PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU INSTYTUT TECHNIKI I MATEMATYKI KIERUNEK: MATEMATYKA SPECJALNOŚĆ: NAUCZYCIELSKA ZE SPECJALIZACJĄ MATEMATYKA W INFORMATYCE PAWEŁ MICHALSKI PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Praca licencjacka napisana pod kierunkiem dra hab. Tomasza Szarka, prof. PWSZ Racibórz 2007
Spis treści Wstęp 5 Rozdział 1. Pojęcia wstępne 7 1. Podstawowe pojęcia analizy 7 Rozdział 2. Układy dynamiczne 9 1. Pojęcia wstępne 9 2. Analiza graficzna 10 3. Hiperboliczność 11 Rozdział 3. Rodzina odwzorowań kwadratowych 15 1. Dynamikadlaa (1,3) 15 2. Dynamikadlaa [3,4] 18 3. WykładnikLyapunovadlaF 4 22 Rozdział 4. Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych 25 1. Przypadek ogólny 25 2. Przypadek punktu okresowego 26 Bibliografia 27
Wstęp Badania nad nieliniową dynamiką stały się niezwykle popularne w przeciągu ostatnich pięćdziesięciu lat. Rozkwit ten można tłumaczyć użytecznością uzyskanych rezultatów nie tylko w matematyce, ale przede wszystkim w naukach przyrodniczych takich jak biologia, fizyka, chemia czy nawet ekonomia. Pozwoliły lepiej zrozumieć anomalie występujące w modelach rozwoju populacji czy w próbach długoterminowej prognozy pogody. Aby lepiej poznać układy dynamiczne zaczęto dogłębnie studiować geometrię i topologię, ponieważ problemy napotykane w czasie badań nad układem dynamicznym (np. pewne układy równań różniczkowych) często nie były możliwe do rozwiązania za pomocą znanych metod analizy. Zapoczątkowane zostały takie działy matematyki jak topologia algebraiczna i topologia różniczkowa, w których szybki postęp dał matematykom zupełnie nowe, bardziej geometryczne, spojrzenie na zagadnienia dynamiki nieliniowej. Pomimo tego, że do rozwoju teorii układów dynamicznych przyczyniły się tak zaawansowane dziedziny matematyki, wiele ciekawych wyników da się przenieść na grunt bardziej elementarny. Na przykład na prostą rzeczywistą. Można wprowadzić podstawowe pojęcia dynamiki nieliniowej bez odwoływania się do przestrzeni wielowymiarowych czy zaawansowanych pojęć topologii. Takie właśnie podejście, poparte przykładem odwzorowania logistycznego, jest tematem niniejszej pracy.
ROZDZIAŁ 1 Pojęcia wstępne Przyjmujemy następujące oznaczenia: 1. Podstawowe pojęcia analizy I,J,A-podzbioryprostej D f -dziedzinafunkcjif f (x)-pierwszapochodnafunkcjifwpunkciex f (n) (x)-n-tapochodnafunkcjifwpunkciex Określenia.Niechf: R Rbędziefunkcją. Mówimy,żefunkcjajestklasyC n naprzedzialeijeślif (n) (x)istniejeijestciągładla każdegox I. FunkcjajestnazywanagładkąjeślijestklasyC 1. FunkcjajestklasyC jeśliwszystkiejejpochodneistniejąisąciągłe. Definicja1.1.Mówimy,żefunkcjaf:D f Rjestróżnowartościowajeśli x1,x 2 D f (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )). Przykład 1.2. Przykładami takich funkcji na prostej rzeczywistej są funkcje ciągłe ściślerosnącelubściślemalejące,np.f(x)=x 3, f(x)=e x. Definicja 1.3. Funkcją odwrotną do funkcji różnowartościowej f nazywamy funkcję f 1 taką,żef 1 (y)=x f(x)=y. Przykład1.4.Rozważmyfunkcjęf: R [0, )danąwzoremf(x)=e x.jest onaróżnowartościowaimatymsamymfunkcjęodwrotnąf 1 : R + Rdanąwzorem f 1 (x)=lnx. Definicja1.5.Mówimy,żefunkcjaf:I Jjest na jeśli y J x I y=f(x). ] Przykład1.6.Funkcjaf: R [ 1 2 π,1 2 π danawzoremf(x)=arctgxniejest na gdyżnieistniejex 0 R taki,żearctg(x 0 )= 1 2 πaniarctg(x 0)= 1 2 π. Definicja1.7.Niechf:I J.Mówimy,żefunkcjafjesthomeomorfizmemjeśli jestróżnowartościowa, na,ciągłaorazf 1 jesttakżeciągła.mówimy,żedwaprzedziały są homeomorficzne jeśli istnieje homeomorfizm przeprowadzający jeden z nich na drugi.
8 Pojęcia wstępne Definicja1.8.Niechf:I J.Mówimy,żefjestdyfeomorfizmemklasyC n,jeżeli jesthomeomorfizmemklasyc n takim,żef 1 jesttakżeklasyc n. Jednym z najważniejszych pojęć, których będziemy używać jest złożenie funkcji. Definicja1.9.Załóżmy,żemamyfunkcjef:I Jorazg:J A.Złożeniem funkcji f ignazywamyfunkcjęg f:i A.Określamy(g f)(x)=g(f(x)).nkrotnezłożeniefunkcjif zesobąoznaczamyf n (x)=f f... f(x). Przyjmujemy } {{ } nrazy f 0 (x)=x.ponadtojeżeliistniejefunkcjaf 1 odwrotnadoftozapisujemyf n (x)= f 1... f 1 (x). Bardzo ważną własność pochodnej funkcji złożonej przedstawia poniższy lemat. Lemat1.10.Jeślif,gsąfunkcjamigładkimito (f g) (x)=f (g(x)) g (x). Wszczególności,jeślih(x)=f n (x)to n h (x)= f (f n i (x)). i=1 Definicja 1.11. Niech S R. S nazywamy zbiorem otwartym jeśli x S ε>0 (x ε,x+ε) S. Definicja 1.12. Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, że x U. Twierdzenie1.13.(owartościśredniej).Niechf:[a,b] RbędzieklasyC 1.Wówczas c [a,b] f(b) f(a)=f (c)(b a). Twierdzenie 1.14.(własność Darboux). Niech f:[a, b] R będzie ciągła. Załóżmy, żef(a)=a 0 orazf(b)=b 0.Wtedy: z [a0,b 0 ] c [a,b] f(c)=z.
ROZDZIAŁ 2 Układy dynamiczne W tym miejscu warto odpowiedzieć sobie na pytanie co właściwie rozumiemy przez pojęcie układu dynamicznego. Wyróżniamy dwa rodzaje układów dynamicznych- ciągłe oraz dyskretne. W tej pracy skoncentrujemy się wyłącznie na opisie dyskretnych układów dynamicznych. Załóżmy, że mamy pewne odwzorowanie f: R R. Dyskretny układ dynamiczny to najprościej mówiąc zbiór punktów powstałych w wyniku złożeń odwzorowaniafzsamymsobą.przykładowo,jeślimamyf(x)=sinh(x)toukładdynamiczny wyznaczony przez tą funkcję to zbiór punktów postaci {x,sinh(x),sinh(sinh(x)),...,sinh(sinh(...(sinh(x))...))}. } {{ } nrazy n-krotne złożenie odwzorowania z samym sobą nazywamy jego n-tą iteracją. Głównym przemiotem badań w dziedzinie układów dynamicznych jest więc poszukiwanie odpowiedzi na pytanie o zachowanie się wspomnianych punktów przy rosnącej liczbie iteracji. Przedstawimy teraz pojęcia niezbędne dla dalszych rozważań. 1. Pojęcia wstępne Definicja 2.1. Punktem stałym odwzorowania f nazywamy taki punkt x, że f(x)=x.zbiórpunktówstałychoznaczamyfix(f). Lemat2.2.Niechf:I Ibędziefunkcjąciągłą.Wówczasfmaconajmniejjeden punktstaływi. Dowód.Weźmyg(x)=f(x) x.widać,żeg(x)jestciągłanai.przypuśćmy,że f(a)>aif(b)<b(wprzeciwnymwypadkualubbbyłbypunktemstałym).wynika stąd,żeg(a)>0orazg(b)<0.ztwierdzenia1.14wynika,żeistniejecpomiędzyaib, dlaktóregog(c)=0.wnioskujemywięc,żef(c)=cconależałodowieść. Definicja 2.3. Niech f: I J będzie odwzorowaniem.orbitą górną punktu x nazywamyzbiórpunktówpostaci{f n (x),n N}ioznaczamyO + f (x).jeślifjesthomeomorfizmemmożemyzdefiniowaćrównieżorbitędolnąx.jesttozbiórpostaci{f n (x),n N 0 } oznaczanyo f (x).ostateczniedochodzimydopojęciaorbitypełnejxjakozbiorupostaci {f n (x),n Z}. Orbity mogą tworzyć bardzo skomplikowane zbiory punktów nawet dla prostych odwzorowań nieliniowych. Istnieją mimo to również wyjątkowo proste orbity, które odgrywają kluczową rolę w badaniach nad całym systemem.
10 Układy dynamiczne Definicja2.4.Punktxnazywamypunktemokresowymookresienjeślif n (x)=x. Najmniejsząliczbęnaturalnąntaką,żef n (x)=xnazywamyokresempodstawowym punktux.zbiórpunktówokresowychookresienoznaczamyper n (f).zbiórwszystkich iteracji punktu okresowego nazywamy orbitą okresową. Przykład2.5.Wprzypadkuf(x)=x 3 mamyfix(f)={ 1,0,1}orazdlakażdego n Z,Per n (f)=fix(f),tzn.f niemażadnychpunktówokresowychróżnychod punktówstałych.natomiastdlaf(x)=x { 2 1mamy 1+ 5 Fix(f)=, 1 } 5 orazper 2 (f)\fix(f)={ 1,0}. 2 2 Definicja 2.6. Punkt x nazywamy punktem krytycznym odwzorowania f jeżeli f (x)=0.punktkrytycznyjestniezdegenerowanygdyf (x) 0.Wprzeciwnymwypadku nazywamy go zdegenerowanym. Przykład2.7.Weźmyf(x)=x 2.Funkcjafmaniezdegenerowanypunktkrytycznywx=0,natomiastf(x)=x n mazdegenerowanypunktkrytycznywx=0dla wszystkichn 3. 2. Analiza graficzna Celem badania układu dynamicznego jest zrozumienie zachowania się wszystkich jego orbit, znalezienie tych okresowych itd. Niestety jest to zadanie bardzo trudne lub wręcz niemożliwe do wykonania przy pomocy zwyczajnych metod analizy. Przykładowo załóżmy, że mamy odwzorowanie kwadratowe. Znalezienie w sposób analityczny wszystkichjegopunktówokresowychookresienwymagałobyrozwiązaniarównaniaf n (x)=x, którejestrównaniemwielomianowymstopnia2 n.metodynumerycznerównieżniezdają tu egzaminu gdyż zaokrąglenia powstałe w wyniku skończonej precyzji obliczeń komputerowych prowadzą do nagromadzania się małych błędów, które ostatecznie sprawiają, że wiele punktów okresowych staje się niewidocznymi. Matematycy nie pozostali jednak bezbronni. Wprowadzono metody geometryczne, za pomocą których możemy dokładnie rozpoznać zachowanie kolejnych punktów systemu. Metoda ta nazywana jest portretem fazowym. Jest to rysunek na prostej rzeczywistej obrazujący wszystkie orbity systemu. Dla przykładu: portret fazowy pokazujący, że każda niezerowaorbitaf(x)= xmaokres2możewyglądaćtakjaknarysunku1. Rysunek1.Portretfazowydlaf(x)= x.
3 Hiperboliczność 11 Rysunek2.Portretfazowydlaf(x)=x 3. Zkoleidlaprzekształceniadanegowzoremf(x)=x 3 takjaknarysunku2. Najczęściej stosowaną metodą znajdowania portretów fazowych danego systemu dynamicznego jest tzw. analiza graficzna. Polega ona na wykorzystaniu wykresu odwzorowania celem badania kolejnych jego iteracji. Procedura wygląda następująco. Rysujemy wykres naszego odwzorowania f oraz na tym samym układzie współrzędnych zaznaczamyzbiór ={(y,y): y R}.Wybieramypunktx irysujemyodniego pionowąlinięażdomomentujejprzecięciasięzwykresemf.dotarliśmywięcodpunktu (x,x)do(x,f(x)).odtegomiejscarysujemyliniępoziomąażdochwilijejprzecięcia sięz.jesteśmyterazwpunkcie(f(x),f(x)).terazwyraźniewidzimydokądzaprowadzą nas dalsze kroki tej konstrukcji. Znajdować się będziemy bowiem w punktach ( f(x),f 2 (x) ) (, f 2 (x),f 2 (x) ) itd.,czyliwkolejnychpunktachiteracjiodwzorowaniaf. Poniższy rysunek obrazuje tą procedurę dla przykładowej funkcji. Rysunek3.Analizagraficznadlaf(x)=2x x 2. 3. Hiperboliczność Najczęściej spotykanymi odwzorowaniami w systemach dynamicznych są te posiadające tzw. hiperboliczne punkty okresowe. Przedstawiają one najprostsze do analizowania typy zachowań okresowych. Definicja 2.8. Niech p będzie punktem okresowym o okresie podstawowym n. Punkt tennazywamyhiperbolicznymgdy (f n ) (p) 1.
12 Układy dynamiczne Przykład2.9.Rozważmydyfeomorfizmf(x)= 1 2 (x3 +x).mamyfix(f)={ 1,0,1}. Zauważmy,żef (0)= 1 2 if (±1)=2.Wynikastąd,żekażdyzpunktówstałychfjest hiperboliczny. Wykres oraz portret fazowy funkcji f przedstawiamy na rysunku 4. Rysunek4.Wykresiportretfazowydlaf(x)= 1 2 (x3 +x). Przykład2.10.Tymrazemweźmyf(x)= 1 2 (x3 +x).widzimy,żex=0jest hiperbolicznympunktemstałym,ponieważf (0)= 1 2.Punktyx=±1natomiastleżą naorbicieookresie2.korzystajączlematu1.13obliczamy(f 2 ) (±1)=f (1) f ( 1)=4. Stąd wynika, że punkty x = ±1 również są hiperboliczne. Na rysunku 5 przedstawiamy wykres i portret fazowy. Zauważmy,żewobupowyższychprzykładachmamy f (0) <1orazwidzimy,że punkty blisko zera zbiegają do zera. Jest to typowa sytuacja, którą przedstawimy ściślej w poniższym lemacie. Lemat2.11.Niechpbędziehiperbolicznympunktemstałymtakim,że f (p) <1. Wówczas istnieje otoczenie U punktu p takie, że x U lim n fn (x)=p.
3 Hiperboliczność 13 Rysunek5.Wykresiportretfazowydlaf(x)= 1 2 (x3 +x). Dowód.Ponieważf jestklasyc 1 istniejeε>0taki,że f (x) <A<1dla x [p ε,p+ε].ztwierdzenia1.13otrzymujemy f(x) p = f(x) f(p) A x p < x p ε. Stądf(x)zawierasięw[p ε,p+ε]ijestbliżejpunktupniżpunktx.postępując indukcyjnie f n (x) p A n x p, więcf n (x) pgdyn. Lemat ten pozostaje prawdziwy również dla hiperbolicznych punktów okresowych o okresien.jegozałożenienależałobyoczywiściezmienićna (f n ) (p) <1. Definicja 2.12. Niech p będzie hiperbolicznym punktem okresowym o okresie n takim,że (f n ) (p) <1.Punktpbędziemynazywaliprzyciągającympunktemokresowym lub krócej, atraktorem. Zachowanie się odwzorowania w otoczeniu punktów okresowych, w których wartość bezwzględna pochodnej jest większa od 1 jest zupełnie inne od tego obserowanego przy atraktorach. Zobrazujemy to następującym lematem. Lemat 2.13. Niech p będzie hiperbolicznym punktem okresowym o własności f (p) >1.WówczasistniejeotoczenieUpunktuptakie,że ( ) (p x U) k>0 f k (x)/ U.
14 Układy dynamiczne Dowód.PonieważfjestklasyC 1,więcistniejeɛ>0takie,że f (x) >A>1dla x U=[p ɛ,p+ɛ].mamy f(x) p = f(x) f(p) >A x p >ɛ. Przypuśćmy,żeistniejex Utaki,że k N f k (x) U.Wówczas f k (x) f k (p) f (ξ) f k 1 (x) f k 1 (p) A f k 1 (x) f k 1 (p), gdzieξleżypomiędzyporazf k 1 (x).postępującindukcyjnieotrzymujemy k N f k (x) f k (p) A k x p. Jednakgdyk toa k skądwynika,że f k (x) p costoiwsprzeczności zzałożeniem,że k N f k (x) U. Definicja2.14.Punktstałyp,dlaktórego f (p) >1nazywamypunktemodpychającym lub krócej, repulsorem.
ROZDZIAŁ 3 Rodzina odwzorowań kwadratowych Zajmiemy się teraz zaprezentowaniem wprowadzonych pojęć na przykładzie rodziny odwzorowań kwadratowych zwanej też rodziną odwzorowań logistycznych. Mimo prostoty zapisu odsłaniają one bardzo wiele ciekawych własności oraz fenomenów występujących w teorii układów dynamicznych. RozważaćbędziemyodwzorowaniapostaciF a (x)=ax(1 x)gdziea,x R. 1. Dynamikadlaa (1,3) Obserwacja 3.1. Zauważmy, że (1)0,x a Fix(F a )gdziex a = a 1 a,a 0. (2)a>1 0<x a <1. Dowód. (1)Pokażemy,żeF a (x a )=x a. ( )( a 1 F a (x a )=a 1 a 1 ) =(a 1) a a+1 = a a a = a 1 =x a. a Zatemx a Fix(F a ).Dlaargumentu0sprawajestoczywista. (2)Załóżmy,żea>1.Wówczasa 1<askąd,dzielącnierównośćstronamiprzez a,dostajemynatychmiast a 1 <1.Wiemyrównież,żea 1>0więci a 1 a > 0. Ostatecznie 0< a 1 a a <1 0<x a <1. Następujący lemat wyjaśni dlaczego cała interesująca nas dynamika rodziny odwzorowańkwadratowychmamiejscewprzedzialejednostkowymi={x R: 0 x 1}. Lemat3.2.Niecha>1orazn.Wówczas (1)x<0 F n a (x). (2)x>1 F n a(x).
Dowód. 16 Rodzina odwzorowań kwadratowych (1)Jeślix<0toax(1 x)<x,czylif a (x)<x.stądf n a jestmalejącymciągiem punktów. Ciąg ten nie może być zbieżny do p, ponieważ wtedy mielibyśmy F n+1 a (x) F a (p)<ppodczasgdyf n a (x) p.wynikastąd,żefn a. (2)Jeślix>1toF a (x)<0,więcrównieżf n a(x). Powyższe rozważania stają się jeszcze bardziej oczywiste gdy spojrzymy na rysunek 1. Rysunek1.AnalizagraficznaF a (x)dlaa>1. Twierdzenie3.3.Niech1<a<3. (1)F a maprzyciągającypunktstaływx a = a 1 a x=0. (2)Jeśli0<x<1to Dowód. lim n Fn a (x)=x a. oraz odpychający punkt stały w (1)Zauważmy,żeF a(0)=aorazf a(x a )=2 a.wynikastąd,żex a jestatraktorem dla1<a<3natomiast0repulsoremdlaa>1. (2) Dowód punktu drugiego podzielimy na dwie części, mianowicie na przypadki gdy1<a 2,oraz2<a<3.
1Dynamikadlaa (1,3) 17 ( ] 0, 1 2. Wówczas oczywista jest nierów- a)niech1<a 2.Załóżmy,żex ność(patrz rysunek 2) F a (x) x a x x a. ( ) StądFa n(x) x 1 agdyn.jeślizkoleix 2,1 oraz poprzedni argument implikuje tof a (x) ( ) 0, 1 2 F n a (x)=fn 1 a (F a (x)) x a, gdyn. ( ) b)niechteraz2<a<3.zauważmy,żex a 1 2,1.Oznaczmyprzezˆx a ( ) jedyny punkt w przedziale 0, 1 2,takiżeF a (ˆx a )=x a.łatwowidać,że [ Faprzekształcaprzedział[ˆx 2 a,x a ]na 1 2 a],x,azatem x [ˆxa,x a]f n a (x) x a, gdyn.załóżmyteraz,żex<ˆx a.istniejewówczask>0takie, żef k a(x) [ˆx a,x a ],awięcrównieżf k+n a (x) x a.poprzezanalogiczne rozumowaniestwierdzamy,żeprzedział(x a,1)zostanieprzeprowadzony na(0,x a ),awięciiteracjef a dlakolejnychpunktówztegożdojdądo x a.zauważmyteraz,że(0,1)=(0,ˆx a ) [ˆx a,x a ] (x a,1)skądwynika,że każdypunktnależącydo(0,1)zostanieprzeprowadzonynax a cokończy dowód. Rysunek2.AnalizagraficznaF a (x)dla1<a 2(polewej)i 2<a<3(poprawej).
18 Rodzina odwzorowań kwadratowych 2. Dynamikadlaa [3,4] Przedstawiliśmy dynamikę rodziny odwzorowań kwadratowych dla wartości parametru z zakresu(1, 3). Obecnie zajmiemy się prezentacją zachowania tego układu dynamicznego dla wartości parametru z zakresu[3, 4]. Pamiętamy,żedlaa (1,3) Przyjrzyjmy się przypadkowi n = 2, tzn. n N Fix(F n a )={0,x a}. F 2 a(x)=a 2 (1 x)x(1 a(1 x)x). Oczekiwalibyśmy,żejedynymirozwiązaniamirównaniaFa(x)=xbędziezbiór{0,x 2 a }. Zauważmy jednak, że równanie jest także spełnione przez a u 1 = 2 2a 3 a 1 a i u 2 = 2 2a 3+a+1. 2a 2a Były one pomijane we wcześniejszych rozważaniach, ponieważ dla każdego a z przedziału (1,3)wyrażeniea 2 2a 3przyjmujewartościujemne.Dlatychjednakniejestokreślony pierwiastek kwadratowy, więc rozwiązania nie istniały. Zatem gdy a przekracza wartość 3mamydwanowepunktystałedlaF 2 a,czylifix(f2 a )={0,x a,u 1,u 2 }izarazemdwa nowepunktyokresoweookresie2dlaf a tzn.per 2 (F a )={0,x a,u 1,u 2 }.RezultatdlaF 2 a pokazany jest na rysunku 3. Rysunek3.F 2 a(x)dlaa>3. Jakie mogą więc być konsekwencje przyjęcia parametru z przedziału[3, 4]? Weźmy najpierw jakąś jego wartość z przedziału(1, 3), przykładowo niech a = 2.45. Wówczas zgodnie z twierdzeniem 3.3 mamy x (0,1) lim n Fn 2.45 (x)=x 2.45= 2.45 1 0.591836. 2.45
2Dynamikadlaa [3,4] 19 Przyjmijmy teraz a = 3.27. Gdybyśmy chcieli zastosować twierdzenie 3.3 oczekiwalibyśmy następującego wyniku: x (0,1) lim n Fn 3.27(x)=x 3.27 = 3.27 1 0.694189. 3.27 Spójrzmyjednaknawartościznajdującesięwtabelach4.2i4.3.Znajdująsięwnich wartościpowstałewwynikupiętnastuiteracjipunktupoczątkowegox 0 =0.4.Kolumna ntonumeriteracji,akolumnafa n(x 0)toodpowiadającawartościiteracji.Zauważamy, żewtabeli4.2iteracjezbliżająsię,jakprzewidywaliśmy,dopunktux 2.45,jednakliczby w tabeli 4.3 w żaden sposób nie spełniają naszych oczekiwań. Aby lepiej zobrazować powstałą sytuację posłużymy się tzw. szeregiem czasowym. Definicja3.4.Szeregiemczasowym przekształceniaf dlaustalonegopunktux 0 nazywamyciągpunktówpostaci(n,f n (x 0 )) n N gdzientonumeriteracji,af n (x 0 )odpowiadającaiteracjawartościpoczątkowejx 0. Szereg czasowy można rozumieć jako graficzną reprezentację zbioru orbity górnej O + f (x 0).Dlazwiększeniaprzejrzystościpunktyszereguczasowegopołączymyodcinkami. Na rysunku 4 są szeregi czasowe odpowiadające tabelom 4.2 i 4.3. Widzimy wyraźnie, że na pierwszym z nich iteracje dążą do punktu stałego podczas gdy na drugim oscylują pomiędzy dwiema wartościami. Zatem granica o której mowa w twierdzeniu 3.3 nie istnieje, pokazaliśmy więc na przykładzie istotność założenia o braniu a z przedziału(1, 3). n F n 2.45 (0.4) 1 0.588000 2 0.593527 3 0.591069 4 0.592181 5 0.591682 6 0.591906 7 0.591805 8 0.591851 9 0.591830 10 0.591840 11 0.591835 12 0.591837 13 0.591836 14 0.591837 15 0.591837 Tabela4.2i4.3. n F n 3.27 (0.4) 1 0.784800 2 0.552267 3 0.808567 4 0.506152 5 0.817376 6 0.488120 7 0.817039 8 0.488821 9 0.817091 10 0.488712 11 0.817083 12 0.488728 13 0.817085 14 0.488726 15 0.817084 Niewątpliwie jedną z najważniejszych cech jaką prezentuje odwzorowanie logistyczne z parametrem a z przedziału[3, 4] jest wrażliwość na warunki początkowe. Oznacza to,
20 Rodzina odwzorowań kwadratowych żekażde,najmniejszenawetodchylenieprzyjętegox 0 odpierwotnejwartościzostaniew pewnej chwili gwałtownie powiększone pod wpływem kolejnych iteracji. Rysunek4.SzeregczasowypiętnastuiteracjiF a (0.4)dlaa=2.45 (polewej)ia=3.27(poprawej). Istnieją szczególne klasy odwzorowań wrażliwych na warunki początkowe. Edward Lorenz nazwał chaotycznymi te odwzorowania, w których błąd powstały w wyniku niewielkich zmian w wartościach początkowych wzrastał do tego samego rzędu wielkości co oryginalne wartości. Do pokazania tej własności posłużymy się znów szeregiem czasowym.niechx 0 =0.8, a=4, n=50.wprowadzimyniewielkieodchylenieε=10 6. Rezultat zawarty jest na rysunku 5. Początkowo różnica pomiędzy oryginalną orbitą, a tą z wprowadzonym odchyleniem jest znikoma, jednak już po przekroczeniu piętnastej iteracji błąd gwałtownie wzrasta. Jest to, więc odwzorowanie chaotyczne. Fakt,żeróżnicapomiędzywyjściowąorbitąO + F 4 (0.8),aorbitąO + F 4 (0.8+ε)jestw początkowych iteracjach niewielka możemy wykorzystać do obliczenia średniego tempa wzrostunieskończeniemałychbłędówwpunkciex 0. Rozważmywtymceluodwzorowanieg(x)=cx,gdziec>1jeststałąrzeczywistą. Możemyzłatwościązapisaćjegopostaćponiteracjachdlaustalonegopunktux 0.Będzie tog n (x 0 )=c n x 0.NiechbłądpoczątkowywynosiE 0 =ε.wtedyg n (x 0 +E 0 )=c n (x 0 + E 0 ).ObliczmyE n,czyliwartośćbłęduponiteracjach: E n =g n (x 0 +ε) g n (x 0 )=c n (x 0 +ε) c n x 0 =c n ε. Zauważmy,żezkażdąiteracjąbłądrośnieoczynnikc,tzn. (1) E n =cn. E 0 OczywiścietakprostazależnośćniewystępujedlacałegozbioruO + F a (x 0 ),gdyżjakwidzimy na rysunku 5 wartości błędu zmieniają się w bardzo nieregularny sposób w przeciwieństwie do odwzorowania g. Widzieliśmy jednak, że do pewnego momentu błąd był
2Dynamikadlaa [3,4] 21 Rysunek5.Szeregczasowy50iteracjiF 4 (0.8)(ugórypolewej), F 4 (0.8+ε)(ugórypoprawej)oraz F 4 (0.8+ε) F 4 (0.8) (udołu). niewielki i musiał rosnąć w przybliżeniu jednostajnie. Równanie(1) ma więc zastosowaniewprzypadkuf a podwarunkiem,żezanprzyjmiemynumeriteracji,wktórejwartość błędue n przekroczyłaporazpierwszypewnąustalonąwartość,np.0.15.wyliczmywięc z równania(1) współczynnik wzrostu błędu c. (2) E n E =cn ln E n 0 E =nlnc lnc=1 0 n ln E n E. 0 ( ) 1 Zatemc=exp n ln E n. E 0 Przykład3.5.Niechx 0 =0.202orazE 0 =0.000001.SprawdźmykiedywartośćE n przekroczy pierwszy raz 0.15.
22 Rodzina odwzorowań kwadratowych n F4 n(0.202) 15 0.022071 16 0.086337 17 0.315531 18 0.863885 n F4 n(0.202+e 0) 15 0.035672 16 0.137599 17 0.474662 18 0.997432 Domomentun=16błądpozostajemniejszyod0.15jednakdlan=17mamyjuż F 17 4 (0.202+E 0 ) F 17 4 (0.202)=0.159131>0.15. Obliczmy, więc współczynnik wzrostu błędu na iterację: ( ) ( ) 1 c=exp 17 ln E 17 1 E c=exp 0 17 ln0.474662 0.000001 2.1. Możemy zatem wnioskować, że odpowiednio małe błędy będą się w przybliżeniu podwajać z każdą iteracją punktu 0.202. 3. WykładnikLyapunovadlaF 4 Wyjaśnimy teraz pojęcie wykładnika Lyapunova, które jest ściśle związane z powyższymi rozważaniami. Wykładnik ten jest liczbą opisującą średni wzrost nieskończenie małychbłędówwpunkciex 0.Oznaczamygoλ(x 0 ).Oczywistejest,żeabywyznaczyćw miarę dokładne tempo wzrostu błędów należy wziąć pod uwagę znacznie więcej iteracji niż w poprzednim przykładzie. Dobrym sposobem nie jest również branie coraz mniejszychbłędówpoczątkowychnp.10 20 celemwydłużeniaczasu,wktórymbłądprzekroczy pewną ustaloną wartość ze względu na ograniczoną dokładność komputerowych obliczeń numerycznych. Rozwiązanieproblemujestnastępujące.NiechE 0 będziedowolniemałymbłędem początkowym. Zapiszmy wzrost całkowitego błędu w równoważnej postaci: E n n = E k. E 0 k=1 E k 1 Pamiętajmy, że w myśl równania(2) jesteśmy zainteresowani logarytmem średniej geometrycznej powyższego iloczynu: ( 1 n n ln ) E k E = 1 n ln E k k=1 k 1 n E. k=1 k 1 Rozważmy wyrażenie E k+1 E opisującejakmałybłąde kwk-tejiteracjizmienisięw k k + 1-szej iteracji. Obserwacja3.6.JeśliE k =εjestmałymbłędemtowspółczynnikwzrostubłędu na iterację E k+1 niezależywsposóbistotnyodek E k.
3WykładnikLyapunovadlaF 4 23 Dowód.NiechE k =ε,tzn.ˆx k =x k +εgdziex k oznaczak-tąiteracjęf 4.Wówczas mamy E k+1 =F 4 (ˆx k ) F 4 (x k )=ˆx k+1 x k+1 = =4(x k +ε)(1 x k ε) 4x k (1 x k )=4ε(1 2x k ) 4ε 2. MożemypodzielićterazobustronnieprzezE k otrzymując E k+1 =4(1 2x k ) 4ε. E k Wartość 4ε jest stosunkowo mała, więc nasz współczynnik zależny jest głównie od wartości4(1 2x k ). JeżeliterazprzyjmiemyÊk+1=F 4 (x k +ε) F 4 (x k )todladowolniemałegobłędu początkowego ε dostajemy oszacowanie E k+1 E Êk+1. k ε Ostatecznie, na mocy obserwacji 3.6 dostajemy 1 n ln E n n 1 Ê k ln n ε. E n Wyprowadziliśmy, więc praktyczną metodę obliczania wartości wykładnika Lyapunova. Dziękiniejmożemybeztrudusprawdzić,żenp.dlaε=0.001, n=100000, a=4 zachodzi λ(0.202) 0.69307. Można także wykazać, że dla losowo wybranej wartości początkowejzprzedziału[0,1]idlaa=4przyrosnącejliczbieiteracjiwgranicyotrzymamy λ(x 0 )=ln2=0.693... k=1
ROZDZIAŁ 4 Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych Załóżmy,żefunkcjaf:D f RjestciągłaiD f R. Definicja4.1.Pochodnąfunkcjifwpunkciex 0 D f nazywamygranicę f (x 0 )= lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Zauważmy,żepodstawiającwpowyższejdefinicjih=x x 0 x=x 0 +hotrzymujemy jej równoważną postać. Definicja4.2.Pochodnąfunkcjifwpunkciex 0 D f nazywamygranicę f f(x 0 +h) f(x 0 ) (x 0 )=lim. h 0 h Definicja4.3.Funkcjęfnazywamyróżniczkowalnąwpunkciex 0 gdyistniejeijest skończona granica lim,tzn. f(x 0 +h) f(x 0 ) h 0 h f(x 0 +h) f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) lim = lim =f (x 0 ). h 0 + h h 0 h 1. Przypadek ogólny Załóżmy,żeprzeprowadziliśmyiteracjęróżniczkowalnegoodwzorowaniaf,czylix n+1 = f(x n )dlan=1,2,...wiemyjużzpoprzedniegorozdziału,żemożemyzapisaćwzrost błędu po n krokach w postaci iloczynu E n E = n E k 0 E k=1 k 1 i następnie rozważyć jego zlogarytmowaną średnią geometryczną otrzymując 1 n ln E n n E =1 ln E k 0 n E. k=1 k 1 Oczywiściebłądwk-tejiteracjiwynosiE k =f(x k 1 +E k 1 ) f(x k 1 )skądmamy (3) E k E k 1 = f(x k 1+E k 1 ) f(x k 1 ) E k 1.
26 Wykładnik Lyapunova dla odwzorowań różniczkowalnych Pamiętamy, że dla zmaksymalizowania dokładności obliczeń wykładnika Lyapunova przyjmowaliśmydowolniemałybłądpoczątkowye 0.Jeżelizatemprzyjmiemyw(3),że E 0 0tonamocydefinicji4.2otrzymamy: f(x k 1 +E k 1 ) f(x k 1 ) lim =f (x k 1 ), E 0 0 E k 1 czyli 1 n lim ln E k n E 0 0n E =1 ln f (x k 1 ). k=1 k 1 n k=1 Zwiększając teraz do nieskończoności liczbę iteracji n otrzymujemy ogólny wzór na obliczanie wartości wykładnika Lyapunova dla odwzorowania różniczkowalnego: 1 n (4) λ(x 0 )= lim ln f (x k 1 ). n n k=1 Przykład4.4.PonieważodwzorowanielogistyczneF a rozważanewrozdziale4jest różniczkowalne możemy wyznaczyć dla niego ogólną postać wykładnika Lyapunova: 1 n 1 n λ(x 0 )= lim ln a 2ax k 1 =lna+lim ln 1 2x k 1. n n n n k=1 k=1 2. Przypadek punktu okresowego Załóżmy,żeorbitapunktux 0 jestorbitąokresowąookresiedługościm>0,tzn. x m =f m (x 0 )=x 0.Wówczaszamiastzmierzaniaziteracjamidonieskończonościwystarczy wziąć ich ilość odpowiadającą długości okresu gdyż ze względu na powtarzanie się wartości iteracji średnia arytmetyczna logarytmów współczynników wzrostu błędu w jednym okresie jest taka sama jak w dwóch, trzech i wszystkich pozostałych. Zatem w myśl wzoru(4) otrzymujemy: Przykład 4.5. 1 λ(x 0 )= lim n n n ln f (x k 1 ) = 1 m ln f (x k 1 ). m k=1 k=1 (1)Jeżelix 0 jestpunktemstałym,tzn.m=1dostajemy λ(x 0 )=ln f (x 0 ). (2)Jeżelix 0 maokresdługości2,tzn.m=2to λ(x 0 )= 1 2 (ln f (x 0 ) +ln f (x 1 ) )=λ(x 1 ).
Bibliografia [1] Robert L. Devaney An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison Wesley 1989r. [2] Robert L. Devaney Chaos, Fractals and Dynamics, Addison Wesley, Menlo Park 1990r. [3] A. Lasota, M. Mackey Chaos, Fractals and Noise, Springer, 1994r. [4] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice chaosu. Fraktale. Część I, PWN 2002 [5] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice chaosu. Fraktale. Część II, PWN 2002 [6]IanStewartCzyBóggrawkości?,PWN2001