ROZMYTE MODELOWANIE CZASÓW WYKONANIA ROBÓT BUDOWLANYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI FUZZY MODELING OF CONSTRUCTION WORKS DURATION UNDER UNCERTAINTY

Transkrypt

1 139 NBI IBDOV, JNUSZ KULEJEWSKI ROZMYTE MODELOWNIE CZSÓW WYKONNI ROBÓT BUDOWLNYCH W WRUNKCH NIEPEWNOŚCI FUZZY MODELING OF CONSTRUCTION WORKS DURTION UNDER UNCERTINTY Strescenie bstract Podcas realiacji budowy na casy wykonania poscególnych robót wpływają różne cynniki. Dlatego casy wykonania robót osacowane w etapie planowania budowy mają charakter niepewny. W artykule ałożono, że ta niepewność nie jest spowodowana brakiem wiedy, lec pokauje pewien rorut możliwych casów wykonania danej roboty. Predstawiono niedeterministycną koncepcję opisu niepewności osacowań casów wykonania robót, wykorystującą teorię biorów romytych i licb romytych. Opisano metodę romytego modelowania casów wykonania robót budowlanych na podstawie niepewnych danych charakteryujących warunki realiacji budowy. W opisanej metodie wykorystano wnioskowanie romyte ora powiąanie pomiędy rokładem prawdopodobieństwa i rokładem możliwości. Podano również prykład wykorystania opisanej metody dla osacowania romytego casu wykonania roboty budowlanej w warunkach niepewności. Słowa klucowe: niepewność, cas wykonania roboty budowlanej, biory romyte, wnioskowanie romyte During execution of construction, durations of works are influenced by various factors. Therefore, durations of works estimated at the planning stage of construction are uncertain. The paper assumes that this uncertainty is not due to lack of knowledge, but represents a scattering of possible durations of the works. Non deterministic concept of uncertainty modeling for estimation of works duration is presented, based upon the theory of fuy sets and fuy numbers. The method for fuy modeling of durations of works on the basis of uncertain data is presented. The method presented uses a fuy inference and the relation between the probability distribution and the possibility distribution. numerical example of application of the method presented for estimating the fuy duration of construction work under uncertainty is also provided. Keywords: uncertainty, construction work duration, fuy sets, fuy inference Odpowiedialność a poprawność jęykową artykułu ponosą autory Dr inż Nabi Ibadov, dr inż., Janus Kulejewski, Zakład Inżynierii Produkcji i Zarądania w Budownictwie, Wydiał Inżynierii Lądowej, Politechnika Warsawska.

2 140 Onacenia X prestreń roważań (biór nieromyty) X biór romyty w prestreni X μ (x) stopień (współcynnik) prynależności elementu x X do bioru romytego R X Y relacja romyta pomiędy biorami X i Y R łożenie relacji romytych R i U d możliwy cas wykonania roboty budowlanej (licba wykła) d n nominalny cas wykonania roboty budowlanej, wynacony na podstawie normatywu pracochłonności możliwe wydłużenie casu wykonania roboty budowlanej Z licba romyta, modelująca rorut możliwych wydłużeń casu wykonania roboty budowlanej w stosunku do nominalnego casu wykonania D licba romyta, modelująca rorut możliwych casów wykonania roboty budowlanej 1. Wstęp Dane o warunkach realiacji budowy charakteryują się awycaj różnym poiomem niepewności, od poiomu mieralnego, kiedy nane są warianty wielkości wyjściowych i prawdopodobieństwa ich wystąpienia, do poiomu niemieralnego, kiedy nie są nane ani warianty wielkości wyjściowych, ani tym bardiej prawdopodobieństwa ich wystąpienia (całkowita niepewność). Wymienione poiomy niepewności opisuje się astosowaniem różnych teorii i metod. Do metod opisywania niepewności należą: miara probabilistycna oparta na prawdopodobieństwie warunkowym ora na twierdeniu Bayesa, miara ufności oparta na teorii Dempstera Shaffera ora miara możliwości oparta na logice romytej. Warto podkreślić, że niepewność nie onaca kompletnego braku wiedy technicnej lub organiatorskiej. Doświadcony menedżer (ekspert, planista) cęsto ma wiedę na temat ależności casów wykonania poscególnych robót od takich cynników, jak na prykład: niespryjające warunki pogodowe, ła organiacja robót na budowie, problemy dostawą materiałów budowlanych, kwalifikacja robotników, umiejętności pracy w espole, itd. Treba brać pod uwagę, że wieda eksperta ma jednak charakter prybliżony. Ponadto na etapie planowania budowy cęsto dara się sytuacja, w której nane są możliwe konsekwencje różnych dareń (korystnych lub niekorystnych punktu widenia prebiegu budowy), lec nie są nane rokłady prawdopodobieństw ajścia takich dareń. Kiedy próbuje się osacować casy wykonania robót budowlanych, powstaje problem braku możliwości wykorystania metod statystycnych i miary probabilistycnej do oceny skutków realiacji różnych scenariusy jednocesnego oddiaływania różnych cynników na pre-

3 141 bieg budowy. Warte ropatrenia jest w tym prypadku również wykorystanie logiki romytej i teorii biorów romytych, specjalnie prenaconych do opisania jawisk niepoddających się ścisłej ocenie ilościowej, [13]. W niniejsym artykule predstawiono podstawy romytego modelowania niepewności, asady modelowania casów wykonania robót budowlanych bepośrednim astosowaniem prybliżonej wiedy eksperta ora metodę oceny rokładu możliwych casów wykonania roboty budowlanej wykorystaniem wnioskowania prybliżonego i powiąania pomiędy rokładem prawdopodobieństwa i rokładem możliwości. W reultacie wykorystania opisanej metody można łatwo wynacyć licby romyte modelujące casy wykonania robót w celu analiy sieci powiąań i sporądenia romytego harmonogramu budowy. 2. Podstawy romytego modelowania niepewności Zbiorem romytym w pewnej niepustej prestreni X naywa się biór par: gdie: {(, ( )); } = x μ x x X (1) μ : X [0,1] (2) jest funkcją prynależności bioru romytego X, [10]. Funkcja ta prypisuje każdemu elementowi x X jego stopień prynależności do bioru romytego. W ależności od wartości stopnia prynależności, można wyróżnić try prypadki: 1) μ ( x) = 1 onaca pełną prynależność elementu x do bioru romytego, tn. x, 2) μ ( x) = 0 onaca brak prynależności elementu x do bioru romytego, tn. x, 3) 0 < μ ( x) < 1 onaca cęściową prynależność elementu x do bioru romytego. Operacje na biorach romytych, takie jak awieranie ( ), dopełnienie bioru romytego, ilocynu ( ) i sumy ( ) dla dwóch biorów romytych i B apisuje się w następujący sposób, [2, 5, 11, 13]: B μ( x) μb( x), x X (3) μ ( ) = 1 μ( x ), x X (4) μ ( x) = min( μ ( x) μ ( x)), x X (5) B B μ ( x) = max( μ ( x) μ ( x)), x X (6) B B

4 142 Licbą romytą jest biór romyty, którego funkcja prynależności μ (x) jest prediałami ciągła ora spełnia następujące warunki [10]: a) sup μ ( x) = 1, co nacy, że biór romyty jest normalny, b) dla dowolnych x 1, x 2 i x 3, gdie x1 x2 x3, achodi μ( x2) min.{ μ( x1), μ ( x3)}, co nacy, że biór romyty jest wypukły. Spełnienie warunku wypukłości wskauje, że funkcja prynależności bioru romytego ma tylko jedno maksimum. Spełnienie warunku normalności gwarantuje, że prynajmniej jeden elementów bioru romytego posiada stopień prynależności równy 1,0. Te dwie właściwości sprawiają, że licby romyte nadają się do modelowania nieprecyyjnych określeń opisanych pre mienne lingwistycne. Zmienna lingwistycna jest stosowana, gdy ustalenie danej wartości a pomocą konkretnych licb wykłych jest trudne lub niemożliwe. Diediną miennej lingwistycnej jest biór pojęć wyrażonych nieprecyyjnie a pomocą jęyka naturalnego, na prykład około 10 dni lub mniej więcej 4 dni. Zgodnie [10], α prekrojem α bioru romytego X naywa się biór nieromyty = { x X : μ ( x) α}, [0, 1] (7) cyli biór określony pre funkcję charakterystycną: α α 1 dla μ( x) α χ α = 0 dla μ ( x) < α (8) gdie μ (x) jest funkcją prynależności bioru romytego. Relacją romytą R X Y międy dwoma niepustymi biorami X i Y naywa się biór romyty określony na ilocynie kartejańskim X Y: gdie {(( ) R )} R = x, y, μ ( x, y), x X, y Y (9) μ : X Y [0,1] (10) R jest funkcją prynależności. Funkcja ta prypisuje każdej pare (x, y), x X, y Y jej stopień prynależności μ R ( x, y), interpretowany jako siła powiąania pomiędy elementami x X i y Y, [10]. Niech będą dane try biory nieromyte X, Y i Z ora dwie relacje romyte: R X Y funkcją prynależności μ R ( x, y) orau Y Z funkcją prynależności μ U ( y, ). Jeżeli biór Y ma skońconą ilość elementów, to łożeniem relacji romytych R X Y i U Y Znaywa się relację romytą V = R U w postaci dwuwymiarowego bioru romytego o funkcji prynależności [10]

5 143 μ RU ( x, ) = max.{min{ μr( x, y), μu( y, )}} (11) y Y Inną bardo ważną cechą biorów romytych, która decyduje o ich naceniu praktycnym, jest wnioskowanie. Ogólny apis wnioskowania waną też regułą romytą ma następującą postać [11] JEŻELI presłanka logicna TO konkluja (12) Istotnym problemem jest sposób tworenia właściwych reguł wnioskowania. Jednym rowiąań jest wykorystanie wiedy i doświadcenia eksperta. Wyciągnięcie romytych wniosków i preobrażenie ich w ocenę ilościową prowadi się na podstawie prycynowo- -skutkowych reguł i relacji romytych. Zakłada się, że jest biorem romytym w prestreni presłanek X, a B jest poiomem wpływu cynnika (na prykład duży wpływ) w prestreni konkluji Y. Zbiór romyty opisujący poiom wpływu cynnika w prestreni X onacamy pre, a biór romyty opisujący poiom prawdopodobieństwa pre B. Wtedy prycynowo-skutkowa relacja romyta B presłanki i konkluji, odwierciedlająca wiedę eksperta, naywa się regułą romytą R R = B (13) więc proces uyskania romytego wniosku B wykorystaniem wiedy B ora danych można predstawić jak niżej { } ( ) max min. ( ' ( ), R (, )) ' ' ' B = R = B = μ x μ x y (14) gdie: μ ( ) i μ ( x, y) odpowiednie funkcje prynależności biorów romytych i R. ' x R 3. Transformacja prawdopodobieństwo możliwość Istotę transformacji prawdopodobieństwo możliwość według [3] predstawiono na rys. 1. Dokonując prekroju funkcji rokładu prawdopodobieństwa f(x) na poiomie λ, otrymuje się prediał ufności I = { x f ( x) λ} o granicy dolnej inf I λ = θ i o granicy górnej λ sup I λ = θ. Prediał ten awiera prawdiwą wartość miennej x prawdopodobieństwem, θ, λ ) = P( θ x θ ) = P( I f ( x) dx (15) określanym jako poiom ufności (1 α). Prediałowi ufności I λ na wykresie funkcji gęstości prawdopodobieństwa odpowiada prediał o granicy dolnej inf = θ i o granicy górnej sup = θ, uyskany w wyniku prekroju wykresu funkcji rokładu możliwości α α θ α

6 144 μ(x) na poiomie α = 1 P(I λ ). Należy wrócić uwagę, że wartość α odpowiada sumie pól powierchni obsarów s 1 i s 2 na rys. 1. Zgodnie ależnością (7) prediał α awiera wartości miennej x o współcynniku prynależności do bioru nie mniejsym niż α. Jeżeli α = μ (x), to 1 α = P( α ). Onaca to, że prawdopodobieństwo, iż recywista wartość miennej x jest awarta w prediale α wynosi (1 α). Dysponując nanym, ciągłym i jednomodalnym rokładem prawdopodobieństwa miennej losowej, można wynacyć rokład możliwości pryjmowania określonych wartości pre tę mienną. Rys. 1. Istota transformacji prawdopodobieństwo możliwość Fig. 1. The essence of probability possibility transformation 4. Modelowanie romytych casów wykonania robót budowlanych bepośrednim wykorystaniem wiedy eksperta Bepośrednie wykorystanie wiedy eksperta prowadi do modelowania niepewności osacowań casów wykonania robót a pomocą licb romytych trapeowych lub trójkątnych, powstających w wyniku prypisania możliwym casom d wykonania roboty stopni prynależności μ (d) [0, 1]. Rokład trójkątny (rys. 2) wyrażający pojęcie około d 2 predstawia sytuację, w której romyty cas wykonania roboty pryjmuje dowolną wartość pomiędy d 1 i d 3, których najbardiej możliwa jest wartość d 2 [6]. Należy podkreślić, że rokład trójkątny możliwych wartości casu wykonania roboty nie musi być symetrycny. Pry cym, im mniejsa jest ropiętość prediału [d 1, d 3 ], tym jest mniejsa niepewność dotycąca recywistego casu wykonania roboty.

7 145 Trapeowy rokład możliwych wartości casu wykonania roboty (rys. 3) jest mniej precyyjny niż rokład trójkątny i wyraża pojęcie w prybliżeniu pomiędy d 2 i d 3 [6]. Najbardiej możliwy cas wykonania roboty awiera się w tym prypadku pomiędy d 2 i d 3. Casy krótse niż d 1 i dłużse niż d 4 nie są możliwe, a casy awarte pomiędy d 1 i d 2 ora pomiędy d 3 i d 4 są mniej pewne od casów awartych pomiędy d 2 i d 3 [4]. Rys. 2. Cas romyty około d 2 Fig. 2. Fuy duration approximately d 2 Rys. 3. Cas romyty w prybliżeniu międy d 2 i d 3 Fig. 3. Fuy duration approximately between d 2 and d 3 Należy podkreślić, że w trakcie realiacji predsięwięcia mniejsa się niepewność co do recywistego casu wykonania danej roboty. Można wtedy mniejsyć akres romytości modelowanych casów. Zakres romytości można także mniejsyć, wprowadając określone poiomy niepewności odpowiadające poscególnym α -prekrojom licb trójkątnych lub trapeowych (rys. 4). Uyskany w ten sposób prediał casowy [d α1, d α2 ] ma więksą pewność niż prediał [d 1, d 3 ]. Należy podkreślić, iż wprowadenie α prekrojów umożliwia sprowadenie operacji na licbach romytych do rachunku prediałowego. Poiomy poscególnych α-prekrojów odpowiadają poscególnym poiomom subiektywnie ocenianej niepewności dotycącej casu trwania danej roboty. Na prykład, prekrój na poiomie α = 0,3 onaca więksą niepewność niż na poiomie α = 0,5, a prekrój na poiomie α = 1,0 onaca całkowitą pewność osacowania casu trwania cynności.

8 146 Rys. 4. Casy romyte trójkątne określone pre α-prekroje Fig. 4. Fuy triangular durations expressed by α-cuts 5. Metoda modelowania niepewności osacowań casów trwania cynności wykorystaniem romytego wnioskowania Poniżej predstawiono metodę modelowania niepewności osacowań casów trwania cynności wykorystaniem wnioskowania romytego na podstawie reguł i relacji romytych. W predstawionej metodie, niebędne operacje na biorach romytych preprowada się godnie ależnościami (5), (6), (9) i (11). Diałanie metody ilustrowano prykładem licbowym. Zakłada się, że na podstawie normatywów pracochłonności ustalono nominalny cas wykonania pewnej roboty budowlanej. Należy określić rokład możliwych casów wykonania tej roboty uwględnieniem akłóceń spowodowanych opadami atmosferycnymi i awariami sprętu budowlanego. Wyciągnięcia romytych wniosków i preobrażenia ich w ocenę ilościową można dokonać następująco: 1. Twory się try biory nieromyte: X biór ocen punktowych cęstości oddiaływania cynników akłócających, Y biór ocen punktowych akresu akłóceń prebiegu roboty, Z biór możliwych wartości wydłużeń casu wykonania roboty. 2. Na podstawie wiedy eksperta, ustala się: prybliżoną ależność pomiędy podatnością (wrażliwością) roboty na diałanie danego cynnika akłócającego występującego określoną cęstością, a akresem akłóceń prebiegu tej roboty, prybliżoną ależność pomiędy akresem akłóceń i wydłużeniem casu wykonania roboty. 3. Twory się relację romytą R X Y, predstawiającą siłę powiąania pomiędy cęstością oddiaływania cynników akłócających i akresem akłóceń prebiegu roboty. 4. Twory się relację romytąu Y Z, predstawiającą siłę powiąania pomiędy akresem akłóceń prebiegu roboty i wydłużeniem jej casu wykonania.

9 W wyniku łożenia relacji romytych R X Y i U Y Z twory się dwuwymiarowy biór romyty V = R U predstawiający siłę powiąania pomiędy cęstością oddiaływania cynników akłócających i wydłużeniem casu wykonania roboty. 6. Na podstawie łożenia relacji romytych R X Y i U Y Z ustala się parametry rokładu prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty. 7. Na podstawie rokładu prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty ustala się licbę romytą (na prykład, trójkątną lub trapeową) modelującą rorut możliwych wydłużeń casów wykonania roboty. Na prykład prewiduje się, że prycyną akłócenia prebiegu roboty mogą być opady atmosferycne lub awarie sprętu budowlanego. Ocenia się, że: wrażliwość roboty na akłócenia prebiegu powodu wystąpienia opadów atmosferycnych jest średnia, a powodu awarii sprętu budowlanego bardo duża, cęstość występowania opadów atmosferycnych będie średnia, a cęstość występowania awarii sprętu duża. Wykorystując wiedę eksperta, ustala się reguły mające astosowanie do oceny akresu akłóceń prebiegu roboty na podstawie oceny jej podatności na spowolnienie postępu powodu oddiaływania wybranych cynników określoną cęstością. Niech reguły odpowiednie dla ropatrywanego prypadku mają postać: R I 1: JEŻELI wrażliwość roboty na akłócenia powodu wystąpienia opadów atmosferycnych jest średnia I cęstość występowania opadów atmosferycnych będie średnia TO akres akłóceń prebiegu roboty będie duży. R I 2: JEŻELI wrażliwość roboty na spowolnienie postępu powodu wystąpienia awarii sprętu budowlanego jest bardo duża I cęstość występowania awarii sprętu budowlanego będie duża TO akres akłóceń prebiegu robót będie bardo duży. Następnie ustala się ależność pomiędy oceną akresu akłóceń prebiegu roboty a wydłużeniem casu jej wykonania. Niech reguły odpowiednie dla ropatrywanego prypadku mają postać: R II 1: JEŻELI akres akłóceń prebiegu roboty będie duży TO wydłużenie casu wykonania roboty będie duże. R II 2: JEŻELI akres akłóceń prebiegu roboty będie bardo duży TO wydłużenie casu wykonania roboty będie bardo duże. Prykładowe wartości funkcji prynależności formułowanych ocen do poscególnych biorów romytych podano w tabelach 1 i 2. Tworenie relacji romytej R X Y na podstawie reguł R I 1 i R I 2 prebiega w następującej kolejności: a) najpierw wykorystaniem ależności (5) i (9) twory się relację romytą R1 X1 Y1, gdie: X 1 podbiór ocen punktowych cęstości występowania opadów atmosferycnych, określanej jako: średnia Y 1 podbiór ocen punktowych akresu akłóceń prebiegu roboty, określanych jako: duży b) następnie wykorystaniem ależności (5) i (9) twory się relację romytą R X Y, gdie: 2 2 2

10 148 X 2 podbiór ocen punktowych cęstości występowania awarii sprętu budowlanego, określanej jako: duża Y 2 podbiór ocen punktowych akresu akłóceń prebiegu roboty, określanych jako: bardo duży c) łącąc relacje romyte R 1 X 1 Y 1 i R2 X2 Y2 wykorystaniem ależności (6), otrymuje się relację romytą R = R 1 R2. Prebieg tworenia relacji romytej relacji R = R 1 R2 predstawiono w tab. 3, 4 i 5. Podobnie prebiega tworenie relacji romytej U Y Z na podstawie reguł R II 1 i R II 2: a) najpierw, wykorystaniem ależności (5) i (9) twory się relację romytą U1 Y1 Z 1, gdie: Y 1 podbiór ocen punktowych akresu akłóceń prebiegu roboty, określanego jako: duży Z 1 podbiór wartości wydłużeń casu wykonania roboty, określanych jako: duże b) następnie, wykorystaniem ależności (5) i (9) twory się relację romytą U 2 Y2 Z 2, gdie: Y 2 podbiór ocen punktowych akresu akłóceń prebiegu roboty, określanego jako: bardo duże Z 2 podbiór wartości wydłużeń casu wykonania roboty, określanych jako: bardo duże c) łącąc relacje romyte U1 Y1 Z1i U 2 Y2 Z 2 wykorystaniem ależności (6), otrymuje się relację romytą U = U 1 U 2. Wynik łożenia relacji romytych R i U preprowadonego wykorystaniem ależności (11) predstawiono w tab. 6 w postaci dwuwymiarowego bioru romytego V = R U. Złożenie relacji romytych R i U umożliwia bepośrednie powiąanie oceny wydłużenia casu wykonania robót budowlanych oceną cęstości oddiaływania poscególnych cynników akłócających. Tabela 1 Prykładowe wartości funkcji prynależności oceny punktowej miennych w presłankach reguł wnioskowania romytego Ocena punktowa: wrażliwości robót budowlanych na akłócenia cęstości występowania cynników akłócających akresu akłóceń prebiegu roboty Współcynniki prynależności oceny punktowej do bioru wartości określanych jako: średnia duża bardo duża 0, , , ,3 0, ,4 0, ,5 1, ,6 0,7 0,5 0 0,7 0,1 0,9 0 0,8 0 0,9 0,1 0,9 0 0,5 0,7 1, ,0

11 149 Tabela 2 Prykładowe wartości współcynników prynależności możliwych wydłużeń casu wykonania roboty, spowodowanych oddiaływaniem cynników akłócających Możliwe wydłużenie casu wykonania roboty, w dniach robocych Współcynniki prynależności wydłużenia casu wykonania roboty do bioru wartości określanych jako: duża bardo duża 6 0, , ,9 0,1 9 0,5 0, ,0 Tabela 3 Macier wartości współcynników prynależności do relacji romytej R1 X1 Y 1 Podbiór X 1 Ocena punktowa cęstości oddiaływania danego cynnika, x Podbiór Y 1 ocena punktowa akresu akłóceń prebiegu roboty powodu określonej cęstości oddiaływania danego cynnika, y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0, , , , ,1 0,1 0,1 0,1 0 0, ,5 0,7 0,7 0,5 0 0, ,5 0,9 0,9 0,5 0 0, ,5 0,7 0,7 0,5 0 0, ,1 0,1 0,1 0,1 0 0, , ,

12 150 Macier wartości współcynników prynależności do relacji romytej R2 X2 Y 2 Podbiór X 2 Ocena punktowa cęstości oddiaływania danego cynnika, x Tabela 4 Podbiór Y 2 Ocena punktowa akresu akłóceń prebiegu roboty powodu określonej cęstości oddiaływania danego cynnika, y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0, , , , , , , ,1 0,5 0,5 0, ,1 0,7 0,9 0, ,1 0,7 0,9 0, ,1 0,5 0,5 1, Ocena punktowa cęstości oddiaływania danego cynnika, x Macier wartości współcynników prynależności do relacji romytej R = R 1 R2 Zbiór X Tabela 5 Zbiór Y ocena punktowa akresu akłóceń prebiegu roboty powodu określonej cęstości oddiaływania danego cynnika, y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0, , , , ,1 0,1 0,1 0,1 0 0, ,5 0,7 0,7 0,5 0 0, ,5 0,9 0,9 0,5 0 0, ,5 0,7 0,7 0,5 0,5 0, ,1 0,1 0,1 0,7 0,9 0, ,1 0,7 0,9 0, ,1 0,5 0,5 1,

13 151 Tabela 6 Macier wartości współcynników prynależności do dwuwymiarowego bioru romytego V=R U, powstającego w wyniku łożenia relacji romytych R X Y i U Y Z Zbiór X: ocena punktowa cęstości wystąpienia akłóceń, spowodowanych diałaniem danego cynnika, x Zbiór Z: możliwe wydłużenie casu wykonania roboty, w dniach robocych 1 = 6 2 = 7 3 = 8 4 = 9 5 = 10 0, , , , , , ,6 0,5 0,7 0,7 0,5 0,5 0,7 0,5 0,7 0,5 0,7 0,9 0,8 0,5 0,5 0,5 0,7 0,9 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1, Bepośrednie wykorystanie danych tab. 6 w celu ustalenia rokładu możliwych wydłużeń casu wykonania roboty prowadi do ustalenia bioru romytego, tworonego pre pary { k, μz ( k )} uporądkowane jak niżej (k onaca indeks kolejnej ropatrywanej wartości możliwego wydłużenia casu wykonania roboty) Z = (16) 0,5 0,7 0,7 0,7 0,9 Tak utworony rokład możliwych wydłużeń casu wykonania roboty jest jednak mało prydatny do obliceń preprowadanych do opracowania harmonogramu budowy. W literature ([1, 8 i 9]) predstawia się różnicowane postępowanie w celu ustalenia prydatniejsego rokładu możliwych wydłużeń casu wykonania roboty. Myślą prewodnią jest wykorystanie dwuwymiarowego bioru romytego V = R U do wynacenia parametrów rokładu prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty (wartości ocekiwanej i odchylenia standardowego). W maciery wartości współcynników prynależności do dwuwymiarowego bioru romytego V = R U identyfikuje się wiers, dla którego ilocyn sumy wartości współcynników prynależności μ R U ( x, k ) i oceny punktowej cęstości wystąpienia akłóceń osiąga maksimum. Następnie na podstawie wartości współcynników prynależności μ R U ( x, k ) awartych w tym wiersu wynaca się: 1) prawdopodobieństwo, że wydłużenie casu wykonania roboty pryjmie określoną wartość k

14 152 P( = ) = k μ RU K μ k = 1 ( x, ) R U 2) ocekiwane wydłużenie casu wykonania roboty k ( x, ) k (17) K E( ) = {( k) P( = k)} (18) k = 1 3) odchylenie standardowe wydłużenia casu wykonania roboty: K 2 2 {( k) P( k)} E ( ) k = 1 σ = = (19) W predstawionym prykładie można ustalić, że ilocyn sumy wartości współcynników prynależności μ R U ( x, ) i oceny punktowej cęstości wystąpienia akłóceń osiąga maksimum dla danych awartych w diewiątym wiersu tab. 6. Wykorystując ależności (17), (18) i (19), otrymuje się: P( = 6) = 0,5/3,1 = 0,16, P( = 7) = 0,5/3,1 = 0,16, P( = 8) = 0,5/3,1 = 0,16, P( = 9) = 0,7/3,1 = 0,23, P( = 10) = 0,9/3,1 = 0,29, E() = 8,33 dnia, σ = 1,44 dnia. W pracach [1] i [9] poprestano na wynaceniu parametrów dyskretnego rokładu prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty. Natomiast w pracy [8], wykorystując asadę transformacji prawdopodobieństwo możliwość według [3], wynacono licbę romytą modelującą rorut możliwych wydłużeń casów wykonania roboty. Wykorystanie asady transformacji prawdopodobieństwo możliwość wymaga pryjęcia ałożenia dotycącego kstałtu ciągłej i symetrycnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty. W pracy [8] pryjęto ałożenie, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma kstałt krywej gaussowskiej. W warunkach niepewności decyja o pryjęciu określonej funkcji gęstości prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty jest jednak podejmowana pre eksperta intuicyjnie, a nie na podstawie analiy danych statystycnych. Pryjęcie gaussowskiej funkcji gęstości prawdopodobieństwa komplikuje preprowadanie amiany rokładu prawdopodobieństwa wydłużenia casu wykonania roboty w rokład możliwości wydłużenia casu wykonania roboty i prowadi do uyskania licby romytej o nieliniowej funkcji prynależności (patr rys. 1). Dlatego,

15 153 w niniejsym artykule pryjęto, że łożenie relacji romytych R X Y i U Y Zmożna wykorystać alternatywnie, do wynacenia parametrów trójkątnego lub jednostajnego rokładu prawdopodobieństwa casu wykonania roboty. Rokład trójkątny można bepośrednio wykorystać do wynacenia uporądkowanej trójki licb wykłych, tworących trójkątną licbę romytą modelującą wydłużenie casu wykonania roboty w warunkach niepewności. Natomiast pryjęcie rokładu jednostajnego umożliwia wynacenie ciągłej i liniowej funkcji prynależności licby romytej modelującej wydłużenie casu wykonania roboty. W prypadku pryjęcia rokładu trójkątnego można wykaać, że dolne i górne ogranicenie wydłużenia casu wykonania roboty wynosi odpowiednio min. = E( ) 6 σ ora max = E( ) + 6 σ. Znając dolne i górne ogranicenie wydłużenia casu wykonania roboty, rokład możliwych wydłużeń można opisać wykorystaniem trójkątnej licby romytej gdie: Z = {,E( ), } (20) min. min. dolna granica możliwego wydłużenia nominalnego casu wykonania roboty, max min. = E( ) 6 σ (21) min. górna granica możliwego wydłużenia nominalnego casu wykonania roboty, max = E( ) + 6 σ (22) σ E ( ) ocekiwane wydłużenie casu wykonania roboty, wynacone wykorystaniem ależności (18), odchylenie standardowe wydłużenia casu wykonania roboty, wynacone wykorystaniem ależności (19). Na podstawie ależności (20), rokład możliwych wydłużeń casu wykonania roboty można opisać wykorystaniem trójkątnej licby romytej Z = (4,8, 8,33, 11,86) lub po aokrągleniu: Z = (5, 8, 12). W prypadku pryjęcia rokładu jednostajnego, dolne i górne ogranicenie wydłużenia casu wykonania roboty można wynacyć na podstawie następujących ależności E( ) + 2 min. max = (23) ( ) 12 2 max min. σ = (24) Dla E() = 8,33 dnia i σ = 1,44 dnia, otrymuje się min. = 6,25 dnia ora max = 10,41 dnia. Licbę romytą modelującą wydłużenie casu wykonania roboty można predstawić

16 154 w postaci uporądkowanej trójki licb wykłych Z = (6,25, 8,33, 10,41). Funkcja prynależności licby romytej, wynacona asady transformacji prawdopodobieństwo możliwość, ma postać: 6, 25 dla 6,25 < 8,33, 8,33 6, 25 μ ( ) = 10, 41 dla 8,33 < 10,41 10,41 8,33 0 w innym prypadku Romyty cas wykonania roboty można wynacyć jako sumę jej nominalnego casu wykonania d n i trójkątnej licby romytej Z, modelującej rokład możliwych wydłużeń casu wykonania tej roboty. Zgodnie asadami arytmetyki romytej wynikiem dodawania licby wykłej d n i trójkątnej licby romytej Z jest trójkątna licba romyta: D = ( d +, d + E( ), d + ) (25) n min. n n Tak wynaconą licbę romytą D, modelującą niepewność osacowania casu wykonania roboty, można wykorystać na potreby analiy sieci ależności ora harmonogramowania romytego. max 6. Podsumowanie Teoria biorów romytych jest dobrym i łatwym w stosowaniu narędiem do opisania niepewności. Zastosowanie jej elementów, takich jak romyte licby, mienne lingwistycne i α prekroje, powala w prosty sposób modelować casy trwania robót budowlanych. Inną poytywną cechą biorów romytych jest astosowanie relacji romytych umożliwiających uwględnienie skutków negatywnego oddiaływania różnych cynników. W niniejsym artykule opisano metodę romytego modelowania wpływu prewidywanych akłóceń na cas wykonania roboty budowlanej w prypadku niepewności danych charakteryujących warunki budowy. Wykorystanie wnioskowania romytego i relacji romytych powala na uwględnienie wiąków pomiędy możliwym wydłużeniem casu trwania danej roboty a jej wrażliwością na diałanie określonych cynników akłócających, cęstością oddiaływania poscególnych cynników ora subiektywnie ocenianym wpływem akłócenia na cas wykonania roboty. Dodatkową aletą metody jest ujawnienie procesu wnioskowania prybliżonego, prowadącego do wynacenia licby romytej modelującej niepewność osacowania casu wykonania roboty. Predstawiony prykład licbowy wskauje na prydatność metody do sacowania casów wykonania robót na podstawie niepewnych danych charakteryujących warunki budowy. Predstawiona metoda może być także prydatna dla aktualiacji harmonogramu w casie realiacji budowy.

17 Literatura 155 [1] yyub B. M., H a l d a r., Project scheduling using fuy set concepts, Journal of Construction Engineering and Management, 110(2), 1984, [2] Cogał a E., Pedryc W., Elementy i metody teorii biorów romytych, Wyd. PWN, Warsawa [3] Dubois D., Prade H., Fuy sets and statistical data, European Journal of Operational Research, 25, 1986, [4] Ibadov N., Wykorystanie teorii biorów romytych do podejmowania decyji w budownictwie, Konferencja naukowo-technicna: Sterowanie procesami inwestycyjnymi w budownictwie wodnym i morskim, Scecin Międydroje, cerwca [5] K a s p r y k J., Zbiory romyte w analiie systemowej, Wyd. PWN, Warsawa [6] Lorterapong P., Moselhi O., Project network analysis using fuy sets theory, Journal of Construction Engineering and Management, SCE, 122(4), 1996, [7] Noworol C., nalia skupień w badaniach empirycnych. Romyte modele hierarchicne, Wyd. PWN, Warsawa [8] O l i v e r o s.v.o., F a y e k.r., Fuy logic approach for activity delay analysis and schedule updating, Journal of Construction Engineering and Management, SCE, 131(1), 2005, [9] Pan N.F., Hadipriono F.C., Whitlatch E., fuy reasoning knowledge based system for assessing rain impact in highway construction scheduling: Part I. nalytical model, Journal of Intelligent and Fuy Systems, 16, 2005, [10] Rutkowska D., Piliń s k i M., R u t k o w s k i L., Sieci neuronowe, algorytmy genetycne i systemy romyte, Wyd. PWN, Warsawa Łódź [11] Rutkowski L., Metody i techniki stucniej inteligencji, PWN, Warsawa [12] Y a g e r R.R., F i l e v D.P., Podstawy modelowania i sterowania romytego, Wyd. WNT, Warsawa [13] Zadeh L.., Fuy Sets, Information and Control, vol. 8, 1965.