Robert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań

Transkrypt

1 ...

2 Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7

3 Wyłączenie odpowiedzialności Prezentowane materiały, będące dodatkiem pomocniczym do wykładów, z konieczności fragmentarycznym i niedopracowanym, należy wykorzystywaćz pełnąświadomościąfaktu, że mogąnie być pozbawione przypadkowych błędów, braków, wypaczeń i przeinaczeń:-) Autor

4 ...

5 Założenia rozmiary opisywanych wektorów/macierzy pozwalają na opisywanych operacje o ile nie powiedziano inaczej średnie są średnimi arytmetycznymi wariancje są wariancjami z populacji odległości są odległościami euklidesowymi układy równań są układami równań liniowych układy współrzędnych są układami współrzędnych kartezjańskich

6 (średnie) Średnia wektora [a, b, c, d] T wynosi s. Ile wynosi średnia wektora [d, c, b, a] T? Średnia wektora xwynosi s. Ile wynosi średnia wektoraax? (a jest dowolnym skalarem)

7 (ko/wariancje) Ile wynosi wariancja wektora x= [1, 2, 3] T? Ile wynosi kowariancja wektorów x= [1, 2, 3] T i y= [1, 2, 3] T? Ile wynosi kowariancja wektorów x= [1, 2, 3] T i y= [3, 2, 1] T? Wariancja wektora [a, b, c, d] T wynosi v. Ile wynosi wariancja wektora [d, c, b, a] T? Wariancja wektora xwynosi v. Ile wynosi wariancja wektoraax? (a jest dowolnym skalarem) Kowariancja wektorów xi ywynosi c. Ile wynosi kowariancja wektorówaxi by? (a i b sądowolnymi skalarami)

8 (iloczyny macierzy) Jaka operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnożeniei przez jakąmacierz) wyzerowuje nieparzyste wiersze danej macierzy? podwaja parzyste kolumny danej macierzy? zamienia miejscami pierwszy oraz drugi wiersz danej macierzy? zamienia miejscami kolumny o numerach i oraz j danej macierzy? Jaka (podwójna) operacja iloczynu macierzowego (tzn. jakie mnożeniai przez jakie macierze) sumuje wszystkie elementy danej macierzy? zamienia miejscami dwa pierwsze wiersze i dwie pierwsze kolumny danej macierzy?

9 (macierze przeciw/diagonalne) Jaką macierzą jest iloczyn n (n > 1) macierzy diagonalnych? Jaką macierzą jest n-ta (n > 1) potęga macierzy diagonalnej? Jaką macierzą jest iloczyn dwóch macierzy przeciwdiagonalnych? Jaką macierzą jest iloczyn macierzy diagonalnej iprzeciwdiagonalnej?

10 (wyznaczniki) Ile wynosi wyznacznik macierzy [1, 2; 3 4]? złożonej z samych zer? złożonej z samych jedynek? odwrotnej do [1, 2; 3 4]? diag(1,2,...,n)? Dana jest macierz D=diag(a,b,c) taka, żedet(d) = 0. Co można powiedzieć o wartościach a, b i c?

11 (wyznaczniki) Dana jest macierz A= [a 1; 2 3]taka, żedet(a) = 0. Co można powiedzieć o wartości a? Dana jest macierz A= [a b; 1 2]taka, żedet(a) = 0. Czy jest możliwe, że a = 0 i b = 0? a 0 i b = 0? a = 0 i b 0? a 0 i b 0? Dana jest macierz A= [a b; c d]taka, żedet(a) = 0. Co można powiedzieć o wektorach [a, b] T i [c d] T?

12 (wyznaczniki + układy równań) Ile wyznaczników trzeba obliczyć, aby stwierdzić, czy dowolny układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi jest określony? Ile wyznaczników trzeba obliczyć, aby stwierdzić, czy jednorodny układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi jest określony? Ile wyznaczników trzeba obliczyć, aby stwierdzić, czy jednorodny układ pięciu równańz pięcioma niewiadomymiposiada rozwiązania niezerowe? Ile wyznaczników trzeba obliczyć, aby rozwiązać metodą Crameradowolny określony układ pięciu równańz pięcioma niewiadomymi? Czy metodacrameramoże zostać użyta do znajdowania wektorów własnych macierzy?

13 (układy równań) Czy zawsze istnieją i jakie są rozwiązaniaukładukx= k 1, gdzie k 1 jest pierwsząkolumnąkwadratowej macierzy K o wyznaczniku niezerowym? o wyznaczniku zerowym? Czy zawsze istnieją i jakie są rozwiązaniaukładukx= k 1, gdzie k 1 = 0jest pierwsząkolumnądowolnej (niekoniecznie kwadratowej) macierzy K?

14 (układy równań) Jakie jest rozwiązanie układuwx=w i, gdzie (w i ) T jest i-tym wierszem symetrycznej macierzy W? Jakie jest rozwiązanie układuwx=sw i, gdzie s jest dowolnym skalarem, a (w i ) T jest i-tym wierszem symetrycznej macierzy W? Jakie jest rozwiązanie układuwx=w i +w j, gdzie (w i ) T i (w j ) T są (odpowiednio) wierszami i-tym i j-tym macierzy W? Jakie jest rozwiązanie układuwx=aw i +bw j, gdzie a i b są dowolnymi skalarami, a (w i ) T i (w j ) T są (odpowiednio) wierszami i-tym i j-tym macierzy W?

15 (kombinacje wypukłe) Jakie sąwspółrzędne punktu leżącego w połowie odcinka, którego wierzchołkami są punktyo współrzędnych [1, 3] T i[3, 1] T? Jakie sąwspółrzędne punktów leżących w jednej czwartej i w trzech czwartych odcinka, którego wierzchołkami są punkty o współrzędnych[1, 3] T i[3, 1] T? Jakie sąwspółrzędne środka trójkąta, którego wierzchołkami są punkty o współrzędnych [0, 0] T, [1, 0] T i[0.5, 3 1/2 /2] T? Jakie sąwspółrzędne środka czworościanu, którego wierzchołkami są punkty o współrzędnych [1, 1, 1] T, [ 1, 1, 1] T, [1, 1, 1] T?i [ 1, 1, 1] T?

16 (kombinacje wypukłe/liniowe) Jakąfigurętworzy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych/liniowychwektorów [0, 0] T i[1, 1] T? [0, 0] T, [1, 1] T i[2, 2] T? [0, 0, 0] T i[1, 1, 1] T? [0, 0] T, [1, 0] T i[3 1/2 /2, 0] T? [0, 0, 0] T, [1, 1, 1] T i[2, 2, 2] T?

17 (przekształcenia macierzami diagonalnymi) Jaka jest interpretacja geometryczna operacji polegającej na przemnożeniu wektora [x, y] T przez macierz [2 0; 0 2]? Jakie figury nie zmieniąswojego kształtu po transformacji polegającej na przemnożeniu ich wszystkich wektorów składowych przez macierz [2 0; 0 1]? Jakie figury nie zmieniąswojego położenia ani kształtu po transformacji polegającej na przemnożeniu ich wszystkich wektorów składowych przez macierz [1 0; 0 2]? Jaka jest interpretacja geometryczna operacji polegającej na przemnożeniu wektora [x, y] T przez macierz [0 1; 1 0]?

18 (wartości własne) Czy 5 jest wartościąwłasnąmacierzy [22; 31]? Czy jakaś wartość macierzy [3 2; 12] jest jej wartościąwłasną? Jakie sąwartości własne macierzy [31; 22]? [21; 12]? [11; 11]? [30; 02]? [10; 01]? [00; 00]? diag(1,2,...,n) I? O?

19 (wartości własne) Wartościami własnymi pewnej macierzy są liczby 1 i 4 jaki jest rozmiar tej macierzy? jaki jest wyznacznik tej macierzy? jaki jest ślad tej macierzy? jaki jest rząd tej macierzy?

20 (wektory własne) Czym musi się charakteryzować widmo macierzy A aby istniał taki niezerowy wektor x, żeax= x? Jaki niezerowy wektor nie ulega zmianie po przemnożeniu przez macierz [2 1; 1 2]? Jakie sąwektory własne macierzy [3 1; 2 2]? [2 1; 1 2]? [1 1; 1 1]? [3 0; 0 2]? [1 0; 0 1]? [0 0; 0 0]? I? O?

21 (elementy EVD) Wartościami własnymi pewnej macierzy są1 i 3, a odpowiadającymi im wektorami własnymi [1, 1] T i [1, 1] T. Jak przedstawia się rozkład EVD tej macierzy? Wartościami własnymi pewnej macierzy sąa i b, a odpowiadającymi im wektorami własnymi [, ] T i [, ] T. Jak przedstawia się rozkład EVD tej macierzy?

22 (elementy EVD) Jaki jest rozkład EVD macierzy [31; 22]? [21; 12]? [11; 11]? [30; 02]? [10; 01]? I? [00; 00]? O?

23 (iloczyny skalarne) Jaki jest iloczyn skalarny wektorów [12] T i [21] T? [12] T i [ 2 1] T? [ 1 2] T i [ 2 1] T? [12] T i [ 2 1] T? [12] T i [2 1] T? 0i 1?

24 (ortogonalność wektorów) Jaki wektor jest ortogonalny do wektora [1 2] T? [1 1] T? [1 0] T? [ ] T? [ ] T? 0? Dla jakich wartości i beta wektory [ 0] T i [0 ] T są ortogonalne? Czy istnieje wektor jednocześnie ortogonalny do wektorów [0 1] T i [1 0] T? [0 0 1] T i [0 1 0] T? Jaki zbiór tworząwektory ortogonalne do [1 0 0] T?

25 (normy wektorów) Jaka jest norma wektora [3 4] T? Jaka jest unormowana postać wektora [3 4] T? Jaka jest unormowana postać wektora [ 0 0 0] T? dla różnych wartości? Czy wszystkie takie wektory można unormować? Dla jakich wartości i beta wektory [ 0] T i [0 ] T są ortonormalne? Jaki zbiór tworząunormowane wektory ortogonalne do [1 0 0] T? Jaki zbiór tworzą unormowane wektory ortogonalne do 0?

26 (układy współrzędnych) Jakie współrzędne ma wektor [2 2] T (wyrażony w standardowym układzie współrzędnych) w układzie o środku w [0 0] T iwersorach[1 1] T i [1 1] T? Jakie współrzędne w układzie standardowym ma wektoro współrzędnych [2 2] T wyrażonych w układzie współrzędnych o środku w [0 0] T iwersorach [1 1] T i [1 1] T?

27 (elementy PCA) Dana jest macierz X(o rozmiarachmxn) ze współrzędnymi m punktów pewnej figuryoraz macierz kowariancji S X, = X T X/m, której wartości własne wynoszą: 9, 2, 1 i 0 jaka jest liczba oryginalnych zmiennych opisujących punkty tej figury? jaka jest suma wariancji oryginalnych zmiennych opisujących punkty tej figury? jaki jest górny limit wariancji oryginalnych zmiennych opisujących punkty tej figury?

28 (elementy PCA) Dana jest macierz X(o rozmiarachmxn) ze współrzędnymi m punktów pewnej figury oraz macierz kowariancji S X, = X T X/m, której wartości własne wynoszą: 9, 2, 1 i 0, oraz macierz Y= XK, gdzie Kjest macierzą(wszystkich) unormowanych wektorów własnych macierzy S X odpowiadających wymienionym wartościom własnym jaka jest liczba nowych zmiennych opisujących punkty tej figury? jaka jest suma wariancji nowych zmiennych opisujących punkty tej figury? jakie są wariancje nowych zmiennych opisujących punkty tej figury?

29 (elementy PCA) Dana jest macierz X ze współrzędnymi... (c.d.) w ilu wymiarach faktycznie rezyduje figura złożona z punktów opisanych w macierzy X? (czyli: do ilu wymiarów można zredukować przestrzeńjej opisu bez żadnej straty na wariancji?) jaki procent wariancji tracimy redukując trzy nowe zmienne (czyli kolumny macierzy Y) i które trzy zmienne należy wtedy usunąć? ile nowych zmiennych (czyli kolumn macierzy Y) można zredukować ze stratą na wariancji nie przekraczającą 20%?

30 (elementy PCA) Dana jest macierz X ze współrzędnymi... (c.d.) czy można przedstawić punkty z macierzy X na wykresie rozrzutu trójwymiarowym bez strat na wariancji? (a jeżeli nie, to z jaką stratą należy się liczyć?) dwuwymiarowym bez strat na wariancji? (a jeżeli nie, to z jaką stratą należy się liczyć?) jednowymiarowym bez strat na wariancji? (a jeżeli nie, to z jaką stratą należy się liczyć?)

31 (elementy PCA) Dana jest macierz ortogonalna K, której kolumny reprezentują wersory pewnego układu współrzędnych jak znajdować współrzędne wektora x(zadanego w układzie standardowym) w układzie o środku w 0i wersorach z macierzy K? jak znajdować współrzędne wektorów reprezentowanych przez wiersze macierzy X (zadanych w układzie standardowym) w układzie o środku w 0i wersorach z macierzy K?

32 (elementy PCA) Dana jest macierz (oryginalnych zmiennych) Xoraz jej macierz kowariancji S X, dla której uruchomiono procedurępca, generując macierz (nowych zmiennych) Yoraz macierze L i K. Jakie są związki/zależności między macierzami X i Y macierzami Y i L macierzami S X i L

33 (elementy SVD) Jaki jest rozkład SVD macierzy [21; 12]? [30; 02]? [10; 01]? [01; 10]? I? [00; 00]? O?

34 (odległości) Jaka jest odległośćw przestrzeni 3-wymiarowej pomiędzy punktami o współrzędnych wyrażonych przez elementy wektorów x T = [1, 2, 3] i y T = [1, 2, 3]? x T = [1, 2, 3] i y T = [3, 2, 1]? Jaka jest odległośćw przestrzeni n-wymiarowej pomiędzy punktami o współrzędnych wyrażonych przez elementy wektorów x T = 1 T i y T = 1 T? x T = 0 T i y T = 1 T? x T = 0 T i y T = n 1 T? x T = 1 T i y T = n 1 T?

35 (macierze odległości) Dana jest macierz Xo rozmiarach mxn z opisami obiektów (dane w wierszach) oraz macierz odległości Dmiędzy tymi obiektami jakie są rozmiary macierzy D? jakie są podstawowe właściwości macierzy D?

36 (elementy MDS+ EVD) Dana jest macierz odległości D pomiędzy pewnymi obiektami jak przedstawia sięprocedura tworzenia wykresu rozrzutu dla tych obiektów? jakie macierze są generowane w ramach tej procedury? jakie wskaźniki pozwalają ocenić jakość utworzonego wykresu? dla jakich macierzy D jakość ta będzie idealna?

37 (norma Frobeniusa) Jaka jest wartość normy Frobeniusa macierzy [3 1; 2 2]? [10; 01]? O o rozmiarach mxn? I o rozmiarach mxm? 11 T o rozmiarach mxn? Dla jakich macierzy Xwartość normy Frobeniusa macierzy X X jest zerowa? O X jest zerowa? X I jest zerowa?

38 (elementy MDS+ PNL) Dana jest macierz odległości D o rozmiarach mxm pomiędzy pewnymi obiektami jak przedstawia sięprzykładowy problem programowania nieliniowego pozwalający na utworzenie wykresu rozrzutu dla tych obiektów? jakie są podstawowe parametry tego problemu (liczba zmiennych, liczba ograniczeń)? jaki wskaźnik pozwala ocenić jakość utworzonego wykresu? dla jakich macierzy D jakość ta będzie idealna?

39 (elementy PCA + MDS + EVD + SVD) Czy SVD może być wykorzystany na jakimś etapie procedury PCA, a jeżeli tak, to w jaki sposób? Czy SVD może być wykorzystany na jakimś etapie procedury MDS (wersja z EVD), a jeżeli tak, to w jaki sposób?

40 (układy barycentryczne) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości a jaka jest macierz odległości pomiędzy wierzchołkami tego trójkąta? jaka jest długość wysokości tego trójkąta? punkty o jakich przykładowych współrzędnych stanowią wierzchołki takiego trójkąta? jaka jest suma odległości środka trójkąta od jego boków? jaka jest suma odległości dowolnego punktu trójkąta od jego boków?

41 (układy barycentryczne) Jakie są reprezentacje w trójwymiarowym układzie barycentrycznym wektorów o współrzędnych [1, 0, 0] T? [1/2, 1/2, 0] T? [1/3, 1/3, 1/3] T? [1/6, 2/6, 3/6] T?

42 (układy barycentryczne) W jakim układzie barycentrycznym można zareprezentować wektory o współrzędnych [0, 1] T? [1/4, 3/4] T? [1/2, 1/2] T? [3/4, 1/4] T? [1, 0] T?

43 (układy barycentryczne) Dane sąwektory x 0,y 0i z 0spełniające x+ y+ z = n 1 (gdzie n > 0) jak przeliczyć trójki wartości tych wektorów na pary współrzędnych (pewnych) punktów na płaszczyźnie? czy wynikająca z powyższego przekształcenia redukcja wymiarowości wektorów (z trzech do dwóch) wiąże się z utratą wariancji?(a jeżeli tak, to z jak wielką?)

44 (elementy FA) (pominięte)

45 (elementy CA) (pominięte)

46 (elementy t-sne) (pominięte)

47 ... 47