji

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Rozmieszczenie liczb pierwszych

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE

3. Zapas stabilności układów regulacji 3.1. Wprowadzenie

Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

3. Funkcje elementarne

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Fraktale - wprowadzenie

Funkcje tworzące - przypomnienie

Praca domowa - seria 2

Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Matematyczne Metody Fizyki I

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

VIII Skalmierzycki Konkurs Interdyscyplinarny Z matematyka w XXI wieku

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa

1. Relacja preferencji

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Transkrypt:

ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych) Cy możliwe est: ) rowiąać algebraice i trygoometryce rówaia 0, si 00 ; ) oblicyć l( ) (albo lg( ) ); 3) prekoać się, że fukca y e est okresowa? Nie est to prawdą, eżeli argumet ależy do bioru licb recywistych, ale możliwe est to wtedy, kiedy biór roseramy (astąpimy) do bioru owych licb licb espoloych A (Defiica: licby espoloe) Licbami espoloymi aywamy uporądkowae pary licb recywistych, a prykład: (, y),( a, b),( c, d),( i, y i), (,) (,), które maą astępuące własości: ) rówość licb espoloych (dla (, y ), (, y )): ora y y; ) suma (dodawaie) i różica (odemowaie) licb espoloych: (, y y); 3) ilocy (możeie) licb espoloych: ( y y, y y); 4) ilora (dieleie) licb espoloych (dieleie est możeiem pre odwrotość): y y y y :, y y A+B3 (Fakt) Mamy astępuące własości: 3) (,0) (,0) (,0); 3) (,0) (,0) (,0); 33) (,0):(,0) ( :,0), gdie 0 To dokładie odpowiada diałaiom algebraicym ad licbami recywistymi A4 (Uwaga) Z własości A+B3 wyika, że biór { : (,0), } licb espoloych moża utożsamiać e biorem licb recywistych Wtedy będiemy pisali amiast (,0), w scególości (,0) est edostką

recywistą, a biór espoloych licb recywistych est podbiorem bioru licb A5 (Defiica) Licbę espoloą (0,) aywamy edostką urooą i oacamy ą pre Wtedy Licbę espoloą o postaci y, y 0, aywamy licbą cysto urooą (0,) y, gdie A+B6 (Ćwiceie) Uasadić, że będie ora 0 i wtedy rowiąaiem rówaia A+B7 (Uwaga: dodatek do A+B+C) Wiadomo, że iterpretaca geometryca bioru est osią licbową O 0 i uż ie mamy miesca a te osi dla licb espoloych Będiemy predstawiali licbę espoloą a płascyźie Oy ak uporądkowaą parę (, ) licb recywistych (pierwsa licba, druga y ) to est w postaci puktu o współrędych ( y, ) lub w postaci wektora o pocątku w pukcie (0,0) i końcu w pukcie ( y, ) Wtedy uważamy licbę espoloą (,0) a edostką recywistą, a licbę espoloą (0,) = a edostką urooą Mamy, atem (, y) (,0) (0, y) (,0) y (0,) y W te iterpretaci (, y) geometryce biór (, y):, y aywamy płascyą espoloą 0 wsystkich licb espoloych Wtedy diałaia dodawaia, odemowaia licb espoloych ora możeia licb espoloych pre licbę recywistą wykouemy tak, ak a wektorach (B) y y = +y 0 Odośie możeia licb espoloych: mamy wykoywać (ak dla licb recywistych) tak, ak możeie wielomiaów miee, to est ( y) ( y) ( y y) y y y y ( y y ), gdie

C8 (Uwaga) Zakładamy ogólie, że p q ( p, q ) Moża udowodić, że są tylko 3 róże możliwości: 0,, Ale tylko ostati waruek (licby espoloy) dae możliwość dieleia Uwaga Wsystkie reguły cterech podstawowych diałań algebraicych (dodawaie, odemowaie, możeie i dieleie), ae dla licb recywistych, obowiąuą także w biore licb espoloych W scególości, prawdiwe są wory skrócoego możeia, itd A+B9 (Fakt: postać algebraica licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża apisać w postaci algebraice y, gdie Tuta licba est cęścią recywistą Re licby espoloe, co apisuemy ; podobie licba Im est cęścią urooą licby espoloe Re y y, A0 (Ćwiceie) Podać reguły diałań (dodawaia itd) licbami espoloymi w postaci algebraice A (Defiica: sprężeie licb espoloych) Sprężeiem licby espoloe y (, y ) aywamy licbę espoloą określoą worem: y (ćwiceie: podać iterpretacę geometrycą) y = +y 0 -y = - y A (Defiica) Modułem licby espoloe y (, y ) aywamy licbę recywistą określoą worem: y (Re ) (Im ) y 0 - A+B3 (Defiica) Argumetem licby espoloe y (, y ) aywamy każdą licbę spełiaącą układ rówań:

cos, gdie 0 y si, Argumetem główym arg licby espoloe aywamy argumet te licby taki, że 0 (casami ) y arg Zbiór Arg wsystkich argumetów licby espoloe aywamy Arg : arg k : k, gdie est biorem argumetem pełym: licb całkowitych Prymuemy, e argumetem główym licby espoloe 0 est 0 ( arg0 0) ora Arg dla 0 Niech est argumetem i r est modułem Wtedy A4 (Fakt: postać trygoometryca licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża predstawić w postaci: r(cos si ) A+B5 (Fakt: diałaia a licbach espoloych w postaci trygoometryce) 5) dodawaie i odemowaie licb espoloych w postaci trygoometryce est takie, ak w postaci algebraice (ie dae ic owego); 5) możeie uż dae: [ r cos si ] [ r cos si ] r r [cos si ] (reguła: pry możeiu licb espoloych (w postaci trygoometryce) ich moduły możymy, a argumety dodaemy i est to prawdiwe dla dowole licby cyików), w scególym prypadku mamy (wór de Moivre a): potęgowaie (podoseie do potęgi) licby espoloe: [ r cos si ] r (cos si ) (reguła: pry potęgowaiu licb espoloych ich moduły podosimy do te potęgi, a argumety możymy pre tę potęge); 53) dieleie licb espoloych: r ( cos si ) r [cos( ) si( )] r ( cos si ) r

(reguła: pry dieleiu licb espoloych ich moduły dielimy, a argumety odemuemy) Dowód: aprykład dla możeia Mamy: r cos r si r cos r si r cos r cos r si r cos r cos r si r si r si r r (cos cos si si ) r r (si cos cos si ) r r (cos( ) si( )) W podoby sposób możemy sprawdić (B) ostatie twierdeia (koiec dowodu) Im r = r r r r r Im 0 φ=0 Re φ r r φ Re Im r r r = : φ r r : r, Re A6 (Defiica) Licby 0,, ora aywa się odpowiedio: elemetem eutralym dodawaia, elemetem preciwym do licby, elemetem eutralym możeia ora elemetem odwrotym do licby A+C7 (Ćwiceia) Uasadić astępuące własości licb espoloych

( y, y,): 7) (dodawaie est premiee); 7) ( ) 3 ( 3) (dodawaie est łące); 73) +0= dla każde licby espoloe i licby 0 (0,0) 0 0; 74) ( ) 0, gdie (, y) y ; 75) (możeie licb espoloych est premiee); 76) ( ) 3 ( 3) (możeie est łące); 77) (dla każde licby espoloe i 78) y y (, ) ; y y y 79) ; : (wygodie est pry oblicaiu ilorau); 70) ( 3) 3 (,0)); (możeie licb espoloych est rodiele wględem dodawaia); Re( ) Re Re, Im( ) Im Im, 7) Re( ) Im, Im( ) Re ; Re Re, 7) Im Im ; 73),,, eżeli 0; 74) 75), Re, Im, Im Im ;,,, o ile 0 ; (ierówość trókąta);, Re, Im, Re( ) ; ( ) Ćwiceie (B+C): podać iterpretacę geometrycą własości A+C7 Uwaga Licby 0,, ora, wprowadoe w A+B, są edoacie ustaloymi licbami o takich własościach

A+C8 (Ćwiceia) Uasadić astępuące twierdeia ( i ri (cosi si i )): 8) r r ora k dla pewego k 8) arg( ) arg arg k dla k 0 lub k ; 83) arg( ) arg k dla pewego k ; ( 84) arg arg arg k dla k 0 lub k o ile 0; 85) arg( ) arg ; 86) arg( ) arg k dla k 0 lub k ; 87) arg arg o ile 88) 0; 0, 0); Ćwiceie (B+C): podać iterpretacę geometrycą własości A+C8 B9 (Ćwiceie) Podać iterpretacę geometrycą diałań algebraicych dla licb espoloych w postaci trygoometryce A+B+C0 (Ćwiceie) Korystaąc e woru de Moivre a wyraić podae fukce kąta pre cos i si : A) si ; B) cos4 ; C) si, cos Pierwiastkowaie licb espoloych Rówaie algebraice Postać wykładica licy espoloe A (Defiica: pierwiastek licby espoloe) Pierwiastkiem stopia licby espoloe aywamy każdą licbę espoloą u spełiaącą rówość u Zbiór pierwiastków stopia licby espoloe oacamy pre Wtedy u, argu arg k dla k skąd mamy, że tylko rożych argumetów u są: Wtedy arg arg u k, gdie k 0,,, A+B (Fakt: wór a pierwiastki licby espoloe) Każda licba espoloa r(cos si ), gdie r 0 ora, ma dokładie pierwiastków stopia Zbiór tych pierwiastków ma postać: { 0,,, }, gdie k k k r (cos si ) dla k 0,,, A+B3 (Fakt) Prawdiwa est ależość:

arg k arg k (cos si ) (cos si ) (cos si ) k dla k 0,,, k 0 A+B4 (Iterpretaca geometryca bioru pierwiastków licby espoloe) Zbiór pierwiastków stopia r, gdie ora, pokrywa się e biorem wierchołków -kąta foremego r arg 3 licby espoloe (cos si ) wpisaego w okrąg o promieiu i środku w pocątku układu współrędych Pierwsy wierchołek tego wielokąta est w pukcie 0 r(cos si ) a kąty międy promieiami, wodącymi koleych wierchołków, są rówe Im r k π/ π/ ₒ π/ Re π/ Prykłady: 3 4, ;, cos si, cos si ;,,, ;, : 3 3 3 3 π/3-0 0 -π/3 - - - W scególości, pierwiastki dielą koło edostkowe a rówych cęści o pocątku 0 (ćwiceie (B): podać iterpretacę geometrycą) A+B5 (Uwaga) Symbol ma ie aceie w odiesieiu do licb recywistych i ie do licb espoloych (w tym także recywistych traktowaych ako espoloych) Pierwiastek w diediie recywiste est

określoy edoacie i est to fukca [0, ) [0, ) dla parystych, aprykład: dla ieparystych ora fukca W biore : W biore : 4 4 4, 4,,, ie istiee, 4, 4, Pierwiastkowaie w diediie espoloe est sukaiem rowiąań rówaia, atem est biorem rowiąań tego rówaia Symbolu pierwiastka w diediie espoloe ie wolo używać do żadych obliceń, a podstawowe wory dla pierwiastków, prawdiwe w diediie recywiste, tuta ie maą w sesu (prykład: 4 8 8 4 { 4,4, 4 4 } 4 ) A6 (Defiica) Wielomiaem recywistym (odpowiedio espoloym) stopia N aywamy fukcę W : (odp ) określoą worem: W( ) c c c c0, gdie ck (odpowiedio ck ) dla k 0,,, ora c 0 Licby 0 k, aywamy współcyikami wielomiau W c k, gdie A7 (Uwaga) Każdy wielomia recywisty moża traktować ako wielomia espoloy Wtedy będiemy mówili krótko wielomia A8 (Defiica) Licbę (recywistą, espoloą) aywamy pierwiastkiem (recywistym, espoloym) wielomiau W, eżeli W ( 0) 0 A9 (Defiica) Rówaie, określoe worem W ( ) 0, gdie W est wielomiaem, aywamy algebraicym A+C30 (Fakt) Jeżeli licba espoloa 0 est pierwiastkiem wielomiau (rówaia algebraicego) o współcyikach recywistych, to 0 także est pierwiastkiem tego wielomiau (rówaia) A+C3 (Fakt: asadice twierdeie algebry) Każdy wielomia espoloy stopia dodatiego ma co amie ede pierwiastek espoloy Stąd mamy: każdy wielomia espoloy stopia ma dokładie pierwiastków espoloych (uwględiaąc pierwiastki wielokrote): 0

k km ( ) 0 ( ) ( ) ( ˆ) ( ˆm), W c c c c () ˆ,, ˆm gdie odpowiedio k,, km A+C3 (wory Viète a): c, c c 3, c są róże pierwiastki (wielomiau, gdie k km c 3 3 4, c W() ) o krotościach 0 3 ( ) c c Uwaga Twierdeia A+C30, A+C3, A+C3, ora wór () są bardo waże w rowiąywaiu rówań algebraicych A33 (Defiica: symbol oacamy krótko pre e e ) Dla : e cos si licbę espoloą cos si Wtedy A+B34 (Wory Eulera) Mamy: e e e e cos, si, gdie A35 (Fakt: postać wykładica licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża apisać w postaci wykładice: re, gdie r 0, Licba r est wówcas modułem licby, a est e argumetom Dowód: r(cos si ) re A+B36 (Fakt: własości symbolu e ) Niech,, 3 będą dowolymi licbami recywistymi ora iech k będie dowolą licbą całkowitą Wtedy: ( ) 36) e e e ; ( 36) ) e e ; e k 363) ( e ) k e ; 364) e ( k ) e ;

e 0 365) ; 366) e e l dla pewego l ; 367) e ; 368) arge l dla pewego l ( ) e Dowód: aprykład ): cos( ) si( ) cos cos si si (si cos cos si ) (cos si ) (cos si ) e e W podoby sposób moża sprawdić ostatie twierdeia Niech est licbą espoloą ora w est fukcą w:, określoą worem: y y W W( ) e e e e e (cosy si y) A+B+C37 (Fakt) Fukca est okresowa o okresie Re T ; W e e, argw Im k dla pewego k Niech atem fukca e e W W L W ReW i ReW l Stąd mamy e est taka, że e W Wtedy: ; arg Im W k, k A+B38 (Defiica) W L l (arg k ), k ; l l arg aywamy logarytmem główym A+B39 (Ćwiceie) l( ) l arg( ) A+B+C40 (Ćwiceie: rowiąaie rówań algebraicych) Rowiąać astępuące rówaia: 40) rówaie kwadratowe (, a 0) awse ma pierwiastki espoloe: b b 4ac a b c 0, gdie b 4ac est edym pierwiastków a kwadratowych licby espoloe b 4ac, a precież w diediie espoloe b b 4ac ( a, b, c, a 0) możemy apisać te wór w postaci ; a 40) rówaie dwukwadratowe ma 4 pierwiastki espoloe: a 4 b c 0 iech u wtedy mamy rówaie kwadratowe; 403) rowiąać podae rówaia algebraice: 3 4 4 a) 3 3 0, b) 3 3 3 0, c) ( ), 4 3 4 3 4 d) 4 6 4 5 0, e) 4 6 4 ( ) ; 404) uasadić, że

eżeli,, są pierwiastkami rówaia 0, to wtedy 0 A+B4 (Ćwiceie): 4) korystaąc e worów Eulera wyraić fukce a), b) 4) oblicyć sumy: a) cos cos cos, b) si si Wskaówka: ( ) e e e ( e e )( e ) e ( e ) ( e ) e ( e )( e ) si 3 cos w ależości siusów i kosiusów wielokrotości kąta ;