7. MIEJSCA GEOMETRYCZNE PIERWIASTKÓW (mgp)

Transkrypt

1 7. Miejc geometyczne piewitów 7. MIEJSCA GEOMERYCZNE PIERWIASKÓW (mgp) 7.. Zdy budowy miejc geometycznych piewitów (mgp) ) Zpi funcji pzejści mgp dotyczy ułdu zmniętego, le do jego budowy wyozytuje ię funcję pzejści w ułdzie otwtym. ( l )!( lv ) H () G() K g n ( m )!( mu ) K K K K g z l! lv l " lv H () G() K g m " mn n! m mu K wpółczynni czułości ttycznej, zmieni ię od do H z i () G() li ( z )"( zv ) n ( p )"( p ) K z i ze funcji H()G(), p bieguny funcji H()G(), u p ) Wune gumentu i modułu H()G(). N podtwie ównni chteytycznego ułdu zmniętego, możn wypowdzić wuni jie powinn pełnić funcj w ułdzie otwtym, by możn było budowć mgp. Np. będzie dny ułd biegunów i ze w funcji pzejści ułdu otwtego. mu z p p ψ φ φ z p p Ry. 7. Jeżeli punt póbny nleży do mgp, to jet pełniony wune gumentu: ϕ ϕ ψ ( m )π gdzie m, ±, ±,... Wune ten łuży do oeślni mgp metodą pób i ogólnie zpiuje ię go wzoem: u i v i i nϕ ϕ ψ ( m )π Jeżeli punt póbny nleży do mgp to wtość czułości ttycznej oeślmy ze wzou: 97

2 7. Miejc geometyczne piewitów p p K z Jet to wune modułu i łuży do lowni wyeu w wtościch K. Ogólny zpi: K " u n p pu n p p i v z " zv W ptyce może ię zdzyć, że funcj nie m ze, wtedy : p zi i v zi i ) Część mgp n oi zeczywitej. Pzyjmując punt póbny n oi zeczywitej możn wyzć, że jeżeli liczb biegunów i ze leżących po pwej tonie puntu póbnego n oi zeczywitej jet niepzyt to punt ten nleży do mgp. K K K ieune wzotu K z p p Ry. 7. 4) Liczb odgłęzień mgp. Liczb t jet ówn liczbie biegunów H()G(). 5) Punty początowe i ońcowe MGP. Punt początowy w biegunie p. Punt ońcowy w zeze i zi. 6) Aymptoty mgp. Jeżeli miejce geometyczne m ymptoty, to ąt ich nchyleni do oi zeczywitej wynoi: ( m ) π m,±, ±,..., (un-) u n v u n liczb biegunów; v liczb ze Wzytie ymptoty MGP pzecinją ię w jednym puncie, nzywmy śodiem ciężości ymptot. n n p p n p v u n v z i - um wtości wpółzędnych biegunów - um wtości wpółzędnych ze 98

3 7. Miejc geometyczne piewitów 7) Punty ozgłęzieni i chodzeni mgp. punt ozgłęzieni punt chodzeni K nietypowy punt chodzeni K K K 5 K 5 K K K K K K K K Ry. 7. Punt ozgłęzieni to punt, w tóym mgp opuzcz oś zeczywitą pzechodząc n płzczyznę zmiennej zepolonej. Punt chodzeni to punt, w tóym mgp opuzcz płzczyznę zmiennej zepolonej n oś zeczywitą. Opócz typowych mogą wytąpić ównież nietypowe ozgłęzieni i chodzeni. O itnieniu tych puntów ozgłęzieni możn wnioowć tylo podcz budowy wyeów. Wpółzędne puntów ozgłęzieni lub chodzeni, możn n podtwie wunu gumentów. W tym celu ozwż ię pecjlny punt póbny będący puntem pozuiwnym, odchylonym od oi o bdzo młą odległość (y.7.4). z p p ψ φ α φ z p p bdzo młe odchylenie Ry. 7.4 Jeżeli punt póbny m nleżeć do mgp to mui być pełniony wune gumentu: ϕ ϕ ψ ( m ) π ϕ π α π inα dl bdzo mlych ϕ π, ϕ p ψ z p, π ( m )π p p z W otzymnym ównniu dobiemy tą wtość m by wyeliminowć łdnii tłe będące wielootnością π. Dl nzego pzypdu dl m : 99

4 p p p z p p p z z 7. Miejc geometyczne piewitów Rozwiąznie otzymnego ównni pzepowdzmy metodą pób, złdjąc położenie puntu ozgłęzieni i chodzeni. Otzymujemy w ten poób wtości pomieni, tóe podtwimy do wzou i pwdzmy zeownie ię lewej tony. Pzyłd 7.. Dny jet UAR pozny n yunu 7.5 R() E() K g C() - ( )( )( ),[];,[];,5[] Ry. 7.5 Zbudowć miejce geometyczne piewitów ułdu zmniętego.. Zpi funcji pzejści: K H () G() K g 5. Ze i bieguny H()G() oz mgp n oi zeczywitej: p -; p -5; p -. ( )( )( ) 6 p p p Ry Wyznczenie ymptot (ąt) i śod ciężości ymptot. ( m ) π ( m ) π π ( m ) tąd: u n v m 6 8 4

5 u p zi 5 5,67 u n v 4. Wpółzędne puntu ozgłęzieni: ϕ ϕ ψ ( m )π v π ( m )π p p p p p p zcujemy z wyeu mgp i powyżzego ównni. p 7. Miejc geometyczne piewitów ,5 -,4 p,5,4 p,5,6 p 7 6 6,5 6,6 lew ton ów. -,6,67,5,6 -,4 p p p Ry Liczb głęzi MGP 6. Otteczny wye mgp. K K - K Ry. 7.8 Z powyżzego wyeu wyni, że: ) dl K 4,8 piewiti ównni chteytycznego ułdu zmniętego ą zeczywite ujemne; b) dl K > 4,8 ównnie chteytyczne m: - dw piewiti zepolone n głęzich i ; - jeden piewite zeczywity n głęzi. W celu znlezieni piewitów ównni chteytycznego ułdu zmniętego, dl zdnej czułości ttycznej, nleży: ) znleźć punty mgp (metodą pób), w tóym czułość ttyczn odpowid czułości zdnej; b) wpółzędne tych puntów ą pozuiwnymi piewitmi. Równnie chteytyczne zpine w potci wyniowej, możn wyozytć do nlizy zchowni ię ułdu zmniętego np.: do wyznczeni chteytyi czowej.

6 7. Miejc geometyczne piewitów 7.. Ogólne wytyczne dobou wzmocnieni.) Dl ułdu oygownego (z egultoem) poządzmy mgp, np.: p p η / z η K o wym p p Ry. 7.9 ) Nleży wyeślić potą pod ątem wynijącym z zdnej liczby tłumieni piewitów dominujących. η c coξ z (,4 ξ z,8) ) Nleży wyznczyć wymgną czułość ttyczną w puncie pzecięci potej i mgp. 4) Nleży wyznczyć wymgne wzmocnienie egulto n podtwie wtości K o wym. Wzmocnienie to gwntuje położenie piewitów dominujących w puntch i płzczyzny zepolonej. Pzyłd 7.. Zbdć zp tbilności ułdu egulcji opinego funcją pzejści w ułdzie otwtym. H () G() KK Z ( )( ) dl dnych KK Z,4 [/], [], [] Ztoowć metodę miejc geometycznego piewitów ównni chteytycznego ułdu. Miejce geometyczne pzedtwi zminę położeni piewitów ównni chteytycznego, w tóym wpółczynni wzmocnieni zpiny w potcie wpółczynni czułości ttycznej, ttowny jet j pmet pzyjmujący wtości z pzedziłu [, ]. Miejce geometyczne dotyczy ułdu zmniętego, lecz do jego budowy wyozytuje ię funcję pzejści w ułdzie otwtym. W piewzej olejności ztoujemy zpi funcji pzejści dogodny do budowy mgp: KK Z KK Z H () G() ( )( ) K ( p )( p )( p ) gdzie: K wpółczynni czułości ttycznej, mjący wtość

7 K KK Z [ ] 7 7. Miejc geometyczne piewitów p, p, p bieguny funcji pzejści w ułdzie otwtym mjące wtości p [/] p 5 [ ] p [ ] Ntępnie wyznczone wtości biegunów nnoimy n płzczyznę Gu i bdmy, tóe części oi zeczywitej nleżą do mgp. W tym wypdu będą to części zwte miedzy p i p oz n lewo od p, pozne n yunu 7.. Z tego yunu wyni, że między biegunmi p i p znjduje ię typowy punt ozgłęzieni. Dl znlezieni tego puntu ułdmy ównnie pomocnicze wynijące z wunu gumentu (y. 7.) p p p Ry. 7. φ p p p p φ φ ~ ~ p ~ p Ry. 7. Wymienione ównnie m potć: ϕ ϕ ϕ (m )π Poniewż ϕ π ϕ ϕ p p p więc otzymmy π ( m )π. p p p

8 7. Miejc geometyczne piewitów Ntępnie dobiemy tą wtość m, by wyeliminowć łdnii tłe, będące wielootnością liczby π. W tym pzypdu dl m po upozczeniu otzymmy: p p p Rozwiąznie tego ównni pzepowdzmy metodą pób złdjąc onetne wtości pomieni. Wynii obliczeń dl wygody możn zetwić w tbeli, w tóej oblicz ię wtość lewej tony ównni (b. 7..). bel 7.. p p p Lew ton ównni 7, 8 -,4,,9 7,9 -,5 Pzyjmując, że dołdność wyzeowni ię lewej tony ównni jet w tzecim wiezu wytczjąc dl ptyi, możn pzyjąć, że: p, [/] p,9 [/] p 7,9 [/] więc odcięt puntu ozgłęzieni wynoi, [/]. Ntępnie wyznczmy ąt nchyleni ymptot, ze wzou: ( m ) π u n v W ozptywnym pzypdu liczby biegunów i ze wynozą: u n v ztem ymptoty mgp będą nchylone pod ątem: π ( m ) ( m ) 6 Wynii obliczeń zwyle zetwi ię w tbeli dl ilu wtości m (b. 7..). bel 7.. m [ o ] Z tbeli wybiemy ąty będące ozwiązniem zdni, czyli: 6 o o Śode ciężości ymptot wyznczmy ze wzou: u v p zi 5 5[ ] u n v Obecnie możemy pzytąpić do wyeśleni części mgp znjdującej ię poz oią zeczywitą. W tym celu będziemy toowć wune gumentu, tóy dl żdego 4

9 7. Miejc geometyczne piewitów puntu póbnego n płzczyźnie Gu, nleżącego do mgp, m w tym pzypdu potć: ϕ ϕ ϕ (m )8 o Pzyłdowo, dl puntu p (y. 7..) otzymmy: ϕ 9 [ o ] ϕ 4 [ o ] ϕ [ o ] m podobnie dl puntu p (y. 7..) będzie: ϕ 95 [ o ] ϕ 5 [ o ] ϕ [ o ] m 58,5 6, p 7 7 p 6, - -, 58,5 48 Ry. 7. Po wyeśleniu mgp, możemy pzytąpić do wylowni wyeu w wtościch czułości ttycznej K. W tym celu ztoujemy wune modułu, tóy dl żdego puntu mgp m w tym pzypdu potć: K po p p Pzyłdowo dl puntu p (y. 7..) otzymmy: p,4 [/] p 4,5 [/] p 8,9 [/] K 6, [/] Anlogicznie dl puntu p (y. 7..) będzie: p 6 [/] p 7,5 [/] p, [/] K 58,5 [/] Poniewż wpółczynnii wzmocnieni i tłe czowe ułdu mją onetne wtości, więc czułość ttyczn wynijąc z temtu zdni będzie ówn: KK Z,4 K 7[ ],, 5

10 7. Miejc geometyczne piewitów W związu z tym metodą pób znjdujemy n mgp punty mjące obliczoną wyżej czułość ttyczną. W puntch tych znjdują ię piewiti ównni chteytycznego ułdu, odpowidjże dnym liczbowym z temtu zdni. Dw piewiti znjdują ię poz oią zeczywitą i wynozą: -,95 j,55 [/] -,95 j,55 [/] tzeci piewite znjduje ię n oi zeczywitej i jet ówny: -,5 [/] N podtwie mgp twiedziliśmy ztem, że ównnie chteytyczne m dw piewiti dominujące zepolone i. Stł czow i liczb tłumieni, wynijąc z obecności tych piewitów, wynozą odpowiednio:, [] Z,5 4 ξ Z coη co 7,8 Bezpieczn pc ułdu egulcji oz włściwy ztłt jego chteyty czowych wymgją pełnieni nieówności:,4 ξ,8 W ozptywnym pzypdu możn powiedzieć, że zp tbilności jet w gnicch nomy, pondto możn ozcowć włności dynmiczne ułdu: c m [%] t,6 Z,6,4,44 [] Pzyłd 7.. Wyznczyć mgp dl ntępującego obietu: () () ( 5) H G ( 5)( 5) bieguny:, ± j4, 5, 4 ze: 5 4j j j j j z -j 4,7 -j -4j Ry. 7. 6

11 ) Aymptoty: ( m 8 ) 6 n v, z b) Punt ozgłęzieni Miejc geometyczne piewitów,66 b p p4 p p z,85 c) Punt zejści p p z b b b b Ry. 7.4 z 7,5 d) Czułość ttyczn: dl o,85 K 4, 7 dl z 7,5, K 7 e) Punt pzecięci z oią : 4 5 ( 5) < - nie m tiego wzmocnieni, by ułd był n gnicy tbilności tzn. chteyty pzecinł oś. f) Kąt wyjści głęzi: ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ω 5 ' ω ( m ) 8 z Pzyłd 7.4. Wyznczyć mgp dl ntępującego obietu: H () G() ( 5) ( 5)( 4) 7

12 7. Miejc geometyczne piewitów bieguny: ± j4, 5, ze: 5, 6 4 4j j j j j ,5 -j 64,4 -j -4j ) Aymptoty: Ry. 7.5 ( m ) 8 6, z n v b) Punt ozgłęzieni: ,66 p p p,75 z b b Ry. 7.6 c) Czułość w puncie ozgłęzieni: 5 4,75,5 7, ,75 d) Punt chodzeni: b b p p ( )( ) ( )( ) p 7,45 z p p z b 64,4 8

13 7. Miejc geometyczne piewitów e) Czułość w puncie chodzeni: 7,45(,45)( 55,5 89,5 4) 7,5,45 f) Kąt pod jim wychodzą głęzie: ϕ ϕ ϕ ϕ ψ m 8 ω ( ) ϕω 88 5' g) Punt pzecięci z oią : ( )( ) ( ) Pzyłd 7.5 Wyznczyć mgp dl ntępującego obietu: () () ( 5) H G 4 ( )( ) ( 5) ( )[ ( 6 j) ][ ( 6 j) ] 4j j j j j j 8,85 -j -4j ) Aymptoty: Ry. 7.7 ( m ) 8 6, z n v ,66 9

14 7. Miejc geometyczne piewitów b) Punt ozgłęzieni: p p z b p p,5 p Ry. 7.8 z b b c) Czułość w puncie ozgłęzieni: 4,5,95,, ,5 d) Punt chodzeni: b b p ( )( ) ( )( ) p p 6,75 z 8,85 e) Czułość w puncie chodzeni: ( 6,75)( 8,75)( 45,5 8 4) 5,75 f) Kąt pod jim wychodzą głęzie: ϕ ϕ ϕ ϕ ψ m 8 ω ( ) ϕ ω g) Punt pzecięci z oią : ( ) , ,