Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W Aleksander Denisiuk Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Olsztyn, ul. Słoneczna 54 denisjuk@matman.uwm.edu.pl 1 / 66
Geometria 3W liniowar 3 Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem ØØÔ»»ÛÑ ºÙÛѺ ÙºÔл Ò Ù»ÙÛÑ 2 / 66
liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia liniowar 3 3 / 66
Definicja wektora liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Wektorem nazywa się skierowany odcinek. A Kierunek wektora pokazuje strzałka. Punkt A jest poczatkiem wektora Punkt B jest końcem wektora Oznaczenie:a= AB B 4 / 66
Równość wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Dwa wektory sa równe, jeżeli jeden z nich może zostać otrzymany z drugiego poprzez przesunięcie równoległe. Relcja równości wektorów jest relacja równoważności: a=a (symetryczna) a=b b=a (zwrotna) a=b,b=c a=c (przechodnia) 5 / 66
Wektory, cd liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Dwa wektory sa zgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja ten sam zwrot. Dwa wektory sa niezgodnie kolinearne, jeżeli sa równoległe i maja przeciwne zwroty. Długość odcinkaab, przedstawiajacego wektora, nazywa się a AB = a = a jego długości wektor nazywa się zerowym, jeśli jego poczatek i koniec się pokrywaja: AA=0 6 / 66
Dodawanie wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Suma wektorówaibnazywa się wektora+b, otrymany z tych wektorów badź równych im wektorów jak na poniższym rysunku b a a+b 7 / 66
Dodawanie wektorów przemienne i łaczne liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia a+b=b+a a b b+a a+b (a+b)+c=a+(b+c) c a b a+b a b b+c 8 / 66
Odejmowanie wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Wektora b jest wektorem, suma którego zb a b b a 9 / 66
Nierówność trójkata liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia a+b a + b a+b+ +c a + b + + c 10 / 66
Mnożenie wektora przez liczbę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Iloczynem wektoraailiczbyλ R jest wektorλa λa = λ a λa iasa zgodnie kolinearne, jeżeliλ>0 oraz niezgodnie kolinearne, gdyλ<0 0 a=0 λ(µa)=(λµ)a (λ+µ)a=λa+µa λ(a+b)=λa+λb 11 / 66
Kombinacje liniowe wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dany będzie układ wektorów{a 1,...,a k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k Wektor a=α 1 a 1 + +α k a k nazywa się kombinacja liniowa wektorówa 1,...,a k. 12 / 66
Iloczyn skalarny wektorów liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Katem między wektoramia ibnawyzamy kat między wektorami a ib, które maja wspólny poczatek Iloczynem skalarnym wektorówaibjest liczbaa b(ab): ab= a b cosϕ (ϕ jest katem międyaib) ab=ba a 2 =aa= a 2 (λa)b=λ(ab) jeżeli e = 1, to(λe)(λe) = λµ ab=0 a b albo jeden z wektorów jest zerowy 13 / 66
Projekcja wektora na prosta liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Rzut (projekcja) wektoraana prosta jest wektorā, którego poczatkiem jest rzut poczatka wektoraana prosta, a końcem rzut końca wektoraana tę prosta. ab = āb, gdzie ā jest rzutem a na prosta, zawierajac (a+b)c=ac+bc Jeżelia,b,cs a trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocześnie jednej płaszczyźnie, to ar=0,br=0,cr=0 r=0 ab 14 / 66
Iloczyn wektorowy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Iloczynem wektorowym wektorówaibjest wektora b: 0, jeżeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory sa równoległe Wpozostałych przypadkach a bjest prostopadły do płaszczyznya,b długość wektoraa bjest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektorya,b układ wektorówa,b,a b jest zorientowany dodatnio a b= b a a b = a b sinθ, gdzieθ jest k (λa) b=λ(a b) atem międzyaib 15 / 66
Projekcja wektora na płaszczyznę liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Rzutem (projekcja) wektoraana płaszczyznę jest wektora, którego poczatek jest rzutem poczatkaana płaszczyznę, a końcem rzut końcaa. Rzutu równych wektorów sa równe Rzut sumy wektorów jest suma rzutów Jeżeli wektora jest rzutemana płaszczyznę, prostopadła dob, toa b=a b (a+b) c=a c+b c 1. c=0 2. c =1 Niecha orazb będa rzutami odpowiednioaorazbna płaszczyznę, prostopadła doc. Wtedy mnożenie wektorowe przezcbędzie obrotem o π 2 (a b) 2 = a 2 b 2 ( a b cosθ) 2, gdzieθ jest katem między wektorami 16 / 66
Współrzędne wektora względem bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa trzy niezerowe, niekomplanarne wektorye 1, e 2,e 3. Wtedy każdy wektorrmoże zostać jednoznacznie przedstawiony jako sumar=r 1 e 1 +r 2 e 2 +r 3 e 3 Niechr=r 1 e 1+r 2 e 2+r 3 e 3 będzie inna reprezentacja 1. r jest równoległy do jednego z wektorówe 2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorówe 3. r nie jest równoległy do żadnej z par wektorówe Wektorye 1,e 2,e 3 nazywane sa baza przestrzeni wektorów. Liczbyr 1,r 2,r 3 nazywane sa współrzędnymi wektorar w baziee 1,e 2,e 3. 17 / 66
Działania liniowe na wektorach liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie bazae 1,e 2,e 3. Niech dane będa dwa wektory:rowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) orazr o współrzędnych(r 1,r 2,r 3 ). Wtedy wektorr±r będzie miał współrzędne (r 1 ±r 1,r 2±r 2,r 3±r 3 ). Niech dane będa wektorrowspółrzędnych(r 1,r 2,r 3 ) oraz liczbaλ R. Wtedy wektorλr będzie miał współrzędne (λr 1,λr 2,λr 3 ). 18 / 66
Baza kartezjańska liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie bazai,j,k składajaca się z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio. Bazai,j,k nazywa się baza kartezjańska a=x a i+y a j+z a k=(ai)i+(aj)j+(ak)k Liczbycosα= ai aj a,cosβ= a,cosγ=ak sa cosinusy kierunkowe a nazywane 19 / 66
Działania metryczne w bazie kartezjańskiej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dana będzie kartezjańska bazai,j,k. Wtedy ab=x a x b +y a y b +z a z b a bma współrzędne y a z a y b z b, x a z a x b z b, x a y a x b y b a b= i j k x a y a z a x b y a z b 20 / 66
Zmiana bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa dwie bazy:e={e 1,e 2,e 3 } orazf={f 1,f 2,f 3 }. Wtedy Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maj e 1 =a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 =a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 =a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 a jednoznaczne rozłożenie po kolumn współrzędnych wektorówe w bazief A, gdzieajest macierza wektorawbazief będzie miał współrzędnea x a y a z a jego współrzędne we. x a y a z a, gdzie A nazywa się macierza przejścia ode dof (zmiany bazy) 21 / 66
Zmiana bazy. Uwagi liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia ) ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A (f 1 f 2 f 3 = ) (e 1 e 2 e 3 A 1, gdziea 1 jest macierza odwrotna. Jeżeli obie bazy sa kartezjańskie, to macierz przejścia jest ortogonalna wektory-kolumny sa jednostkowe i wzajemnie prostopadłe to samo dotyczy wierszy dla macierzy ortogonalnycha 1 =A t 22 / 66
Przekształcenia liniowe liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będ a: układ wektorówe={e ) 1,e 2,e 3 } oraz ) bazaf={f 1,f 2,f 3 }, (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 przekształceniem liniowym nawyza się odwzorowanie a= x a y a z a x a e 1 +y a e 2 +z a e 3 współrzędne wektoraapo przekształceniu będa równe A x a y a z a A nazywa się macierza przekształcenia wynik przekształcenia zapisuje sięaa A. 23 / 66
Przekształcenia liniowe. Uwagi liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia macierzaskłada się z kolumn współrzędnych układue w bazief macierzaskłada się z kolumn współrzędnych wektorów bazyf po przekształceniu jeżeli macierzajest odrwacalna, toe też jest baza oraz przekształcenie liniowe zgada się z zamiana bazye F przekształcenieφ:r n R n jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dla dowolnych dwóch wektorówa,b spełniono φ(a+b)=φ(a)+φ(b) 2. dla dowolnego wektoruaoraz dowolnej liczby rzeczywistejλ spełniono φ(λa) = λφ(a) 24 / 66
Przekształcenia sztywne liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia przekształcenie nazywa się sztywnym, jeżeli nie zmienia ono odległości między punktami a więc i katów między liniami i, na ogół, kształtów obiektów macierz przekształcenia sztywnego jest ortogonalna 25 / 66
Obrót liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia ¼ Ò Ó ¼ ¼ ¼ ½ Ó Ò ½ ¼ ÙÖ ÁÁº «Ø Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ò Ð º Ì ÓÖ Ò ¼ Ð Ü Ý Ø ÖÓØ Ø ÓÒº R θ = ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ 26 / 66
Skalowanie liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia S λ1,λ 2 = ( ) λ1 0 0 λ 2 27 / 66
Mnożenie przekształceń liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będa dwa przekształcenia liniowe:aorazb Iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie liniowe AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 Twierdzenie 1. Każde przekształcenie liniowe można rozłożyć w iloczyn obrotu oraz skalowania (o różnych współczynnikach) Twierdzenie 2. Każde przekształcenie liniowe sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem 28 / 66
ÁÁº½ Ì Ú ØÓÖ Ú Ò ÖÓØ Ø ÖÓÙÒ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú½ Ú ³ ÙÖ ÓÒØÓ Ùº Ì Ú ØÓÖ Ú¾ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Ùº Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ú Ú¾ ÖÓØ Ø ¼ Æ ÖÓÙÒ Ùº Ì Ð Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ú ØÓÖ Ñ Ø Ø Ö Ø Ò Ð º ÐÐ Obrót 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Ú½ Ù Ú ¼ Ê Ù Úµ Ú Ú¾ 29 / 66
Macierz obrotu 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu=(u 1,u 2,u 3 ) o katθstopni. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1, (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c gdziec=cosθ,s=sinθ. 30 / 66
Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Û Ý Ü È Ø Þ ÊÓÐÐ R=R θy,jr θp,ir θr,k 31 / 66
Macierze obrotów Eulera liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia R θp,i R θy,j R θr,k 32 / 66
Skalowanie 3D liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia S λ1,λ 2,λ 3 = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 33 / 66
Przekształcenia liniowe. Zmiana bazy liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Niech dane będ a dwie bazy:e={e 1,e ) 2,e 3 } ) orazf={f 1,f 2,f 3 }, (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 T Niech przekształcenie liniowe będzie dane w baziee macierz Wtedy w bazief to przekształcenie dane będzie macierz a TAT 1 aa 34 / 66
Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2 wzdłuż przekatnej 35 / 66
Przykład. Skalowanie wzdłuż przekatnej liniowar 3 Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Baza liniowe Katy Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie Macierze obrotów Eulera Zmiana bazy a przekształcenia Macierz skalowania na płaszczyźnie ze współczynnikiem 2 wzdłuż ( ) przekatnej 3 1 2 2 1 2 3 2 35 / 66
liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana 36 / 66
Odejmowanie punktów liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Różnica punktówb iajest wektor AB. A B A= AB A=B B A=0 (B A)+(C B)=(C A)= AC B 37 / 66
Dodanie do punktu wektora liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Suma punktuaoraz wektoraajest punktb, który zgadza się z końcem wektoraa, jeżeli poczatek tego wektora umieścić wa. A B=A+ AB (A+a 1 )+a 2 =A+(a 1 +a 2 ) Dodanie wektora nazywa się przesunięciem róznoległym a B 38 / 66
Kombinacja afiniczna punktów liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dany będzie układ punktów{a 1,...,A k } oraz wagi (liczby rzeczywiste)α 1,...,α k, takie żeα 1 + +α k =1 Ustalmy dowolny punkto Kombinacja afiniczna punkitówα 1 A 1 + +α k A k jest punkt O+α 1OA1 + +α k OA k Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zależy od wyboru punktuo 39 / 66
Układ współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Wybierzmy dowolny punkto, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste:ox, Oy,Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnychoxy,oxz,oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednioe 1,e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktuawektor przedstawienie OA ma jednoznaczne OX=xe 1 +ye 2 +ze 3 liczbyx,y,z współrzędne punktua układ jest prawym (dodatnim), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientoany dodatnio układ jest lewym (ujemnym), jeżeli{e 1,e 2,e 3 } jest zorientowany ujemnie kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi 40 / 66
Układ współrzędnych kartezjańskich liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektorye 1,e 2,e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczeniai,j,k 41 / 66
Działania na punktach w układzie współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Odejmowanie punktów: A 2 A 1 = A 1 A 2 = Dodanie wektora: x 1 +x a A 1 +a= y 1 +y a z 1 +z a Kombinacja afiniczna: α 1 A 1 + +α k A k = x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 wzory sa prawidłowe w każdym układzie α 1 x 1 + +α k x k α 1 y 1 + +α k y k α 1 z 1 + +α k z k 42 / 66
Podział odcinka w danym stosunku liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkta(x,y,z), który dzieli odcineka 1 A 2 w stosunkuλ 1 :λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 =0 OA= λ 2OA 1 +λ 1 OA 2 λ 1 +λ 2 x= λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2,y= λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2,z= λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ. 2 wzory sa prawidłowe w każdym układzie 43 / 66
Odległość między punktami liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Dane sa dwa punktya 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraza 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 =(x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim 44 / 66
Zmiana układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz(o,f 1,f 2,f 3 ) PunktP ma współrzędne(x,y,z) względem jednego układu oraz(z,y,z ) względem drugiego. Wektory(e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 =a 11 f 1 +a 21 f 2 +a 31 f 3, bazie(f 1,f 2,f 3 ): e 2 =a 12 f 1 +a 22 f 2 +a 32 f 3, e 2 =a 13 f 1 +a 23 f 2 +a 33 f 3. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A PunktOw nowym układzie ma współrzędne(x 0,y 0,z 0 ). x =a 11 x+a 12 y+a 13 z+x 0, Wówczas y =a 21 x+a 22 y+a 23 z+y 0, z =a 31 x+a 32 y+a 33 z+z 0. x y x x 0 =A y + y 0. z z z 45 / 66
Przekształcenia afiniczne liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dany będzie układ współrzędnycho,f 1,f 2,f 3 oraz punkt O i układ wektorówe 1,e 2,e 3 przekwształceniem afinicznym nawyza się odwzorowanie x P= y O +xe 1 +ye 2 +ze 3 z współrzędne punktuapo przekształceniu będa równe x x 0 A y + y 0, gdzie z z 0 ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A (x 0,y 0,z 0 ) współrzędne wektoraoo 46 / 66
Uwagi liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Jeżeli układ wektorówe 1,e 2,e 3 jest baza, to przekształcenie afiniczne zgadza się z zamiana układu współrzędnych Przekwształcenie afiniczneb składa się z przekształcenia linowegoaiprzesunięcia równoległegot u,b=t u A Wówczas przesunięciet u oraz przekształcenie liniowea określone sa jednoznacznie. Twierdzenie 4. Każde przekształcenie afiniczne można rozłożyć w iloczyn obrotu, skalowania (o różnych współczynnikach) oraz przesunięcia równoległego Twierdzenie 5. Każde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesunięciem równoległym 47 / 66
Współrzędne jednorodne wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Trójka liczb x, y, w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w) R 2. (2,1) (2:1:1) (6:3:3) ( 2: 1: 1) 48 / 66
Współrzędne jednorodne wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Czwórka liczbx,y,z,w R (w 0) reprezentuje punkt o współrzędnych(x/w,y/w,z/w) R 3. (2,1,1) (2:1:1:1) (6:3:3:3) ( 2: 1: 1: 1) 49 / 66
Macierz przekształcenia afinicznego wr 2 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana NiechB=T ( ) u Abędzie ( przekształceniem ) afinicznym, u1 a11 a u=, A= 12. u 2 a 21 a 22 Macierz a przekształceniab nazywa się macerz a 11 a 12 u 1 M B = a 21 a 22 u 2 0 0 1 a 11 a 12 u 1 x a 11 x+a 12 y+u 1 a 21 a 22 u 2 y = a 21 x+a 22 y+u 2 0 0 1 1 1 50 / 66
Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana R θ = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 51 / 66
Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana S λ1,λ 2 = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 52 / 66
Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana T u1,u 2 = 1 0 u 1 0 1 u 2 0 0 1 53 / 66
Macierz przekształcenia afinicznego wr 3 liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana a 11 a 12 a 13 u 1 a 21 a 22 a 23 u 2 a 31 a 32 a 33 u 3 0 0 0 1 a 11 a 12 a 13 u 1 x a 21 a 22 a 23 u 2 y a 31 a 32 a 33 u 3 z = 0 0 0 1 1 a 11 x+a 12 y+a 13 z+u 1 a 21 x+a 22 y+a 23 z+u 2 a 31 x+a 32 y+a 33 z+u 3 1 54 / 66
Przesunięcie równoległe liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Przesunięcie o wektoru=(u 1,u 2,u 3 ) 1 0 0 u 1 0 1 0 u 2 0 0 1 u 3. 0 0 0 1 55 / 66
Obrót liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót dookoła osi wychodzacej z poczatku układu współrzędnych w kierunkuu=(u 1,u 2,u 3 ) o katθstopni. Kierunek obrotu określany jest orientacja. (1 c)u 2 1 +c (1 c)u 1u 2 su 3 (1 c)u 1 u 3 +su 2 0 (1 c)u 1 u 2 +su 3 (1 c)u 2 2 +c (1 c)u 2u 3 su 1 0 (1 c)u 1 u 3 su 2 (1 c)u 2 u 3 +su 1 (1 c)u 2 3 +c 0 gdziec=cosθ,s=sinθ. 0 0 0 1, 56 / 66
Skalowanie liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana α 1 0 0 0 0 α 2 0 0 0 0 α 3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 symetria względem płaszczyznyy z. 0 0 1 0 0 0 0 1 57 / 66
Jednorodność macierzy przekształcenia afinicznego liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana MacierzeAorazλA określaja to samo przekształcenie afiniczne. 58 / 66
Macierz superpozycji przekształceń liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa przekształcenia afiniczne:aorazb iloczynem (superpozycja) przekształceń A B jest przekształcenie afiniczne AB(a) = A(Ba) MacierzaA B jest macierzab Dlatego zamiasta B będziemy pisaćab Macierza przekształcenia odwrotnego doajest macierza 1 59 / 66
Macierz zmiany układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa układy współrzędnych: E={O,(e 1,e 2,e 3 )} orazf={o,(f 1,f 2,f 3 )} Punkt P ma współrzędne(x, y, z) względem układu E oraz (z,y,z ) względemf. ) ) (e 1 e 2 e 3 = (f 1 f 2 f 3 A PunktOw nowym układzie ma współrzędne(x 0,y 0,z 0 ). x x y z =T y z 1 1 Macerz przejścia ofe dof (zmiany układu wszpółrzędnych) x 0 x A y T= 0 y z 0 z 0 0 0 1 1 Wszystkie uwagi dotyczace macierzy przekształceń 60 / 66
Przekształcenia afiniczne. Zmiana układu współrzędnych liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Niech dane będa dwa układy współrzędnych: E=(O,e 1,e 2,e 3 ) orazf=(o,f 1,f 2,f 3 ) Niech T będzie macierza przejścia ode dof. Niech przekształcenie afiniczne będzie w układziee miało macierza Wtedy w układzief to przekształcenie będzie miało macierz TAT 1 61 / 66
Przykład. Obrót afiniczny liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót na płaszczyźnie o90 dookoła punktu(1,2) 62 / 66
Przykład. Obrót afiniczny liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Obrót na płaszczyźnie o90 dookoła punktu(1,2) 0 1 3 1 0 1 0 0 1 62 / 66
Teoria transponowana liniowar 3 Działania na punktach Układ współrzędnych afiniczne Współrzędne jednorodne Obrót Skalowanie Macierz zmiany układu współrzędnych Teoria transponowana Wektory i punkty sa zapisywane jako wierszev=(v x,v y,v z ), P=(x:y:x:w) Mnożenie przez ) macierz ( przekształcenia ) po prawej stronie (v x v y v z M, x y z w A Macierze sa zamieniane na transponowane: przesunięcie o wektoru=(u 1,u 2,u 3 ): 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0, u 1 u 2 u 3 1 etc Mnożenie macierzy w innej kolejności MacierzaA 1 A 2 będziea 2 A 1 63 / 66
liniowar 3 rzutowa 64 / 66
rzutowa liniowar 3 rzutowa Składa się z czwórek współrzędnych(x:y:z:w) współrzędnych jednorodnych w może być zerem Dwie proporcjonalne czwórki reprezentuja ten sam punkt: (x 1 :y 1 :z 1 :w 1 ) (x 2 :y 2 :z 2 :w 2 ) x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = w 1 w 2 65 / 66
Przekształcenia rzutowe liniowar 3 rzutowa Przekształceniem rzutowym (projektywicznym) nazywa się przekształcenie RP 3 RP 3 x x y z A y z, w w gdzieajest dowolna4 4macierz a, przy czymdeta 0 66 / 66