Wykład Przemiany gazu idealnego

Transkrypt

1 Wykład Przmiany gazu idalngo Zmiana stanu gazu idalngo moż odbywać się rzy różnych warunkach narzuconych na odstawow aramtry oisując stan gazu. Ogólną rzmianę gazu rzy zmiani rzynajmnij dwóch aramtrów oisuj rzmiana olitroowa. v α = const ln = α ln v + ln C 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 1 = C (2.26) Istnij kilka dobrz znanych rzmian gazu idalngo, tór tutaj rzytoczymy. 1. Przmiana izotrmiczna, T=const, α= Przmiana izobaryczna, =const, α=0

2 3. Przmiana izochoryczna v=const α=± 4. Przmiana adiabatyczna Q=0 α=c /c v 5. Przmiana olitroowa α dowoln Dla gazu idalngo V = nrt. izobara izochora V 1 V 2 ogólna izotrma adiabata V 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 2

3 3 Makroskoow własności matrii Własności matrii zminiają się, jśli zminimy V, i T. Substancj mogą istnić w różnych fazach. Przśldźmy to dla wody. Punkt krytyczny A c. stał tonini sublimacja cicz arowani ara Punkt otrójny B 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 3 gaz T Linia AB okazuj, ż woda moż równoczśni znajdować się w trzch fazach

4 Innymi własnościami makroskoowymi są możliwości zmiany kształtów gomtrycznych. Okrślają to odowidni wsółczynniki. Wsółczynnik objętościowj rozszrzalności tmraturowj dfiniujmy jako: 1 V (, T ) α = (3.1) V T Z koli izotrmiczny wsółczynnik ściśliwości jst równy: (, T ) 1 V κ = (3.2) V Można jszcz zdfiniować wsółczynnik rężności β, który ma nastęującą ostać: T 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 4

5 β = 1 (, T ) V T Warto zauważyć, ż trzy wyminion wsółczynniki (α, κ, β) są z sobą owiązan. Wynika to z zalżności omiędzy ochodnymi cząstkowymi trzch zminnych, omiędzy którymi istnij zalżność funkcyjna. Jżli zaiszmy w oarciu o równani stanu gazu doskonałgo, ż V zalży od ciśninia i tmratury w nastęujący sosób V(,T), to zachodzi zalżność: V T = T V V 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 5 V T (3.3)

6 Mnożąc o rawj stroni równania licznik i mianownik rzz V, oraz obydwi strony równania rzz uzyskujmy zalżność: β = 1 Jżli znamy z omiarów α i κ, to ni musimy już mirzyć β, tylko możmy j obliczyć z owyższgo równania. α κ Dla gazu idalngo uzyskujmy równiż: 1 α = κ = T 1 Praca, którą nalży wykonać ażby srężyć izotrmiczni gaz idalny wynosi; W T = dv 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 6

7 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 7 W oarciu o równani (3.2) otrzymujmy, ż ( ) V d V W d V dv T T T T = = = = κ κ κ ( ) T T V V =, 1 κ

8 4. Analiza rocsów nrgtycznych w układach otwartych 4.1 Wstę Dotychczas omówiliśmy analityczną ostać I zasady trmodynamiki, oraz odaliśmy rzykłady wyliczania trmodynamicznych własności substancji. W tym rozdzial rozszrzymy omawiani zagadniń trmodynamiki do układów, w których masa substancji moż rzkraczać granic układu, czyli do układów otwartych. Ażby w łni móc odać zalżności oisując rocsy zachodząc w takich układach, nalży ostęować wdług wnj rocdury ozwalającj dokładni scharaktryzować układ i zachodząc rocsy. Nalży m.in. rozważyć nastęując roblmy: 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 8

9 1. W jaki sosób jst oisany układ trmodynamiczny, który mamy analizować, 2. Jaką substancję zawira rozważany układ i czy są znan własności tj substancji, 3. Czy układ jst otwarty czy zamknięty, 4. W jaki sosób nalży oisać zachodzący rocs trmodynamiczny, 5. Czy rozważany układ jst stacjonarny, czy zminny w czasi. Po znalziniu odowidzi na t ytania, nalży nalży dokonać analizy matmatycznj roblmu, która moż rzbigać nastęująco: 1. Naszkicowani układu i okrślni wlotu i wylotu masy i nrgii, 2. Matmatyczn sformułowani dostęnj informacji, 3. Przrowadzni bilansu nrgii, 4. Naisani rlacji oisujących rocs, 5. Połączni wszystkich informacji i otrzymani wyniku. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 9

10 4.2 Bilans nrgii i konwncja dotycząca znaku nrgii W rozdzial 2 omówiliśmy rlacj nrgtyczn dotycząc układów zamkniętych, czyli takich dla których ni zachodzi transort masy orzz granic układu. Przyjęliśmy rzyjmować za dodatnią nrgię dodaną do układu, a za ujmną nrgię oddawaną rzz układ, który rozważamy. Ni możmy oczywiści zaomnić o zasadzi zachowania nrgii: Enrgia, którą układ obira jst równa nrgii, którą oddaj lus nrgia akumulowana w układzi. Analiza układu oirać się będzi na rlacjach oznanych na orzdnim wykładzi. Pamiętamy, ż dla układów zamkniętych można zaisać irwszą zasadę trmodynamiki jako: 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 10

11 d Q + d W = (4.1) de Użyliśmy w wzorz różniczk, aby móc oisać każdy możliwy rocs. d Q d W d Q+d W=dE W układzi zamkniętym ni ma rzływu masy. 4.3 Układ otwarty Przykładm trmodynamiczngo układu otwartgo moż być grzjnik wody. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 11

12 Strumiń Zimnj wody Q dostarczan ciło Ciła woda Granica układu Zdfiniowany układ ni bardzo zgadza się z nasza orzdnią dfinicją układu trmodynamiczngo, jako wnj okrślonj wyodrębnionj ilości matrii. Problm tn rozwiążmy, stosując do analizy takich układów raw dotyczących układów zamkniętych. Zobaczmy w jaki sosób możmy oisać rzływ masy. Można tgo dokonać dfiniując jj strumiń. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 12

13 A m s 1 2 Jśli rzz V= s/dt oznaczymy śrdnią rędkość rzływającj substancji, którj gęstość oznaczymy rzz ρ, wtdy strumiń masy rzływającj na jdnostkę czasu rzz układ wynosi. m = ρ AV (4.2) 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 13

14 4.4 Analiza układu otwartgo objętość kontrolna Aby móc analizować rocsy trmodynamiczn w układach otwartych wrowadzamy ojęci objętości kontrolnj. Jst to wna część rzstrzni, okrślona granicą, w którj obsrwujmy rzływ masy i nrgii. m i dm dt σ A bilans masy m σ objętość kontrolna 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 14

15 d' Q dt d'w dt m i de dt σ B bilans nrgii m i σ objętość kontrolna Litrą oznaczyliśmy ilość nrgii na jdnostkę masy. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 15

16 Masa wływająca do objętości kontrolnj jst równa masi wyływającj z nij lus wzrost masy wwnątrz objętości kontrolnj. dm m = + i m dt σ (4.3) Jst oczywist, ż nasz układ moż mić wil wlotów i wylotów. Wtdy równani (4.3) rzyjmuj ostać: dm m = + i i m dt σ (4.4) W clu analizy bilansu nrgii w całym obszarz kontrolnym, rozważmy ustaloną masę, która orusza się rzz objętość kontrolną. Odowiada to zachowaniu się układu zamkniętgo, w którym nastęuj ruch masy rzz objętość kontrolną. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 16

17 Układ tn moż być oddany ciśniniu otocznia. Moż nastąić transfr ciła rzz granicę układu, mogą na nigo działać różn siły wykonując racę. Enrgia wwnętrzna układy zamkniętgo moż zminiać się na wskutk ruchu z jdngo mijsca do drugigo, jak równiż na wskutk zmiany rędkości. Nizalżni od obsrwowanych zjawisk możmy zastosować zasadę zachowania nrgii. Całkowity rzływ masy do i z objętości kontrolnj można rozważyć jako ciąg lmntów dm, czyli małych zamkniętych układów trmodynamicznych. Możmy uważać, ż strumiń masy rzływający rzz układ transortuj nrgię wwnętrzną rzz granic naszgo układu. Dla takigo układu możmy sformułować zasadę zachowania nrgii nastęująco: 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 17

18 Transort nrgii wwnętrznj do objętości kontrolnj + ciło dodan do objętości kontrolnj, + raca wykonana na wszystkich lmntach w czasi ich ruchu rzz układ, są równ wzrostowi nrgii wwnętrznj wwnątrz objętości kontrolnj + transort nrgii wwnętrznj z objętości kontrolnj. Analityczny zais jst nastęujący: d' Q d' W de E + + = + i E dt dt dt σ (4.4).. Gdzi E i i E oznaczają transort nrgii wwnętrznj na jdnostkę czasu odowidnio na wloci i wyloci układu. Możmy wilkości t wyrazić nastęująco: 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 18

19 E i E = = 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 19 m i i m (4.5) Równani (4.4) można stosować do analizy układów otwartych. Można jdnak wyrazić inaczj człon odowiadający racy. Aby masa rzływała rzz układ otrzbna jst siła. Siła ta jst dana rzz ciśnini w układzi. Elmnt masy o objętości A s ażby być rztransortowany do lub z objętości kontrolnj musi być oddany działaniu siły A na drodz s, rzy czym nizalżni od wilkości masy s=v/a. Praca otrzbna na rzchani masy do lub z objętości kontrolnj jst równa: W V = F ds = F s = A = V (4.6) A

20 A m s 1 2 Wyadkowa raca wykonana na układzi rzy rzsunięciu masy z unktu 1 do unktu 2 wynosi W wy = V 1 1 2V2 1 V 1 jst racą wykonaną na objętości rzy wrowadzaniu jj w objętość kontrolną, a 2 V 2 odowidnio rzy wyrowadzaniu jj z objętości kontrolnj. Różnica jst równa wyadkowj racy dodanj. V jst racą struminia substancji i nalży tą wilkość rozatrywać oddzilni od racy wrowadzonj z zwnątrz. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 20

21 Równani nrgtyczn rzyjmi więc ostać: d' Q d' Wzw de m i( i + ivi ) + + = + m ( + v) dt dt dt σ (4.7) Przyominam, ż v i, oznaczają objętość jdnostki masy. W zw jst racą dostarczoną objętości kontrolnj rzz siły zwnętrzn. Równani (4.7) rzdstawia ogólny bilans nrgii dla układu otwartgo. W rzyadku, kidy rozważany układ otwarty zachowuj się jak stan stacjonarny, tzn. ż ni ma w objętości kontrolnj zmiany w czasi, czyli de dt σ dm = 0 i = 0 dt 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 21 σ,

22 Wtdy m i = m i równani (4.7) rzchodzi w: d' Q dt + d' W dt zw = [( ) ( )] + v i + ivi m (4.8) Ażby móc ostatczni sformułować bilans nrgii dla układu otwartgo, rzyomnijmy sobi od jakich wilkości zalży nrgia wwnętrzna r.(2.13), (E=U+E k +E +E chm +...) oraz dfinicję ntalii r.(2.18) (h=u+v). Entalia jst własnością układu, gdyż zalży tylko od wilkości stanowiących własność układu. Ma ona fizyczn znaczni w zastosowaniu do układu otwartgo, któr ni jst już ważn dla układu zamkniętgo. A to dlatgo, ż iloczyn v w układzi zamkniętym ni stanowi racy struminia substancji. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 22

23 Wrowadzając do bilansu nrgii (r.(4.7)) ntalię i zakładając, ż układ otwarty moż mić więcj wlotów i wylotów, możmy zasadę zachowania zaisać nastęująco: i i ( hi m de dt σ + + E k i + ( h m E chm + i + E k...) d' Q dt d' W dt...) 21 marca 2011 Rinhard Kulssa E chm + + zw = (4.9) Równani to jst dość skomlikowan, al w rozważaniach raktycznych okazuj się, ż można go jszcz urościć. N. dla gazu idalngo, czy układu woda-ara wodna można zanidbać nrgię chmiczną. Ocńmy rolę nrgii kintycznj. Policzmy jaka rędkość jst otrzbna aby uzyskać nrgię kintyczną 1kJ/1kg.

24 1000J/kg = 1/2v 2 v=44.7 m/s. Jst to rędkość znaczni większa niż w większości rozważanych rzyadków (ni biorąc oczywiści od uwagę turbiny gazowj, czy silnika odrzutowgo) takich jak strumiń wody czy owitrza, ary w rurociągu, czy fronu w chłodnicy. Prędkości są zwykl tak mał, ż można zanidbać nrgię kintyczną w orównaniu z ntalią czy nrgią wwnętrzną. 21 marca 2011 Rinhard Kulssa 24