Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź D A B D C B B C C B A C D D C B C A D D C B D B B Zdnie 6. ( pkt) Rozwiąż nierówność xx 0. Rozwiąznie Rozwiąznie nierówności kwdrtowej skłd się z dwóch etpów. Pierwszy etp rozwiązni: Znjdujemy pierwistki trójminu kwdrtowego x x : podjemy je bezpośrednio, np. zpisując pierwistki trójminu lub postć iloczynową trójminu lub zznczjąc n wykresie x, x 0 lub x x lbo obliczmy wyróżnik tego trójminu: 9 4 0 9. Stąd x orz x 0. Drugi etp rozwiązni: Podjemy zbiór rozwiązń nierówności: 0 x lub 0, lub x 0, go ze szkicu wykresu funkcji f x x x. np. odczytując. Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... pkt gdy: zrelizuje pierwszy etp rozwiązni i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, np. o rozłoży trójmin kwdrtowy n czynniki liniowe, np. xx i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o obliczy lub pod pierwistki trójminu kwdrtowego x, x 0 i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o zznczy n wykresie miejsc zerowe funkcji f x x x i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności,
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy lbo relizując pierwszy etp popełni błąd (le otrzym dw różne pierwistki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rchunkowy przy obliczniu wyróżnik lub pierwistków trójminu kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdjący otrzymuje... pkt gdy: pod zbiór rozwiązń nierówności : 0, lub x 0, lub x0 i x lbo sporządzi ilustrcję geometryczną (oś liczbow, wykres) i zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci: x 0, x lbo pod zbiór rozwiązń nierówności w postci grficznej z poprwnie zznczonymi końcmi przedziłów. 0 x Kryteri ocenini uwzględnijące specyficzne trudności w uczeniu się mtemtyki. Akceptujemy sytucję, gdy zdjący poprwnie obliczy pierwistki trójminu x 0, x i zpisze, np. x 0,, popełnijąc tym smym błąd przy przepisywniu jednego z pierwistków, to z tkie rozwiąznie otrzymuje punkty.. Jeśli zdjący pomyli porządek liczb n osi liczbowej, np. zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci x,0, to otrzymuje punkty. Zdnie 7. ( pkt) Rozwiąż równnie x 6x x 7 0. I sposób rozwiązni (metod grupowni) Przedstwimy lewą stronę równni w postci iloczynowej stosując metodę grupowni wyrzów: x x 6 x 0 x x 6 x 6 0 x 6 x 0. lub Stąd x 6 lub x lub x. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... pkt gdy zpisze lew stronę równni w postci iloczynu, np. x 6 x x 6x x,, przy czym postć t musi być otrzymn w sposób poprwny, i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy.
4 Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Zdjący otrzymuje... pkt gdy wyznczy bezbłędnie wszystkie rozwiązni równni: x 6 lub x lub x. II sposób rozwiązni (metod dzieleni) Stwierdzmy, że liczb 6 jest pierwistkiem wielominu wielomin x 6x x 7 6 x x x 6 7. Dzielimy x. przez dwumin x. Otrzymujemy ilorz Zpisujemy równnie w postci x 6 x 0 x x x ztem x 6 lub x lub x. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni. Stąd 6 0 Zdjący otrzymuje... pkt gdy podzieli wielomin x 6x x 7 przez dwumin 6 x i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. x, otrzym ilorz Zdjący otrzymuje... pkt gdy wyznczy bezbłędnie wszystkie rozwiązni równni: x 6 lub x lub x Zdnie 8. ( pkt) Kąt jest ostry i tg. Oblicz sin cos. sin cos I sposób rozwiązni sin cos Dzieląc licznik i minownik ułmk przez cos i wykorzystując zleżność sin cos sin cos sin sin cos tg tg otrzymujemy cos cos. cos sin cos sin cos tg cos cos II sposób rozwiązni sin Wykorzystując zleżność tg zpisujemy sin cos cos. sin cos Przeksztłcmy sin cos, podstwimy do wyrżeni i wyznczmy jego sin cos wrtość: sin cos cos cos cos. sin cos cos cos cos
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy III sposób rozwiązni sin Wykorzystując zleżność tgα zpisujemy sin cos cos. sin sin cos Przeksztłcmy cos, podstwimy do wyrżeni i wyznczmy jego sin cos wrtość: sin sin sin sin sin cos sin sin sin. sin cos sin sin sin sin sin sin sin IV sposób rozwiązni Rysujemy trójkąt prostokątny, zznczmy kąt i wprowdzmy oznczeni. c Korzystjąc z definicji funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, zpisujemy sin, cos. c c sin cos Podstwijąc sin i cos, wyznczmy wrtość wyrżeni : sin cos sin cos c c c. sin cos c c c Schemt ocenini I, II, III i IV sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje pkt gdy sin cos podzieli licznik i minownik ułmk przez cos, zpisze ten ułmek sin cos w postci tg i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy tg lbo cos cos zpisze zleżność sin cos, doprowdzi ułmek do postci i n cos cos tym poprzestnie lub dlej popełni błędy lbo sin sin sin zpisze zleżność cos, doprowdzi ułmek do postci i n sin sin tym poprzestnie lub dlej popełni błędy 5
lbo lbo lbo Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego o przyprostokątnych długości i (nwet z błędem rchunkowym) orz zpisze sin i n tym c poprzestnie lub dlej popełni błędy obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąt prostokątnego o przyprostokątnych długości i (nwet z błędem rchunkowym) orz zpisze cos i n tym c poprzestnie lub dlej popełni błędy nrysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i, obliczy długość przeciwprostokątnej, zznczy w tym trójkącie poprwnie kąt i obliczy sinus lub cosinus tego kąt, i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. 6 Zdjący otrzymuje pkt sin cos gdy poprwnie wyznczy wrtość wyrżeni : sin cos. Uwgi. Jeśli zdjący przyjmie, że sin i cos, to otrzymuje 0 punktów.. Wszystkie rozwiązni, w których zdjący błędnie zznczy kąt n przedstwionym przez siebie rysunku i z tego korzyst ocenimy n 0 punktów.. Jeśli zdjący odczyt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 6 orz zpisze sin 6 0,890 lub cos6 0,4540 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy, to otrzymuje punkt. 4. Jeśli zdjący odczyt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 6 orz zpisze sin 6 0,890 lub cos6 0,4540 i obliczy wrtość wyrżeni sin cos 0,49, to otrzymuje punkty. sin cos 5. Jeśli zdjący odczyt z tblic wrtość kąt, dl którego tg : 64 orz zpisze sin 64 0,8988 lub cos64 0,484 i obliczy wrtość wyrżeni sin cos 0,44, to otrzymuje punkty. sin cos Zdnie 9. ( pkt) W tbeli zestwiono oceny z mtemtyki uczniów klsy A n koniec semestru. Ocen 4 5 6 Liczb ocen 0 4 9 x Średni rytmetyczn tych ocen jest równ,6. Oblicz liczbę x ocen brdzo dobrych (5) z mtemtyki wystwionych n koniec semestru w tej klsie.
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Rozwiąznie: Obliczmy średnią rytmetyczną ocen zestwionych w tbeli 0 4 94 x5 6. 0 4 9 x Poniewż t średni rytmetyczn jest równ,6. Ztem otrzymujemy równnie 0 4 9 4 x5 6,6. 0 4 9 x 5x 9 8 Stąd otrzymujemy x 7 5 5 5x9 8 x 7, 5x 465 8x 486, 7x, x. 7 Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... pkt gdy: zpisze równnie pozwljące obliczyć liczbę ocen brdzo dobrych i n tym poprzestnie lub dlej popełni błąd, np.: 0 4 94 x5 6,6 lub 4 9 4 x 5 6,6 0 4 9 x 0 4 9 x lbo zpisze równnie pozwljące obliczyć liczbę ocen brdzo dobrych, le popełni błąd przy przy przepisywniu dnych. Zdjący otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę ocen brdzo dobrych:. Uwg Jeśli zdjący odgdnie, że liczb ocen brdzo dobrych jest równ, i sprwdzi to, wykonując odpowiednie obliczeni, to otrzymuje punkty. Zdnie 0. ( pkt) Uzsdnij, że jeżeli jest liczbą rzeczywistą różn od zer i to 7. I sposób rozwiązni Równość podnosimy obustronnie do kwdrtu i przeksztłcmy równowżnie 9, 9. Stąd 7.
8 Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... pkt gdy podniesie równość obustronnie do kwdrtu: popełni błędy. i n tym zkończy lub dlej Zdjący otrzymuje... pkt gdy obliczy wrtość wyrżeni II sposób rozwiązni Wyrżenie Ztem : 7. zpisujemy w postci 9 7.. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... pkt gdy zpisze zleżność między sumą lub dlej popełni błędy., kwdrtem sumy i n tym zkończy Zdjący otrzymuje... pkt gdy obliczy wrtość wyrżeni : 7. Zdnie. ( pkt) Długość krwędzi sześcinu jest o krótsz od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcinu. I sposób rozwiązni Sporządzmy rysunek pomocniczy i wprowdzmy oznczeni: długość krwędzi sześcinu, d długość przekątnej podstwy sześcinu, d d d długość przekątnej sześcinu.
Stosując twierdzenie Pitgors otrzymujemy: Stąd d lub d. Poniewż d rozwiązujemy równnie: Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy d orz d 6 d i otrzymujemy d lub d lbo i otrzymujemy lub. Wyznczmy długość przekątnej sześcinu: d. d d. 9 Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... pkt gdy zpisze równnie pozwljące obliczyć długość przekątnej d d lub i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... pkt 6 gdy obliczy długość przekątnej: d lub d. II sposób rozwiązni Sporządzmy rysunek pomocniczy i wprowdzmy oznczeni: długość krwędzi sześcinu, d długość przekątnej sześcinu. d Korzystmy z zleżności d. Poniewż d rozwiązujemy równnie: d d i otrzymujemy d d Wyznczmy długość przekątnej sześcinu: lub d. d lub d. d
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Schemt ocenini II sposobu rozwiązni 0 Zdjący otrzymuje... pkt gdy zpisze równnie pozwljące obliczyć długość przekątnej d d d d i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. lub Zdjący otrzymuje... pkt 6 gdy prwidłowo obliczy długość przekątnej: d lub d lub d lub 48 d. 4 Zdnie. (5 pkt) Dne są dwie prostokątne dziłki. Dziłk pierwsz m powierzchnię równą 6000 m. Dziłk drug m wymiry większe od wymirów pierwszej dziłki o 0 m i 5 m orz powierzchnię większą o 50 m. Oblicz wymiry pierwszej dziłki. I sposób rozwiązni Niech x ozncz długość jednego z boków pierwszej dziłki, y długość drugiego boku dziłki pierwszej, wtedy pole powierzchni dziłki pierwszej jest równe x y. Stąd mmy równnie xy 6000. Wtedy x 0 ozncz długość jednego z boków dziłki drugiej, y 5 długość drugiego boku dziłki drugiej, zś pole powierzchni tej dziłki jest równe 6000 50 850. Otrzymujemy ztem równnie x y 0 5 850. xy 6000 Zpisujemy ukłd równń x0 y5 850 Z pierwszego równni wyznczmy 6000 y x x 6000 6000 x y podstwimy do drugiego równni i rozwiązujemy 0 5 850 x Przeksztłcmy to równnie do równni kwdrtowego, np. x 40x 4000 0. 9600 6000 600 60 40 60 40 60 x 40 lub x 00 Obliczmy y: 6000 0 y 5 850 y Przeksztłcmy to równnie do równni kwdrtowego, np. y 0y 9000 0. 4400 6000 800 90 0 90 0 90 y 60 lub y 50 Obliczmy x:
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy 6000 6000 6000 6000 y 50 lub y 60. x 00 lub x 40. 40 00 60 50 Odp. Pierwsz dziłk mił wymiry 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m. II sposób rozwiązni Niech x ozncz długość jednego z boków pierwszej dziłki, y długość drugiego boku dziłki pierwszej, wtedy pole powierzchni dziłki pierwszej jest równe x y. Stąd mmy równnie xy 6000 Wtedy x 0 ozncz długość jednego z boków dziłki drugiej, y 5 długość drugiego boku dziłki drugiej, zś pole powierzchni tej dziłki jest równe 6000 50 850. Otrzymujemy ztem równnie x y Zpisujemy ukłd równń 0 5 850 xy 6000 x0 y5 850 xy 6000 Stąd otrzymujemy kolejno x y 5x 0y 50 850 xy 6000 6000 5x0y50 850 xy 6000 5 x0y 00 0 Równnie 5x0y 00 0 dzielimy obustronnie przez 5. Otrzymujemy x y 40 0, stąd wyznczmy y x 0 x y 40 podstwimy do pierwszego równni i rozwiązujemy x x 0 6000 0 6000 0 x x x 40x 4000 0 40 6000 y y 40 6000 0 y y y 0y 9000 0 9600 6000 600 60 4400 6000 800 90 40 60 40 60 x 40 lub x 00 0 90 0 90 y 60 lub y 50 Obliczmy y: Obliczmy x: 6000 6000 y 50 lub y 60 6000 6000. x 00 lub x 40. 40 00 60 50 Odp. Pierwsz dziłk mił wymiry 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m.
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Schemt ocenini I i II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... pkt Zpisnie jednego z równń: x y 6000 długości boków pierwszej dziłki. Uwg lbo x y 0 5 850, gdzie x, y oznczją Nie wymgmy opisni wprowdzonych oznczeń, jeżeli z rozwiązni możn wywnioskowć, że zdjący poprwnie je stosuje. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... pkt Zpisnie ukłdu równń z niewidomymi x i y xy 6000. x0 y5 850 Pokonnie zsdniczych trudności zdni... pkt Zpisnie równni z jedną niewidomą x lub y, np: x 6000 0 5 850 x 40 6000 y y lub Uwg 6000 0 5 850 lub y lub y x 40x 4000 0 lub y 0y 9000 0. x x 0 6000 lub Zdjący nie musi zpisywć ukłdu równń, może bezpośrednio zpisć równnie z jedną niewidomą i wówczs jego rozwiąznie zostnie zkwlifikowne co njmniej do ktegorii Pokonnie zsdniczych trudności. Rozwiąznie zdni do końc lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np. błędy rchunkowe)...4 pkt lbo lbo lbo rozwiąznie równni z niewidomą x i nieobliczenie drugiego boku dziłki, rozwiąznie równni z niewidomą y i nieobliczenie pierwszego boku dziłki, popełnienie błędu rchunkowego w rozwiązniu równni z jedną niewidomą (le otrzymnie dwóch rozwiązń) i konsekwentne do popełnionego błędu obliczenie wymirów dziłek, obliczenie wymirów dziłki tylko w jednym przypdku. Rozwiąznie pełne...5 pkt Obliczenie wymirów dziłki pierwszej: dziłk pierwsz m wymiry 40 m n 50 m lub 00 m n 60 m.
Uwg Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Jeżeli zdjący odgdnie wymiry dziłki w co njmniej jednym przypdku, to otrzymuje punkt, nwet w sytucji, gdy dokonuje systemtycznego przeszukiwni rozwiązń cłkowitych. Zdnie. (4 pkt) Punkty A, 5, B, i, 4 ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku. I sposób rozwiązni Wyznczmy równnie prostej AB: y x 4. C są kolejnymi wierzchołkmi równoległoboku Wyznczmy równnie prostej CE prostopdłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C: y x 6 Obliczmy współrzędne punktu E (przecięci prostych AB i CE) rozwiązując ukłd równń: y x4. y x 6 Rozwiązniem ukłdu jest: x 5, Obliczmy długość odcink AB: y. Stąd 5, E. AB 4 4 4. CE 5 4 8. Obliczmy długość odcink CE: Ztem pole równoległoboku jest równe: P AB CE 4 4. ABCD Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... pkt Obliczenie długości odcink: AB 4. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie współrzędnych punktu E: 5, E. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... pkt Obliczenie wysokości równoległoboku: CE. Uwg Zdjący może obliczyć wysokość równoległoboku wykorzystując wzór n odległość wierzchołk C od prostej AB. Rozwiąznie pełne...4 pkt Obliczenie pol równoległoboku: PABCD 4.
II sposób rozwiązni Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Zuwżmy, że pole równoległoboku ABCD jest równe podwojonemu polu trójkąt ABC. Pole trójkąt ABC obliczmy ze wzoru: PABC xb xa yc ya yb ya xc xa. Obliczmy pole równoległoboku: PABCD PABC xb xa yc ya yb ya xc xa 4 5 5 49 4 4 4. 4 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... pkt Zuwżenie, że P P. ABCD ABC Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... pkt Zstosownie wzoru n pole trójkąt: P x x y y y y x x ABC B A C A B A C A Pokonnie zsdniczych trudności zdni... pkt Obliczenie pol trójkąt: Rozwiąznie pełne...4 pkt Obliczenie pol równoległoboku: PABCD 4. Zdnie 4. (4 pkt) Objętość ostrosłup prwidłowego trójkątnego ABCS (tk jk n rysunku) jest równ 7, promień okręgu wpisnego w podstwę ABC tego ostrosłup jest równy. Oblicz tngens kąt między wysokością tego ostrosłup i jego ściną boczną. S C A Rozwiąznie B Oznczmy: długość boku trójkąt równobocznego ABC, w który wpisno okręg o promieniu r, H wysokość tego ostrosłup,
Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy mir kąt między wysokością ostrosłup i jego ściną boczną. Poniewż r, to 4. 6 Objętość ostrosłup prwidłowego trójkątnego ABCS jest równ 7, ztem 4 H 7. 4 Obliczmy wysokość ostrosłup H: 48 H 7, stąd Zuwżmy, że tg r H, stąd tg 6 9. 7 H 6. 4 5 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni... pkt Zznczenie kąt między wysokością ostrosłup i jego ściną boczną lub wybór włściwego kąt do dlszych obliczeń. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie długości boku trójkąt ABC: 4. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... pkt Obliczenie wysokości ostrosłup ABCS: H 6. Rozwiąznie pełne... 4 pkt Obliczenie tngens kąt między wysokością ostrosłup i jego ściną boczną: tg. 9