WIELKO PRÓBKI A REPREZENTATYWNO GEOMETRYCZNA MIKROSTRUKTURY KOMPOZYTÓW LOSOWYCH

Transkrypt

1 Górnictwo i Geoin ynieria Rok 34 Zesyt 1 Darius yd ba*, Adrian Ró a ski* WIELKO PRÓBKI A REPREZENTATYWNO GEOMETRYCZNA MIKROSTRUKTURY KOMPOZYTÓW LOSOWYCH 1. Wprowadenie Podstaw wsystkich anali prowadonych w geomechanice jest a o enie o statystycnej jednorodno ci o rodka skalnego. Postulat ten umo liwia, mi dy innymi, stosowanie do opisu procesów achod cych w tych o rodkach aparatu mechaniki o rodka ci g ego ora wynacanie/identyfikacj parametrów materia owych o rodka na podstawie bada laboratoryjnych prowadonych na próbkach o sko conej wielko ci. Wykorystywana w badaniach wielko próbki jest alecana odpowiednimi prepisami lub wytycnymi normowymi. Celem niniejsego artyku u jest, na podstawie systematycnych rowa a, sformu owanie warunku na tw. minimaln wielko próbki apewniaj c repreentatywno geometrycn mikrostruktury statystycnie jednorodnego i iotropowego dwusk adnikowego o rodka losowego. Do oceny repreentatywno ci wykorystywana jest statystycna miara mikrostruktury wana funkcj korelacji prawdopodobie stwa dwupunktowego. Próbk uwa- a si, w niniejsym artykule, a repreentatywn je li na podstawie najomo ci jej geometrii mo liwa jest, adawalaj c dok adno ci, replika prawdopodobie stwa dwupunktowego. Uk ad pracy jest nast puj cy. W nast pnym punkcie predstawia si definicj prawdopodobie stwa dwupunktowego. Scegó owo analiowane s równie jego podstawowe w asno- ci. W kolejnym punkcie formu owany jest warunek na minimaln wielko próbki. Pryk ady obliceniowe w postaci symulacji numerycnych ora wnioski ko cowe ko c prac.. Miara mikrostruktury: prawdopodobie stwo dwupunktowe Rowa my pewien dwusk adnikowy kompoyt losowy. Niech sk adniki 1 ora tego o rodka ajmuj odpowiednio obsary V 1 ora V. Rok ad prestrenny w kompoycie tych * Instytut Geotechniki i Hydrotechniki, Wydia Budownictwa L dowego i Wodnego, Politechnika Wroc awska, Wroc aw 443

2 sk adników okre laj ich funkcje charakterystycne. W scególno ci, indeksuj c sk adnik kompoytu pre i, jego funkcja charakterystycna ma posta : I ^ i h 1, dla y d Vi ^yh = ', dla y Vi (1) Warto ocekiwana funkcji charakterystycnej jest miar udia u frakcyjnego sk adnika i w o rodku ora równoce nie prawdopodobie stwa, e losowo wybrany punkt najduje si w sk adniku i, tj.: ^ i h EI 6 ^yh@ = i () Jest to podstawowa miara mikrostruktury o rodka i okre lana jest równie mianem prawdopodobie stwa jednopunktowego dla sk adnika i. Je li o rodek jest ponadto statystycnie jednorodny wtedy warto ocekiwana jest równowa na u rednieniu obj to ciowemu, tj.: ^ih ^ih EI y I y lim 1 ^i h 6 ^ h@ = ^ h = I y dy V " 3 # ^ h V (3) V Analogicnie, tn. wykorystaniem operatora warto ci ocekiwanej, definiowana jest miara wy sego r du b d ca miar prawdopodobie stwa, e losowo wybrane dwa punkty odleg e o wektor najduj si w sk adniku i, tj.: i ^ih ^ih S ^h= E6 I ^yhi ^y+ h@ (4) Pry statystycnej jednorodno ci ora statystycnej iotropii o rodka miara ta ale y tylko od wgl dnej odleg o ci r = pomi dy dwoma punktami [3], tj.: i ^ih ^ih S r E I y I y r lim 1 ^ih ^ih ^ h = 6 ^ h ^ + h@ = # I ^yhi ^y+ rhdy V " 3 V (5) V Funkcja korelacji S i (r) okre lana jest równie mianem prawdopodobie stwa dwupunktowego [, 3]. Dla r = jest ona równa i ora pry r biega do warto ci i (rys. 1). Maj c binarny obra mikrostruktury, funkcj prawdopodobie stwa dwupunktowego klasycnie okre la si wykorystuj c metod Monte Carlo []. W niniejsym artykule astosowana ostanie odmienna procedura. Niech obra mikrostruktury stanowi kwadrat o M M pikselach. Prypor dkowuj c okre lonemu sk adnikowi mikrostruktury warto 1 ora drugiemu sk adnikowi warto, obra mikrostruktury mo e by odworowany w postaci kwadratowej maciery A[i, j] o wymiare M. Indeksy i ora j odpowiadaj poycji piksela, tj. s to odpowiednio numer wiersa ora kolumny w cyfrowym obraie mikrostruktury. Warto A[i, j] = 1 onaca, e piksel ten ajmowany jest pre wyró niony sk adnik, natomiast war- 444

3 S r 1 1 r r Rys. 1. Schematycny wykres prawdopodobie stwa dwupunktowego charakterystycnymi punktami prebiegu to implikuje wyst powanie w tym pikselu drugiego sk adnika. Funkcja korelacji prawdopodobie stwa dwupunktowego okre lona jest wtedy ale no ci : M M // j = 1 i = 1 S ^kh = 1 M Aij ^Aij 6, + k@ + Ai 6 + h k = 1,, f (6) 3. Minimalny wymiar próbki: sformu owanie warunku Niech rowa anego dwusk adnikowego kompoytu wybierana jest losowo próbka o okre lonym wymiare, tj. N N pikseli. Otryman mikrostruktur roseramy na ca y obsar M M pikseli pre periodycn replik wylosowanej mikrostruktury (rys. ). Nast pnie dla tak wygenerowanej mikrostruktury wynacamy godnie ale no ci (5) funkcj prawdopodobie stwa dwupunktowego. Wykonujemy n takich losowa i procedur roresenia o rodka ora wynacenia prawdopodobie stwa dwupunktowego ka doraowo powtaramy. Ostatecn warto prawdopodobie stwa dwupunktowego uto samiamy e redni arytmetycn prawdopodobie stwa dwupunktowego otrymanego tych n losowa. Jaki musi by wymiar próbki N, aby gwarantowa, pry dostecnie du ej licbie losowa n, otrymanie, a o on dok adno ci, repliki prawdopodobie stwa dwupunktowego o rodka oryginalnego? Sformu owanie warunku na warto N jest konsekwencj dwóch w asno ci funkcji korelacji prawdopodobie stwa dwupunktowego. Po pierwse, poniewa r l im S (r), wobec Rys.. Losowanie próbki i generowanie o rodka pre periodycn replik 445

4 tego, dla adanej dok adno ci, mo na awse okre li promie korelacji l p ( ), dla którego spe niona jest ale no : S^rh - 6 r $ lp^fh & # f (7) Ocywi cie warto N musi by nie mniejsa ni promie korelacji l p ( ). Pryjmijmy, e: Nmin = lp^fh+ d (8) Poniewa o rodek tworony jest pre periodycn replik wylosowanej próbki, atem ale no (5) wra periodycno ci mikrostruktury implikuj nast puj cy wi ek: lp S lp f d ^fh 6 ^ h@ = S6lp^fh@ + S^dh (9) lp^fh + d lp^fh + d Powy sa równo jest spe niona, dla dowolnej funkcji prawdopodobie stwa dwupunktowego, je li = l p ( ), a wobec tego: Nmin = lp^fh (1) Je li b d wi c losowane próbki o wymiare N N min, wtedy warto prawdopodobie stwa dwupunktowego dla r = l p b die równa, godnie w asno ci analiowanej funkcji korelacji, kwadratowi udia u frakcyjnego sk adnika w wylosowanej próbce. Warto udia u frakcyjnego w próbce to wielko lokalna [1]. Poniewa o rodek jest statystycnie jednorodny, atem: E = (11) Z drugiej strony, warunek (7), implikuje nast puj c nierówno : - E # f (1) Lewy c on powy sej nierówno ci, wykorystuj c funkcje prawdopodobie stwa dwupunktowego, mo na równie wyrai nast puj co [4]: - N N 4 = 6 S^ x + y h ^N-xh^N-yhdxdy N # # (13) Jest to funkcja malej ca wielko ci próbki N. Onacaj c atem pre N c wymiar próbki, dla którego spe nione jest: 446

5 6 N $ N & - # f koniecny wymiar próbki apewniaj cy replik prawdopodobie stwa dwupunktowego, a- o on dok adno ci, okre la poni sa nierówno : (14) N $ max" N, l p ^fh, (15) 4. Weryfikacja numerycna Sformu owany powy ej warunek na minimalny wymiar próbki jest tw. warunkiem koniecnym. Na drode rowa a ogólnych wydaje si niemo liwe udowodnienie, e jest to równie warunek wystarcaj cy. Z tego wgl du jego prydatno weryfikowano dokonuj c licnych symulacji numerycnych dla ró nych typów mikrostruktur. Wsystkie analiy potwierdi y efektywno proponowanego warunku. W niniejsym artykule ogranicono si do predstawienia wyników dla trech typów mikrostruktur. Na rysunku 3 predstawiono obra cyfrowy mikrostruktury Debye a [3]. Funkcja prawdopodobie stwa dwupunktowego dla tej mikrostruktury okre lona jest ale no ci : - S^rh = ^1 - he a + r (16) Wykres tej funkcji dla a = predstawia rysunek 4. Rys. 3. Mikrostruktura Debye a [3] Odpowiadaj cy tej mikrostrukture wykres funkcji: fn ^ h= - (17) wynacono numerycnie metod Monte Carlo i predstawiono na rysunku 5. Minimalny wymiar próbki, pry dopuscalnej tolerancji =,1, wynacono godnie warunkiem (15) 447

6 .5 S (r) Rys. 4. Funkcja prawdopodobie stwa dwupunktowego dla mikrostruktury Debye a r i otrymano max{n, l p ( )} = 3. Warunkiem decyduj cym by a nierówno (14). Jako otrymanej repliki, dla tej minimalnej próbki, predstawia rysunek 6. Na rysunku punkty onacaj warto ci dla repliki natomiast linia ci g a to oryginalna funkcja. 4 f(n) N Rys. 5. Wykres funkcji f(n) dla mikrostruktury Debye a.5 S (r) r 14 Rys. 6. Otrymana replika funkcji prawdopodobie stwadwupunktowego. Wymiar próbki: 3 pikseli, 4 losowa W dalsej analiie rowa ano mikrostruktury, dla których prebieg funkcji prawdopodobie stwa dwupunktowego by bardiej skomplikowany (rys. 7). Prawdopodobie stwo to opisane by o nast puj c ale no ci : - r sin^qrh S r 1 e q ^ h = ^ - h a + = r qr b (18) 448

7 .5 S (r). 1 3 r 4 Rys. 7. Wykres funkcji (18) dla a = 3, b = 8 ora =,5 W obliceniach pryj to: a = 3 ora b = 8. Rowa ono dwie warto ci udia u frakcyjnego, tj:,5 ora,. Odpowiadaj ce tym parametrom mikrostruktury predstawiono na rysunku 8. Wynacono nast puj ce wielko ci próbek: N = 8 dla =,5 ora N = 86 dla =,. Wygenerowane numerycnie repliki prawdopodobie stwa dwupunktowego predstawiaj wykresy na rysunku 9. Rys. 8. Mikrostruktury charakteryuj ce si prawdopodobie stwem dwupunktowym (16): lewa mikrostruktura =,5, prawa mikrostruktura =, Rys. 9. Otrymane repliki prawdopodobie stwa dwupunktowego: lewa mikrostruktura =,5, prawa mikrostruktura =,. Licba losowa 4 Nale y anacy, e w prypadku tych mikrostruktur o wielko ci próbki decydowa warunek (1). Pryj cie wielko ci próbki wed ug warunku (14) skutkowa o nie adawalaj c re- 449

8 plik analiowanej funkcji korelacji. Dla mikrostruktury o udiale frakcyjnym =,5, jako otrymanej repliki pry 4 losowaniach ora próbce N = 34 obrauje wykres na rysunku Rys. 1. Replika prawdopodobie stwa dwupunktowego pry próbce N = 34, udia frakcyjny =,5, licba losowa 4 5. Uwagi ko cowe W artykule, wykorystuj c miar mikrostruktury wan prawdopodobie stwem dwupunktowym, sformu owano warunek na minimaln wielko próbki kompoytu losowego apewniaj cy jej repreentatywno e wgl du na geometri mikrostruktury. Jako warunek repreentatywno ci geometrii mikrostruktury pryj to, a o on dopuscaln tolerancj, replik prawdopodobie stwa dwupunktowego. Wykonane, dla ró nych typów mikrostruktur kompoytów losowych, symulacje numerycne wykaa y poprawno sformu owanego warunku. LITERATURA [1] Lu B., Torquato S.: Local Volume Fraction Fluctuation in Heterogeneous Media. J. Chem. Phys., 93 (5), 199, s [] yd ba D., Ró a ski A.: Statystycna charakteryacja miar geometrycnych mikrostruktur losowych: definicje, w a ciwo ci i astosowania. Górnictwo i Geoin ynieria, 33(1), 9, s [3] Torquato S.: Random Heterogeneous Materials. Microstructure and Macroscopic Properties. Springer-Verlag, New York [4] Quintanilla J., Torquato S.: Local Volume Fraction Fluctuation in Random Media. J. Chem. Phys., 16 (7), 1997 s