Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana: gdze - zmenna rzeczywsta ( = 0 ( - dowolna wystarczająco regularna unkcja (6. Wystarczająco regularna unkcja oznacza, że ( jest cągła oraz posada cągłe pochodne potrzebnych rzędów. Każdą wartość, która spełna równane (6. tzn., taką, że ( = 0 perwastkem równana. nazywamy Zakładamy, że równane ma perwastk odosobnone tj. dla każdego perwastka stneje otoczene, które ne zawera nnych perwastków rzeczywstych tego równana. Proces oblczana przyblżonych wartośc perwastków rzeczywstych równana (6. dzel sę na etapy:. Lokalzacja perwastków, czyl ustalene możlwe wąskch przedzałów ( a, b, które zawerają jeden tylko jeden perwastek równa.. Uścślene perwastków przyblżonych czyl określene ch wartośc z żądaną dokładnoścą. Podstawą algorytmów procesu lokalzacj perwastków jest twerdzene Bolzano- Cauchy ego. Twerdzene: Jeżel unkcja cągła ( ma na końcach przedzału domknętego a, b różne znak, a węc ( b 0 to wewnątrz tego przedzału stneje co najmnej jeden perwastek równana ( = 0.
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 ( a ( b b Twerdzene powyższe ne rozstrzyga o lośc perwastków wewnątrz przedzału a, b. Jednakże w praktyce mamy wystarczająco dużo normacj o szukanym perwastku, aby znalezene przedzału a, b ne stanowło problemu. W przecwnym wypadku gdy normacje są skąpe, można po znalezenu a, b zbadać znak pochodnej '( w tym przedzale. Jeśl w przedzale a, b stneje pochodna ( zmena w nm znaku tj. jeśl ( 0 lub ( 0 perwastkem. ' ne ' dla a b to jest jedynym ( b
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Metody poszukwana perwastków a metoda połowena (metoda bsekcj Mamy ( = 0 przy czym ( b wemy, że ( 0 - unkcja cągła w przedzale domknętym a, b oraz Idea połowena polega na dzelenu przedzału a, b na połowy sprawdzanu, w której z nch znajduje sę perwastek. W ten sposób znajduje sę nowy węższy przedzał zawerający perwastek. Proces ten powtarzamy tak długo, aż długość przedzału jest mnejsza od przyjętej dopuszczalnej. Metoda połowena jest bezwzględne zbeżna, gdyż każde równane ( 0 perwastek w przedzale a, b, można rozwązać tą metodą. = które posada Ne zakłada sę w tej metodze żadnych ogranczeń na unkcję (, an na pochodną tej unkcj. Jedyne założene cągłość unkcj w przedzale a, b. Algorytm postępowana.. Oblczyć punkt. Sprawdzć czy c a + b = wartość unkcj w punkce c ( c jeżel tak to = c, w przecwnym raze ( c = 0. Wybrać z przedzałów a, c c, b ten, w którym znajduje sę perwastek. Oblczamy ( c ( b ( c oblczeń jak przedzał a,b. ten który jest ujemny przechodz do dalszych 4. Sprawdzć czy długość przedzału a,b jest dostateczne mała. Jeżel b to przyjmujemy a b + a = Jeżel b to rozpoczynamy proces od pkt.. a
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 W wynku zastosowana opsanego algorytmu, albo w pewnym kroku otrzymujemy perwastek dokładny albo cąg przedzałów a,b, a,b... a, b takch, że oraz ( a, ( 0 b Końce cągu b a = ( b a (6. a, a... a tworzą cąg monotonczne nemalejący, ogranczony z góry, a końce b, b..., tworzą cąg nerosnący ogranczony z dołu to b a jest perwastkem równana. = lm a = lmb (6. b Metoda nterpolacj lnowej Załóżmy że znany jest przedzał a, b w którym znajduje sę perwastek ( A ( ( c a C b B ( Przez punkty A ( a, ( b ( b B, można poprowadzć seczną, która przetne oś odcętych w punkce C. Wartość C określona jest zależnoścą: Jeżel C w poblżu ( b b ( b a C = (6.4 a b C = a + (6.5 ( b 4
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Drug składnk wzoru można uważać za poprawkę wartośc "a" wówczas w poblżu perwastka wystarczy klka cyr znaczących. W powyższym równanu jeden, lub oba końce mogą być ruchome. Zależy to od właścwej unkcj wewnątrz przedzału a, b. Różne przebeg unkcj ( ( b c b ( A A a a c = c = ( b b B B 5
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Załóżmy, że w przedzale a, b stneje tylko perwastek, a pochodna ''( ne zmena znaku w tym przedzale, to jeden z końców przedzału będze neruchomy. W przypadku gdy 0 '( 0 ' dla a b konec a jest neruchomy y 4 ( b Wówczas 0 + = b = ( ( ( ( a a (6.6 gdze = 0,,... W celu oszacowana błędu przyblżonego perwastka wykorzystamy twerdzene: Nech będze dokładną, a przyblżoną wartoścą perwastka równana, przy czym obe te lczby znajdują sę w przedzale domknętym α, β Jeśl a, β zachodz nerówność to prawdzwe jest następujące oszacowane: ( m 0 ' (6.7 ( (6.8 m 6
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Błąd bezwzględny przyblżena, gdy znane są wartośc przyblżone poprzednego, można określć według wzoru: gdze za M M m (6.9 m m można wząć odpowedno najmnejszą najwększą wartość '( w przedzale domknętym a, b. Jeśl przedzał a, b jest na tyle wąsk, że zachodz nerówność: to na mocy nerównośc (6.9 otrzymujemy: M m (6.0 Σ (6. gdze Σ jest zadanym kresem górnym błędu bezwzględnego, to jest pewne, że Σ jest równeż przedzałem. 6. Całkowane numeryczne Całkowane numeryczne polega na zastąpenu krzywej opsanej unkcją ( elementam o kształce prostokąta, trapezu, parabol lub nnej ln wyrażonej welomanem dobrze wpsującej sę wpsującej sę w kształt unkcj., Formuła prostokątów dla przedzału [ ] gdze, [ ] Formuła trapezów dla przedzału [, ] gdze, h '' ( d = h ( ( (6. 6 [ ] Formuła Smpsona (parabola dla przedzału [, ] gdze, [ ] h h '' ( d = ( ( ( + (6. 5 h h ( 4 ( ( ( ( d = 4 ( + + (6.4 90 7
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Formuły Newtona: gdze, dla przedzału [, ] 4 4 5 h h ( 4 ( ( ( ( ( d = 4 ( 8 + + + (6.5 80 [ 4 ] dla przedzału [, ] 5 5 7 h 8h ( 6 ( ( ( ( ( ( d = 4 5 ( 45 + + + + (6.6 945 gdze, [ ] 5 8