WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW

Transkrypt

1 DECYZJE nr 13 czerwiec 2010 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Paweł Hanczar* Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu Streszczenie: Problem wyznaczania tras pojazdów jest znany już od 1959 rou. Od tego czasu rozważono wiele różnych wersji tego zadania, a taże opracowano wiele algorytmów jego rozwiązywania. Wraz z rozwojem nowych oncepcji w zaresie zarządzania przedsiębiorstwem w obszarze planowania tras wciąż pojawiają się nowe wymagania. W pierwszej części artyułu zostały przedstawione lasyczne sformułowania problemu wyznaczania tras pojazdów oraz wybrane metody jego rozwiązywania. Następnie w części drugiej zaprezentowano główne, zdaniem autora, ieruni rozwoju modeli wyznaczania tras pojazdów. W części tej przedstawiono taże nowe propozycje metod ich rozwiązywania wraz z oceną ich suteczności. Jao pierwszy ierune przedstawiono zagadnienie wyznaczania tras przepływu zapasów oreślane często jao zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę. Następnie rozważono zagadnienie wyboru dostawcy usług transportowych w warunach różnych taryf transportowych. Jao ostatnie zaprezentowano zagadnienie wyznaczania tras pojazdów w wielopoziomowych sieciach dystrybucyjnych. Słowa luczowe: problem wyznaczania tras dostaw, problem wyznaczania tras zapasów, uzupełnianie zapasów sterowane przez dostawcę, optymalizacja dysretna. DECISION SUPPORT MODELS FOR VEHICLE ROUTING PROBLEMS Abstract: Research in the field of vehicle routing problem started in For more then 50 years a lot of versions of this problem have been considered and many solution methods have been developed. Unfortunately new management concepts continuously put out the challenge to vehicle routing researchers. Presented paper is divided into two parts. In the first part the classical vehicle routing formulations and their solution methods were presented. In the second * Paweł Hanczar, Katedra Logistyi, Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu, ul. Komandorsa 118/120, Wrocław, pawel.hanczar@ue.wroc.pl 55

2 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW part the three main directions of advance are identified and briefly described. The new solution approaches to finding solution to the new variants of vehicle routing problem are proposed and tested. Firstly we conduct new solution methods to inventory routing problem. Then the common case of the vehicle routing problem in different distribution tariff environment is analyzed. Lastly the vehicle routing problem in multiechelon distribution networs is considered. Keywords: vehicle routing problem, inventory routing planning, vendor managed inventory replenishment, optimization. 1. Problem wyznaczania tras pojazdów Problem wyznaczania tras pojazdów (ang. vehicle routing problems VRP) oreśla obszerną grupę zagadnień optymalizacji dysretnej. Stanowi on generalizację powszechnie znanego w teorii optymalizacji problemu omiwojażera (ang. traveling salesman problem TSP) jednego z najstarszych problemów optymalizacji na sieciach. Sposób wyznaczenia optymalnej trasy omiwojażera przyciąga uwagę badaczy od wielu lat, a sam problem istnienia trasy rozważano już w XIX wieu. Zadanie omiwojażera polega na odwiedzeniu doładnie raz ażdej z wybranych miejscowości, a następnie na powrocie do miejscowości, w tórej rozpoczęto podróż. Znane są oszty przejazdu między ażdą parą miast. Droga omiwojażera powinna być zaplanowana w tai sposób, aby oszt podróży był ja najmniejszy. Dla danej sieci odwzorowującej obszar, po tórym porusza się omiwojażer, oraz przy założeniu, że wagi rawędzi reprezentują oszt przejazdu, problem omiwojażera możemy zdefiniować jao znalezienie w sieci cylu Hamiltona o najmniejszej wadze. Problem omiwojażera można sprowadzić też do zagadnienia programowania liniowego. Dla sieci G =(V, E) charateryzowanej przez macierz wag W =[w ij ] problem omiwojażera zapisać można jao zadanie: min wx ij ij i V j V [1] przy warunach i V x ij + x = 2 i V ji dla ażdego j V [2] 56

3 Paweł Hanczar i S j S x ij S 1 dla ażdego S V, S [3] x ij {0,1} dla ażdego i, j V [4] Symbolem x ij oznaczono zerojedynową zmienną decyzyjną, tóra przyjmuje wartość 1 wówczas, gdy rawędź (i, j) jest w rozwiązaniu, 0 zaś w pozostałych przypadach. Symbol S oznacza moc zbioru S. Ograniczenie [2] zapewnia, że ażda miejscowość zostanie odwiedzona doładnie raz. Niestety, warune ten nie wylucza przypadów, gdy droga omiwojażera nie jest cylem Hamiltona (rysune 1), lecz słada się z ilu niepołączonych ze sobą cyli (rysune 2). Rysune 1. Spójna (dopuszczalna) trasa omiwojażera Rysune 2. Niespójna (niedopuszczalna) trasa omiwojażera Źródło: Opracowanie własne. Źródło: Opracowanie własne. Niezbędne jest więc dodatowe ograniczenie [3] zapobiegające powstawaniu wielu cyli. Jednym ze zbiorów S dla przyładu z rysunów 1 i 2 jest zbiór S1={1, 2, 3}. Liczba rawędzi łączących wierzchołi tego zbioru wynosi 2 w przypadu rozwiązania poprawnego, natomiast dla rozwiązania niedopuszczalnego jest równa 3. Prawa strona ograniczenia jest dla obu przypadów taa sama i wynosi 2. Ta więc rozwiązanie sładające się z ilu cyli zostanie odrzucone, gdyż nie spełnia warunu [3]. Bardzo często spotyaną odmianą problemu omiwojażera jest przypade, dla tórego sieć transportowa jest niesierowana (macierz wag jest wtedy symetryczna, czyli w ij = w ji dla ażdego i, j V). Wynia to z fatu, że w wielu zastosowaniach macierz wag reprezentuje odległości, tóre dla więszości przypadów są taie same bez względu na to, w tórym ierunu porusza się omiwojażer. W miarę wzrostu popularności oraz w związu z sucesami w rozwiązywaniu problemu omiwojażera coraz częściej podejmowano próby zastosowania tej grupy mo- 57

4 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW deli do rozwiązywania zagadnień bardziej sompliowanych. To, że problem omiwojażera ma wiele zastosowań, jest bezdysusyjne, jedna w realizacji procesu dystrybucji często orzysta się z więcej niż jednego środa transportu. Jednym z pierwszych roów, w tym ierunu, było zdefiniowanie na początu lat 50. problemu m-omiwojażerów. Problem ten polega na wyznaczeniu tras dla więcej niż jednego omiwojażera. Rozwiązaniem problemu m-omiwojażerów nie jest cyl Hamiltona, lecz m cyli, z tórych ażdy rozpoczyna się i ończy w oreślonym, tym samym dla wszystich omiwojażerów, mieście. Dodatowo załada się, że omiwojażer nie może odwiedzać miast obsłużonych przez innych podróżniów. Klasę zadań VRP możemy oreślić jao zagadnienia optymalizacji polegające na wyznaczeniu rozwiązania problemu m-omiwojażerów z uwzględnieniem dodatowych, zależnych od onretnego zadania warunów. Jao pierwsi zagadnienie z tej lasy pod nazwą problemu rozdziału pojazdów (ang. truc disptching problem) sformułowali Dantzig i Ramser (Dantzig, 1959). Kolejna pioniersa praca to artyuł Balinsiego i Quandta (Balinsi, 1964), w tórym autorzy zaproponowali model programowania liniowego dla VRP. Najprostszą odmianą zadania z lasy VRP jest wyznaczanie tras pojazdów z ograniczeniem pojemności (ang. capacitated vehicle routing problem w srócie CVRP), gdzie jedynym dodatowym waruniem jest ograniczenie zapewniające, że suma zamówień odbiorców dla ażdej trasy nie przeroczy zadanej ładowności pojazdu. W CVRP dana jest sieć G = {V, E}, gdzie zbiór wierzchołów V jest zbiorem odbiorców N = {1,..., n} powięszonym o element odpowiadający dostawcy oznaczony jao {0}. Dostawca dysponuje zbiorem K = {1,..., } pojazdów, ażdy o ładowności C. Popyt ażdego odbiorcy i oznaczony przez q i musi zostać w pełni zaspoojony przez doładnie jedną dostawę. W dalszych rozważaniach przyjęto, że S S {0} oraz N N {0}. Sieć transportowa G 0 0 jest reprezentowana przez macierz wag oznaczoną jao W = [w ij ], gdzie i, j (0,..., n). Dodatowo zapis r(s) oznacza liczbę pojazdów niezbędną do obsługi odbiorców ze zbioru S. Celem zagadnienia CVRP jest wyznaczenie zbioru niepustych tras o minimalnej łącznej długości przy warunu: suma zapotrzebowań odbiorców na żadnej z tras nie może przeroczyć ładowności pojazdu C. Sformułowania liniowe zadań z lasy VRP można podzielić na dwie podstawowe grupy. Są to: modele przepływu pojazdów (ang. vehicle flow models) oraz modele podziału zbioru lientów (ang. set partitioning models). W modelach z pierwszej grupy zerojedynowa zmienna decyzyjna oreśla, czy rawędź oreślona na wierzchołach i oraz j została użyta w rozwiązaniu. Są one najczęściej stosowane w przypadu lasycznych zadań VRP, gdzie oszt rozwiązania wyznacza się jao sumę wag odcinów użytych w rozwiązaniu. Liczba zmiennych decyzyj- 58

5 Paweł Hanczar nych w tego typu modelach wynosi nie więcej niż n 2, natomiast liczba ograniczeń rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n (gdzie n oznacza liczbę miast w zadaniu). W modelach podziału zbioru lientów zerojedynowa zmienna decyzyjna odpowiada trasie dopuszczalnej i oreśla, czy użyto ją w rozwiązaniu. W przeciwieństwie do metod przepływu pojazdów modele te zawierają n ograniczeń, ale liczba zmiennych decyzyjnych rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n. W dalszej części, w celu prezentacji podstawowych cech poszczególnych grup modeli, opisano tylo wybrane, uznane za najbardziej reprezentatywne, sformułowania. Szczegółową prezentację modeli VRP zawierają m.in. prace (Golden, 1988) oraz (Laporte, 1987) Modele przepływu pojazdów Podstawowym modelem zaliczanym do grupy modeli przepływu pojazdów jest tzw. model trójindesowy (Golden, 1988). Model przedstawiony wzorami [5]-[10] został opracowanym na podstawie propozycji Goldena. Zmienną decyzyjną oznaczono jao x ij. Przyjmuje ona wartości 0 lub 1. Wartość 1 oznacza, że odcine (i, j) należy do trasy pojazdu, w przeciwnym wypadu zmienna przyjmuje wartość 0. x ij min 0 0 i N j N w ij K x ij [5] przy założeniach ij 0 K 0 i N i N K im 0 0 i N j N i N x x x + x = 2 + x = 2 mj i0 + x0 j = 2 j N ji dla ażdego j N [6] K dla ażdego m N [7[ dla ażdego K [8] i S j S K x {0,1} ij x ij r( S) dla ażdego S N, S [9] 0 0 dla ażdego i N, j N, K [10] 59

6 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Ograniczenie [6] zapewnia, że ażdy odbiorca zostanie odwiedzony doładnie raz. Ciągłość trasy dla ażdego pojazdu została zapewniona dzięi ograniczeniu [7]. Jeśli pojazd dojeżdża do danego odbiorcy, to musi go opuścić. W przypadu wierzchoła dostawcy liczba rawędzi zarówno wchodzących, ja i wychodzących dla ażdego pojazdu musi wynosić 1. Zapewnia to ograniczenie [8] dla rawędzi wchodzących do wierzchoła dostawcy oraz wychodzących z wierzchoła dostawcy. Ograniczenie [7] zapewnia, że dla ażdego pojazdu rawędzie wybrane do rozwiązania tworzą cyle. Nie wylucza jedna przypadów, gdy trasa dla jednego pojazdu nie jest jednym cylem, lecz słada się z ilu niepołączonych ze sobą (niespójnych) tras. Analogicznie ja w przypadu TSP, niezbędne jest więc dodatowe ograniczenie [9], zapewniające spójność tras w rozwiązaniu oraz nienaruszenie warunu ładowności pojazdu. Jest ono oreślane jao ograniczenie ładowności i odcięć (ang. capcity- -cut constraints CCCs) Modele podziału zbioru odbiorców Pierwszym sformułowaniem z grupy podziału zbioru odbiorców jest wspomniana już wcześniej propozycja Balinsiego i Quandta (Balinsi, 1964). Niech H = {Z 1,..., Z m } oznacza zbiór wszystich możliwych tras spełniających waruni zadania, w j* oreśla wagę trasy Z j. Niech a ij oznacza współczynni oreślający przynależność odbiorcy i do trasy j. Przyjmuje on wartość 1, jeśli odbiorca i jest obsługiwany w trasie j lub 0 w przeciwnym przypadu. Zmienna decyzyjna x j przyjmuje wartość 1 wtedy i tylo wtedy, gdy trasa j należy do rozwiązania. Propozycję w postaci modelu programowania liniowego prezentują wzory [11]-[14]. min m j= 1 wx * j j [11] przy warunach m j= 1 ax ij j = 1 dla ażdego i N [12] m j= 1 x j = [13] x j {0,1} dla ażdego j = 1,..., m [14] 60

7 Paweł Hanczar Ograniczenie [12] zapewnia, że ażdy odbiorca będzie uwzględniony w rozwiązaniu doładnie raz. Natomiast warune [13] zapewnia, że w rozwiązaniu użytych będzie doładnie tras. W przypadu tego sformułowania liczba zmiennych rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n, co przy dużych wartościach n znacznie utrudnia jego rozwiązanie. Również przygotowanie taiego modelu nie jest proste, ponieważ wyznaczenie wagi w j* dla ażdej trasy wymaga rozwiązania problemu omiwojażera. Z drugiej strony model ten jest bardzo elastyczny. Umożliwia już na etapie budowy modelu (generowania tras) uwzględnianie wielu dodatowych ograniczeń i odrzucanie tras niedopuszczalnych. Przy opracowywaniu metod rozwiązywania VRP, a taże przy ich analizie i testowaniu, wyorzystuje się pewną grupę zadań nazywanych zadaniami testowymi (ang. test instances). Podstawowym celem ich użycia jest umożliwienie porównywania wyniów generowanych przez różne algorytmy. Dodatowo rozwiązania zadania testowego można użyć do oceny jaości relasacji problemu generowanej przez wybrany algorytm. W przypadu zadań ombinatorycznych porównanie algorytmów przez sprawdzenie ich na zadaniach testowych zastępuje teoretyczne dowody ich efetywności. W tym celu tworzy się zbiory zadań testowych, tóre mają często swe źródło w pratyce lub zostały zaproponowane przez espertów Zastosowania Mimo że puntem wyjścia w modelowaniu VRP (ja sama nazwa wsazuje) jest samochodowa dystrybucja towarów, liczne zastosowania nie ograniczają się tylo do pojazdów i dystrybucji towarów. W tabeli 1 przedstawiono wybrane zastosowania VRP w pratyce. Wyboru doonano w tai sposób, aby poazać zarówno najczęściej spotyane (główne) zastosowania VRP, ja i pojedyncze pomysły wyorzystania opisywanych modeli, świadczące o ich szeroich możliwościach apliacyjnych. Tabela 1. Wybrane zastosowania VRP Lp. Źródło Zastosowanie 1 Gourley Sfiligoj Greczyn 1997 dystrybucja produtów firmy Pepsi-Cola, Kanada dystrybucja produtów spożywczych firmy Anheuser-Busch, USA odbiór śmieci z terenu miasta Philadelphia Środe transportu pojazdy pojazdy pojazdy Uwagi odbiorców srócenie czasu dostawy 1500 odbiorców (dostawa w zadanym przedziale czasowym) 100 pojazdów 10 typów reducja tras o ooło 5-7% ( mil rocznie) srócenie czasu wyznaczania tras reducja liczby pojazdów o 20% dostosowanie pojazdów do ulic wyrównanie tras 61

8 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Tabela 1. Wybrane zastosowania VRP Lp. Źródło Zastosowanie odbiór śmieci z terenu 4 Bletrami 1974 miasta Nowy Jor dystrybucja produtów Adenso-Diaz 5 mleczarsich, 1998 północna Hiszpania 6 Mans Golden 1977 dystrybucja produtów Mayfield Diary Farms, Ateny dystrybucja The Morning Courier, USA 8 Golden 2002 Euro Press, Europa Środe transportu pojazdy pojazdy pojazdy pojazdy, trasy piesze pojazdy, trasy piesze 9 Cline 1992 rozmieszczenie boi ochronnych na morzu stati 10 Fiala 1992 obsługa platform wiertniczych, Nigeria helioptery 11 Larson 1988 transport odpadów omunalnych bari 12 Rich 1999 planowanie tras pojazdy, pielęgniare trasy piesze Źródło: Opracowanie własne na podstawie literatury. Uwagi dziennie ooło ton różne częstotliwości wizyt 19 dystrybutorów (ażdy ooło 5 10 dostawców) 1 dostawca obsługuje ooło 1500 lientów srócono trasę ażdego z odbiorców o ooło 10% obsługa odbiorców w 19 centrach dystrybucyjnych zachowano długości tras przy zwięszeniu liczby obsługiwanych odbiorców wymagania czasowe (dystrybucja od 4.30; musi się zaończyć o 6.30 rano) dzienna optymalizacja tras wyorzystanie GIS obsługa srzyne na ulicach (podwójny przejazd) doładne modelowanie tras pieszych 900 pacjentów, 294 pielęgniari zmienny czas obsługi pacjenta 2. Metody rozwiązywania problemów wyznaczania tras pojazdów Metody rozwiązywania VRP podzielić można na 3 grupy. Pierwszą grupę stanowią metody polegające na zastosowaniu lasycznej metody podziału i ograniczeń (ang. branch and bound) stosowanej z sucesami w przypadu TSP. Druga grupa to metody polegające na bezpośrednim rozwiązywaniu sformułowań programowania liniowego VRP. Podstawowe metody z tej grupy to metoda podziału i cięć (ang. branch and cut) dla modeli przepływu pojazdów oraz metoda generowania olumn (ang. column generation) dla modeli podziału zbioru odbiorców. Ostatnia grupa to bardzo liczna grupa metod onstrucyjnych, tórych działanie polega na onstruowaniu rozwiązań według pewnych przesłane, tórych przestrzeganie w aceptowalnym czasie pozwoli uzysać poprawne rozwiązania Metody podziału i ograniczeń Rozwiązywanie problemu metodą podziału i ograniczeń jest procesem przeszuiwania drzewa, w tórym główny węzeł (tzw. orzeń) odpowiada rozwiązywanemu 62

9 Paweł Hanczar problemowi, a pozostałe węzły to podproblemy zbudowane przez dodanie jednego lub ilu ograniczeń do problemu oryginalnego. Drzewo to będziemy nazywać drzewem poszuiwania. Generowanie olejnych poziomów drzewa poszuiwania odpowiada olejnym podziałom zbioru rozwiązań. Analiza drzewa poszuiwania realizowana jest w sposób dynamiczny, tzn. dla wszystich podproblemów odpowiadających dodawanym do drzewa węzłom obliczane jest dolne ograniczenie, a do dalszego przeglądu wybierane są węzły, dla tórych wartość dolnego ograniczenia jest najniższa. Pierwszym algorytmem z tej grupy jest propozycja Christofidesa i Eliona z 1969 rou (Christofides, 1969). W istocie jest to modyfiacja metody podziału i ograniczeń rozwiązywania TSP, tóra opracowana została przez Little a i innych (Little, 1963). W początowym etapie tego algorytmu VRP jest przeształcany do TSP. W tym celu do problemu pierwotnego dodawanych jest 1 wierzchołów, tzw. sztucznych dostawców. Modyfiacji wymaga macierz wag. Niech N = {1,..., n} oznacza zbiór węzłów odbiorców w problemie wyjściowym, a N K = {n + 1,..., n + 1} niech oznacza zbiór węzłów odpowiadających sztucznym dostawcom. Wagi istniejących rawędzi pozostają bez zmian. Wagi rawędzi łączących nowe węzły z węzłami odbiorców są równe wagom rawędzi łączących węzeł dostawcy problemu wyjściowego z tymże węzłem odbiorcy. Wagi rawędzi łączących dodane węzły dostawców z węzłem dostawcy problemu wyjściowego wynoszą +. Ma to zapewniać nieorzystanie z bezpośrednich połączeń pomiędzy dostawcami. Rozwiązanie ta postawionego TSP, przy założeniu, że ażdy węzeł sztucznego dostawcy jest ońcem jednej trasy, a początiem następnej, jest również rozwiązaniem VRP. Propozycja Christofidesa i Eliona polega nie tylo na innym sposobie przedstawienia VRP, ale również na rozbudowaniu oryginalnego algorytmu o procedury sprawdzania dopuszczalności rozwiązania oraz o procedury reducji drzewa poszuiwania wyorzystujące założenia VRP. Esploracja wybranego węzła nie jest ontynuowana, gdy zachodzi jeden z poniższych warunów: łączne zapotrzebowanie na jednej trasie przeracza całowitą ładowność pojazdu, gdy zbiór rawędzi wybranych do rozwiązania tworzył jedną lub więcej tras, łączne zapotrzebowanie nienależących do rozwiązania odbiorców przeracza ładowność pojazdów nieprzydzielonych do tras. Metodę rozwiązywania VRP wyorzystującą podział wg rawędzi zaproponował taże Miller (Miller, 1995). Do wyznaczania rawędzi ograniczającej zbiór rozwiązań na olejnych poziomach drzewa poszuiwania orzysta on z grafu rozwiązania relasacji b-sojarzenia. Jeśli bieżące rozwiązanie zawiera ścieżę nienależącą do żadnej 63

10 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW trasy i ończy się ona przyładowo węzłem v, to do podziału zbioru rozwiązań wybierana jest rawędź incydentna z wierzchołiem v w grafie rozwiązania relasacji b- -sojarzenia. W pozostałych przypadach (gdy rozpoczynano budowę drzewa poszuiwania lub gdy rozwiązanie zawierało jedną lub ila tras) do podziału zbioru rozwiązań wybierano rawędź łączącą wierzchołe dostawcy z wierzchołiem odbiorcy nienależącym do rozwiązania częściowego o najwięszym zapotrzebowaniu. Dodatowo, oprócz dwóch standardowych węzłów drzewa poszuiwania (tzn. jednego odpowiadającego rozwiązaniom zawierającym wybraną rawędź oraz drugiego odpowiadającego rozwiązaniom niezawierającym wybranej rawędzi), w drzewie tworzony jest dodatowo trzeci węzeł odpowiadający trasie zawierającej jednego odbiorcę (czyli dwurotnie zawierający wybraną rawędź). Kolejna propozycja z tej grupy to algorytm Fishera (Fisher, 1988). Sposób podziału zbioru odbiorców zależy (analogicznie ja w przypadu metody Millera) od tego, czy w rozwiązaniu częściowym istnieje ścieża nienależąca do żadnej trasy. W przypadu, gdy rozwiązanie częściowe nie zawiera taiej ścieżi, to wyorzystuje się lasyczny podział według rawędzi. Do podziału wybierana jest rawędź łącząca wierzchołe odpowiadający nieobsługiwanemu odbiorcy o najwięszym zapotrzebowaniu z jego najbliższym i nieobsługiwanym sąsiadem. W sytuacjach, gdy w rozwiązaniu częściowym istnieje ścieża nienależąca do żadnej z tras dla jednego z dwóch ońcowych wierzchołów, przyjmijmy j, wybierany jest pewien p-elementowy zbiór P wierzchołów odpowiadających nieobsługiwanym odbiorcom powięszonym o wierzchołe dostawcy. Drzewo poszuiwania rozbudowuje się przez dodanie p + 1 węzłów. Pierwszych p węzłów odpowiada rozwiązaniom zawierającym olejno rawędź (j, h), gdzie h P. Ostatni dodany węzeł odpowiada rozwiązaniom, tóre nie zawierają żadnej z rawędzi (j, h), gdzie h P Metody rozwiązywania sformułowań programowania matematycznego W tej części zostaną przedstawione główne aspety stosowania metody podziału i cięć (ang. branch and cut) służącej do rozwiązywania modeli przepływu pojazdów. Szczegółową jej prezentację zawierają m.in. prace Blasum, 2000; Carrara, 1997; Padberg, 1991 oraz Thienel, Klasyczny algorytm podziału i ograniczeń, służący do rozwiązywania zadań programowania całowitoliczbowego (w srócie IP), realizuje proces optymalizacji w dwóch powtarzanych fazach. W pierwszej z nich jest rozwiązywane zadanie programowania liniowego (w srócie LP), utworzone na podstawie zadania IP przez usunięcie ograniczeń całowitości zmiennych. Jeśli wartości zmiennych w rozwiązaniu 64

11 Paweł Hanczar zadania LP są całowite, to są one również rozwiązaniem zadania IP. Jeśli jedna dowolna zmienna decyzyjna, przyładowo xe, przyjmuje wartość rzeczywistą w, to na podstawie zadania LP tworzone są dwa inne zadania. Pierwsze z nich powstaje przez rozszerzanie zadania LP o górne ograniczenie zmiennej x e (tj. x e w ), w drugim natomiast dodawane jest dolne ograniczenie zmiennej x e (tj. x e w ). (zapisy w oraz w oznaczają odpowiednio najwięszą liczbę całowitą nie więszą niż w oraz najmniejszą liczbę całowitą nie mniejszą niż w). Zadania te są następnie rozwiązywane. Proces optymalizacji powtarzany jest ta długo, aż w rozwiązaniu LP wartości wszystich zmiennych decyzyjnych będą całowite. Metoda ta nie może być zastosowana do rozwiązywania sformułowania przepływu pojazdów ze względu na bardzo dużą liczbę ograniczeń zapewniających spójność tras rozwiązania. Realizacja metody podziału i cięć rozwiązywania VRP wyorzystuje spostrzeżenie, że nie wszystie ograniczenia w rozwiązaniu optymalnym są atywne. Załada ona modyfiację polegającą na usunięciu z modelu przepływu pojazdów (w srócie IP VRP1 ) zarówno ograniczeń całowitości zmiennych, ja i całej grupy ograniczeń gwarantujących spójność rozwiązania. Otrzymany model oreślmy w srócie jao LP VRP1. Jeśli wartości zmiennych decyzyjnych w rozwiązaniu zadania LP VRP1 uzysanego przez zastosowanie lasycznego algorytmu podziału i ograniczeń będą całowite, to wymagane jest dodatowo sprawdzenie, czy trasy rozwiązania są spójne. To zadanie realizują tzw. algorytmy separacji (ang. separation algorithms). Gdy trasy rozwiązania nie są spójne, wówczas procedura wsazuje naruszone ograniczenie. Naruszone ograniczenie jest uwzględniane w zadaniu LP VRP1, a całe zadanie rozwiązywane ponownie. W pozostałych sytuacjach realizacja metody jest zaończona. Proces ograniczania powtarzany jest ta długo, aż rozwiązanie LP VRP1 nie będzie naruszało ograniczeń zarówno całowitości zmiennych, ja i spójności tras. Sformułowania VRP w postaci liniowego modelu podziału zbioru odbiorców charateryzują się rosnącą wyładniczo w miarę wzrostu wielości problemu liczbą zmiennych decyzyjnych. Z tego powodu zastosowanie lasycznych metod rozwiązywania zadań programowania liniowego nie jest możliwe już dla sieci transportowych sładających się z 30 odbiorców. Podstawą algorytmów z tej grupy jest odpowiednia technia rozwiązywania liniowej relasacji modelu podziału zbioru odbiorców VRP (w srócie LP VRP2 ). Modele te charateryzują się bardzo dużą liczbą zmiennych, ta więc w pierwszym rou rozwiązywania LP VRP2 uwzględniany jest tylo wybrany podzbiór zbioru wszystich tras. Model uwzględniający tylo pewne trasy oznaczono jao RP VRP2. Następnie w celu sprawdzenia, czy uzysane rozwiązanie RP VRP2 jest rozwiązaniem optymalnym również dla LP VRP2, wyorzystuje się technię generowania olumn. Na podstawie anali- 65

12 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW zy wartości zmiennych dualnych wyznaczane są trasy, tórych uwzględnienie w RP VRP2 spowoduje zmniejszenie wartości funcji celu. Jeśli taa trasa istnieje, dodawana jest do RP VRP2, a zadanie rozwiązuje się ponownie. Całe postępowanie ończy się, gdy nie istnieje trasa, tórej uwzględnienie w RP VRP2 zmniejszy wartość funcji celu. Najbardziej sompliowane w tego rodzaju algorytmach jest wyznaczenia trasy, tórej dodanie do rozwiązania pozwoli na zmniejszenie jego długości i jest oreślany jao problem generowania olumn (ang. column generation problem). Zagadnienie to jest trudne do rozwiązania, gdyż należy do grupy NP-trudnych. Propozycje algorytmów rozwiązywania tego problemu w modelach VRP zawierają m.in. prace Agarwal, 1989; De Bacer, 2000; Desrochers, 1992 i Hadjiconstantinou, Konstrucyjne metody rozwiązywania Najbardziej rozpowszechnioną metodą rozwiązywania VRP w opisywanej grupie jest niewątpliwie podejście Clara i Wrighta (Clar, 1964) często nazywana algorytmem oszczędzania (ang. savings algortihm). Podejście to taże doczeało się najwięszej liczby modyfiacji i rozszerzeń. Na początu procedury przyjmowane jest rozwiązanie sładające się z pojedynczych tras do wszystich odbiorców. W olejnych iteracjach zmniejszana jest długość rozwiązania przez łączenie wybranych tras. W tym celu wprowadza się połączenie bezpośrednie pomiędzy ońcowym lub początowym odbiorcą jednej trasy a ońcowym lub początowym odbiorcą drugiej. W ażdym rou rozważane są wszystie możliwe łączenia. Do rozwiązania jest wprowadzane połączenie, tórego użycie gwarantuje uzysanie najwięszego srócenia rozwiązania. Do metody tej wprowadzono wiele modyfiacji. Gasell (Gasell, 1967) analizował różne sposoby mierzenia spadu osztu w wyniu połączenia dwóch tras. Badał on poziomice miar oszczędzania, gdyż ich ształt jest zależny od przyjętego sposobu pomiaru. W wyniu tych analiz zaproponował nowe przesłani wyboru łączonych tras. Taże Yellow (Yellow, 1970) zaproponował modyfiację tego podejścia przez zdefiniowanie tzw. ogólnej wartości spadu osztu. W podejściu tym wyorzystuje się parametr ształtu poziomicy. Jeśli parametr ten przyjmie wartość 1, to wzór Yellowa przyjmuje postać lasycznego wzoru Clara i Wrighta, dla wartości 2 jest równoznaczny z jedną z propozycji Gasella. Wzrost wartości tego parametru powoduje, że przy wyborze łączonych tras więszy wpływ będzie miała bezpośrednia odległość miast, pomiędzy tórymi zostanie wprowadzone połączenie bezpośrednie. Teoretycznie parametr ształtu może przyjmować dowolne wartości. Yellow dobierał jego wartość w czasie licznych prób i poazał, że przez dobranie odpowiedniej jego wartości można uzysać poprawę rozwiązań generowanych przez lasyczne algorytmy oszczędzania. 66

13 Paweł Hanczar Kolejna zmiana sposobu łączenia tras to propozycja Paessensa (Paessens, 1988), tóry zdefiniował tzw. parametryczną funcję oszczędzania (ang. parametrical savings function). Jao olejną wartość uwzględnianą w łączenie tras Paessens proponuje użycie wartości bezwzględnej różnicy pomiędzy odległościami analizowanych puntów od centrum dystrybucji. Przyładowo jeśli jedno z miast jest oddalone od centrum zaopatrzenia, drugie natomiast leży bliso centrum, to wprowadzenie bezpośredniego połączenia między taimi miastami może być dobrą operacją, mimo że wartość lasycznej miary będzie mała. Paessens powtarzał działanie algorytmu wiele razy. Za ażdym razem stosował różne wartości parametrów γ z przedziału 0 γ 3 oraz η z przedziału 0 η 1. Zmiany te powodowały, że otrzymywane rozwiązania były różne. Altinemer i Gavish (Altinemer, 1991) zaprezentowali modyfiacje algorytmu oszczędzania łączącą w jednej iteracji ila tras. Pierwszym rozwiązaniem jest zbiór tras do pojedynczych lientów. Następnie w ażdej iteracji algorytmu bieżące rozwiązanie częściowe jest przedstawiane jao graf, w tórym węzły reprezentują istniejące trasy. Krawędzie grafu łączą węzły odpowiadające możliwym do połączenia trasom. Wadze rawędzi grafu nadaje się wartość miary oszczędzania uzysanej w przypadu połączenia tras, tórym odpowiadają połączone tą rawędzią węzły. Dla ta sonstruowanego grafu wyznacza się sojarzenie o masymalnej wadze. Zbiór rawędzi wyznaczonego sojarzenia oreśla, tóre trasy powinny zostać połączone w rozwiązaniu. Niestety, dużym manamentem tego algorytmu jest jego zachowanie się w sytuacji, gdy łączna ilość towarów przewożonych na ażdej trasie osiągnie wartość więszą niż C / 2 (połowa ładowności pojazdu). W tym przypadu żadne z tras nie zostaną połączone, a rozwiązanie będzie daleie od optymalnego. Wyeliminowanie tego problemu autorzy uzysują przez wprowadzenie dodatowych węzłów (tzw. sztucznych tras) do pomocniczego grafu, dla tórego wyznaczane jest sojarzenie o masymalnej wadze. Powoduje to, że podczas pojedynczej iteracji liczba łączonych tras spada. Ostatnią prezentowaną modyfiacją algorytmu oszczędzania jest propozycja Wara i Holta (War, 1994). Podobnie ja w poprzedniej metodzie, do wyznaczenia zbioru łączonych tras wyorzystano sojarzenie o masymalnej wadze. Procedura rozpoczyna się również od rozwiązania sładającego się z pojedynczych tras do wszystich odbiorców. Podstawowa różnica w działaniu tego algorytmu w stosunu do propozycji Altinemera i Gavisha polega na dopuszczeniu przypadów, w tórych po połączeniu dwóch tras otrzymujemy nie jedną, lecz dwie (inne niż wyjściowe) trasy. Kolejne bardzo rozpowszechnione podejście onstrucyjne rozwiązywania VRP to tzw. algorytm sweep. Metoda ta jest stosowana w przypadu grafów planarnych. Dopuszczalne bloi podziału tworzy się na podstawie odległości ątowej odbiorców od dostawcy. Następnie do wyznaczania tras wyorzystywane są metody rozwiązywania TSP. Algorytm ten jao pierwszy zaproponowali Wren i Holliday (Wren, 1972), ale 67

14 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW ponieważ metoda ta została głównie rozpowszechniona dzięi pracy Gilleta i Millera (Gillet, 1976), im przypisuje się jej autorstwo. Algorytm rozpoczyna działanie od wybrania wolnego pojazdu. Następnie spośród odbiorców nieuwzględnionych jeszcze w rozwiązaniu wybierani są odbiorcy rosnąco według ąta nachylenia prostej przechodzącej przez wierzchołe odbiorcy i wierzchołe dostawcy do osi OX. Jeśli przydzielenie olejnego odbiorcy spowodowałoby naruszenie dowolnego warunu zadania, bieżąca trasa zostaje zamnięta, a olejni odbiorcy przydzielani są do nowego pojazdu. Po przydzieleniu wszystich odbiorców do rozwiązania następuje procedura wyznaczenia rozwiązania TSP dla ażdego blou oddzielnie. Ostatni algorytm to propozycja Fishera i Jaiumara (Fisher, 1981). Polega ona na zastosowaniu podczas generowania podziału zbioru odbiorców rozwiązania zadania przydziału. W pierwszym rou tej procedury spośród wierzchołów odbiorców wybieranych jest wierzchołów, tóre w dalszej części będą pełniły funcję tzw. oncentratorów bloów (ang. seed vertices). Następnie rozwiązywane jest zadanie przydziału, w tórym rozważa się agentów (pojazdy) i n zadań (odbiorcy VRP). Niezbędne ilości zasobów dla zadań w zadaniu przydziału są taie same, ja zapotrzebowanie odbiorców problemu wyjściowego. Zasoby agentów odpowiadają ładowności pojazdów. Dodatowo przyjmuje się, że zadania nie mogą być realizowane przez więcej niż jednego agenta. Rozwiązanie zadania przydziału oreśla podział odbiorców. Algorytm ończy wyznaczenie optymalnej trasy przejazdu dla ażdego blou podziału powięszonego o wierzchołe dostawcy. 3. Zagadnienie wyznaczania tras pojazdów w łańcuchach dostaw Wraz z rozwojem nowych oncepcji w zaresie dystrybucji towarów, taich ja zarządzanie zapasami przez dostawcę (ang. vendor managed inventory replenishment w srócie VMI), a taże z powięszaniem zaresu zainteresowania z pojedynczego przedsiębiorstwa na wiele przedsiębiorstw tworzących łańcuch dostaw przed metodami wyznaczania tras pojazdów, są stawiane nowe wymagania. Stosunowo dobrze przeanalizowane metody rozwiązywania lasycznego VRP wymagają olejnych rozszerzeń i modyfiacji ta, aby możliwe było ich stosowanie w nowych sytuacjach. Konieczne jest taże stwierdzenie zasadności stosowania metody optymalizacyjnych dla nowych zagadnień oraz ich możliwości i ograniczeń. Analiza literatury pozwala zidentyfiować 3 podstawowe ieruni rozwoju opisywanego obszaru. Jao pierwszy wymienić należy wspomniane już wcześniej zagadnienie VMI, tóre łączy w sobie podejmowanie decyzji dotyczące zarówno planowania tras, ja i sterowania zapasami. Druga grupa zagadnień to problematya wyboru dostawcy usług transportowych. Ja- 68

15 Paweł Hanczar o ostatni ierune należy wymienić wyznaczanie tras dostaw w wielopoziomowych sieciach dystrybucyjnych Zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę Zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę (ang. vendor managed inventory replenishment) to przyład oncepcji, tóra dotyczy co najmniej dwóch przedsiębiorstw. Strategia ta polega na przeniesieniu odpowiedzialności za sterowanie poziomem zapasów u odbiorcy z odbiorcy na dostawcę. Odbiorca w tej oncepcji nie słada zamówień (ta ja w lasycznych strategiach) tylo ustala masymalny poziom magazynu dla surowców objętych VMI. W zamian za przejęcie tego zobowiązania dostawca ma możliwość oreślania wielości oraz terminów dostaw. Poprawnie wdrożone VMI gwarantuje zwięszenie efetywności zarówno po stronie odbiorcy (zmniejszenie osztów sterowania zapasami), a taże po stronie dostawcy (zmniejszenie osztów dystrybucji poprzez mniejsze ograniczenia podczas jej planowania) (Bell, 1983), (Hannon, 2005), (Mongelluzzo, 1998) i (Waller, 1999). Problem dostawcy w oncepcji VMI doczeał się licznych modeli badań operacyjnych oraz ilu metod ich rozwiązywania. Na gruncie badań operacyjnych zagadnienia te są oreślane jao problemy wyznaczania tras przepływu zapasów (ang. inventory routing problem IRP). W IRP jest rozważana powtarzająca się dystrybucja jednorodnego produtu od dostawcy do n odbiorców w zadanym horyzoncie planowania T. Dzienne zużycie u i ażdego odbiorcy jest znane. Ponadto ażdy odbiorca dysponuje magazynem o pojemności C i przeznaczonym do sładowania dystrybuowanych towarów, a jego stan w czasie 0 (na początu analizy) wynosi I i. Dostawca dysponuje jednorodnym taborem m samochodów, ażdy o pojemności Q, umożliwiających dystrybucję produtu. Celem jest minimalizacja osztów dystrybucji w planowanym oresie T oznaczona jao v T przy założeniu, że u żadnego odbiorcy nie wystąpią brai w magazynie. Rozwiązaniem problemu IRP jest szczegółowy sposób dystrybucji towarów (ilość oraz terminy lub waruni wywołania dostaw, a taże trasy dostaw dla poszczególnych pojazdów w ażdym oresie) oreślany jao strategia uzupełniania zapasów. W IRP wyróżnia się dwie odmiany strategii uzupełniania zapasów. Pierwsza z nich to tzw. strategia czysta. Polega na wyznaczeniu stałych trasy dla pojazdów. Oznacza to, że w sytuacji, iedy wymagana jest dostawa towaru do jednego lienta, pojazd przejeżdża swoją stałą trasę, dostarczając produty wszystim lientom przypisanym do tej trasy. Druga odmiana to strategia mieszana, tóra w odróżnieniu od strategii czystej nie załada stałych tras dostarczania w analizowanym oresie. Stosowanie wyłącznie 69

16 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW czystej strategii może charateryzować się wyższymi osztami, jedna wyznaczenie najlepszej, czystej strategii jest łatwiejsze od znalezienia strategii optymalnej. W celu uazania złożoności zagadnień z tej grupy zostaną przeanalizowane dwa najprostsze przypadi IRP. Pierwszy z nich to sytuacja, w tórej dostawca zaopatruje tylo jednego odbiorcę, drugi to zadanie sładające się z dwóch odbiorców. Nietrudno zauważyć, że w IRP sładającym się tylo z jednego odbiorcy, optymalną strategią uzupełniania zapasów będzie dostarczanie towarów w oresie, iedy ma wystąpić ich bra. Przyjmując, że c 1 oznacza oszt dostawy do odbiorcy, utożsamiany często z długością trasy dostawy, oszt v T dla tego przypadu można wyznaczyć za pomocą wzoru [15]. v T max 0, Tu I 1 1 = c1 min( C1, Q) [15] Jeśli zadanie zawiera dwóch odbiorców, dostawca ma do dyspozycji dwie czyste strategie. Pierwsza z nich to dostarczanie towarów oddzielnie dla ażdego odbiorcy. Jej oszt będzie sumą osztów oddzielnych dostaw do pierwszego i do drugiego odbiorcy wzór [16]. We wzorze symbolem c i oznaczono oszt dostawy do odbiorcy i. Tu I Tu I vt = max 0, c + max 0, c min(, ) min(, ) C1 Q C2 Q [16] Druga to dostarczanie towarów do obydwu odbiorców w jednej trasie. Jeśli przyjmiemy, że TSP(c 1, c 2 ) oznacza oszt optymalnej trasy dostawy do odbiorców c 1 i c 2, to oszt taiej strategii oreśla wzór [17]. v T = max 0, TSP( c1, c2) T C1 C2 Q min( u,, ) 1 u2 u1+ u2 [17] Jeśli dla omawianego przypadu dopuścimy użycie strategii mieszanych to liczba możliwych strategii znacznie się zwięsza i zależy od wielości zapotrzebowań poszczególnych odbiorców. Przyładowo jeżeli zużycie u jednego odbiorcy jest dwa razy więsze niż u drugiego, opłacalne może oazać się wyorzystywanie na przemian obu strategii czystych. Problem wyznaczania tras przepływu zapasów jest szczegółowo przedstawiony np. w pracach Campbella i Savelsbergha (Campbell, 2002) oraz Campbella i innych (Campbell, 1998). 70

17 Paweł Hanczar Pierwsze prace na temat rozwiązywania problemów wyznaczania tras przepływu zapasów zaliczyć można do podejść oreślanych jao rótoterminowe, ponieważ zagadnienie oryginalne przez silne srócenie horyzontu planowania (nawet do jednego dnia) jest sprowadzane do problemu wyznaczania tras pojazdów. Fundamentalne w realizacji metod z tej grupy są procedury oreślające, tórzy odbiorcy powinni zostać zaopatrzeni w najbliższym oresie. Następnie, po wyznaczeniu zbioru odbiorców są uładane trasy, ale w sposób, tóry ma zmasymalizować wyorzystanie środów transportowych. Działanie taie wynia głównie z postawy aseuracyjnej dostawcy, tóry obawia się, że w przyszłości może nie być w stanie zrealizować wszystich wymaganych dostaw. Podstawową wadą tego typu podejść są: tendencja do podnoszenia stanów magazynów, nierównomierne wyorzystanie środów transportowych, a taże uniemożliwienie poprawy strutury środów transportowych (w nietórych oresach orzysta się ze wszystich pojazdów). Przyładami tego typu badań są prace Golden, 1984; Chien, 1989 oraz Bell, Drugi nurt badań to podejścia, w tórych próbuje się uwzględniać średnie oszty stosowania strategii w całym planowanym horyzoncie czasowym oreślane jao długoterminowe. Podstawą w ich modelowaniu są najczęściej stałe trasy, tóre w pratycznych zastosowaniach nie zawsze mogą być stosowane. Dodatowo, taże w tym przypadu, występują pewne wady, z tórych najistotniejsze to niepełne wyorzystanie ładowności pojazdów oraz zwięszanie liczby realizowanych dostaw. Problem VRP jest zadaniem NP-trudnym. Uwzględnienie wymagań związanych ze podejściem VMI dodatowo znacznie ompliuje model IRP i sposób jego rozwiązywania. Uwzględniając powyższe, podstawowym celem opisanej w dalszej części próby zdefiniowania modelu programowania liniowego IRP jest sprawdzenie możliwości doładnego rozwiązywania zadań tego typu. Zaprezentowane sformułowanie IRP jest połączeniem modelu podziału zbioru odbiorców wyznaczania tras pojazdów z dysretnym, cylicznym modelem planowania zapasów. Modelu podziału zbioru odbiorców został wybrany ze względu na możliwość doładnego oreślenia realizowanych tras. Postępowanie taie jest stosowane w pratyce. W prezentowanym wzorami [18]-[25] sformułowaniu indesy i, j oraz t to odpowiednio odbiorcy, trasy i oresy. Parametr a ij oznacza analogicznie ja w sformułowaniu VRP przynależność odbiorcy i do trasy j. Przyjmuje wartość 1, gdy odbiorca i jest obsługiwany w trasie j oraz 0 w przeciwnym przypadu. Parametry b i oraz w j to odpowiednio oszty sładowania jednosti towaru u odbiorcy i oraz waga trasy j. Symbolem uit oznaczono zużycie odbiorcy i w oresie t. Dodatowo parametr Q to ładowność pojazdu stosowanego w dystrybucji. W sformułowaniu wyorzystano taże parametr M, tóry oznacza dodatnią wartość więszą niż suma zapotrzebowań wszystich odbiorców w analizowanym horyzoncie. Jest on używany w modelu z powodów technicznych. 71

18 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW W sformułowaniu wyorzystano trzy grupy zmiennych decyzyjnych. Jao pierwszą wymienić należy grupę binarnych zmiennych x jt. Przyjmują one wartość 1, gdy trasa j jest realizowana w oresie t oraz 0 w przeciwnym przypadu. Dalej użyto dwie grupy zmiennych związane z zapasami y it oraz z ijt. Pierwsza z nich to wielość zapasu odbiorcy i w oresie t, druga natomiast to wielość zrealizowanej dostawy do odbiorcy i w trasie j oraz w oresie t. z ijt a x M 0 ij jt min w x + bi y j jt it j = 1.. m, t = 1.. p i= 1.. n, t = 1.. p [18] i = 1.. n dla ażdego j = 1.. m [19] t = 1.. p zijt i= 1.. n y Q i, t + zi, j, t di yi, t + 1 = j = 1.. m 0 j = 1.. m dla ażdego t = 1.. p [20] i = 1.. n dla ażdego t = 1.. p 1 [21] y it + z ijt j= 1.. m d i y i1 = 0 i = 1.. n dla ażdego [22] t = p x jt { 0,1} j = 1.. m dla ażdego [23] t = 1.. p y it z ijt 0 0 Funcja celu zapisana wzorem [18] zapewnia minimalizacje łącznych osztów w całym horyzoncie planowania. Pierwszy sładni sumy to oszty dystrybucji, drugi to oszty magazynowania. Ograniczenie [19] zapewnia połączenie zmiennych x jt i z ijt. Gwarantuje ono, że dostawy będą realizowane tylo w oresach, w tórych będzie wyonywana trasa uwzględniająca danego odbiorcę. Ograniczenie [20] odpowiada za zachowa- i = 1.. n dla ażdego [24] t = 1.. p i = 1.. n dla ażdego j = 1.. m [25] t = 1.. p 72

19 Paweł Hanczar nie masymalnej ładowności pojazdu. Wzorami [21] i [22] są zapisane ograniczenia gwarantujące ciągłość polityi magazynowania. I ta ograniczenie [21] gwarantuje ciągłość w oresach od 1 do p 1. Natomiast ograniczenie [22], ponieważ przyjęto założenie o cyliczności dystrybucji, łączy stany z oresu p ze stanami z oresu 1. Ograniczenie [23], [24] oraz [25] to ograniczenia brzegowe zmiennych decyzyjnych x, y oraz z. Podstawowym problemem w tym sformułowaniu jest proces generowania tras. Przed rozpoczęciem procesu optymalizacji onieczne jest wygenerowanie wszystich tras, sprawdzenie ich wyonywalności, a taże oreślenia osztów ażdej z nich. Sformułowanie to jest bardzo elastyczne i stanowi dobrą podstawę do budowania bardziej złożonych modeli. Przyładowo uwzględnienie różnych zapotrzebowań na produty w olejnych oresach czy dopuszczenie heterogenicznego taboru nie stanowi dużego problemu. Taie zmiany nie wpływają nawet na wielość modelu oraz na czas jego rozwiązywania. Ponadto możliwe jest stosowanie podejść upraszczających model ja przyładowo predefiniowane wielości dostaw. Natomiast duża liczba tras nie jest jedna problemem, tóry uniemożliwiałby orzystanie z tego sformułowania. Analogicznie ja w przypadu modeli podziału zbioru odbiorców do obsługi tras można używać technii generowania olumn, tórej zastosowanie w przytoczonej grupie modeli znacznie zwięsza rozmiar rozwiązywanych zadań. Zaprezentowanie sformułowanie zostało użyte do przygotowanie heurystycznej metody wyznaczenia harmonogramu i tras dostaw w 5 oresach w systemie dystrybucyjnym sładającym się z 30 odbiorców (Hanczar, 2006). Uzysane wynii zostały porównane z planami dotyczącymi tego samego zadania przygotowanymi przez 6 zespołów menedżerów. Wynii te przedstawia tabela 2. Tabela 2. Wynii symulacji planowanie tras przepływu zapasów Lp. Zespół Łączna długość Suma dostarczonych produtów pojazdów [m/szt.] Max liczba Wsaźni tras , , , , , , , , , , , , AVG 210, , TR 198, ,0062 Źródło: Opracowanie własne na podstawie wyniów symulacji. W tabeli 2 zaprezentowano łączną długość tras (olumna 3), sumę dostarczonych produtów (olumna 4), masymalną liczbę pojazdów w oresie użytą do dystrybucji (olumna 5) oraz wsaźni m/szt. (olumna 6) oreślający, ile ilometrów należy poonać celem dostarczenia jednej jednosti produtu. Pierwsze 6 wierszy tabeli prezen- 73

20 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW tuje wynii dla poszczególnych zespołów, wiersz 7 to wyni średni, natomiast w wierszu 8 przedstawiono wyni uzysany za pomocą omawianego tutaj sformułowania. Analiza wyniów zawartych w tabeli 2 nie jest jednoznaczna. Powodem tego jest specyfia problemu wyznaczania tras przepływu zapasów, w tórym wynii decyzji operacyjnych mogą być oceniane dopiero w długim oresie. W pierwszej olejności należy zauważyć, że wyni uzysany za pomocą metod optymalizacyjnych nie jest, pod względem długości trasy, rozwiązaniem najlepszym. Najlepszy uzysany wyni to rozwiązanie zaproponowane przez zespół 04. Jedna dużą zaletą tego pierwszego jest fat, że we wszystich oresach do realizacji dystrybucji są wyorzystywane tylo dwa pojazdy. Ponadto suma dostarczonych produtów jest również więsza dla rozwiązania uzysanego za pomocą metod optymalizacyjnych. Stosune łącznej długości tras do liczby dostarczonych produtów, tóry oreśla część ilometra, jaą poonano w celu dostarczenia jednej sztui produtu, w przypadu obu tych rozwiązań są taie same Wybór dostawcy usług dystrybucyjnych w warunach różnych taryf transportowych Gwałtowny rozwój przedsiębiorstw transportowych działających na podstawie różnych typów taryf spowodował pojawienie się zapotrzebowanie na wspomaganie decyzji planowania tras z uwzględnieniem różnych taryf transportowych. Z jednej strony oferta usług dużych, międzynarodowych przedsiębiorstw transportowych gwarantuje nisie ceny. Z drugiej strony małe rajowe firmy przewozowe zapewniają w swoim często jedynym odbiorcom wysoą jaość i elastyczność świadczonych usług. Taryfę transportową oreślić możemy jao wyaz cen za usługi transportowe wraz z przepisami ich stosowania. Biorąc pod uwagę ryterium sposobu obliczania osztów dostawy, możemy wyróżnić dwa podstawowe typy taryfy: zależne od odległości i wielości przesyłi, zależne od długości trasy przebytej w celu dostarczenia przesyłi. W taryfie pierwszego typu nie uwzględnia się bezpośrednio rzeczywistej odległości poonywanej przez przesyłę, lecz dla ujednolicenia i ułatwienia rozliczeń są ustalane uśrednione stawi transportowe zależne od wagi przesyłi oraz od odległości pomiędzy puntami nadania i odbioru. Najorzystniejsze dla firmy transportowej są tutaj przesyłi na trasach o dużym wolumenie. Jedna wybierając ten typ taryfy, firma przewozowa zobowiązuje się do realizowania wszystich nadań. Stąd głównym problemem w stosowaniu taryf tego typu jest wyznaczenia odpowiednich stawe. Często 74