OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE"

Transkrypt

1 OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

2 Problem komiwojażera 1 Sformułowanie problemu Zadanie komiwojażera jest znane od kiedy kupcy zaczęli dostarczać produkty klientom. Podstawową wersję problemu komiwojażera można przedstawić w dwóch zdaniach: 1. Komiwojażer pragnie odwiedzić pewną liczbę klientów w różnych miejscowościach i po zakończeniu odwiedzin wrócić do domu. 2. Jaką drogę powinien wybrać ( w jakiej kolejności powinien odwiedzać klientów) aby przebyta przez niego droga była możliwie najkrótsza?

3 Problem komiwojażera 2 Pierwsze reguły wyznaczania trasy zostały opracowane na podstawie doświadczeń praktycznych już w połowie XIX wieku przez komiwojażerów w USA. Jednak dopiero formalne ujęcie matematyczne pozwoliło odkryć, że to niby proste zadanie obejmuje bardzo szeroką klasę przypadków, z których tylko niektóre można rozwiązać dokładnie. Założenia: 1. Każdego klienta można identyfikować przez podanie miejscowości (węzła w grafie), w której zamieszkuje ( w jednej miejscowości znajduje się jeden klient ). 2. Między miejscowościami istnieją połączenia pozwalające na przemieszczanie w obu kierunkach ( krawędzie grafu ). 3. Każdej krawędzi przyporządkowana jest liczba określająca uogólnioną odległość. 4. Wyróżnione miejscowości oraz potencjalne trasy przejazdu można przedstawić za pomocą grafu G=[ V, E, c ], nieskierowanego, spójnego, o n węzłach, w którym liczby przyporządkowane krawędziom są nieujemne cij = cji 0 5. Dla dowolnych trzech węzłów i,j,k powinna być spełniona nierówność: cik cij + cjk 6. Dla dowolnych dwóch miejscowości nie mogą występować połączenia przez inne miejscowości. 7. Wyróżniamy jeden węzeł odpowiadający miejscu startu komiwojażera i przyjmujemy, że jego trasa powinna kończyć się powrotem do tego węzła.

4 Problem komiwojażera 3 Każdą trasę spełniająca te warunki nazywamy trasą okrężną komiwojażera, która jest optymalna, gdy łączna jej długość jest minimalna. Każda z miejscowości ( z wyjątkiem startowej ) musi wystąpić na niej tylko raz. W teorii grafów trasę tego typu nazywa się cyklem Hamiltona. Jeżeli nie wymaga się odwiedzenia wszystkich miejscowości mówimy o cyklu skróconym

5 Problem komiwojażera 4 Poszukiwany cykl Hamiltona oznaczymy krótko symbolem H. Aby móc zapisać, że pewna krawędź należy do tego cyklu, wprowadzimy zmienne binarne xij, i,j= 1, n. x ij 1, 0, gdy droga i, j cyklu H w przeciwnymprzypadku Ponieważ każda miejscowość może tylko raz wystąpić w trasie, więc każdy węzeł i może tylko raz wystąpić jako węzeł początkowy krawędzi : n i1 x ij 1, j 1,...,n. Każdy węzeł może być również tylko raz węzłem końcowym krawędzi, co prowadzi do układu ograniczeń: n j1 x ij 1, i 1,...,n.

6 Minimalizacja trasy może być ujęta w formie funkcji kryterium: z n n i1 j1 c ij x ij min Wprowadzamy sztuczne założenie, na mocy którego, gdy między dwoma węzłami p i r nie istnieje połączenie, to przyjmujemy, że są one oddalone nieskończenie daleko, a więc cpr =, oraz również cii = Próba tak sformułowanego zadania kończy się jednak bardzo często wskazaniem cykli skróconych, których przyjęte ograniczenia niestety nie wykluczają. Aby do tego nie dopuścić do zadania należy wprowadzić dodatkowe ograniczenia, które czynią zadanie trudnym do praktycznego rozwiązania. W literaturze można spotkać różne wersje ograniczeń uniemożliwiających powstawanie cykli skróconych. Często spotykaną jest następująca: 1. Rozpatrujemy wszystkie k elementowe permutacje węzłów [ i1, i2,, ik ], przy czym Gdy liczba węzłów jest parzysta: n k = 2,3,, 2 Problem komiwojażera 5

7 Problem komiwojażera 6 Gdy liczba węzłów n jest nieparzysta: k = 2,3,, n Dla każdego k tworzymy układ ograniczeń: x x... x k i i2 i2i3 iki n k 1! Należy teraz wziąć pod uwagę, że dla każdego k otrzymujemy k ograniczeń. Dla n=6 otrzymamy 55 ograniczeń, ale ich liczba rośnie bardzo szybko dla n=14 wynosi prawie 3 miliony, co czyni zadanie niemożliwym do rozwiązania. Z tego względu w praktyce najczęściej wykorzystywane są algorytmy heurystyczne.

8 Problem komiwojażera 6 Algorytm droga do najbliższego sąsiada Założenia startowe Startujemy węźle a. Symbolem z oznaczamy długość drogi okrężnej. Przyjmujemy: k1 := a, z := 0. Iteracje Numery iteracji będziemy kojarzyć z liczbą odwiedzanych miejscowości, dlatego. rozpatrujemy iteracje j = 2,3,,n. Krok 1 Wskazujemy węzeł kj, dla którego c k c k, przy czymi k1 k j 1, k min,..., j j1, i j1 Czyli wskazujemy węzeł, który nie jest zakwalifikowany do drogi i leży najbliżej ostatniego z już uwzględnionych w drodze. Krok 2 Tworzymy ciąg [ k1,, kj ].

9 Problem komiwojażera 7 Krok 3 Przyjmujemy: z z c k j 1, k j Po n iteracjach do ciągu [ k1,, kn-1, kn ] dołączamy węzeł startowy k1, tworząc drogę okrężną H = [ k1,, kn-1, kn, k1 ], której długość wynosi: z z c kn, k1

10 Problem komiwojażera 8 KURIER MA DO ROZWIEZIENIA 9 PRZESYŁEK. ABY OBNIŻYĆ KOSZTY DOSTARCZENIA PRZESYŁKI MUSI ON ZMINIMALIZOWAĆ TRASĘ JAKĄ POKONA. NIESTETY ZE WZGLĘDU NA REMONTY DRÓG NIE KAŻDA TRASA ŁĄCZĄCA POSZCZEGÓLNYCH ODBIORCÓW JEST PRZEJEZDNA. ODLEGŁOŚCI MIĘDZY ODBIORCAMI I MAGAZYNEM ORAZ NIEPRZEJEZDNE TRASY PREZENTUJE TABELA: opracowali : Sylwia Głowacka, Kacper Mroczek, Kamil Ligenza Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X spaliny wielkie 201 X koziebrody X twarogi ruskie X żebrak X piekiełko X potworów X włochy X bujny księże X 77 9 wągry X - trasa nieprzejezdna

11 Problem komiwojażera 9 - najbliższy, nieodwiedzony wcześniej sąsiad - odbiorca u którego był już kurier Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X H : 0 2 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 2 koziebrody X H : 2 7 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 7 włochy X H : 7 5

12 Problem komiwojażera 10 Lp Nazwa H : 5 6 nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 5 piekiełko X Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 6 potworów X H : 6 9 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 9 wągry X H : 9 8

13 Problem komiwojażera 11 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 8 bujny księże X 77 H : 8 4 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 4 żebrak X H : 4 3 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 3 twarogi ruskie X H : 3 1

14 Problem komiwojażera 12 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 1 spaliny wielkie 201 X H : 1 0 ODPOWIEDŹ: H = T = = 1142

15 Postępując zgodnie z zasadami wyznaczania najbliższego sąsiada wyznaczamy kolejno w wierszach zaczynając od wiersza 1: - W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 - W wierszu 3 : węzeł 5 czas 66 Problem komiwojażera 10 2 Lp Nazwa Wrocław Wałbrzych Legnica Poznań Jelenia Góra 1 Wrocław Wałbrzych Legnica Poznań Jelenia Góra W wierszu 5 : węzeł 4 czas 288,nie można wybrać 2 bo nie ma z niego dojazdu do 4, ale z 4 nie możliwy jest także dojazd do 2. Należy postępowanie zacząć od początku biorąc pod uwagę, że najgorszy dojazd jest do 2 i 4 - W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 - W wierszu 3 : węzeł 2 czas 81 - W wierszu 2 : węzeł 5 czas 63 - W wierszu 5 : węzeł 4 - czas W wierszu 4 : węzeł 1 - czas 198 Łączny czas przejazdu 708

16 Problem komiwojażera 11 2 Drugi wariant drogi okrężnej W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 W wierszu 3 : węzeł 4 czas 277 W wierszu 4 : węzeł 5 - czas 288 W wierszu 5 : węzeł 2 - czas 63 W wierszu 2 : węzeł 1 czas 83 Łączny czas przejazdu 789 Trzeci wariant drogi okrężnej: W wierszu 1 : węzeł 2 czas 83 W wierszu 2 : węzeł 5 czas 63 W wierszu 5 : węzeł 3 - czas 66 W wierszu 3: węzeł 4 - czas 277 W wierszu 4 : węzeł 1 czas 198 Łączny czas przejazdu 687

17 Problem komiwojażera Poznań Jelenia Góra 5 3 Legnica 1 Wrocław 2 Wałbrzych

18 Problem komiwojażera 13 2 Jak widać algorytmu nie da się zawsze zastosować nie odchodząc od wcześniej przedstawionych reguł postępowania. Wszystko zależy od konfiguracji połączeń. Dlatego należy pamiętać, że stosując algorytmy heurystyczne nie zawsze otrzymujemy rozwiązanie optymalne ale jedynie dopuszczalne.

19 Problem komiwojażera 14 Algorytm sukcesywne dołączanie węzłów. Dla z góry zadanego węzła startowego a należy już na starcie wybrać inny węzeł b i utworzyć początkową trasę z a do b i powrotem: [a,b,a]. W trakcie postępowania będziemy sukcesywnie modyfikować tę drogę przez dołączanie nowych węzłów. Wybór nowego węzła nie jest jednoznacznie określony, ale korzystnie jest stosować następująca regułę: Najmniejsza z odległości dołączanego węzła do wcześniej określonej drogi powinna. być możliwie największa. Przyjmujemy zatem: a węzeł startowy, b węzeł najbardziej oddalony od a, z określona długość okrężnej drogi; w iteracja pośrednich drogi częściowej, H cykl węzłów tworzących drogę okrężną; w iteracjach pośrednich jest to droga częściowa

20 Problem komiwojażera 15 Założenia startowe Przyjmujemy: k k 1, k2, k1, z k 1 k c 2 k a, k2 b, H c k Iteracje Numery iteracji kojarzyć będziemy z liczbą odwiedzonych miejscowości, dlatego. rozpatrujemy iteracje j = 3,,n. Przyjmijmy, że w iteracji (j-1) otrzymaliśmy częściową. drogę okrężną : H k1, k2,..., k j 1, k j o długości z. Ze względu na stosowane dalej wzory ostatni z węzłów jest oznaczony przez kj, a w rzeczywistości jest nim węzeł k1.

21 Problem komiwojażera 16 W każdej iteracji należy wskazać, który z nie uwzględnionych jeszcze węzłów powinien być dołączony i rozstrzygnąć, między którymi węzłami istniejącej trasy powinien być Dołączony. Krok 1 Dla każdego węzła p k1, k2,, kj-1 obliczamy : d p min ck p, ck p,..., c k j p Krok 2 Jako węzeł i, który ma być dołączony do drogi wybieramy ten, dla którego: d i max p d p

22 Problem komiwojażera 17 Krok 3 Mając wybrany węzeł i musimy rozstrzygnąć, między które węzły drogi H wstawić ten węzeł. W nowej drodze pojawiają się krawędzie [kt, i] oraz [i, kt+1 ] natomiast wypada z niej krawędź [kt, kt+1 ] i Ckti Cikt+1 k1 kt Kt+1 k1 Cktkt+1

23 Dołączenie nowych odcinków drogi powoduje zmianę jej długości. Wielkość tej zmiany oznaczamy symbolem st i obliczamy następująco : Jesteśmy zainteresowani takim rozwiązaniem, które będzie powodowało najmniejszy przyrost długości drogi, dlatego postępujemy zgodnie z następującym kryterium: Krok 4 Tworzymy nową częściową trasę 1 1 t t t t k k ik i k t c c c s min1 1,..., t t h h t t k k ik i k j h ik i k t c c c c c s j t t k k i k k H,...,,,,..., 1 1 Problem komiwojażera 18

24 Problem komiwojażera 19 Krok 5 Sprawdzamy czy zostały uwzględnione wszystkie węzły. Jeżeli nie to przechodzimy do następnej iteracji. Jeżeli tak wyznaczanie trasy komiwojażera kończy się. Otrzymujemy drogę okrężną, która jest cyklem Hamiltona H k 1 kn,,..., k 1

25 Problem komiwojażera 20 opracowali : Sylwia Głowacka, Kacper Mroczek, Kamil Ligenza Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X spaliny wielkie - NAJDŁUŻSZA PRZEJEZDNA TRASA W OBIE STRONY, MIĘDZY MAGAZYNEM A ODBIORCĄ H=[0, 1, 0] T 1 =402 ITERACJA 1 p=2 r 1 2= min[c 02, c 12 ]= min[54, 157]=54 p=3 r 1 3= min[c 03, c 13 ]= min[10.000, 170]=170 p=4 r 1 4= min[c 04, c 14 ]= min[10.000,203]=203 p=5 r 1 5= min[c 05, c 15 ]= min[123, ]=123 p=6 r 1 6= min[c 06, c 16 ]= min[152, 273]=152 p=7 r 1 7= min[c 07, c 17 ]= min[111, ]=111 p=8 r 1 8= min[c 08, c 18 ]= min[149, ]=149 p=9 r 1 9= min[c 09, c 19 ]= min[96, ]=96 max r 1 i = r 1 4=203

26 Problem komiwojażera 21 s 1 0= c 04 + c 41 - c 01 = = s 1 1= c 14 + c 40 - c 10 = = H= [0, 1, 4, 0] T 2 = = T1 + s 1 1=

27 Problem komiwojażera 22 ITERACJA 2 p=2 r 2 2= min[c 02, c 12, c 42 ]= min[54, 157, 195]=54 p=3 r 2 3= min[c 03, c 13, c 42 ]= min[10.000, 170, 100]=100 p=5 r 2 5= min[c 05, c 15, c 42 ]= min[123, , 105]=105 p=6 r 2 6= min[c 06, c 16, c 42 ]= min[152, 273, 156]=152 p=7 r 2 7= min[c 07, c 17, c 42 ]= min[111, , ]=111 p=8 r 2 8= min[c 08, c 18, c 42 ]= min[149, , 241]=149 p=9 r 2 9= min[c 09, c 19, c 42 ]= min[96, , 181]=96 max r 2 i = r 2 6=152

28 Problem komiwojażera 23 s 2 0= c 06 + c 16 - c 01 = =224 s 2 1= c 16 + c 64 - c 14 = =226 s 2 4= c 46 + c 60 - c 40 = =-9692 H= [0, 1, 4, 6, 0] T 3 = = T 2 + s 2 4= 712

29 Problem komiwojażera 24 ITERACJA 3 p=2 r 3 2= min[c 02, c 12, c 42, c 62 ]= min[54, 157, 195, ]=54 p=3 r 3 3= min[c 03, c 13, c 43, c 63 ]= min[10.000, 170, 100, 239]=100 p=5 r 3 5= min[c 05, c 15, c 45, c 65 ]= min[123, , 105, 54]=54 p=7 r 3 7= min[c 07, c 17, c 47, c 67 ]= min[111, , , 91]=91 p=8 r 3 8= min[c 08, c 18, c 48, c 68 ]= min[149, , 241, 116]=111 p=9 r 3 9= min[c 09, c 19, c 49, c 69 ]= min[96, , 181, 83]=83 max r 3 i = r 3 8=111

30 Problem komiwojażera 25 s 3 0= c 08 + c 18 - c 01 = = s 3 1= c 18 + c 84 - c 14 = = s 3 4= c 48 + c 86 - c 46 = = 201 s 3 6= c 68 + c 80 - c 60 = = 113 H= [0, 1, 4, 6, 8, 0] T 4 = = T 3 + s 3 6= 825

31 Problem komiwojażera 26 ITERACJA 4 p=2 r 4 2= min[c 02, c 12, c 42, c 62, c 82 ]= min[54, 157, 195, , 205]=54 p=3 r 4 3= min[c 03, c 13, c 43, c 63, c 83 ]= min[10.000, 170, 100, 239, 323]=100 p=5 r 4 5= min[c 05, c 15, c 45, c 65, c 85 ]= min[123, , 105, 54, ]=54 p=7 r 4 7= min[c 07, c 17, c 47, c 67, c 87 ]= min[111, , , 91, 161]=91 p=9 r 4 9= min[c 09, c 19, c 49, c 69, c 89 ]= min[96, , 181, 83, 77]=77 max r 4 i = r 4 3=100

32 Problem komiwojażera 27 s 4 0= c 03 + c 31 - c 01 = =9.969 s 4 1= c 13 + c 34 - c 14 = =67 s 4 4= c 43 + c 36 - c 46 = =183 s 4 6= c 63 + c 38 - c 68 = =446 s 4 8= c 63 + c 30 - c 80 = = H= [0, 1, 3, 4, 6, 8, 0] T 5 = =T 4 + s 4 1 = 892

33 Problem komiwojażera 27 ITERACJA 5 p=2 r 5 2= min[c 02, c 12, c 32, c 42, c 62, c 82 ]= min[54, 157, 212, 195, , 205] = 54 p=5 r 5 5= min[c 05, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85 ]= min[123, , 188, 105, 54, ] = 54 p=7 r 5 7= min[c 07, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87 ]= min[111, , 50, , 91, 161] = 50 p=9 r 5 9= min[c 09, c 19,c 39, c 49, c 69, c 89 ]= min[96, , , 181, 83, 77] = 77 max r 5 i = r 5 9=77

34 Problem komiwojażera 27 s 5 0= c 09 + c 91 - c 01 = =9.895 s 5 1= c 19 + c 93 - c 13 = = s 5 3= c 39 + c 94 - c 34 = =341 s 5 4= c 49 + c 96 - c 46 = =108 s 5 6= c 69 + c 98 - c 68 = =44 s 5 8= c 69 + c 90 - c 80 = =24 H= [0, 1, 3, 4, 6, 8, 9, 0] T 6 = =T 5 + s 5 8= 916

35 Problem komiwojażera 28 ITERACJA 6 p=2 r 6 2= min[c 02, c 12, c 32, c 42, c 62, c 82, c 92 ]= min[54, 157, 212, 195, , 205, 145]=54 p=5 r 6 5= min[c 05, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85, c 95 ]= min[123, , 188, 105, 54, , ]=54 p=7 r 6 7= min[c 07, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87, c 97 ]= min[111, , 50, , 91, 161, 102]=50 max r 6 i = r 6 2=r 6 5=54

36 Problem komiwojażera 29 s 6 0= c 02 + c 21 - c 01 = =10 s 6 1= c 12 + c 23 - c 13 = =199 s 6 3= c 32 + c 24 c 34 = =307 s 6 4= c 42 + c 26 - c 46 = = s 6 6= c 62 + c 28 - c 68 = = s 6 8= c 82 + c 29 - c 89 = =273 s 6 9= c 92 + c 20 - c 90 = =103 H= [0, 2, 1, 3, 4, 6, 8, 9, 0] T 7 = = T 6 + s 6 0 = 926

37 Problem komiwojażera 30 ITERACJA 7 p=5 r 7 5= min[c 05, c 25, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85, c 95 ]= min[123, 157, , 188, 105, 54, , ]=54 p=7 r 7 7= min[c 07, c 27, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87, c 97 ]= min[111, 112, , 50, , 91, 161, 102]=50 max r 7 i = r 67 5=54

38 Problem komiwojażera 31 s 7 0= c 05 + c 52 - c 02 = =226 s 7 2= c 15 + c 51 - c 21 = = s 7 1= c 15 + c 53 - c 13 = = s 7 3= c 35 + c 54 c 34 = =193 s 7 4= c 45 + c 56 - c 46 = =3 s 7 6= c 65 + c 58 - c 68 = =9.938 s 7 8= c 85 + c 59 - c 89 = = s 7 9= c 95 + c 50 - c 90 = = H= [0, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0] T 8 = = T 7 + s 7 4 = 929

39 Problem komiwojażera 32 s 8 0= c 07 + c 72 - c 02 = =169 s 8 2= c 17 + c 71 - c 21 = =9.955 s 8 1= c 17 + c 73 - c 13 = =9.945 s 8 3= c 37 + c 74 c 34 = = s 8 4= c 47 + c 75 - c 45 = =9.945 s 8 5= c 57 + c 76 - c 56 = =87 s 8 6= c 67 + c 78 - c 68 = =136 s 8 8= c 87 + c 79 - c 89 = =186 s 7 9= c 97 + c 70 - c 90 = = 117 ODPOWIEDŹ: H= [0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 0] T 9 = = T 7 + s 8 5 =

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 2 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie wyjścia z labiryntu

Znajdowanie wyjścia z labiryntu Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Problem komiwojażera ACO. Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym.

Problem komiwojażera ACO. Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. Problem komiwojażera ACO Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. -Wikipedia Problem do rozwiązania zazwyczaj jest przedstawiany jako

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE

Rozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 8 PROGRAMOWANIE SIECIOWE 8.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 8.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Wyznaczanie lokalizacji magazynów dystrybucyjnych i miejsc produkcji dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 1 Wybór miejsca produkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem

MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające 2. Najkrótsza droga 3. Zagadnienie maksymalnego przepływu źródłem ujściem MODELE SIECIOWE 1. Drzewo rozpinające (spanning tree) w grafie liczącym n wierzchołków to zbiór n-1 jego krawędzi takich, że dowolne dwa wierzchołki grafu można połączyć za pomocą krawędzi należących do

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ZADANIE KOMIWOJAŻERA METODY ROZWIĄZYWANIA. Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ZADANIE KOMIWOJAŻERA METODY ROZWIĄZYWANIA. Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory PLAN WYKŁADU Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wykład 5 dr inż. Agnieszka Bołtuć ZADANIE KOMIWOJAŻERA Koncepcja: komiwojażer musi odwiedzić każde miasto na swoim

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska. Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ). Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku

WYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu

Bardziej szczegółowo

Matematyka od zaraz zatrudnię

Matematyka od zaraz zatrudnię Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 12. PRZESZUKIWANIE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW JAKO PRZESZUKIWANIE Istotną rolę podczas

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI ĆWICZENIA 13 ROZMIESZCZENIE STANOWISK (LAYOUT)

LOGISTYKA ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI ĆWICZENIA 13 ROZMIESZCZENIE STANOWISK (LAYOUT) 1 LOGISTYKA ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI ĆWICZENIA 13 ROZMIESZCZENIE STANOWISK (LAYOUT) Autor: dr inż. Roman DOMAŃSKI 2 LITERATURA Marek Fertsch, Danuta Głowacka-Fertsch Zarządzanie produkcją, WSL Poznań 2004

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

mgr Anna Bernaciak Wyższa Szkoła Logistyki Badania operacyjne II Zagadnienie komiwojażera Zadanie 1 Rozwiązanie zadania 1. Krok i to minimalny

mgr Anna Bernaciak Wyższa Szkoła Logistyki Badania operacyjne II Zagadnienie komiwojażera Zadanie 1 Rozwiązanie zadania 1. Krok i to minimalny mgr nna ernaciak adania operacyjne II Zadanie 1 Pan Jan Tomkowski znany poznański mechanik ma naprawić uszkodzony sprzęt należący do osób zamieszkujących różne podpoznańskie miejscowości (,, i ), a następnie

Bardziej szczegółowo

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Temat 9 Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Streszczenie Nasze życie związane jest z funkcjonowaniem wielu sieci: telefonicznych, energetycznych, komputerowych i drogowych. W przypadku każdej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI

ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI WYKŁAD 5 ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI Podstawowe problemy rozwiązywane z wykorzystaniem programowania sieciowego: zagadnienia transportowe (rozdział zadań przewozowych, komiwojażer najkrótsza

Bardziej szczegółowo

Przykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego

Przykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego TRANSPORT PUBLICZNY Przykład planowania sieci publicznego transportu zbiorowego Źródło: Bieńczak M., 2015 Politechnika Poznańska, Wydział Maszyn Roboczych i Transportu 1 METODYKA ZAŁOśENIA Dostarczanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Serwis NaviExpert Biznes. Instrukcja obsługi

Serwis NaviExpert Biznes. Instrukcja obsługi Serwis NaviExpert Biznes Instrukcja obsługi Spis Treści 1. Wprowadzenie 2. Przeglądanie mapy.. 3. Wyszukiwanie punktów 4. Planowanie i optymalizacja trasy.. 5. Edycja planu trasy. 6. Przesyłanie trasy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe. H. Bednarz. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne

Algorytmy mrówkowe. H. Bednarz. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne Algorytmy mrówkowe H. Bednarz Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne 13 kwietnia 2015 1 2 3 4 Przestrzeń poszukiwań Ograniczenia

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.

1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. 1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo