Oparaboli. Wojciech GUZICKI, Warszawa

Transkrypt

1 prboi Wojciech GZICI, Wrzw 1. odtwowe definicje rboą nzywy figurę(rzywą) n płzczyźnie złożonąztychpuntów,tóreąjednowoodegłe od pewnego utonego puntu i pewnej utonej protej.złdyprzyty,żepuntnieeży n protej. unt nzywy ogniie prboi, protą ierownicą prboi. Niech będzie rzute ogni n ierownicę i niech W będzie środie odcin.wtedyw=w,czyipuntweży n prboi. Nzywy go wierzchołie prboi. potrzeżenie 1. Jeśi prot równoegł do ierownicynieprzecinpółprotejw,tonie puntów wpónych z prboą. Dowód. Niech będzie punte przecięci protych i.niechbędziedowonypunteprotejiniech będziejegorzutenierownicę.untoże eżeć po przeciwnej tronie ierownicy niż prbo, czyiniżpunt,(por.ryune2)ubeżećwewnątrz odcinw(por.ryune3).rzypde,gdy= trtujey t j pierwzy z powyżzych przypdów. W W y. 2 y. 1 rotą przechodzącą przez ognio i protopdłą do ierownicy nzywy oią prboi; przeony ię, że jet on oią yetrii prboi. Niech bowie będzie dowony punte prboi iniech będziejegorzutenierownicę.wtedy =.Jeśijetpunteyetrycznydo wzgędeproteji jegorzutenierownicę,to oczywiście=i =,ądwyni,że =.Ztepuntteżeżynprboi. rbo jet figurą geoetryczną zdefiniowną z poocą dwóch wyznczjących ją pretrów: ogni i ierownicy. gnio eży n protej, ierownic jet yetryczn wzgęde tej protej. Nie powinno zte dziwić, że jeśi pretry prboi ą yetryczne wzgędeoi,toprboteżjetwzgędetej oi yetryczn. ierwzy zgdnienie, tóre zbdy, będzie iczb puntów wpónych prboi i protej. W ntępnych trzech rozdziłch zjiey ię ty zgdnienie d różnych protych: równoegłych do ierownicy, protopdłych do ierownicy i przecinjących ierownicę pod ąte inny niż proty. 2. rbo i prote równoegłe do ierownicy W ty rozdzie udowodniy trzy prote potrzeżeni. to pierwze z nich. W y. 3 W pierwzy przypdu y =<, więcpuntnieeżynprboi.wdrugi przypdu y =<W=W<, więctżepuntnieeżynprboi.oończy dowód. potrzeżenie 2. Jeśi prot równoegł do ierownicy przecin oś prboi w wierzchołu W, to ten wierzchołe jet jedyny punte wpóny protej iprboi. Dowód.Wieyjuż,żepuntWeżynprboi.Jet on też punte protej. Zte jet punte wpóny 16

2 protej i prboi. ożey, że żden inny punt protejnieeżynprboi.niechwięcpunteży nprotej(przyczy W)iniech będziejego rzute n ierownicę: W 3. rbo i prote protopdłe do ierownicy dowodniy terz ntępujące potrzeżenie. potrzeżenie 4. rot protopdł do ierownicy przecin prboę w dołdnie jedny puncie. Dowód. czywiście oś prboi przecin prboę tyo w jej wierzchołu. Zuwży ntępnie, że jeśi jet punteprboii jegorzutenierownicę, toeżynyetrnejodciną.niechwięc będziepunteierownicyróżnyodpuntu. Wtedyodcine niejetrównoegłydoierownicy, więc jego yetrn nie jet równoegł do protej p protopdłej do ierownicy i przechodzącej przez punt. y. 4 Wówcz =W=W<,więcpuntnie eży n prboi. o ończy dowód potrzeżeni 2. potrzeżenie 3. Jeśi prot równoegł do ierownicy przecin półprotą W w puncie różny odw,todwpuntywpónezprboą. Dowód. Niech będzie punte przecięci protej z oią prboi. Jeśi punt eży wewnątrz odcin W,to<W=W<.Jeśi=,to=0 ioczywiście<.jeśipunteżynzewnątrz odcinw,toodcinejetzwrtywodcinu,czyi<.wewzytichprzypdch <,czyiodegłośćogniodprotejjet niejz od długości odcin. tąd wyni, że orąg ośroduiproieniuprzecinprotąwdwóch puntchi: W y. 5 Niech i będąrzutipuntówin ierownicę. Wówcz = ===, ądwyni,żepuntyieżąnprboi. Nietrudno zuwżyć, że ą to jedyne punty wpóne prboi i protej. o ończy dowód. y. 6 yetrn przecin więc protą p w dołdnie jedny puncie eżący n prboi. o ończy dowód. 4. rbo i prote przecinjące ierownicę pod ąte różny od protego Zjiey ię wrezcie protyi przecinjącyi ierownicę pod ąte inny niż proty. rzypuśćy njpierw, że prot przecin ierownicę w puncie iprboęwpuncie.niechbędzieinnypunte protej eżący po tej ej tronie ierownicy co prbo. oprowdźy dw odcini: protopdły doierownicyigrównoegłydo.zpodobieńtw trójątówi wyni,że = odobnie z podobieńtw trójątów G i wyni, że p G = tąd dotjey =G oniewżzdefinicjiprboi =,więc =G. Z powyżzego rozuowni wyni poób ontrucji puntów przecięci protej z prboą. pizey terz 17

3 G y. 7 ten poób. N protej wybiery dowony punt i rzutujey go n ierownicę, otrzyując punt. Ntępnie n protej chcey zneźć punty G tie,że=g.wtyceurzutujeypunt nprotą,otrzyującpunthorzztczy orągośroduiproieniu(zuwży,żeten orągjettycznydoierownicywpuncie).y wówcz trzy przypdi. rzypde1.zchodzinierównośćh<,czyi orągośroduiproieniuprzecinprotą wdwóchpuntchg 1 ig 2.Wtedynprotej znjdujeypunty 1 i 2 tie,byodcini 1 i 2 byłyrównoegłeodpowiedniodog 1 ig 2. potrzeżenie5.unty 1 i 2 ąpunti przecięci protej z prboą. Dowód. rowdziy dowód jednocześnie d puntów 1 i 2.ZpodobieńtwtrójątówG i i i wyni, że i G i = i, gdziei=1,2. untyg 1 ig 2 zotływybrnet,by Zte G 1 =G 2 =. 1 = 1 1 orz 2 = 2 2 codowodzi,żepunty 1 i 2 eżąnprboi.dowód potrzeżeni 5 jet więc zończony. Z rozwżń poprzedzjących potrzeżenie 5 wyni, że punty wpóne prboi i protej uzą być ontruowne w poób opiny wyżej. tąd wyni, że w rozwżny przypdu prot dołdnie dw punty wpóne z prboą. Wyprowdźy jezcze jeden wnioe dotyczący ątów. oniewż ierownic jet tyczn do nryownego oręgu, prot przecin go w dwóch puntch, więc 2 =G 1 G 2.rzyjijy,żetjn ryunu8puntg 1 eżybiżejpuntuniżg 2. WówczG 1 <<G 2.Zuwżyterz,że wtrójątchg 1 iydwiepryrównych boów:bojetwpónyorz=g 1.oniewż >G 1,więc > G 1.odobnie G 2 >. rzypde2.zchodzirównośćh=,czyi orągośroduiproieniujettycznydo protej ; punte tyczności jet oczywiście punth.znjdujeynprotejpuntti,że odcinihiąrównoegłe. potrzeżenie 6. unt eży n prboi. Dowód.ZpodobieńtwtrójątówHi wyni, że H =. 1 1 H 2 2 G 1 H G 2 y. 8 Zpodobieńtwtrójątówi i i wyni,że i i = i, di=1,2.zte i G i = i i. 18 y. 9 Zpodobieńtwtrójątówi wyni,że =. Zte H =. W ty przypdu y jedn Zte H=. = codowodzi,żepunteżynprboi.dowód potrzeżeni 6 jet więc zończony.

4 Znów z rozwżń poprzedzjących potrzeżenie 5 wyni, że punty wpóne prboi i protej uzą być ontruowne w poób opiny wyżej. tąd wyni, że w rozwżny przypdu prot dołdnie jeden punt wpóny z prboą. Znów przyjrzyjy ię ąto. Zuwży, że w ty przypdutrójątyi ąprzytjące:ą protoątne,= orzjąwpónybo. tądwyni,że =. rzypde3.zchodzinierównośćh>,czyi orągośroduiproieniuniepuntów wpónychzprotą.weźydowonypunt protej. potrzeżenie 7. unt nie eży n prboi. Dowód.NprotejwybierytipuntG,by odcinegbyłrównoegłydoodcin. tyczności. Wyżey terz, że jeśi jet dowony punte prboi, to itnieje dołdnie jedn tyczn do prboi w ty puncie. Jeśi punt jet wierzchołie prboi, to prot przechodząc przez i równoegł do ierownicy jet tyczną. Nietrudno zuwżyć, że jet to jedyn tyczn do prboi w ty puncie. Niech będzie dowony punte prboi. Zte =.Niechprotbędzieyetrnąodcin.Wtedyoczywiścieprotprzechodziprzez punt.niechbędziepunteprzecięciprotej z ierownicą prboi. oniewż prot jet yetrną odcin,więc =itądłtwowyni,że =. H G y. 10 ZpodobieńtwtrójątówGiwyni,że G =. Zpodobieńtwtrójątówi wyni,że =. Zte H =. W ty przypdu y jedn Zte G H>. > codowodzi,żepuntnieeżynprboi.dowód potrzeżeni 7 jet więc zończony. 5. tyczn do prboi Zobczyiśy, że prot oże ieć co njwyżej dw punty wpóne z prboą. Widzieiśy tże, że ą dw różne rodzje protych jących jeden punt wpóny z prboą. ii protyi ą np. prote protopdłe do ierownicy. N będzie intereowć ten drugi rodzj protych jących jeden punt wpóny zprboą. tyczną do prboi w puncie nzywy protą nierównoegłą do oi prboi jącą tyo jeden punt wpóny z prboą. unt nzywy punte y. 11 Z rozwżń poprzedniego rozdziłu wyni, że prot tyojedenpuntwpónyzprboą,więcjet tyczn do prboi. rzypuśćy terz, że prot przechodząc przez punt jet tyczn do prboi. optrzy n ryune 11. W poprzedni rozdzie udowodniiśy, że w przypdu, gdyprotdwpuntywpónezprboą,toąty i nieąrówne.wprzypdunzejprotej uiwięczchodzićrówność =,ąd łtwowyni,żeprotjetyetrnąodcin. odowodzi,żejedynątycznądoprboiwpuncie jetyetrnodcin. winie włności tycznych do prboi zończyy potrzeżenie pochodzący od Huygen(według r ordo to potrzeżenie było Huygenowi potrzebne do ontruowni tutochronicznego whdł obrotowego). potrzeżenie 8. Niech będzie dowony punte prboi. unt Z jet rzute protoątny puntu n oś prboi. unt N jet punte przecięci oi prboi z protą protopdłą do tycznej i przechodzącą przez punt (inczej ówiąc, punt N otrzyujey rzutując punt n oś prboi protopde do tycznej). Wtedy odcine ZN tłą długość, niezeżnie od wyboru puntu. Dołdniej, ZN=. 19

5 A B Z N W y. 12 Dowód.Dowodziy,żetrójąty izn ą przytjące. b ą protoątne. ondto oczywiście =Z.Wytrczyztepozć, że = ZN.Zuwżyjedn,że Z orz N. y zte dw ąty otre o rionch równoegłych, więc równe. Zprzytwni ZNwynintychit, żezn=,coończydowód. 6. odził płzczyzny ożey terz, że prbo podobnie j orąg dziei płzczyznę n dwie części, z tórych jedn jet zbiore wypuły. Zczniey od protej oberwcji. Niech będzie punteprboiiniechaibbędądwopunti półprotej :puntaeżywewnątrzodcin, punt B n zewnątrz tego odcin. Z nierówności trójąt(dtrójątówaib)otrzyujey A+A> orz +B>B. Z pierwzej nierówności otrzyujey: Z drugiej otrzyujey A+A>, A+A> A+A, A> A. +B>B, B>B. unt A eży zte biżej ierownicy niż ogni, punt B eży biżej ogni. Niech terz dny będzie dowonypuntapłzczyznyiniech A będzie jego rzute n ierownicę. ówiy, że punt A jet puntewewnętrznyprboi,jeśia<a A (czyi eży biżej ogni niż ierownicy). ówiy, że punt A jet punte zewnętrzny prboi, jeśi A>A A (czyieżybiżejierownicyniżogni). Wiey już, że punty eżące iędzy prboą i ierownicą ą punti zewnętrznyi. Brdzo łtwo prwdzić, że punty ierownicy orz punty eżące y. 13 po przeciwnej tronie ierownicy niż ognio ą też punti zewnętrznyi. oziśy tże, że jeśi prot nie puntów wpónych z prboą, to wzytie punty tej protej ą punti zewnętrznyi. unti wewnętrznyi ą punty położone dej od ierownicy niż punty prboi; n poprzednich ryunch ą to punty położone n prwo od prboi. ożey terz, że punty wewnętrzne wrz z punti prboi tworzą zbiór wypuły. dowodniy njpierw protą włność trójąt(tzw. twierdzenie tewrt). wierdzenie 9.(wierdzenie tewrt) Niech dny będzietrójątabcipuntdnbouab.wówcz BC 2 AD+AC 2 BD=CD 2 AB+AB AD BD. Dowód. Wprowdźy oznczeni: =BC,b=AC,c=AB,d=CD,p=AD,q=BD. Wtedy twierdzenie tewrt wyrż długość odcin d=cdzpoocą,b,c,piq: d 2 = 2 p+b 2 q pq. c oprowdźy w trójącie ABC wyoość CH iprzyjijyoznczenih=chorzx=dh: orzytjąc irotnie z twierdzeni itgor, otrzyujey: 2 =(q x) 2 +h 2 = A =q 2 2qx+x 2 +h 2 =q 2 2qx+d 2, b 2 =(p+x) 2 +h 2 = =p 2 +2px+x 2 +h 2 =p 2 +2px+d 2. C b d h p D x H q x y. 13 B 20

6 ierwzą z tych równości nożyy przez p, drugą przez q: 2 p=pq 2 2pqx+d 2 p, b 2 q=p 2 q+2pqx+d 2 q. Wrezcie dodjey obie równości i orzyty z tego, że p+q=c: czyi 2 p+b 2 q==pq 2 +p 2 q+d 2 p+d 2 q= =pq(p+q)+d 2 (p+q)=cpq+cd 2, d 2 = 2 p+b 2 q pq, c co ończy dowód twierdzeni. wierdzenie 10. Zbiór puntów wewnętrznych prboi, wrz z punti prboi, jet zbiore wypuły. Dowód.Wytrczyudowodnić,żejeśiią dowonyi punti prboi i punt jet dowony puntewewnętrznyodcin,topuntjet puntewewnętrznyprboi.jzwye,niech, i będąrzutipuntów,inierownicę. Chceyudowodnić,że<. W r b d p q 2 p 2 +2bpq+b 2 q 2 2 cp b 2 cq+c 2 pq>0, 2 p 2 +2bp(c p)+b 2 (c p) 2 2 p 2 +2bcp 2bp 2 +b 2 c 2 2b 2 cp+ 2 cp b 2 c(c p)+c 2 p(c p)>0, +b 2 p 2 2 cp b 2 c 2 +b 2 cp+c 3 p c 2 p 2 >0, 2 p 2 +2bcp 2bp 2 b 2 cp+b 2 p 2 2 cp+c 3 p c 2 p 2 >0, p ( 2 p+2bc 2bp b 2 c+b 2 p 2 c+c 3 c 2 p ) >0, p ( 2 p 2bp+b 2 p c 2 p 2 c+2bc b 2 c+c 3) >0, p ( p( 2 2b+b 2 c 2 ) c( 2 2b+b 2 c 2 ) ) >0, p(p c)( 2 2b+b 2 c 2 )>0, p(p c) ( ( b) 2 c 2) >0, p(p c)( b c)( b+c)>0, p(c p)(b+c )(+c b)>0. ttninierównośćjetprwdziw,gdyż0<p<c, b+c>orz+c>b.oończydowódtego,żed<r, więc ończy dowód twierdzeni. 7. unty przecięci tycznych do prboi W ty rozdzie zjiey ię punti przecięci tycznychdoprboi.złóży,żedneąprotei tycznedoprboi:protwpuncie,prot wpuncie.zuwżynjpierw,żeprotei przecinją ię. inowicie te prote ą yetrnyi odcinów i.oniewżpunty, i nie ą wpółiniowe, więc te dwie yetrne przecinją b rzyjijy oznczeni: y. 14 ==, b==, c=, d=, p=, q=, r=. yudowodnić,żed<r,czyirównowżnied 2 <r 2. Z twierdzeni tewrt d trójąt wyni, że d 2 = 2 p+b 2 q pq. c orzytjączwłnościtrpezu przeciętego protą równoegłądopodtw,nietrudnopozć, że r= p+bq = p+bq. c p+q y zte pozć, że 2 p+b 2 q pq< (p+bq)2 c c 2. rzeztłcy tę nierówność w poób równowżny (orzytjącztego,żeq=c p): c( 2 p+b 2 q) c 2 pq< 2 p 2 +2bpq+b 2 q 2, y. 15 ię. Niech więc będzie punte przecięci nzych dwóch tycznych. oprowdźy przez punt protą protopdłą do ierownicy i przecinjącą odcine wpuncie. potrzeżenie 11. unt jet środie odcin. Dowód. unt eży n yetrnej odcin,więc =.odobnie,punteżyn yetrnejodcin,więc =.Zte =,czyipunteżynyetrnejodcin.yetrnodcin oczywiścieprzecin odcinewśrodu.oończydowód. 21

7 dowodniy jezcze jedną wżną włność puntu przecięci tycznych do prboi. Zchowjy oznczenizryunu15idoryujyodcinii. β α y. 16 potrzeżenie12.rójątyiąpodobne. Dowód.rzyjijyoznczeni:α= orz β=.biczynjpierwątytrójąt : =β, =α+90, =90 α β. oniewżtrójąty iąprzytjące,więc =β, =α+90, =90 α β. Ntępniezuwży,że =α,ądwyni,że =180 2α.Zte = =180 2α 2β,więc =90 α β. ożeyzteobiczyćątytrójąt : =90 α β, =α+90, =β. Zprzytwnitrójątów idotjey =90 α β, =α+90, =β. Zte : = =α+90, = =β, = =90 α β. Nietrudno pozć, że te trójąty ą podobne tże przy innych położenich puntu ; dowód różni ię nieitotnyi zczegółi. o ończy dowód potrzeżeni 11. dnotujy jezcze dwie włności puntu przecięci tycznych do prboi. potrzeżenie13.yrówność =, czyi punt przecięci tycznych eży n dwuiecznej ąt. Dowód wyni ntychit ze potrzeżeni 12. potrzeżenie 14. Jeśi jet dowony punte zewnętrzny prboi, to itnieją dołdnie dw punty iprboitie,żetycznedoprboiwtych puntch przecinją ię w puncie. Dowód. oniewż jet punte zewnętrzny prboi, więc odegłość puntu od ierownicy jet niejz niż odegłość puntu od ogni. Zte nierownicyitniejądołdniedwpunty i tie,że ==.unteżyzten yetrnychodcinów i.untyprzecięci tych yetrnych z protyi protopdłyi do ierownicy i przechodzącyi odpowiednio przez punty i ązunyipuntiiprboi. zczegóły dowodu pozotwiy jo ćwiczenie. 8. Centru łuu prboi Widzieiśy(potrzeenie 11), że prot równoegł do oi prboi i przechodząc przez punt przecięci tycznychwpuntchiprzecincięciwęwjej środu. W ty rozdzie zjiey ię włnościi puntu przecięci wponinej protej z prboą. Niechdnebędądwpuntyieżącenprboi. Niech ntępnie prot przechodząc przez środe cięciwy i równoegł do oi prboi przecin prboę w puncie. unt nzwiey centru łuu prboi. dowodniy dwie włności centru łuu. wierdzenie 15. Centru łuu jet środie odcin łączącego środe cięciwy z punte przecięci tycznych (nryunu17jettorówność=).ondto tyczn do prboi w centru łuu jet równoegł do cięciwy. y. 17 Dowód. oprowdźy tyczną do prboi w puncie przecinjącą tyczne i odpowiednio w puntch i. oprowdźy również protą równoegłą do oi prboi i przechodzącą przez punt. rzecin on cięciwęwpuncieicięciwęwpuncie. unt jet punte przecięci tycznych do prboi wpuntchi.zteprotrównoegłdo oiprboiprzecincięciwęwjejśrodu.tąd wyni,żeodcinejetiniąśrodowąwtrójącie,więcpuntjetśrodieodcin. odobnie odcine jet inią środową w trójącie ipuntjetśrodieodcin.wpodobny 22

8 poób pozujey, że punt jet środie odcin.ztwierdzeniewyniterz,że, orzżepuntjetśrodieodcin.oończy dowód twierdzeni. potrzeżenie 16. ównoegłe cięciwy prboi ją wpóne centru wyznczonych przez nie łuów. Dowód. rzypuśćy, że jet cięciwą prboi ipuntjetcentrułuu.wiey,żetyczn wpunciejetrównoegłdocięciwy.niechterz Ybędziecięciwąrównoegłądocięciwyiniech będziecentrułuuy.tycznwpunciejet równoegł do cięciwy Y. Zte tyczne w puntch i ą równoegłe. Widzieiśy jedn, że dowone dwie tyczne do prboi przecinją ię. Zte tyczne wpuntchiporywjąię,czyi=.oończy dowód. 9. Zeżność wdrtow Wiey ze zoły, że prbo jet wyree funcji wdrtowej. Chcey terz wyrzić tę włność w języu geoetrii i podć geoetryczny dowód tej zeżności wdrtowej. wierdzenie 17. Niech punt będzie środie cięciwyprboiiniechbędziecentrułuu. Wówcz 2 =4. Dowód. rzypuśćy, że dn jet cięciw prboi. Niechpuntbędziecentrułuuiniechpunt będzie punte przecięci tycznych i do prboi odpowiednio w puntch i. tyczn do prboi wpuncieprzecintyczneiodpowiednio wpuntchi.niechpuntbędziepunte przecięci tycznej z oią prboi. Zznczy jezcze nryunu18ognioirzut puntun ierownicę. y. 18 unt jet punte przecięci tycznych do prboi wpuntchi.tądwyni,żetrójątyi ą podobne. Chcey pozć, że trójąt jet podobny do tych dwóch trójątów. Zuwży w ty ceu, że = = = = = =. Ntępnie =180 =180 ( + )= =180 ( + )=. tądwyni,że.y zte =, czyi 2 =. Ntępnie= 1 2 orz=.tądwyni,że ( 1 2 ) 2 =, czyi 2 =4, co ończy dowód twierdzeni. rzyjrzyjy ię dołdniej zczegóneu przypdowi, gdy cięciw jet protopdł do oi prboi. potrzeżenie 18. Jeśi cięciw jet protopdł do oiprboi,puntjetśrodiecięciwyipunt W jet wierzchołie prboi, to 2 =4 W W. Dowód. Zuwży, że wierzchołe W prboi jet centru łuu. Niech będzie punte przecięci tycznejdoprboiwwierzchołuzodcinie. W y. 19 dowodnion w twierdzeniu 17 zeżność przyjuje potć 2 =4 W W,coończydowód. potrzeżenie 18 ożey forułowć w ntępujący poób: =W= 2 4 W = W2 4 W. dcine jet zte proporcjonny do wdrtu odcinw,codołdniewyrżwpoób geoetryczny to, że prbo jet wyree funcji wdrtowej 1 y= 4 W x2, gdziex=wiy=. gónie, w twierdzeniu 17 wyziśy, że odcine jet proporcjonny do wdrtu odcin. ożn powiedzieć, że jet to t zeżność wdrtow 23

9 w uośnoątny ułdzie wpółrzędnych. W ti ułdzie centru łuu odgryw roę wierzchoł prboi; poniewż żdy punt prboi jet centru pewnego łuu, więc ożn powiedzieć, że żdy punt prboi jet w pewny enie jej wierzchołie. 10. et Archiede W ty rozdzie orzyty z ntępującej włności proporcji.niechiczbyrzeczywite,bictie,że >b>cpełnijąproporcję b =b c. Wówcz b = b b c =+b b+c. Zzłożeniwynibowie,żec=b 2.dejującbod obu tron otrzyujey c b=b 2 b, b c=b b 2, (b c)=b( b), b = b b c. odobnie, dodjąc do obu tron b otrzyujey b+c=b+b 2, (b+c)=b(+b), b =+b b+c. dowodniy njpierw twierdzenie poocnicze, po tóry pody dowód njwżniejzego twierdzeni tego rozdziłu, tzw. etu Archiede. wierdzenie 19. Dne ą dwie równoegłe cięciwy i Y prboi. Niech będzie wpóny centru łuów iy.niechzbędziepunteprzecięcicięciwy zprotąrównoegłądooiprboiiprzechodzącą przez punt. Niech ntępnie będzie środie cięciwy (przypoiny, że odcine jet równoegły do oi prboi), punte przecięci odcinówyi,punteprzecięciprotej i cięciwy Y, wrezcie punte przecięci protych iz.wówcz =Z. Dowód. rzyjijy njpierw, że punt eży n łuu.oniewżjetcentruobucięciwiy, więc 2 =4 orz 2 =4. tąd wyni, że 2 2=. y ntępnie(orzytjąc z twierdzeni e) = Z = orz =. 24 Y Z y. 20 tąd wyni, że 2 2=, czyi =. orzytjąc z udowodnionych wyżej włności proporcji, dotjey = = =Z. rzyjijyterz,żepunteżynłuu. Y Z y. 21 Dołdnie t j w poprzedni przypdu dochodziy do proporcji =. orzyty terz z drugiej z udowodnionych wyżej włności proporcji, otrzyując =+ + = =Z, co ończy dowód twierdzeni. ożey terz przytąpić do dowodu tzw. etu Archiede. wierdzenie 20.(et Archiede) Dn jet cięciw prboi. Niech będzie centru łuu iniechbędziedowonypuntełuu.

10 Niech ntępnie będzie punte przecięci tycznych doprboiwpuntchiiniechbędzie środie cięciwy (przypoiny, że odcine jetrównoegłydooiprboiipuntjet jego środie). rot równoegł do oi prboi i przechodząc przez punt przecin cięciwę wpunciez,tycznąwpuncieiprotą wpuncie.wówcz Z =Z Z. Dowód. ożiwe ą dw położeni puntu : n łuu ubnłuu. y. 22 y. 23 Z Wiey, że niezeżnie od położeni puntu n łuu, prwdziw jet proporcj =Z. Z twierdzeni e wyni, że = Z. Zte,orzytjąctżezrówności=, dotjey czyi Z = Z =Z, Z = Z. 25 Z tąd,dpuntupołożonegonłuu,dotjey 1+ Z =1+ Z, +Z = Z+, Z Z =Z Z, Z 2 = Z 2 Z, Z =Z Z. D puntu położonego n łuu y ntoit 1 Z =1 Z, Z = Z, Z Z =Z Z, Z 2 = Z 2 Z, Z =Z Z. co ończy dowód etu Archiede. 11. oe odcin prboi etod echniczn dcinie prboi nzywy część płzczyzny ogrniczoną łuie prboi i cięciwą łączącą ońce tego łuu. W ty rozdzie pożey, w ji poób Archiede obiczył poe odcin prboi, orzytjąc przy ty z wyprowdzonych wcześniej podtwowych prw echnii. wierdzenie21.dnjetcięciwprboii centru łuu. Wówcz poe odcin prboi ogrniczonegocięciwąiłuiejetrówne odc = 4 3. Dowód. Niech będzie punte przecięci tycznych doprboiwpuntchi.niechpuntbędzie środie cięciwy. rzypoiny, że punt jet środie odcin. oprowdźy odcine N protopdły do ierownicy. Niech będzie dowony punte łuu i poprowdźy odcine Z protopdły do ierownicy i przechodzący przez punt.rotprzecinodcinizin odpowiedniowpuntchi.oniewżpuntjet środieodcin,więcpuntyiąśrodi odcinówzin.niechwrezciepuntgbędzie środie ciężości trójąt N ; eży on oczywiście nśrodowejorzg= 2 3. rzedłużyodcinedopuntuhtiego,że =H.erzzetuArchiedewiey,że Z =Z Z.

11 Ztwierdzenieirówności=Hotrzyujey Z = = H, czyi Z Z = H. tąd wyni, że Z H=Z. rzedłużyodcinedopuntuhtiego,że =H.erzzetuArchiede wiey, że N Z =Z Z. Ztwierdzenieirówności=Hotrzyujey Z = = H, czyi Z Z = H. tąd wyni, że Z H Z H=Z. rzenieśy terz równoege odcine Z t, by jego środewypdłwpuncieh;otrzyyodcine Z. ttni równość ówi, że jeśi poptrzyy n odcine Hjndźwigniępodprtąwpuncie,toodcine Z (oietiejjodcinez)uiezczony wpunciehrównowżyodcinezuiezczonyn woi iejcu, tzn. ze środie ciężości w puncie. erz Archiede rozuuje ntępująco. Cły odcine prboi łd ię z odcinów równoegłych do oi prboi jących jeden oniec ncięciwie,druginłuu.inczejówiąc, cł odcin prboi rozłd ię n y tych równoegłych odcinów. żdy z tych równoegłych odcinów przenoiy t, by jego środe ciężości wypdłwpuncieh.wtenpoóbcłąęodcin prboi upiy w ty puncie. W podobny poób cłtrójątnrozłdięnyodcinów równoegłych do oi prboi, tórych jeden oniec znjdujeięnboun,druginbou. Dej: żdy z tych równoegłych odcinów, z tórych łd ię odcine prboi, uiezczony w puncie H równowży jeden z równoegłych odcinów, z tórych łd ię trójąt, uiezczony n woi iejcu. Inczej ówiąc, cły odcine prboi uiezczony w puncie H równowży trójąt N uiezczony n woi iejcu, czyi równowży ę tego trójąt uiezczoną w jego środu ciężości. erz Archiede touje prwo dźwigni d po odcin i po trójąt, tóre w ty przypdu przedtwi ię ntępująco: odc H= N G, czyi odc = N 1 3. tąd dotjey odc = 3 1 N= 3 4 = 8 3 = 3 4, co ończy dowód twierdzeni. y. 24 G Z 12. etod wyczerpywni Archiede przedtwił również dowód czyto geoetryczny wzoru n poe odcin prboi. Dowód ten orzyt z wprowdzonej przez Eudoo tzw. etody wyczerpywni. D opetności wyłdu przedtwiy tu opi tej etody(powtrzjąc rozuownie opine w[3]). rzypuśćy, że y obiczyćpoepewnejfigury.zfigurytejwyjujey oejnojejczęści: 1, 2, 3 itd.zżdyrze będziey przetrzegć dwóch zd: 1.figur n niezchodzi nfigury 1,..., n 1 ;nie chcey npić, że jet rozłączn z poprzednii figuri, bo tyi figuri ogą być wieoąty jące wpóną część obwodu; 2.figur n tnowiwięcejniżpołowę tego,co zotło, czyi więcej niż połowę figury po uunięciufigur 1,..., n 1. y zte: 1 > 1 2, 2 > 1 2 ( 1 ), 3 > 1 2 ( 1 2 ), 4 > 1 2 ( ) itdej.tądwyni,że 1 > 1 2, > ( 1 )= = > > = = , 26

12 > > ( 1 2 )= = ( )> > ( ) 4 = = , > > ( )= Y = ( )> > ( ) = = itdej.ożeyterzprzejśćdou nieończonych. y =. ierwz nierówność wyni z włności 1; figury 1, 2, 3...ązwrtewfigurzeiniezchodzą n iebie. Drug nierówność wyni z powyżzych rozwżń. rzeci wyni ze wzoru =1, znnego już w trożytności. Do obiczeni po figury etodą wyczerpywni potrzebne jet zte: 1. wznie niezchodzących n iebie figur 1, 2, 3,...zwrtychwfigurze, 2.wyznie,żeżdfigur n tnowiwięcejniż połowę tego, co zotło, 3.obiczeniepófigur 1, 2, 3,..., 4.obiczenieuy W ntępny rozdzie pożey, w ji poób Archiede zreizowł te cztery cee w odnieieniu do po odcin prboi. 13. oe odcin prboi etod geoetryczn Niech będzie cięciwą prboi. Chcey obiczyć poe odcin prboi ogrniczonego cięciwą iłuie.enodcineprboibędzienzą figurą (przy zchowniu oznczeń z poprzedniego rozdziłu). Niech punt będzie centru łuu. igurą 1 jettrójąt.niechntępniepunty ibędąodpowiedniocentriłuówi. igur 2 łdięzdwóchtrójątówi. Zuwży bowie, że w rozwżnich poprzedniego rozdziłunigdzieniezłdiśy,byfigury n były w jedny włu. ożn przyjąć, że żd z nich łd ię z wieu wieoątów(ówiąc inczej, jet uą wieu wieoątów). y. 25 odobniefigur 3 łdięzczterechtrójątów:,,iy,gdziepunty,,iy ąodpowiedniocentriłuów,,i. Ntępnfigur 4 łdłbyięzośiutrójątów, tórychpodtwibyłybycięciwy,,,,,,yiy,wierzchołicentrłuów wyznczonychprzeztecięciwy.itdej... Y y. 26 Y y. 27 igury 1, 2, 3,...zotłyztewzne.uiy njpierw pozć, że poe żdej z nich jet więze od tego, co zotło po wyjęciu poprzednich. Zuwży, żeżdztychfigurłdięztrójątówtejej potci: podtwą jet cięciw prboi, wierzchołie centru łuu ogrniczonego tą cięciwą. Wytrczy zte pozć, że żdy ti trójąt jet więzy od połowy odcin prboi. Niech będzie dowoną cięciwąprboiicentrułuu.niechntępnie tyczndoprboiwpuncieprzecinprote i odpowiedniowpuntchi.rzypoiny, żetycznwpunciejetrównoegłdocięciwy i eży n zewnątrz prboi. tąd wyni, że czworoąt jet równoegłoboie i rozwżny odcine prboi eży cłowicie w jego wnętrzu. Zte odc < =2. 27

13 tąd wyni, że y. 28 > 1 2 odc. ozotjądoobiczenipofigur 1, 2, 3,...iich u. Niechbędziecięciwąprboiicentrułuu.tycznedoprboiwpuntchiprzecinją ięwpuncie.rzypoiny,żeprotjet równoegł do oi prboi i punt jet środie odcinn,przyczypuntjetśrodiecięciwy.owtórzyterztęontrucjędcięciwy. tycznewpuntchiprzecinjąięwpuncie.niechbędziecentrułuuiniechpunt będzie środie cięciwy. Wtedy odcine jet równoegły do oi prboi i punt jet środie tego odcin. Niech wrezcie będzie punte przecięi protejzcięciwą.oniewżpuntjet środieboutrójątnorzodcine jetrównoegłydopodtwyn,więcpuntjet środiebounorz= 1 2 N.Czworoąt Njetrównoegłoboie,więc=N. y. 29 tądwyni,że= 1 2 N.oniewżpuntjet środieodcin,więc= 1 4 N.optrzy terzntrójątyin.odtwtrójąt jetczteryrzyniejzodpodtwyn trójątn.wyoośćtrójątjetdwrzy Y N niejzodwyoościtrójątn.tądwyni,że = 1 8 N.Zuwżywrezcie,żetrójąty ijąwpónąpodtwęirównewyoości. Zte =.Łącznieotrzyujey = + =2 1 8 N= 1 4 N. W podobny poób pozujey, że Zte = 1 4 N. 2 = + = 1 4 ( N+ N )= = 1 4 = odobne rozuownie pozuje, że 3 = = , 4 = = , 5 = = itdej.ofigur 1, 2, 3,...zotłyzte obiczone. ozotje tyo dodnie tych pó. uiy zte obiczyć uę = = = = 4 3. Drug równość wyni ze wzoru =4 3 znnego Archiedeowi. W ten poób poe odcin prboi zotło obiczone. 14. Bibiogrfi [1]Cochot,A.,Wter,.B.Aretieon Geoetric Conic, cin nd Co, ondon 1907, tet znjduje ię n tronie internetowej /tretieongeoet00cocrich /tretieongeoet00cocrich.pdf [2]Heth,..,heWorofArchiede,C.J.Cy nd on, ondon 1897; tet znduje ię n tronie internetowej /worofrchiede029517bp /worofrchiede029517bp.pdf [3] ordo,. Wyłdy z hitorii tetyi, wyd. nowe, cript, Wrzw 2005 [4] Netz,., Noe, W., ode Archiede, gnu, Wrzw