STATYSTYKA MATEMATYCZNA
|
|
|
- Władysław Mazur
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Język prawdopodobeństwo jego rozkład Pojęce rozkładu prawdopodobeństwa lczby z totolotka jako zmee losowe o rozkładze skretym zmea losowa częstoścowa defcja rozkładu prawdopodobeństwa waruek uormowaa prawdopodobeństw cyfry z umerów telefoów wypadk kerowców lońskch autobusów przykład zmeej losowej o eskończoej lczbe moŝlwych wartośc strybuata skreta zmea losowa rozkład jedostajy cągła zmea losowa kostrukcja gęstośc przez podwóje przejśce gracze uormowae, strybuata rysuek rozkładu terpretacja grafcza przykład: cągły rozpad czas oczekwaa a metro rozkład, strybuata, rysuk przykład: prawo rozpadu jąder promeotwórczych rozkład, strybuata, rysuk Układ pewków rachuku prawdopodobeństwa Przykła przestrze zdarzeń elemetarych: rzucając jedokrote moetą (e koecze rzetelą, moŝemy otrzymać bądź orła bądź reszkę mamy do czyea z dwoma zdarzeam elemetarym oe budują całą przestrzeń. Jeśl wykoamy dwa koleje rzuty, przestrzeń rozrasta sę do czterech elemetów, będących param zdarzeń: (orzeł, orzeł, (orzeł, reszka, (reszka, orzeł (reszka, reszka; losując z Roczka Statystyczego dowola lczbę wyberając jej perwszą cyfrę, przestrzeń Ω zdefowaa jest przez dzewęć elemetów, zwaych,,..., 9; wyberając dowolą cyfrę z ksąŝk telefoczej, poruszamy sę w przestrze Ω dzesęcu zdarzeń elemetarych; w losowau szczęślwych umerów totolotka, kaŝda szóstka lczb spośród czterdzestu dzewęcu staow zdarzee elemetare. Przestrzeń ta składa sę z elemetów. dom w czase burzy moŝe być trafoy przez poru jede, dwa, trzy,... razy, jak róweŝ moŝe omąć go to wydarzee. Przestrzeń zdarzeń elemetarych składa sę ze zdarzeń zadających krotość ścągęca wyładowaa atmosferyczego a wybray buek. Choć trudo am sobe wyobrazć, Ŝe dom zostae trafoy eskończoa lczbę razy, to jedak moŝemy sobe wyobrazć, Ŝe astąp to p. razy, a jeśl dopuścmy trafeń, to a pewo zgodzmy sę a, td....; lczba lat Ŝyca, jake ma przed sobą kaŝ oworodek, moŝe przyjmować wartośc,,,,.... KaŜda z tych lczb opsuje zdarzee elemetare. przestrzeń zdarzeń, jakch dośwadczamy oczekując a taksówkę. KaŜ z jej elemetów ma postać cągu, w którym występuje pewa lczba (takŝe będąca zerem zdarzeń esprzyjających, zakończoych jedym zdarzeem sprzyjającym. wek pary małŝoków opsujemy parą lczb (,j, gdze to lczba lat przeŝytych przez ą, a j to lczba lat przeŝytych przez ego. Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest tu skreta dwuwymarowa; czas oczekwaa a wyśwetlee stroy WWW moŝe być dowolą lczbą dodatą. KaŜda taka lczba prezetuje sobą zdarzee elemetare, a zdarzeń tych mamy eskończoą lczbę e są oe skrete; przy grze w strzałk, zdarzeem elemetarym jest trafee w tarczę kaŝde take zdarzee moŝemy opsać przy pomocy pary lczb p. przez podae współrzędych kartezjańskch (x,y, ale teŝ promea r kąta azymutalego ϕ w wybraym układze odesea. Zdarzea losowe: kostruujemy przy pomocy operacj teoromogoścowych, tj. praw: przemeośc: A B B A, A B B A, łączośc:, A B C A B C A B C A B C A B C A B C, de Morgaa: A B A B, A B A B, rozdzelośc: A ( B C ( A B ( A C, A ( B C ( A B ( A C. Zdarzea losowe: pewe emoŝlwe Pewk. KaŜdemu zdarzeu losowemu A przypsujemy lczbę P(A, zwaą prawdopodobeństwem tego zdarzea, która jest eujemą mejszą bądź rówą jedośc: P(A. Pewk. Prawdopodobeństwo zdarzea pewego jest rówe jedośc: P(Ω. Pewk. Prawdopodobeństwo u ekskluzywych zdarzeń losowych A oraz B, czyl takch, dla których A B, jest rówe sume prawdopodobeństw tych zdarzeń: P(A B P(A + P(B. P A P A (bo: A (e A Ω Prawo dodawaa prawdopodobeństw: Aksjomatycze podejśce e mów jak wygląda przestrzeń zdarzeń elemetarych le wyoszą prawdopodobeństwa te trzeba określć samemu Prawdopodobeństwo warukowe Trzy typy zdarzeń:
2 Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Wzmacae prawdopodobeństwa przez waruek: (przyjdę a wykład moje og w sal wykładowej w godze wykładu; (blo błękte oczy, ( 6 parzysta lczba oczek, (rak płuc palacz paperosów Osłabae prawdopodobeństwa przez waruek: (bruet błękte oczy, (kobeta uczeca techkum samochodowego Neutralość waruku: (ja łamę ogę studet łame ogę, ( 6 a kostce poedzałek, Rysuję kratkę moŝlwośc: wszyscy ludze (w lczbe N to: męŝczyź (w lczbe M daltośc (w lczbe M D bez tej przypadłośc (w lczbe M N oraz kobety (w lczbe K daltostk (w lczbe K D kobety bez tej przypadłośc (w lczbe K N, astępe borę studeta kaŝę mu apsać dowoly wybray przez ego stosuek dwóch lczb zterpretować go jako prawdopodobeństwo. Zwracam uwagę a rozróŝee mędzy: losowo wybraa osoba jest..., a losowo wybraa kobeta jest.... Defcja prawdopodobeństwa warukowego: P(A B P(A BP(B Zadae W McDoalld s 9% kletów zamawa hamburgera, zaś 7% kletów zamawa hamburgera frytk. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe klet zamów frytk, jeśl zamówł hamburgera? Rozwązae P ( F H,7 4 Zdarzee: H hamburger, F frytk. Poszukujemy: P ( F H. P H,9 5 Czy z daych moŝa wyzaczyć P(H F? Zadae Grupa studetów zdaje egzam z matematyk ze statystyk. Matematykę zdało (zdarzee M 75% zaś statystykę (zdarzee S 7% studetów. Wadomo takŝe, Ŝe oba egzamy zdało 6% studetów. Wyzacz prawdopodobeństwa zdarzeń:. P(M S - studet zdał matematykę, jeśl zdał statystykę,. P(S M - studet zdał statystykę, jeśl zdał matematykę,. P(e M S - studet e zdał matematyk, jeśl zdał statystykę, 4. P(e S M - studet e zdał statystyk, jeśl zdał matematykę, 5. P(M e S - studet zdał matematykę, jeśl e zdał statystyk, 6. P(S e M - studet zdał statystykę, jeśl e zdał matematyk, 7. P(e S e M - studet e zdał statystyk, jeśl e zdał matematyk, 8. P(e M e S - studet e zdał matematyk, jeśl e zdał statystyk. Rozwązae P ( M S,6 6. P ( M S, P S,7 7. P ( S M ( S P ( M P M,6 4,,75 5 6, 7 7 P S M 4, 5 5. P ( M S P ( M S 4. P ( S M P M S P S M P M S P S M P ( S P ( S ( P ( S P M S P S M P M P S M P M,8, 75,5,7, 6 7 P M S P M S P S P M S P S 7,, 75, 5 5 P ( M P ( S P ( M P ( M P ( S ( P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,, P ( M P M S P M S, 75, 7 +, 6,5,5,5 5 Prawo moŝea prawdopodobeństw: P ( A B P ( A B P ( B P ( B A P ( A Twerdzee Bayesa Wzór a prawdopodobeństwo całkowte wyweść formułę odwołując sę do zboru zdarzeń rozłączych wyczerpujących: P ( A P ( A B P ( B.
3 Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa Zadae N zdarzee: adao bt, N zdarzee: adao bt, O zdarzee: odebrao bt, O zdarzee: odebrao bt. Prawdopodobeństwo zekształcea: ε ( P(O N P(O N, prawdopodobeństwo p ( P(N wysyłk btu. Ile wyos prawdopodobeństwo poprawego odboru? Ile wyos prawdopodobeństwo P(O odboru btu? Twerdzee Bayesa Zadae Jede z testów obecośc w krw wrusa HIV wykazuje pozytywy rezultat w 97% przypadków osób zaraŝoych tą chorobą myle wskazuje a jego obecość w krw osób zdrowych w,4% przypadków. Jake jest prawdopodobeństwo, Ŝe osoba u której wykryto tym testem obecość wrusa HIV jest faktycze chora, jeśl wadomo Ŝe,5% populacja cerp a tę chorobę? Rozwązae Nech: P(C ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest chora P(C,5, P(Z ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe losowo wybraa osoba jest zdrowa: P(Z - P(C, P(+ ozacza prawdopodobeństwo, Ŝe test daje wyk pozytywy, P(+ C prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ C,97, P(+ Z prawdopodobeństwo warukowe: u chorej osoby test pozytywy: P(+ Z,4, Poszukujemy P(C +, czyl prawdopodobeństwo warukowe, Ŝe osoba u której test dał pozytywą odpowedź jest faktycze chora. Z twerdzea Bayesa mamy: P P C + ( + C P( C P ( + P( + C P( C, 97, 5 ( + + ( +, 97, 5 +, 4 (, 5 P C P C P Z P Z P Twerdzee Bayesa w pełej forme ( A B P ( B P B A j ( j P ( B j P A B, 55. Zdarzea ezaleŝe ezaleŝość statystycza zdarzeń prawdopodobeństwo loczyu zdarzeń ezaleŝych Zadae Day jest zbór lczb całkowtych,,,...,. Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela przez 7? Ile wyos prawdopodobeństwo, Ŝe wybraa z tego zboru lczba a chybł-trafł jest podzela zarówo przez jak przez 7? Czy zdarzee: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez jest statystycze ezaleŝe od zdarzea: wybraa a chybł-trafł lczba podzela jest przez 7? RozwaŜ to samo zadae, g zbór lczb rozszerzymy o lczbę. Zdarzea rozłącze to zdarzea statystycze zaleŝe!!! Zadae Rodza ma trójkę dzec. Wypsz 8 moŝlwych zdarzeń elemetarych, które wyczerpują wszystke kofguracje płc dzec. RozwaŜ ezaleŝość statystyczą astępujących zdarzeń: rodza ma dzec obu płc jest tam co ajwyŝej jeda dzewczyka. RozwaŜ to samo zadae dla rodzy czterodzetej. Przyjmj, Ŝe prawdopodobeństwo posadaa chłopca lub dzewczyk jest take samo wyos,5. prawdopodobeństwo sumy ezaleŝych statystycze zdarzeń Zadae II.5.7 (zdarzea ezaleŝe Prawdopodobeństwo p zestrzelea samolotu jedym strzałem z jedego dzała wyos,. Zajdź prawdopodobeństwo zestrzelea salwą ze stu ezaleŝe jedocześe strzelających dzał. Rozkła fukcj zmeych losowych przekształcee jedozacze Zadae Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowej m k. Zmea cągła Zadae Oblcz całkę: x s x dx Rozkład prędkośc x cząsteczek gazu doskoałego (rozkład Maxwella: m mx 4π exp, f x x x π <. Jaką ma postać rozkład eerg E ketyczej tych cząsteczek? Wypszmy wyraŝee a strybuatę tego rozkładu wyraźmy ją przez eerge ketyczą
4 Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 4 v v m mx e F ( v P ( x v f ( x dx 4π x exp dx e mx ; x ; dx de π m me skąd: E E m e e e 4π exp de e exp de P ( e E F ( E, π m me π g E Ogóle formale skąd ( ( df E E E exp de π. Do domu: udowodć uormowae!!! x h ( u z y w( z y dh ( (, F z f x dx u h x w x f h u du g u du P u y F y du dh w( y dx du du co często zapsujemy proścej jeśl przekształcee zapszemy w forme x x ( y df dh g ( y f ( h ( y, dx g y f x y,. Zadae Day jest układ kwadratów o boku x, który ma rozkład jedostajy w przedzale [; ]. Zajdź rozkład powerzch S tych kwadratów. Naszkcuj te rozkład. Zmea zadaa przez strybuatę. y F x x h y F y oraz Nech, gdze F ( x jest strybuatą pewego rozkładu f ( x, wte dx df g ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y f ( x ( y. df f ( x ( y dx x F ( y Nech f ( x λ exp( λx. Wte x y F ( x λ exp ( λx ' dx ' exp( λx. Tak węc, jeśl zmea x ma rozkład wykładczy, to zmea y ma rozkład jedostajy, a tym samym odwrote, jeśl zmea y ma rozkład jedostajy, to zmea x l ( y λ będze mała rozkład wykładczy określoy parametrem λ. Zasadzk przy zamae zmeej ujema pochoda ejedozaczość rozwązań. x x dx. Oblcz całkę ( Rozwązae y x + x ( x dx x y ( y y ( y y y y. dx Day jest rozkład Wyzacz rozkład zmeej y a x. Rozwązae f ( x, x < a. a a ( x + +
5 Kospekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 8/9 Stroa 5 co zapsujemy w postac dx g ( y f ( x ( y, a y ay <, dx g ( y f ( x ( y, y a ay <. Dyskreta zmea losowa k opsaa jest rozkładem: P(k ¼, P(k /8, P(k /8 P(k ½. Podaj rozkład zmeej losowe m k. Rozkład Gaussa N(x; µ, σ, parametry, uormowae. Wprowadzć pojęce rozkładu stadaryzowaego: N(z;,. Wyzaczamy rozkład zmeej losowej y x dla rozkładu stadaryzowaego N(x;,. Odwracae zaleŝośc y x prowadz as do dwóch wyraŝeń: x y, g x jest ujeme, oraz x y, g x jest dodate. G zmea x jest ujema, fukcja rozkładu przekształca sę wg formuły: dx g ( y N ( x ( y ;, N ( y;,, y y < co odwracając grace, zapszemy jako g ( y N ( y;,, y <. y Dla obszaru dodatch wartośc x mamy bez komplkacj: g ( y N ( y;,, y <. y Ostateczy wyk otrzymujemy sumując: g ( y N ( y;, + N ( y;, ( N ( y;, + N ( y;, N ( y;,. y y y y Otrzymalśmy tzw. rozkład χ o jedym stopu swobo. Wzór ogóly: dx dx dx g ( y f ( x ( y + f ( x ( y + + f ( x ( y gdze x ( y to koleje rozwązaa rówaa y h ( x.
Konspekt wykładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA rok 2007/2008 Strona 1
Kospet wyładu STATYSTYKA MATEMATYCZNA ro 7/8 Stroa Języ prawdopodobeństwo jego rozład Pojęce rozładu prawdopodobeństwa lczby z totolota jao zmee losowe o rozładze sretym zmea losowa częstoścowa defcja
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:
Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,
L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Statystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa
Zadaa z rachuku prawdopodobeństwa Dzesęć osób zajmuje mejsca przy okrągłym stole. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że osoby A B będą sedzeć obok sebe. Jake będze prawdopodobeństwo tego samego zdarzea jeśl
Statystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).
Regresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Funkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:
.. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B
Portfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
System finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Lista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.
Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch
System finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Teoria i metody optymalizacji
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f( : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
ZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i
ZAJĘCIA NR Dzsaj omówmy o etro, redudacj, średej długośc słowa odowego o algorytme Huffmaa zajdowaa odu otymalego (od ewym względam; aby dowedzeć sę jam doczeaj do ońca). etro JeŜel źródło moŝe adawać
Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
n R ZałóŜmy, Ŝe istnieje d, dla którego: Metody optymalizacji Dr inŝ. Ewa Szlachcic otwarte otoczenie R n punktu x, Ŝe
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f() : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Miary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Praca Domowa:.. ( α β ( α β α β ( ( α Γ( β α,,..., ~ B, Γ + f Γ ( α + α ( α + β + ( α + β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β E Γ α Γ β Γ α Γ α + + β Γ α + Γ β α α + β β α β Γ α + β Γ α + Γ α + β Γ α + + β
... MATHCAD - PRACA 1/A
Nazwsko Imę (drukowaym) KOD: Dzeń+godz. (p. Śr) MATHCAD - PRACA /A. Stablcuj fukcję: f() = s() + /6. w przedzale od a do b z podzałem a rówych odcków. Sporządź wykres f() sprawdź, le ma mejsc zerowych.