Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Powtórka Dr inż. Liliana Bujkiewicz 17 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 1 / 26

Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN 2014 2 Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie 2012 3 Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2007 4 Physical Geodesy - Martin Vermeer, https://users.aalto.fi/ mvermeer/mpk-en.pdf 5 Geodesy - Wolfgang Torge, Walter de Gruyter-Berlin-New York 2001 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 2 / 26

Geoida powierzchnia ekwipotencjalna najlepiej wpasowana do średniego poziomu mórz i oceanów w danej epoce Powierzchnia ekwipotencjalna powierzchnia stałego potencjału, powierzchnia poziomowa; w każdym punkcie kierunek pionu jest prostopadły do takiej powierzchni N wysokość geoidy lub inaczej odstęp geoidy od elipsoidy odniesienia Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 3 / 26

Stałe definiujace geocentryczny system GRS 80 (elipsoida GRS 80 lub elipsoida WGS 84) duża półoś elipsoidy ziemskiej a = 6 378 137 m rozmiary i kształt elipsoidy sa takie, aby jej powierzchnia była najlepszym przybliżeniem geoidy geocentryczna stała grawitacyjna GM = 3 986 005 10 8 Masa elisoidy jest równa masie Ziemi (wraz z atmosfera) m 3 s 2 dynamiczny współczynnik kształtu (spłaszczenia): J 2 = 108 263 10 8 lub spłaszczenie geometryczne: f = 1/298, 257222101 prędkość katowa Ziemi ω = 7 292 115 10 11 rad s 1 Elipsoida wiruje wokół małej osi tak, jak wiruje Ziemia doba gwiazdowa T = 2π ω = 23 h 56 4, 091 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 4 / 26

Powierzchnia elipsoidy jest z założenia powierzchnia ekwipotencjalna o potencjale U 0 równym potencjałowi geoidy W 0 = U 0 = 62636860, 850 m2 s 2 Tak zdefiniowana elipsoida jest nazywana elipsoida ekwipotencjalna lub poziomowa i jednoznacznie definiuje potencjał zwany potencjałem normalnym (normalnym polem siły ciężkości) Część grwitacyjna potencjału normalnego jest rozwiazaniem równania Laplace a (na zewnatrz elipsoidy) U graw(x, y, z) = 0 przy nałożeniu warunku granicznego U = U 0 na powierzchni tej elipsoidy. Rozwiazanie dla U graw i U znajduje się w zmiennych elipsoidalnych. W praktyce używa się przybliżonego rozwinięcia w harmoniki sferyczne [ U = GM 4 ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(sin φ)] + 1 r r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 J 2 = 1082, 63 10 6 J 4 = 2, 37091222 10 6 J 6 = 0, 00608347 10 6 J 8 = 0, 00001427 10 6 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 5 / 26

Kierunek wektora przyspieszenia jest kierunkiem prostopadłym do powierzchni ekwip. (kierunek normalny, kierunek pionu) ( U γ = U = x, U y, U ), γ = du z dh Potencjał dla masy punktowej M: U(r) = GM r Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 6 / 26

Przybliżenie rzeczywistego potecjału Ziemi przedstawia się w postaci rozwinięcie w harmoniki sferyczne (funkcje kuliste) i przez określenie model rozumie się odpowiedni zestaw współczynników C nm oraz S nm (np. EGM96) V = GM r [ 360 n 1 + n=2 m=0 ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(cos θ)] r Źródło: Martin Vermeer Physical Geodesy Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 7 / 26

Potencjał grawitacyjny od niewielkiej masy m w odległosci l : V = Gm l V = i V i = i G m i l i V = G Z dm l m = σ(x, y, z) v = σ(x, y, z) x y z dm = σ(x, y, z)dxdydz Jeśli P(x P, y P, z P ), a element masy dm jest w punkcie (x, y, z), to l = (x x P ) 2 + (y y P ) 2 + (z z P ) 2 G Z V(x P, y P, z P ) = σ(x, y, z)dxdydz (x xp ) 2 + (y y P ) 2 + (z z P ) 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 8 / 26

V = GM r [ 360 n 1 + n=2 m=0 Współczynniki rozkładu mas ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(cos θ)] r C nm = 1 (n m)! κ M (n + m)! Z ( r ) n P nm(cos θ ) cos(mλ )σ(r, φ, λ )dv dv jest elementem objętości, σ(r, φ, λ ) jest gęstościa. Analogicznie S nm =... sin(mλ )... Widać, że S n0 = 0 dla wszystkich n Współczynniki te wyznaczane sa na podstawie pomiarów satelitarnych (np. z analizy orbit satelitów), jak również na podstawie danych grawimetrycznych zebranych na powierzchni Ziemi. a Z Brak n = 1 w sumie: poczatek układu odniesienia pokrywa się ze środkiem masy Ziemi i stad C 10, C 11, S 10, S 11 0 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 9 / 26

Momenty bezwładności i momenty dewiacyjne: A = I xx B = I yy C = I zz D = I yz E = I xz F = I xy Np. A = I xx = 1 M ( y 2 + z 2) dm F = I xy = 1 (xy)dm M Z Oś z pokrywa się z osia maksymalnego głównego momentu bezwładności (C): Spłaszczenie Ziemi : C 20 = C A+B 2 Ma 2 = 5 C 20 = 1, 08263 10 3 C 21 E 0 S 21 D 0 C 22 = B A 4Ma 2 S 22 = 10 6 F = 10 6 2Ma2 ( 10 9) J 2 = C 2 = C 20 f = 3 2 J 2 + 1 a 2 ω 3 2 GM Stad J 2 nazywany jest spłaszczenem dynamicznym Ziemi (jest parametrem dla GRS 80) Z Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 10 / 26

W = GM r z modelu geopotencjału: T, N, ξ, η [ n ( ) a n 1 + ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=2 m=0 [ U = GM ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(sin φ)] + 1 r r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 Potencjał zakłócajacy: T(r, φ, λ) = W U = GM r n ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( C k,0 (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. J k C k,0 Wysokość geoidy: wyszukanie punktów w przestrzeni, dla których potencjał W równy jest U 0 metoda iteracyjna; N = T P γ Q wzór Brunsa N 1 (λ, ϕ) = T(0, λ, ϕ) γ(0, ϕ) = GM rγ(0, ϕ) n n=2 m=0 ( ) a n ( C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) r w powyższym wzorze r takie, aby punkt (r, ϕ, λ) był na elipsoidzie zerowej Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 11 / 26

W = V+V od = GM r [ 1 + n MAX n n=2 m=0 ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(cos θ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ Potencjał zakłócajacy (w danym punkcie) T = W U W szczególności w dowolnym punkcie P na geoidzie: T P = W 0 U P Różnica ta eliminuje potencjał siły odśrodkowej, więc to, co pozostaje jest funkcja harmoniczna na zewnatrz mas. T = 0 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 0 warunek graniczny dla potencjału zakłócajacego - podstawowe równanie grawimetrii g = T n + 1 γ γ n T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 12 / 26

Zagadnienie mieszane dla T w przybliżeniu sferycznym: 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 0 T r 2 r T = g Anomalia grawimetryczna: g = g P γ Q Rozwiazanie zagadnienia polega na znalezieniu funkcji T(x, y, z), która jest harmoniczna na zewnatrz geoidy, a na geoidzie kombinacja jej wartości i jej pochodnej radialnej jest równa anomalii grawimetrycznej. Zakłada się, że nie ma mas nad geoida - redukcje usuwaja masy na różne sposoby deformujac potencjał, co nazywa się efektem pośrednim: przesunięcie geoidy co-geoida; wzór Brunsa: δn = δv γ Jeśli w takim podejściu uda się wyznaczyć T, to jest też W = T + U. Również wyznaczy się odstęp geoidy od elipsoidy inna postać wzoru Brunsa: N = T P γ Q Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 13 / 26

T z danych grawimetrycznych Rozwiazaniem tego zagadnienia jest całka Stokesa: T(φ, λ, r) = R S(ψ, r) g(φ, λ )dσ, 4π σ Dla geoidy w przybliżeniu sferycznym r = R (średni promień Ziemi): T(φ, λ) = R S(ψ) g(φ, λ )dσ, 4π σ gdzie funkcja Stokesa: S(ψ) = 1 sin ψ 2 6 sin ψ ( 2 + 1 5 cos ψ 3 cos ψ ln sin ψ 2 + ψ ) sin2 2 ψ - odlegość katowa między punktami (φ, λ) i (φ, λ ), g(φ, λ ) - wartość anomalii grawimetrycznej w punkcie (φ, λ ), a całkowanie wykonywane jest po sferze jednostkowej. Ze wzoru Brunsa N = T γ N(φ, λ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 14 / 26

Aby wyznaczyć wysokość geoidy w danym punkcie P Ziemi, należy wysumować (wycałkować) anomalie grawimetryczne z całej powierzchni Ziemi N(φ P, λ P ) = R 4πγ σ S(ψ) g(φ, λ )dσ N(φ P, λ P ) R 4πγ S(ψ P i ) g(φ i, λ i ) σ i gdzie γ jest średnim dla Ziemi przyspieszeniem normalnym, a funkcja Stokesa S(ψ) pełni tu rolę funkcji wagowej dla anomalii grawitacyjnych. i Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 15 / 26

Redukcje: Bouguera i Poincarego-Preya Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 16 / 26

ODCHYLENIE PIONU - kat θ, jaki tworza kierunki wektorów przyspieszeń g 0 i γ e Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 17 / 26

dn = θ ds N 2 N 1 θ s 12 Rzut odchylenia pionu na dowolny kierunek: N 2 N 1 ε s 12 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 18 / 26

Składowe odchylenia pionu: ξ rzut θ na południk (składowa północ-południe) η rzut θ na pierwszy wertykał (składowa wschód-zachód) ξ = Φ ϕ, η = (Λ λ) cos ϕ Φ, Λ współrzędne astronomiczne; ϕ szerokość geodezyjna Odchylenie w azymucie α: ε = ξ cos α + η sin α Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 19 / 26

Wzory Vening-Meinesza - składowe odchylenia pionu z danych grawimetrycznych ξ = 1 N R ϕ η = 1 N R cos ϕ λ ξ = 1 4πγ 2π π g(ψ, α)q(ψ) cos α dψdα 0 η = 1 4πγ 0 2π π g(ψ, α)q(ψ) sin α dψdα 0 0 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 20 / 26

Wysokości geopotencjalne, ortometryczne i normalne Liczba geopotencjalna C = W 0 W P = jednostka geopotencjalna: P gdh 1.g.p.u. = 1kgal 1m w tym systemie punkty leżace na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej geopotencjału (tzn. dla których potencjał Ziemi jest taki sam) maja tę sama wysokość. Wysokość ortometryczna (punktu P) odległość (punktu P) od geoidy (od poziomu morza) mierzona wzdłuż linii pionu rzeczywistego pola ciężkości Ziemi. Inaczej: jest to różnica potencjałów dla punktu P i poziomu morza podzielona przez przeciętna wartość przyspieszenia siły ciężkości wzdłuż linii pionu rzeczywistego 0 Wysokość normalna jest to różnica potencjałów dla puntu P i poziomu morza podzielona przez przeciętna wartość przyspieszenia normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 21 / 26

Wysokość ortometryczna H P = W 0 W P ḡ = C ḡ zwiazek wysokości ortometrycznej z liczba geopotencjalna Z pomiarów w ciagu niwelacyjnym wyznaczone jest C (= g i h i, C nie zależy od drogi łacz acej punkty 0 i P). Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 22 / 26

Wysokość normalna Koncepcja Mołodeńskiego wyznaczania wysokości (i ogólnie figury Ziemi) zwiazanie wysokości z elipsoida odniesienia i polem normalnym, aby obejść problemy zwiazane z nieznanym dokładnie rozkładem mas pod powierzchnia Ziemi H n = C γ = W 0 W P γ = U 0 U Q γ zwiazek wysokości normalnej z liczba geopotencjalna: γ jest wartościa średnia przyspieszenia normalnego na linii pionu pola normalnego. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 23 / 26

Zwiazek między wysokościa geodezyjna (elipsoidalna) h, wysokościa geoidy N i wysokościa ortometryczna H: h = N + H Zwiazek między wysokościa geodezyjna (elipsoidalna) h, anomalia wysokości ζ i wysokościa normalna H: h = ζ + H n Zależność między wysokościa geoidy N a anomalia wysokości ζ: N ζ = g B H γ quasi-geoida - powierzchnia zbliżona do geoidy taka, że jej odległość od elipsoidy odniesienia w każdym punkcie dana jest przez odpowiednia wartość ζ. Quasi-geoida nie jest powierzchnia ekwipotencjalna. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 24 / 26

Potencjał pływowy Księżyca w układzie geocentrycznym V p (ζ) = D K 4 3 P 2(cos ζ), gdzie D K = 3 4 GM R 2 K r 3 K jest stała pływowa Doodsona (dla Księżyca) ζ kat zenitalny, pod jakim z danego punktu Ziemi w danej chwili widoczny jest Księżyc Z V P wydziela się składniki zmieniajace się bardzo wolno, w szczególności tzw. pływ stały (permanent tide) ( 1 V perm D K 2 sin2 ε 1 ) ( ) 3 sin 2 ϕ 1 3 ε inklinacja względem płaszczyzny równika ziemskiego (od około 18 do 28 stopni ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 25 / 26

Poprawki pływowe Kwestia części permanentnej potencjału sił pływowych wielkości geodezyjne takie, jak wysokość geoidy, moga być w zwiazku z tym efektem redukowane na trzy sposoby: usuwa się zupełnie wpływ pola grawitacyjnego ciał niebieskich, ale nie koryguje się wywołanych przez nie deformacji Ziemi uzyskana geoida to geoida zerowa ( zero-geoid ) koryguje się deformacje Ziemi na podstawie modelu Ziemi elastycznej (liczby Love a) i usuwa wpływ pola grawitacyjnego ciał niebieskich uzyskana geoida to geoida uwolniona od pływów ( tide-free geoid ); nie mozna jednak empirycznie potwierdzić, czy model Ziemi elastycznej jest poprawny wcale nie sa redukowane uzyskana powierzchnia jest powierzchnia w równowadze w sensie hydrodynamicznym (i dlatego najlepsza powierzchnia dla celów oceanograficznych) nazywana jest geoida średnia ( mean geoid") Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 17 czerwca 2017 26 / 26