Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Języ prawdopodobeństwo jego rozład Pojęce rozładu prawdopodobeństwa lczby z totolota jao zmee losowe o rozładze sretym zmea losowa częstoścowa defcja rozładu prawdopodobeństwa warue uormowaa prawdopodobeństw cyfry z umerów telefoów wypad erowców lońsch autobusów przyład zmeej losowej o esończoej lczbe moŝlwych wartośc strybuata sreta zmea losowa rozład jedostajy cągła zmea losowa ostrucja gęstośc przez podwóje przejśce gracze uormowae, strybuata rysue rozładu terpretacja grafcza przyład: cągły rozpad czas oczewaa a metro rozład, strybuata, rysu przyład: prawo rozpadu jąder promeotwórczych rozład, strybuata, rysu Uład pewów rachuu prawdopodobeństwa Zadae Cztery osoby, opatrzoe umeram, 3, sadają przypadowo a trzech rzesłach ozaczoych tym samym umeram Wypsz postać wszystch zdarzeń elemetarych Zajdź prawdopodobeństwo P, Ŝe lczba,,,3 osób usądze a swoch rzesłach Przyła przestrze zdarzeń elemetarych: rzucając jedorote moetą (e oecze rzetelą), moŝemy otrzymać bądź orła bądź reszę mamy do czyea z dwoma zdarzeam elemetarym oe budują całą przestrzeń Jeśl wyoamy dwa oleje rzuty, przestrzeń rozrasta sę do czterech elemetów, będących param zdarzeń: (orzeł, orzeł), (orzeł, resza), (resza, orzeł) (resza, resza); losując z Rocza Statystyczego dowola lczbę wyberając jej perwszą cyfrę, przestrzeń Ω zdefowaa jest przez dzewęć elemetów, zwaych,,, 9; wyberając dowolą cyfrę z sąŝ telefoczej, poruszamy sę w przestrze Ω dzesęcu zdarzeń elemetarych; w losowau szczęślwych umerów totolota, aŝda szósta lczb spośród czterdzestu dzewęcu staow zdarzee elemetare Przestrzeń ta słada sę z 3 983 86 elemetów dom w czase burzy moŝe być trafoy przez poru jede, dwa, trzy, razy, ja róweŝ moŝe omąć go to wydarzee Przestrzeń zdarzeń elemetarych słada sę ze zdarzeń zadających rotość ścągęca wyładowaa atmosferyczego a wybray bue Choć trudo am sobe wyobrazć, Ŝe dom zostae trafoy esończoa lczbę razy, to jeda moŝemy sobe wyobrazć, Ŝe astąp to p razy, a jeśl dopuścmy trafeń, to a pewo zgodzmy sę a, td ; lczba lat Ŝyca, jae ma przed sobą aŝ oworode, moŝe przyjmować wartośc,,, 3, KaŜda z tych lczb opsuje zdarzee elemetare przestrzeń zdarzeń, jach dośwadczamy oczeując a tasówę KaŜ z jej elemetów ma postać cągu, w tórym występuje pewa lczba (taŝe będąca zerem) zdarzeń esprzyjających, zaończoych jem zdarzeem sprzyjającym we pary małŝoów opsujemy parą lczb (,j), gdze to lczba lat przeŝytych przez ą, a j to lczba lat przeŝytych przez ego Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest tu sreta dwuwymarowa; czas oczewaa a wyśwetlee stroy WWW moŝe być dowolą lczbą dodatą KaŜda taa lczba prezetuje sobą zdarzee elemetare, a zdarzeń tych mamy esończoą lczbę e są oe srete; przy grze w strzał, zdarzeem elemetarym jest trafee w tarczę aŝde tae zdarzee moŝemy opsać przy pomocy pary lczb p przez podae współrzęch artezjańsch (,y), ale teŝ promea r ąta azymutalego ϕ w wybraym uładze odesea Zdarzea losowe: ostruujemy przy pomocy operacj teoromogoścowych, tj praw: przemeośc: A B B A, A B B A, łączośc:, A B C A B C A B C A B C A B C A B C, de Morgaa: A B A B, A B A B, rozdzelośc: A ( B C) ( A B) ( A C), A ( B C) ( A B) ( A C) Zdarzea losowe: pewe emoŝlwe Pew KaŜdemu zdarzeu losowemu A przypsujemy lczbę P(A), zwaą prawdopodobeństwem tego zdarzea, tóra jest eujemą mejszą bądź rówą jedośc: P(A) Pew Prawdopodobeństwo zdarzea pewego jest rówe jedośc: P(Ω) Pew 3 Prawdopodobeństwo u esluzywych zdarzeń losowych A oraz B, czyl tach, dla tórych A B, jest rówe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń: P(A B) P(A) + P(B) P A P A (bo: A (e A) Ω) Prawo dodawaa prawdopodobeństw:
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Prawdopodobeństwo sumy zdarzeń erozłączych: P ( A B) P ( A) + P ( B) P ( A B) ( ) Ω A A B B A A B A A B A B A B A B A B Koleje zdarzea są rozłącze, węc: P ( A B) + P ( A B) + P ( A B) + P ( A B) a poewaŝ: A A Ω A ( B B) ( A B) ( A B), czyl: P ( A) P ( A B) + P ( A B) P ( A B) P ( A) P ( A B) Podobe: B Ω B ( A A) B ( A B) ( A B) czyl: P ( B) P ( A B) + P ( A B) P ( A B) P ( B) P ( A B) Dalej aleŝy podstawć sorzystać z: P ( A B) P ( A B) P ( A B) Asjomatycze podejśce e mów ja wygląda przestrzeń zdarzeń elemetarych le wyoszą prawdopodobeństwa te trzeba oreślć samemu Prawdopodobeństwo waruowe Problem te zaczyam od omówea trzech typów zdarzeń: Wzmacae prawdopodobeństwa przez warue: (przyjdę a wyład moje og w sal wyładowej w godze wyładu); (blo błęte oczy), ( 6 parzysta lczba ocze), (ra płuc palacz paperosów) Osłabae prawdopodobeństwa przez warue: (bruet błęte oczy), (obeta uczeca techum samochodowego) Neutralość waruu: (ja łamę ogę studet łame ogę), ( 6 a ostce poedzałe), Rysuję ratę moŝlwośc: wszyscy ludze (w lczbe N) to: męŝczyź (w lczbe M) daltośc (w lczbe M D ) bez tej przypadłośc (w lczbe M N ) oraz obety (w lczbe K) daltost (w lczbe K D ) obety bez tej przypadłośc (w lczbe K N ), astępe borę studeta aŝę mu apsać dowoly wybray przez ego stosue dwóch lczb zterpretować go jao prawdopodobeństwo Zwracam uwagę a rozróŝee mędzy: losowo wybraa osoba jest, a losowo wybraa obeta jest Defcja prawdopodobeństwa waruowego: P(A B) P(A B)P(B) Zadae Grupa studetów zdaje egzam z matematy ze statysty Matematyę zdało (zdarzee M) 75% zaś statystyę (zdarzee S) 7% studetów Wadomo taŝe, Ŝe oba egzamy zdało 6% studetów Wyzacz prawdopodobeństwa zdarzeń: P(M S) - studet zdał matematyę, jeśl zdał statystyę, P(S M) - studet zdał statystyę, jeśl zdał matematyę, 3 P(e M S) - studet e zdał matematy, jeśl zdał statystyę, 4 P(e S M) - studet e zdał statysty, jeśl zdał matematyę, 5 P(M e S) - studet zdał matematyę, jeśl e zdał statysty, 6 P(S e M) - studet zdał statystyę, jeśl e zdał matematy, 7 P(e S e M) - studet e zdał statysty, jeśl e zdał matematy, 8 P(e M e S) - studet e zdał matematy, jeśl e zdał statysty Rozwązae P ( M S ),6 6 P ( M S ), P S,7 7 P ( S M ) ( S ) P ( M ) P M,6 4,,75 5 6, 7 7 P S M 4, 5 5 3 P ( M S ) P ( M S ) 4 P ( S M ) P M S P S M P M S P ( S ) P ( S ) ( ) P ( S ) P M S P S M P M P S M P M,8, 75,5,7,3 6 7 P M S P M S P S P M S P S 7,, 75, 5 5 P ( M ) P ( S ) P ( M ) P ( S ) ( ) P ( M ) P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,3,3
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 3 P S M P ( M ) P ( M ) P M S P M S, 75, 7 +, 6,5 3,5,5 5 Prawo moŝea prawdopodobeństw: P ( A B) P ( A B) P ( B) P ( B A) P ( A) Twerdzee Bayesa Wzór a prawdopodobeństwo całowte wyweść formułę odwołując sę do zboru zdarzeń rozłączych wyczerpujących: P ( A) P ( A B ) P ( B ) Zadae N zdarzee: adao bt, N zdarzee: adao bt, O zdarzee: odebrao bt, O zdarzee: odebrao bt Prawdopodobeństwo zeształcea: ε ( P(O N ) P(O N )), prawdopodobeństwo p ( P(N )) wysył btu Ile wyos prawdopodobeństwo poprawego odboru? Ile wyos prawdopodobeństwo P(O ) odboru btu? Twerdzee Bayesa Zadae Jede z testów obecośc w rw wrusa HIV wyazuje pozytywy rezultat w 97% przypadów osób zaraŝoych tą chorobą myle wsazuje a jego obecość w rw osób zdrowych w,4% przypadów Jae jest prawdopodobeństwo, Ŝe osoba u tórej wyryto tym testem obecość wrusa HIV jest fatycze chora, jeśl wadomo Ŝe,5% populacja cerp a tę chorobę? Rozwązae Nech: P(C) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest chora P(C),5, P(Z) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest zdrowa: P(Z) - P(C), P(+) ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe test daje wy pozytywy, P(+ C) prawdopodobeństwo waruowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ C),97, P(+ Z) prawdopodobeństwo waruowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ Z),4, Poszuujemy P(C +), czyl prawdopodobeństwo waruowe, Ŝe osoba u tórej test dał pozytywą odpowedź jest fatycze chora Z twerdzea Bayesa mamy: P P C + ( + C) P( C) P ( + ) P( + C) P( C), 97, 5 ( + ) + ( + ), 97, 5 +, 4 (, 5) P C P C P Z P Z P Twerdzee Bayesa w pełej forme ( A B ) P ( B ) P B A j ( j ) P ( B j ) P A B, 55 Zdarzea ezaleŝe Zadae Oto (jaoby prawdzwa) hstoryja Dwóch studetów w przeddzeń olowum z rachuu prawdopodobeństwa utracło umar zabawało sę zbyt długo a mpreze suto zaprawaej aloholem PoewaŜ zaspal e stawl sę a olowum, astępego da usprawedlwal sę przed wyładowcą, tłumacząc, Ŝe e zdąŝyl dojechać, gŝ ch samochód złapał gumę Wyładowca zgodzł sę urządzć m wduale olowum Ozaczoego da posadzł ch w róŝych poojach aŝdemu z ch wręczył artę z zadaam Na artce było tylo jedo pytae: tóre oło mało gumę? Ile wyos prawdopodobeństwo zgodej odpowedz studetów? ezaleŝość statystycza zdarzeń prawdopodobeństwo loczyu zdarzeń ezaleŝych Zadae Day jest zbór lczb całowtych,,3,, Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 3? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 7? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela zarówo przez 3 ja przez 7? Czy zdarzee: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 3 jest statystycze ezaleŝe od zdarzea: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 7? RozwaŜ to samo zadae, g zbór lczb rozszerzymy o lczbę Zdarzea rozłącze to zdarzea statystycze zaleŝe!!! prawdopodobeństwo sumy ezaleŝych statystycze zdarzeń Zadae Prawdopodobeństwo p zestrzelea samolotu jem strzałem z jedego dzała wyos, Zajdź prawdopodobeństwo zestrzelea salwą ze stu ezaleŝe jedocześe strzelających dzał Rozła fucj zmeych losowych przeształcee jedozacze Zadae
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 4 Dysreta zmea losowa opsaa jest rozładem: P( ) ¼, P( ) /8, P( ) /8 P( ) ½ Podaj rozład zmeej losowej m Zmea cągła Zadae Oblcz całę: s d Rozład prędośc cząstecze gazu dosoałego (rozład Mawella): 3 m m 4π ep, f π T < T Jaą ma postać rozład eerg E etyczej tych cząstecze? Wypszmy wyraŝee a strybuatę tego rozładu wyraźmy ją przez eerge etyczą 3 v 3 v m m e F ( v) P ( v) f ( ) d 4π ep d e m ; ; d de π T T m me sąd: E E m e e e 4π ep de e ep de P ( e E) F ( E ), π T m T me 3 π T g E Ogóle formale sąd ( T ) 3 ( T ) df E E E ep de π T Do domu: udowodć uormowae!!! h ( u) z y w( z) y dh ( ) ( ), F z f d u h w f h u du g u du P u y F y du dh w( ) y d du du co często zapsujemy proścej jeśl przeształcee zapszemy w forme ( y) df dh g ( y) f ( h ( y) ), d g y f y, Zadae Day jest uład wadratów o bou, tóry ma rozład jedostajy w przedzale [; ] Zajdź rozład powerzch S tych wadratów Naszcuj te rozład Zmea zadaa przez strybuatę y F h y F y oraz Nech, gdze F ( ) jest strybuatą pewego rozładu f ( ), wte d df g ( y) f ( ( y) ) f ( ( y) ) f ( ( y) ) f ( ( y) ) df f ( ( y) ) d F ( y) Nech f ( ) λ ep( λ) Wte y F ( ) λ ep ( λ ') d ' ep( λ) Ta węc, jeśl zmea ma rozład wyładczy, to zmea y ma rozład jedostajy, a tym samym odwrote, jeśl zmea y ma rozład jedostajy, to zmea l ( y ) λ będze mała rozład wyładczy oreśloy parametrem λ Zasadz przy zamae zmeej ujema pochoda ejedozaczość rozwązań Przyład d Oblcz całę ( )
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 5 Rozwązae y + ( ) d y ( y) y ( y) y y y d Przyład Day jest rozład f ( ), < a a a ( ) Wyzacz rozład zmeej y a Rozwązae d g ( y) f ( ( y) ), a y ay <, co zapsujemy w postac d g ( y) f ( ( y) ), y a ay < + + Przyład Dysreta zmea losowa opsaa jest rozładem: P( ) ¼, P( ) /8, P( ) /8 P( ) ½ Podaj rozład zmeej losowe m Przyład Rozład Gaussa N(; µ, σ), parametry, uormowae Wprowadzć pojęce rozładu stadaryzowaego: N(z;, ) Wyzaczamy rozład zmeej losowej y dla rozładu stadaryzowaego N(;, ) Odwracae zaleŝośc y prowadz as do dwóch wyraŝeń: y, g jest ujeme, oraz y, g jest dodate G zmea jest ujema, fucja rozładu przeształca sę wg formuły: d g ( y) N ( ( y) ;,) N ( y;, ), y y < co odwracając grace, zapszemy jao g ( y) N ( y;, ), y < y Dla obszaru dodatch wartośc mamy bez omplacj: g ( y) N ( y;, ), y < y Ostateczy wy otrzymujemy sumując: g ( y) N ( y;, ) + N ( y;, ) ( N ( y;, ) + N ( y;, )) N ( y;,) y y y y Otrzymalśmy tzw rozład χ o jem stopu swobo Wzór ogóly: d d d g ( y) f ( ( y) ) + f ( ( y) ) + + f ( ( y) ) gdze ( y ) to oleje rozwązaa rówaa y h ( ) Wartość oczewaa średa wartość oczewaa średa zmeej sretej przyład z lczbą dzec przejśce gracze Zadae Koło rulet w Las Vegas ma 38 pól poumerowaych,,,,, 36 Jeśl grający postaw dolara a jedą z 36 lczb ta lczba wypade, otrzymuje zwrot swego dolara, ja róweŝ dodatowo 35 dolarów, w przecwym raze trac postawoego dolara Ile wyos oczewaa wygraa w tam systeme? wartość oczewaa sretej zmeej losowej z rozładu jedostajego - wartość oczewaa e mus być lczbą całowtą! (przyład - oczewaa lczba ocze a ostce) wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu dwumaowego wartość oczewaa średa cągłej zmeej losowej przejśce gracze wartość oczewaa cągłej zmeej losowej z rozładu jedostajego wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu Gaussa wartość oczewaa fucj w() zmeej losowej Dygresja matematycza ja róŝczujemy fucję odwrotą: Nech y h (), le wyos pochoda /d dh ()/d?
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 6 dh h h lm lm lm d y y h ( y ) h ( y) dh ( y) h ( ) h ( ) y y Przyład: y h () tg () arctg(), czyl h(y) tg(y) d arctg ( ) cos ( y) arctg d y d tg + ( y) + tg y y arctg( ) cos y arctg y arctg y Nech podlega rozładow f() Wprowadzamy zmeą y daą zwązem y w() h - (), czyl h(y), dh sąd zajdujemy rozład g ( y) f h ( y) y poszuujemy wartośc oczewaej z defcj: dh dh yg ( y) yf ( h ( y) ) y w( ), h ( y), d d dh d dh w f d w f d w ( ) dh wartość oczewaa pola wadratów a dwa sposoby Pomar pola S µ powerzch wadratu o dołam bou µ Rezultat pomaru:, przy czym µ Nech podlega rozładow jedostajemu f ( ), µ µ + Wyzaczamy pole wadratu Ŝ Ile wyos wartość oczewaa Ŝ ta wyzaczoego pola powerzch? Wyzaczmy ajperw fucję rozładu g(s) pola powerzch d g ( S ) f ( ( S )), ds S 4 S oblczmy wartość oczewaą Sˆ A teraz bezpośredo ( µ + ) ( µ + ) S ( µ + ) 3 3 ds SdS S S ( µ ) ( µ ) µ 4 S 4 4 3 µ 6 3 ( µ ) ( µ ) + + µ + µ + ˆ 3 S d µ + 6 µ 3 µ defcja ezaleŝośc statystyczej zmeych losowych wartość oczewaa ombacj lowej zmeych losowych: z a + by + c: <z> a<> + b<y> + c defcja pojęca prób prostej wartość średa z prób prostej jao estymator wartośc oczewaej µ µ µ wartość oczewaa dzwej średej arytmetyczej ɶ + + + + statysty, estymatory estymaty + + + + medaa wartość oczewaa y h ( ) medaa moda jao mary cetralośc Waracja, spersja epewość stadardowa σ defcja waracj spersj cągłej sretej zmeej erówość Czebyszewa P c µ εh ε alteratywa postać: V() - waracja zmeej losowej z rozładu dwumaowego
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 7!! m p p p ( p)!! ( )!( )! m + ( )! m m ( m) m m m p m + p p p + p p +!! a stąd: ( ) ( ( ) ) ( ) V p p + p p p + p p p waracja cągłej zmeej losowej z rozładu jedostajego waracja zmeej losowej z rozładu Gaussa Ja całować? Wsazówa z postac rozładu mamy: π di I ( α ) ep( α ) d, gdze α, a stąd: ep ( ) d α σ α dα waracja ombacj lowej ezaleŝych statystycze zmeych losowych waracja średej arytmetyczej waracja dzwej średej arytmetyczej wartość oczewaa wadratu odchylea stadardowego estymator eobcąŝoy obcąŝoy przypomeć przyład z wartoścą oczewaą pola wadratu, gresja o welośc S ( ) V ( ) 4 3 s V ( ) ( ) średa waŝoa przypomee zgodość statystycza pomarów (cału turyńs) Momety fucj zmeych losowych pomary złoŝoe złoŝoa epewość stadardowa przypade jedej fucj jedej zmeej rozwęce do wyrazów lowych Merzymy welość fzyczą µ W rezultace pomaru otrzymujemy zmeą losową o rozładze f(), wartośc µ g µ ocey waracj tej welośc oczewaej µ oraz waracj V() Poszuujemy ocey welośc RozwaŜmy fucję g(), tórą rozwemy woół putu µ do wyrazów lowych włącze dg g ( ) g ( µ ) + ( µ ) g ( µ ) + g '( µ )( µ ) d µ oblczmy wartość oczewaą obu stro g g µ + g ' µ µ g µ ( ) ( ) ( ) Wdzmy, Ŝe poszuwaa welość µ g ( µ ) wyos µ g ( µ ) g ( ) W dośwadczeu: Oblczymy teraz warację W dośwadczeu: ˆ µ g ( '( µ )) ( µ ) '( µ ) ( ) ( ( )( )) V ˆ µ g g g µ + g ' µ µ g µ g ' µ µ ( ) g g V ( µ ) ˆ ( µ ) Dˆ V s g s ˆ ˆ ˆ µ ' złoŝoa epewość stadardowa przypade jedej fucj statystycze ezaleŝych zmeych Kowecje dotyczące zapsu ˆ µ ± s reguły cytowaa wyów 4 3 4 3 V ( s ) V V ( ) 3 V 3 s Dla rozładu Gaussa ( ) 4 4 3 3σ 3 4 σ 4 V 3 3 σ σ 3 3 V s ( ) ( ) PoewaŜ, dla y, D(y) <>D(), węc D(s ) σd(s ), sąd D(s ) D(s )/(σ), czyl
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 8 D s σ σ σ σ ( ) e mary rozproszea odchylee średe, odstęp mędzywartylowy, FWHM Rozład dwumaowy próba Beroullego schemat Beroullego rozład ujemy dwumaowy bądź dwumaowy postać rozładu dwumaowego przyład z lczbą studete wśród studetów przyład z lczbą chłopców w rodzach welodzetych Zmea ˆ p u l B l p + ( ) l ( p) l + l ( p) p własośc rozładu dwumaowego ormalzacja, moda, ształt Pewa la lotcza stwerdzwszy, Ŝe 96% upujących blety pojawa sę a lotsu, przyjęła poltyę polegającą a sprzedaŝy stu bletów a samolot, tóry ma tylo 98 mejsc Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wszyscy, tórzy przyjdą a lotso, zajdą mejsce w samoloce? Rozwązae Lczba 96% podpowada am, Ŝe losowo wybray let tej frmy staw sę a lotsu z prawdopodobeństwem p,96 Sto sprzedaych bletów to lczba prób, jae podejme stu pasaŝerów Tym samym, lczba osób, tóre przybędą a lotso, oreśloa jest rozładem dwumaowym, o ta właśe oreśloych parametrach Wszyscy, tórzy pojawą sę a lotsu, odlecą, o le chętych będze co ajwyŝej tylu, le jest mejsc w samoloce Prawdopodobeństwo taego zdarzea oreśloa jest przez 98! 99! P ( 98 ) B (, p) B 99 (, p) B (, p) p ( p) p, 93 99!!!! Poltya przyjęta przez le lotczą ozacza śwadome godzee sę a to, Ŝe w przyblŝeu raz a rejsów, jej przedstawcel a lotsu będze musał przepraszać rozserdzoego pasaŝera, przy czym raz a ooło 6 rejsów będze to dwóch wyprowadzoych z rówowag pasaŝerów własośc rozładu dwumaowego estymacja parametru p momety wartość oczewaa spersja ułame lczby studetów epalących, ułame lczby głosujących, estymator parametru p: pˆ / estymator s waracj V() p( p) zmeej losowej z rozładu dwumaowego Spróbujmy ( ) s pˆ pˆ oblczmy wartość oczewaą ˆ ( ˆ ) ( ˆ ˆ s p p p p ) p p ( V ( ) p ) + p ( p ( p) + p ) p ( p) p p p + p p p stąd: s ˆ ( ˆ p p) s ˆ ˆ ˆ p p p przyład czy steje uprzywlejoway erue obrotu wru wodego w wae; P 35 65, 998 estymator waracj estymatora p test 3σ: ( ) postace gracze rozładu dwumaowego rozład Gaussa Possoa bez wyprowadzea Rozład wyładczy czas oczewaa a przejazd samochodu przyład wyprowadzee postac rozładu wyładczego z rozładu geometryczego parametr λ oraz τ t W rozładze geometryczym: P ( > ) ( p), jeśl jeda p λ t λ, to; λt λ P P t e E t; λ λe λt t ( > ) ( t > ), a stąd strybuata F t e λt, a węc rozład przyład z rozpadem promeotwórczym wyprowadzee ze szolego prawa rozpadu Czas oczewaa w ocy a wezwae aret pogotowa a pogotowu ratuowym rządzoy jest rozładem wyładczym, przy czym typowy odstęp czasowy medzy olejym wezwaam wyos jedą godzę Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe pełący Ŝur learz pogotowa będze sę mógł ceszyć przyajmej
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa 9 dwema godzam su bez przerwy? (Odpowedź:,353) wartość oczewaa spersja przypomeć (były wyprowadzoe) estymator parametru τ bra pamęc w rozładze wyładczym przypomeć było przy prawdopodobeństwach waruowych P (( t > t + T ) ( t > T )) P ( t > t + T ) ep( λ ( t + T )) P ( t > t + T t > T ) ep( λt) P ( t > t) P t > T P t > T ep λt co jest rówowaŝe rówau fucyjemu f( + y) f()f(y) wyresy przeŝywalośc rót ometarz Rozład Possoa rozład lczby przejeŝdŝających samochodów w zadaym przedzale czasu oczewaa Podstawowa własość rozładu Possoa (bez dowodu): jeśl czas oczewaa a zdarzee podlega rozładow wyładczemu z parametrem tesywośc λ, to lczba zdarzeń w zadaym czase t oreśloa jest rozładem Possoa z parametrem λt wyprowadzee postac rozładu Possoa z rozładu dwumaowego przez przejśce gracze Prawdopodobeństwo dołade zdarzeń:! B (, p) p ( p) ( )( )( + ) p ( p)!!! t Nech: p λ, wte: (, ) B + λt λt p λt! Przejśce gracze dostarcza rozładu Possoa Iterpretacja parametru λ (ja w rozładze wyładczym) przyład z rozpadem promeotwórczym esperymet Rutherforda Gegera u l! P µ l µ µ ( ) zmea wartość oczewaa spersja przypomeć (były wyprowadzoe) estymatory wartośc oczewaej waracj wymusć odwołując sę do astępego zadaa Zadae Przy zlczau bałych całe rw pod mrosopem, w polu wdzea typowo zajdujemy 4 tach całe w rw zdrowego człowea W jedej z próbe rw zalezoo 3 całe Czy moŝemy tae odstępstwo potratować jao flutuację statystyczą? Zadae W pewym meśce lmat jest a tyle ustablzoway, Ŝe prawdopodobeństwo uderzea porua w loaly drapacz chmur e zaleŝy od da rou Operator w w tym drapaczu zauwaŝył, Ŝe pewego rou było łącze 34 d, w tórych bue e był trafoy przez poru Ile, wg Twojej ocey, było d, w tórych poru trafł bue węcej Ŝ jede raz? Jaa jest epewość tej ocey? Rozwązae Przyjmemy model rozładu Possoa z parametrem µ oreślającym przecętą lczbę trafeń porua w bue Prawdopodobeństwo brau trafea przez poru daego da dae jest wyraŝeem: P bg µ ep b µ g, a estymator tej welośc day jest przez: 34 365 pˆ ep ( ˆ µ ) ˆ µ l l, 356 34 Nepewość: d ˆ µ pˆ s ˆ ˆ ( ˆ µ s p p p),68,7 dpˆ pˆ pˆ Stąd prawdopodobeństwo uderzea przez poru dwurote węsze: µ Pb > g epb µ g Pbg µ Pbg µ e e e, 64! Daje am to lczbę m d w rou, e były dwa lub węcej uderzea porua: ˆ µ ˆ µ mˆ e ˆ µ e,64 365 97 epewość tej welośc mˆ 9 ˆ µ smˆ s ˆ µ rozład Gaussa jao postać gracza rozładu Possoa (bez wyprowadzea) Rozład Gaussa wyprowadzee rozładu z modelu małych błędów Laplace a
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa W wyu pomaru otrzymamy zamast welośc µ, jedą z welość oreśloych rówaem: µ + b + g ε, gdze:,,,,,, Prawdopodobeństwo aŝdej z tych wartośc jest zadae przez rozład dwumaowy z parametrem p ½: Wartość oczewaa zmeej wyos: a jej waracja, to:! B F b, p, 5g!! HGI K J b g F I µ b gε µ c h ε µ HG K J ε µ, bg b + g bg F I ε 4ε 4ε HG K J ε, + + + + + + V V V Wemy, Ŝe dla duŝej wartośc lczby, prawdopodobeństwo B ma zachowae gracze: ( p) ( ) µ ε ( ) µ B (, p) ep ep { } ep + πpq pq π ε 4 π ε ε Gbyśmy teraz chcel zmejszyć wartość ε do zera, przy zachowau pozycj, to aby uzysać sesowy lmt, musmy zaŝądać, aby welośc oraz dąŝyły do esończoośc, ale ta, by welość ε dąŝyła do wartośc stałej: ε σ cost Pozostae jedaŝe czy ε przed fucją wyładczą, tóry zepsuje całe przejśce gracze Jasym jest jeda, Ŝe przejśce z wartoścą zaburzea ε do zera ozacza przejśce do zmeej cągłej, a węc oczeujemy, Ŝe zamast prawdopodobeństw B (,p) zmeej sretej, powśmy uŝywać gęstośc prawdopodobeństwa ZauwaŜmy rówocześe, Ŝe poszczególe welośc oddzeloe są od sebe o ε, stąd aturalą rzeczą będze wprowadzee gęstośc, dzeląc prawdopodobeństwa B (,p) przez ów przedzał ε, rozmazując ejao prawdopodobeństwo sojarzoe z putem po całym tam przedzale: B, p, R U F b 5g ep S b µ g I V N ;, ep b g, T W H G b µ g µ σ K J ε ε π ε ε πσ σ Otrzymalśmy rozład Gaussa cągłej zmeej losowej własośc rozładu ormalzacja wymary parametrów rozładu ształt szeroość w połowe wysoośc momety wartość oczewaa spersja przypomeć, były oblczae Kwatyle (azać studetom oblczyć całę z rozładu Gaussa) zrobć rysue P(µ σ µ + σ) P(µ σ µ + σ) µ P < z p σ z p,687,5,675,9,8,9545,9,645,95,64 3,9973,95,96,99,35 4,9999,99,576,999 3,9 Kombacja lowa postac a zmeych losowych z rozładu Gaussa G( ;µ,σ ) ma rozład G( ;µ,σ ), gdze a, a µ µ σ σ cetrale twerdzee gracze przyład d Agostego sformułowae cetralego twerdzea graczego geerator zmeej losowej o rozładze Gaussa z D ajprostszy wybór to Metoda mometów Przyład: Day jest rozład, ( ) D
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa f ( ; a, b), a b, a < b, b a Wemy, Ŝe ( a + b), V ( ) ( b a), sąd mamy dwa rówaa a ocey parametrów a oraz b: ˆ ˆ aˆ + b, s ˆ b a ocey tych parametrów: aˆ s, bˆ + s Iy przyład Daa jest próba prosta,,,, z rozładu Possoa P (µ) Wemy, Ŝe wartość oczewaa zmeej losowej z rozładu Possoa daa jest parametrem µ, dlatego moŝemy zapropoować estymator ˆ µ, a poewaŝ waracja tego rozładu taŝe zadaa jest parametrem µ, węc średa jest jedocześe estymatorem waracj JedaŜe estymatorem waracj jest wadrat epewośc pojeczego pomaru ˆ µ s, co daje am drug estymator waracj RozwaŜmy waracje obu estymatorów µ V ( ˆ µ ) V ( ) V ( ), ( 4 3 ˆ ) V µ V s V PoewaŜ dla rozładu Possoa 4 3µ + µ, węc 3 ( ) ˆ V µ 3 3 3 µ + µ µ µ µ µ µ µ + + Zbadajmy stosue waracj estymatorów V ( ˆ µ ) µ + + µ V ˆ µ Wdzmy, Ŝe estymator zaday wadratem epewośc ma zawsze węszą warację jest mej efetywy własośc estymatorów: bra obcąŝea efetywość (zgodość, dostateczość, ) twerdzee Cramera-Rao: Vm ( θ ), V m ( θ ), P f ( ; θ ) l f ( ; θ ) l P d θ θ θ θ V m ( θ ) L( ; θ ) l L ( ; θ ) d θ, V ( θ ) θ m L ( ; θ ) l L ( ; θ ) RozwaŜmy próbę złoŝoą z elemetów z rozładu Possoa P (µ) o wartośc oczewaej µ Wyzaczmy mmalą warację Cramera-Rao Logarytm rozładu Possoa to: µ µ l P ( µ ) l e l µ µ l!! Perwsza pochoda wyos l P ( µ ) ( l µ µ l! ) µ µ µ Druga pochoda l P ( µ ) µ µ Ostatecze, mmala waracja Rao-Cramera zadaa jest przez
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa µ µ µ Vm ( µ ) µ P ( µ ) l P ( µ ) P ( µ ) µ Metoda ajwęszej warogodośc sformułowae zasa uczyńmy dae ajbardzej prawdopodobym wr wo rozład dwumaowy przyła zastosowaa Wr wo 57 sucesów a prób, sąsad 8 sucesów w próbach trasparecja: wyres fucj warogodośc rozładu dwumaowego rozład wyładczy wyzaczyć ocey parametrów λ oraz τ, oceę waracj zbadać efetywość rozład Gaussa własośc estymatorów meto ajwęszej warogodośc współzmecze oraz asymptotycze: eobcąŝoe, efetywe ormale epewość estymatorów z meto ajwęszej warygodośc ˆ ( θ ) ll ˆV θ θ ˆ θ asymptotycze gaussows ształt fucj warogodośc Lczba dzec mej Ŝ 3 dzec 3 dzec 4 dzec 5 dzec węcej Ŝ 5 dzec Lczba rodz 6 4 3 Oczewaa lczba rodz 6,6 3,8 3,,9,7 lustracja wyzaczae parametru µ rozładu Possoa rozład lczby dzec, ˆ µ 4,7 ±,45