WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - część III - termin T1 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. Rafał Łangowski, dr inż. Gdańsk
1. Macierze - podstawowe informacje Macierzą nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jeden element, który może być liczbą rzeczywistą lub zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania) lub wielomianem. Ogólna postać macierzy dana jest wzorem: (1) Element nazywamy współczynnikiem macierzy; elementy nazywamy i-tym wierszem macierzy; elementy nazywamy j-tą kolumną macierzy. Wymiarami macierzy (1) nazywamy uporządkowaną parę liczby wierszy i kolumn i oznaczamy przez. Macierz, w której liczba wierszy jest różna od liczby kolumn nazywamy macierzą prostokątną. W przypadku, gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn to mamy do czynienia z macierzą kwadratową. Macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero nazywamy macierzą diagonalną: (2) Macierz diagonalna może być zapisana w następujący sposób: Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz skalarna, której elementy na głównej przekątnej mają tą samą wartość : (3) (4) Szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej jest macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są jednościami: (5) - 2 -
2. Podstawowe operacje na macierzach Niech macierze i są postaci: (6) Sumą (różnicą) macierzy i (macierze muszą być jednakowych wymiarów) nazywamy macierz, której elementy są sumą (różnicą) odpowiednich elementów macierzy dodawanych lub odejmowanych: Zadanie 1 Wyznaczyć sumę następujących macierzy: Dokonując obliczeń uzyskujemy: (7) (8) (9) Suma macierzy jest operacją łączną i przemienną: oraz istnieje macierz zerowa Iloczynem macierzy i nazywamy macierz równą:, która jest elementem neutralnym dodawania: (10) której elementy są określone zależnością: (11) Mnożenie macierzy przez macierz jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy (mnożonej) jest równa liczbie wierszy macierzy (mnożnika). Dlatego też w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne. - 3 -
Zadanie 2 Znaleźć iloczyn liczby p przez macierz : (12) Po obliczeniach otrzymujemy: (13) Zadanie 3 Wyznaczyć iloczyn następujących macierzy: (14) Dokonując obliczeń mamy: (15) Macierzą transponowaną (lub ) macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zamiany wierszy na kolumny, czyli przez zastąpienie elementu macierzy elementem : (16) (17) Obowiązują następujące prawa: Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy jako (lub jako ) i obliczamy na podstawie następującego wzoru: rozwinięcie względem i-tego wiersza: (18a) - 4 -
lub rozwinięcie względem j-tej kolumny: (18b) gdzie jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. W ogólnym przypadku obliczenie wyznacznika może odbywać się poprzez wykreślenie dowolnego wiersza i dowolnej kolumny. Zadanie 4 Obliczyć wyznacznik następujących macierzy: (19) Wyznacznik macierzy : Wyznacznik macierzy : Wyznacznik macierzy : Skreślając np. pierwszy wiersz i kolejno pierwszą, drugą, trzecią i czwartą kolumnę obliczamy poszczególne wyznaczniki: (20) (21) (22) Rozwijając macierz według elementów pierwszego wiersza mamy: (23) Macierz kwadratową nazywamy macierzą nieosobliwą (regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy. W przypadku, gdy wyznacznik macierzy jest równy zero to taką macierz kwadratową nazywamy macierzą osobliwą. - 5 -
Macierz dołączona macierzy kwadratowej jest to macierz powstała przez zastąpienie każdego elementu macierzy transponowanej odpowiadającym temu elementowi jego dopełnieniem algebraicznym opisanym wzorem: gdzie jest minorem macierzy tzn. wyznacznikiem macierzy powstałej przez wykreślenie z macierzy i-tego wiersza i j-tej kolumny. Minorem stopnia macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy przez usunięcie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Zadanie 5 Wyznaczyć macierz dołączoną następującej macierzy: (24) Dokonując obliczeń mamy: (25) (26) Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej stopnia nazywamy macierz postaci: (27) UWAGA Przypadek szczególny, dla macierzy kwadratowej wymiaru 2 zachodzi: (28) - 6 -
Zadanie 6 Obliczyć macierz odwrotną dla następujących macierzy: (29) Dla macierzy mamy: (30) Dla macierzy uzyskujemy: (31) Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopień niezerowego minora tej macierzy. Jeżeli macierz wymiar rząd tej macierzy spełnia warunek: Zadanie 7 Znaleźć rząd następujących macierzy: ma (32) (33) Dla macierzy otrzymujemy: Dla macierzy mamy: (34) (35) Macierzą sprzężoną macierzy o wymiarach nazywamy macierz o wymiarach otrzymaną w wyniku zastąpienia elementu macierzy elementem, gdzie jest elementem sprzężonym względem. Algorytm wyznaczania macierzy sprzężonej jest następujący: 1. Wyznaczyć macierz transponowaną. 2. Zastąpić każdy element macierzy transponowanej elementem sprzężonym. (36) - 7 -
Zadanie 8 Wyznaczyć macierz sprzężoną dla następującej macierzy: (37) Krok 1 Wyznaczamy macierz transponowaną: (38) Krok 2 Zastępujemy każdy element tej macierzy elementem sprzężonym: (39) Wielomianem charakterystycznym macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wielomian postaci: natomiast równanie: nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy. Wartościami własnymi macierzy kwadratowej nazywamy pierwiastki jej równania charakterystycznego. Zbiór wartości własnych Podstawowe własności wartości własnych: nazywamy widmem tej macierzy. Jeżeli wszystkie współczynniki macierzy są rzeczywiste, to jej wartości własne są rzeczywiste lub zespolone parami sprzężone. Jeżeli są wartościami własnymi macierzy to są również wartościami własnymi macierzy. Jeżeli są wartościami własnymi macierzy (a macierz ta nie jest macierzą jednostkową) to są wartościami własnymi macierzy. Zadanie 9 Wyznaczyć wielomian charakterystyczny i wartości własne macierzy postaci: (40) (41) (42) - 8 -
Na podstawie zależności (40) wielomian charakterystyczny wynosi: (43) Zatem zgodnie z (41) obliczamy wartości własne: (44) ; Prawostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor kolumnowy, który jest rozwiązaniem równania: Lewostronnym wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy kwadratowej stopnia nazywamy niezerowy n-wymiarowy wektor wierszowy, który jest rozwiązaniem równania: Prawostronne i lewostronne wektory własne nazywane są często po prostu wektorami własnymi. Twierdzenie 1: Każda niezerowa kolumna (wiersz) macierzy dołączonej jest prawostronnym (lewostronnym) wektorem własnym należącym do wartości własnej macierzy. 3. Liczby zespolone - podstawowe informacje Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę, gdzie. Zbiór wszystkich liczb zespolonych określamy symbolem :. Jeżeli, to liczbę nazywamy częścią rzeczywistą liczby i oznaczamy:, natomiast liczbę nazywamy częścią urojoną liczby i oznaczamy:. Dwie liczby zespolone i są sobie równe, gdy: Liczbę nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy lub, czyli ; jednostka urojona spełnia warunek:. (45) (46) (47) Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci: (48) zwanej postacią algebraiczną liczby zespolonej. - 9 -
Jeżeli i to ich sumę, różnicę oraz iloczyn uzyskujemy tak jak sumę, różnicę oraz iloczyn dwumianów, z uwzględnieniem tego, że. Zatem: (49) (50) (51) Jeżeli i to ich iloraz uzyskujemy: (52) Zadanie 10 Dla następujących liczb zespolonych: oraz, wyznaczyć: sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz. Na podstawie zależności (49) - (52) uzyskujemy: (53) (54) (55) (56) Sprzężeniem liczby zespolonej (albo liczbą sprzężoną) nazywamy liczbę:. Modułem liczby zespolonej jest liczba rzeczywista:. Argumentem liczby zespolonej nazywamy każdą liczbę taką, że:,. Argument liczby oznaczmy symbolem. Każde dwa argumenty liczby różnią się o parzystą krotność. Argumentem głównym liczby nazywamy ten z argumentów liczby, który należy do przedziału lub ; oznaczamy go symbolem. Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci: (57) gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby. Postać ta zwana jest postacią trygonometryczną liczby zespolonej. - 10 -
Zadanie 11 Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci trygonometrycznej. Na podstawie zależności (57) uzyskujemy: (58) Jeżeli, to: (59) Wyrażenie: stanowi wzór de Moivre a. Zadanie 12 Oblicz: : Na podstawie zależności (58) postać trygonometryczna liczby jest następująca:. Wykorzystując (59) otrzymujemy: (60) Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci: gdzie: jest modułem, a jest argumentem liczby. Postać ta zwana jest postacią wykładniczą liczby zespolonej. Zadanie 12 (61) Przejdź z algebraicznej postaci liczby zespolonej: do jej postaci wykładniczej. Na podstawie zależności (61) uzyskujemy: - 11 -
(62) 4. Bibliografia Banaszak G., Gajda W. Elementy algebry liniowej. Część 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2002. Tarnawski E. Matematyka. Część pierwsza. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967. Trajdos-Wróbel T. Matematyka dla inżynierów. Kurs wyższy. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965. - 12 -