OPTYKA FALOWA - INTERFERENCJA INTERFEROMETRIA

Transkrypt

1 OPTYKA FALOWA - INTERFERENCJA INTERFEROMETRIA Wprowadzenie prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski W przypadku nakładania się w przestrzeni dwóch lub większej liczby zaburzeń (wiązek) świetlnych obowiązuje zasada superpozycji. Wynika ona z liniowości równania falowego. Nie ma ona jednakże zastosowania w odniesieniu do detekowanego rozkładu intensywności (natężenia światła), który nie musi być równy sumie zaburzeń składowych. Wynikowy rozkład intensywności zależy od relacji fazowych między nakładającymi się zaburzeniami i efektu interferencji między nimi. Interferencja to oddziaływanie światła ze światłem, podczas gdy takie zjawiska optyczne jak załamanie, rozpraszanie i dyfrakcja związane są z oddziaływaniem światła z materią. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

2 Pierwsze efekty interferencyjne uzyskane w wyniku odbicia światła od dwóch powierzchni cienkiej warstwy powietrza ograniczonej dwiema płytkami szklanymi zostały zaobserwowane i opisane w drugiej połowie XVII wieku niezależnie przez Boyle a i Hooke a. Obserwacje te można uważać za początek interferometrii optycznej. Zakres zastosowań interferometrii jest ogromny. Obejmuje on pasmo spektralne od promieni rentgenowskich do fal radiowych. Efekty interferencyjne uzyskuje się również, między innymi, za pomocą fal akustycznych, elektronów i neutronów. Jednakże najbardziej zaawansowane metody i systemy pomiarowe opracowano w paśmie promieniowania widzialnego (interferometria optyczna). Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

3 ROZWÓJ INTERFEROMETRII OPTYCZNEJ Pierwsze obserwacje efektów interferencyjnych druga połowa XVII wieku (Boyle i Hook) 1690: Huyghens rozwija falową teorię światła 180: Young formułuje zasadę interferencji 1818: Fresnel udoskonala zasady interferencji. Arago i Fresnel odkrywają, że dwie prostopadle spolaryzowane wiązki nie mogą interferować (wiązki świetlne są falami poprzecznymi) 1887: sławne doświadczenie Michelsona i Morleya: na podstawie otrzymanych wyników odrzucono koncepcję eteru i stworzono podwaliny dla teorii względności Einsteina. Za ojca interferometrii z wykorzystaniem promieniowania widzialnego uważa się Michelsona, który w 1907 roku uzyskał Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki: za dokładne przyrządy optyczne oraz badania spektroskopowe i metrologiczne wykonane przez Niego z wykorzystaniem tych przyrządów Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

4 ROZWÓJ INTERFEROMETRII (CHRONOLOGICZNIE) NA RZYKŁADZIE WAŻNIEJSZYCH ZASTOSOWAŃ 1881/87 Sławne doświadczenia Michelsona i Morleya 1891 Michelson przeprowadza pierwsze doświadczenie w zakresie spektroskopii interferencyjnej w paśmie widzialnym początki spektroskopii fourierowskiej (FTS) 1896 pierwszy pomiar międzynarodowego wzorca metra (Michelson) 1911 Rubens i Wood zastosowali podobną metodę do metody Michelsona (1981) w paśmie podczerwieni 1916 Twyman modyfikuje interferometr Michelsona do badania elementów optycznych 1951 Felleget otrzymuje, po raz pierwszy, widmo interferogramu po zastosowaniu przekształcenia Fouriera i demonstruje zalety FTS 1954 Handbury, Brown i Twiss tworzą koncepcję pomiaru stopnia korelacji zmian intensywności w źródle (tzw. interferometria intensywnościowa, 1964) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

5 Wynalezienie i upowszechnienie lasera w latach sześćdziesiątych spowodowało rewolucję w nauce i technice. Za pionierów techniki laserowej uważa się Schawłowa i Townesa, Maimana, Javana, Sandersa, Kastlera, Basowa i Prochorowa oraz wielu innych naukowców i inżynierów. Takie cechy promieniowania lasera jak wysoka gęstość przestrzenna (mała rozbieżność wiązki) i widmowa (wąskie pasmo spektralne) energii i/lub mocy oraz wysoki stopień koherencji promieniowania spowodowały przełom i niezwykle dynamiczny rozwój prac w ogólnie pojętym obszarze zastosowań inżynierskich i medycznych. Bez wątpienia beneficjentem wynalezienia i upowszechnienia promieniowania lasera była i jest nadal interferometria. Znikły ograniczenia wynikające z dotychczas stosowanych źródeł termicznych. W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych wysoki stopień koherencji przestrzennej i czasowej zapewniały lasery gazowe, głównie laser He-Ne i argonowy. Ostatnie dziesięciolecie to rozwój laserów półprzewodnikowych, początkowo podyktowany potrzebami telekomunikacji w bliskiej podczerwieni w zakresie 1,3 1,5 µm. Obecnie powszechnie dostępne są również diody laserowe emitujące pojedynczy mod podłużny w paśmie widzialnym. Dodatkowa możliwość zmiany długości fali przez sterowanie temperaturą lub prądem złącza stwarza nowe możliwości dla nowoczesnej interferometrii, w której automatyczna analiza wyniku pomiaru jest jednym z podstawowych wymagań. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

6 Opis teoretyczny interferencji dwuwiązkowej Wektor pola elektrycznego opisujący zaburzenie optyczne w pewnym punkcie przestrzeni można przedstawić w postaci ( ) ( ) { ( )} E x, y,z = A x,y,z,t exp iϕ x,y,z, (I.1.1) lub E ( r, t) = A( r,t) exp{ iϕ( r,t) } (I.1.) gdzie r oznacza wektor położenia rozpatrywanego punktu w przestrzeni, a amplituda A i faza φ zaburzenia zależą od współrzędnych przestrzennych i czasu. Reprezentacja zaburzenia optycznego w postaci liczby zespolonej znacznie upraszcza analizę w przypadku superpozycji dwóch lub więcej fal o różnych amplitudach. Stan polaryzacji zaburzenia zależy od czasowych zmian wektora amplitudy. W przypadku liniowo spolaryzowanej monochromatycznej fali świetlnej otrzymujemy E ( x, y,z,t) = A( x,y,z) exp{ i[ ωt ϕ( x,y,z) ]}, (I.1.3) gdzie ω = πν, ν jest częstotliwością drgań zaburzenia. Amplituda nie zależy już od czasu, a czynnik fazowy zawiera składnik zależny od czasu t i zależy również od (x,y,z). Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

7 Interferencja jest wynikiem koherentnej superpozycji dwóch lub więcej fal. Wynikową amplitudę zespoloną można zapisać w postaci = ( y,z,t) ( x,y,z, t) E x, E i a detekowane natężenie światła (intensywność) jest uśrednioną w czasie wartością kwadratu modułu amplitudy danej wzorem (I.1.4) ( x,y,z,t) = E( x,y,z,t) I (I.1.4) (I.1.5) gdzie < > oznacza uśrednianie w czasie znacznie dłuższym od okresu drgań zaburzenia równego 1/ν. W przypadku interferencji dwuwiązkowej otrzymujemy * * * * ( x,y,z,t) = E1 + E + E1 E + E1 E = I1+ I+ E1 E + E1 E I (I.1.6) gdzie I 1 i I reprezentują intensywności (natężenia) obu wiązek składowych. Trzeci i czwarty człon wzoru (I.1.6) są członami sprzężonymi. i Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

8 Gdy obydwie wiązki są liniowo spolaryzowane i kwasi-monochromatyczne, tzn. E1,( x, y,z,t) = A1,( x,y,z) exp{ i[ ω1,t ϕ1,( x,y,z) ]} (I.1.7) ogólny wzór upraszcza się do postaci ( x,y,z,t) = I + I + ( A A ) cos{ ( ω ω ) t [ ϕ ( x,y,z) ( x,y,z) ]} I ϕ (I.1.8) Ostatni człon jest członem interferencyjnym. Zawiera on dwie ważne informacje. Po pierwsze, jeśli dwie interferujące wiązki są spolaryzowane wzajemnie prostopadle, efekt interferencji nie wystąpi (iloczyn skalarny jest wtedy równy zero). Po drugie, jeśli częstotliwości wiązek są różne, efekt interferencji będzie zależał od czasu. W przypadku gdy ω << 1 ω = ω ω 1, ω detektor będzie odbierał częstotliwość zdudnieniową (różnicową). Jest to zasada tzw. interferometrii heterodynowej. (I.1.9) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

9 Rozważmy teraz przypadek dwóch wiązek o wzajemnie równoległych polaryzacjach liniowych i tych samych częstotliwościach. Rozkład intensywności, wzór (I.1.8), przyjmuje teraz postać ( x,y,z) = I + I + I I cos[ ( x,y,z) ] I 1 1 ϕ, (I.1.10) gdzie φ(x,y,z) = φ 1 (x,y,z) φ (x,y,z) odpowiada różnicy fazy między wiązkami w rozważanym punkcie przestrzeni (x,y,z), rys. 1.1a. Wzór (I.1.8) opisuje sinusoidalny rozkład intensywności w interferogramie (obrazie prążkowym), rys. 1.1b. Różnica faz odpowiada różnicy dróg optycznych między gałęziami interferometru pomnożonej przez liczbę falową k = π/λ. I I 1 +I +( I 1 I ) 1/ E 1 E ϕ E I 1 +I -( I 1 I ) 1/ ϕ 1 ϕ -4π -π 0 π 4π ϕ Rys. 1.1 Diagram fazowy dla superpozycji dwóch zaburzeń o amplitudach E 1 i E i fazach φ 1 i φ ; oraz rozkład intensywności w funkcji różnicy fazy Φ = Φ 1 Φ między dwiema interferującymi wiązkami. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

10 Z rysunku wynika, że jasne prążki interferencyjne (zawierające maksymalne wartości intensywności) występują w miejscach, w których różnica fazy jest parzystą wielokrotnością π, lub różnica dróg optycznych jest całkowitą wielokrotnością λ. Prążki ciemne (zawierające minimalne wartości intensywności) odpowiadają różnicom fazy będącym nieparzystą wielokrotnością π lub różnicom dróg optycznych równym nieparzystej wielokrotności połowy długości fali. Bardzo często wzór (I.1.8) przedstawia się w postaci I x,y = I0 x,y 1+ γ x,y cos ϕ x,y,z, (I.1.11) ( ) ( ){ ( ) [ ( )]} gdzie I 0 (x,y) = I 1 (x,y) + I (x,y) odpowiada średniej wartości intensywności 1 (poziomowi tła), a ( ) [ I( x,y) I ( x,y) ] 1 γ x,y =, (I.1.1) I 1 ( x,y) + I ( x,y) opisuje kontrast lub widzialność prążków w punkcie (x,y). Kontrast prążków można wyznaczyć również ze wzoru Imax ( ) ( x,y) Imin( x,y) γ x,y = I, (I.1.13) max( x,y) + Imin( x,y) gdzie I max i I min oznaczają maksymalne i minimalne wartości intensywności w interferogramie. Maksymalną wartość kontrastu równą jedności uzyskuje się w przypadku wiązek o równych amplitudach (intensywnościach). Wzrost zróżnicowania amplitud interferujących wiązek powoduje spadek kontrastu prążków. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

11 Należy podkreślić, że powyższy opis teoretyczny dotyczy superpozycji zaburzeń wzajemnie koherentnych, zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Dyskusję ogólnego przypadku superpozycji fal częściowo koherentnych można znaleźć w wykładzie z Podstaw Fotoniki prof. Jóźwickiego. Do niektórych z tych zagadnień przejdziemy w dalszej części tego wykładu oraz w innych wykładach na IV roku studiów. Elementarne przykłady interferencji Dwie fale płaskie wzajemnie równoległe (wzdłuż osi z) Niech każda wiązka o intensywności I 0 propaguje się wzdłuż osi z; jedna z wiązek jest opóźniona względem drugiej o odległość d, a więc E 1 = I 0 1/ exp(-ikz), E = I 0 1/ exp[-ik(z - d)]. Wzór opisujący intensywność ma postać I = I 0 {1 + cos[(π/λ)d]}. Jeśli d jest wielokrotnością długości fali λ, mamy przypadek maksymalnej wartości intensywności równej I 0. Natomiast jeśli d jest nieparzystą wielokrotnościąλ/, mamy przypadek tzw. interferencji destruktywnej i I = 0. Intensywność średnia wynosi I 0. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

12 Ponieważ intensywność zależy od fazy ϕ = πd/λ = πnd/λ 0 = πnνd/c 0, gdzie d jest różnicą dróg optycznych między dwiema interferującymi falami, interferometr może służyć do pomiaru zmian d, współczynnika załamania n, lub długości fali λ 0 (lub częstotliwości ν). Przykładowo, jeśli d/λ 0 = 10 4, zmiana współczynnika załamania n = 10-4 odpowiada zmianie fazy o ϕ = π. Interferencja dwóch nierównoległych względem siebie fal płaskich Niech obydwie wiązki mają tę samą intensywność I 0 ; jedna z nich propaguje się wzdłuż osi z, E 1 = I 0 1/ exp(-ikz), a druga propaguje się pod kątem θ względem osi z, czyli E = I 0 1/ exp[-ik(zcosθ + xsinθ)], patrz rysunek poniżej. W płaszczyźnie z = 0 różnica fazy między wiązkami wynosi ϕ = kxsinθ, a rozkład intensywności opisuje wzór I = I 0 [1 + cos(kx sinθ)]. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

13 Interferencja dwóch fal o płaskich czołach falowych tworzących między sobą kąt θ. W płaszczyźnie obserwacji otrzymuje się sinusoidalny rozkład intensywności o przestrzennym okresie λ / sinθ. Przykładowo, jeśli θ = 30 0, to okres prążków wynosi λ. Interferencja dwuwiązkowa daje więc możliwość realizowania siatek dyfrakcyjnych poprzez rejestrację rozkładu intensywności interferogramu lub kodowania zmian kąta między wiązkami (jedna z zasad holografii patrz dalsza część wykładu). Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

14 Interferencja fal o płaskim i sferycznym czole falowym I(x,y) = exp(-ikz) + exp{-ik(x + y )/R} ; ρ = (x + y ) << R dla z = 0 mamy I(x,y) = 1 + exp{-ik(x + y )/R} = {1 + cos(π/λ)[x + y ]/R} = {1 + cosπ(x + y )/λr} Obraz prążkowy (interferogram) składa się z koncentrycznych prążków kołowych, których okres zmniejsza się z ρ. Dla m-tego prążka licząc od x = y = 0 mamy ρm = mr; gdzie m oznacza rząd interferencji równy unormowanej różnicy dróg optycznych (OPD) przez długość fali promieniowania. Binarna reprezentacja interferencji wiązek o płaskim i sferycznym czole falowym. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

15 Interferencja dwóch wiązek o sferycznych czołach falowych Najczęściej spotykane przypadki szczególne: płaszczyzna obserwacji jest prostopadła do linii łączącej źródła Interferogram jest symetryczny wokół linii łączącej źródła. Różnicę fazy między czołami falowymi można zapisać w postaci ϕ (πρ /λ) [(1/R 1 ) (1/R )] (π/λ)d (πρ /λ)(d/r ), gdzie d = R 1 R oznacza odległość między dwoma źródłami, R R 1 R. Rząd interferencji osiąga maksymalną wartość w środku interferogramu (x = y = 0) i zmniejsza się ze wzrostem x i y. płaszczyzna obserwacji jest równoległa do linii łączącej źródła Różnica dróg optycznych wynosi (przybliżenie Fresnela) OPD(x,y) = {[(x + d/) + y ]/L} {[(x d/) + y ]/L}, gdzie L oznacza odległość od źródeł do płaszczyzny obserwacji. OPD(x,y) = xd/l; ϕ(x,y) = (π/λ)(xd/l). Otrzymuje się równoodległe prostoliniowe prążki interferencyjne prostopadłe do osi y. Okres prążków jest równy λl/d. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

16 Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

17 BADANIE ELEMENTÓW FAZOWYCH O SYMETRII KOLOWEJ Prostoliniowe prążki odniesienia stosuje się w przypadku analizy obrazu prążkowego we współrzędnych prostokątnych. W przypadku obiektów o symetrii kołowej wygodniejsze jest stosowanie biegunowego układu współrzędnych. To podejście wymaga wytworzenia: radialnych prążków odniesienia, i/lub; kołowych prążków odniesienia. Tworzenie interferogramów dwuwiązkowych z radialnymi i kołowymi prążkami odniesienia: interferencja wiązki O o płaskim czole falowym z wiązką R o helikoidalnym czole falowym (wytworzoną za pomocą hologramu syntetycznego, CGH); interferencja wiązki O o płaskim czole falowym z wiązką R o stożkowym czole falowym (wytworzoną za pomocą aksikonu lub CGH). Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

18 Interferencyjne kodowanie i dekodowanie informacji Obiekty odwzorowywane przez układy optyczne charakteryzują się, w ogólnym przypadku, transmitancją lub reflektancją zespoloną. Gdy obiekt wpływa wyłącznie na fazę wiązki padającej, to rejestrowany rozkład intensywności (z uwagi na dostępne detektory w paśmie częstotliwości optycznych) nie zawiera informacji o fazie obiektu. Aby tę informację wydobyć stosuje się różne techniki odwzorowania optycznego w oświetleniu koherentnym z zastosowaniem przeogniskowania, filtracji częstości przestrzennych (metoda ciemnego pola, cieniowa i kontrastu fazowego) i interferometrii. Poniżej omówione zostaną zasady interferencyjnego kodowania i dekodowania informacji fazowej. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

19 Kodowanie informacji fazowej za pomocą interferencji dwuwiązkowej Dla prostoty przedstawienia zagadnienia rozważania ograniczono do przypadku interferencji dwuwiązkowej. Mają one charakter ogólny i dotyczą również interferencji wielowiązkowej, obecnie już znacznie rzadziej stosowanej do badania obiektów fazowych. Informację o rozkładzie fazy badanego obiektu można kodować za pomocą trzech głównych metod: 1. Interferencji wiązki przedmiotowej niosącej informację o mierzonej wielkości (wiązka ta przechodzi lub zostaje odbita od badanego obiektu) z wiązką odniesienia, najczęściej o płaskim lub sferycznym czole falowym (w specjalnych przypadkach wiązka odniesienia może mieć dowolny kształt czoła falowego zadany, przykładowo, za pomocą hologramów generowanych komputerowo).. Interferencji wiązki przedmiotowej z jej repliką przemieszczoną względem oryginału. Można wyróżnić trzy podstawowe rodzaje wzajemnego przemieszczenia wiązek: przesunięcie poprzeczne w dowolnym kierunku w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji wiązki, przesunięcie radialne i przesunięcie kątowe w tej samej płaszczyźnie. 3. Interferencji wiązki przedmiotowej z wiązką z nią sprzężoną, tzn. wiązką o czole falowym stanowiącym zwierciadlaną replikę oryginału względem płaszczyzny x,y prostopadłej do kierunku propagacji. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

20 Na rysunku poniżej przedstawiono schematy blokowe interferometrów realizujących wyżej wymienione sposoby kodowania informacji fazowej. a) Wiązka przedmiotowa Źródło światła Podział wiązek Rozkład fazy ϕ 1 (x,y) Wiązka odniesienia Nałożenie wiązek Interferogram I ~ cos(ϕ 1 -ϕ ) Detekcja (matryca CCD) Rozkład fazy ϕ (x,y) b) Źródło światła Wiązka przedmiotowa Wiązka przedmiotowa Rozkład fazy x ϕ x, y Replika wiązki przedmiotowej Rozkład fazy ϕ x+ x, y Nałożenie wiązek I~ cos Interferogram ( x) Detekcja (matryca CCD) ( x,y) ϕ x Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

21 c) Wiązka przedmiotowa Źródło światła Tworzenie wiązek sprzężonych Rozkład fazy ϕ(x,y) Wiązka sprzężona Nałożenie wiązek Interferogram I ~ cosϕ(x,y) Detekcja (matryca CCD) Rozkład fazy ϕ*(x,y) Schematy blokowe interferometrów dwuwiązkowych: (a) z wiązką odniesienia; (b) z przemieszczoną poprzecznie repliką wiązki przedmiotowej; oraz (c) z wiązką sprzężoną. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

22 W każdej z wyżej wymienionych metod wiązki tworzące interferogram mogą być zorientowane względem siebie w następujący sposób: a) wiązki propagują się równolegle względem siebie mówi się wtedy o detekcji w jednorodnym polu prążkowym (jednorodny rozkład intensywności otrzymuje się w przypadku interferencji dwóch wiązek o identycznych czołach falowych i dokładnie pokrywających się w przestrzeni). Przykładowo, ten typ detekcji stosuje się w metodzie czasowej dyskretnej zmiany fazy do automatycznej analizy interferogramów i obrazów prążkowych. b) wiązki są pochylone względem siebie mówi się w tym przypadku o detekcji w polu prążkowym, z prążkami odniesienia lub częstością nośną. Prążki odniesienia w interferometrach z przemieszczoną repliką wiązki przedmiotowej można wytwarzać również bez wzajemnego pochylania interferujących wiązek. Detekcję z prążkami odniesienia stosuje się w metodach automatycznej analizy interferogramów i obrazów prążkowych z częstością nośną (między innymi, w metodzie transformaty Fouriera i metodzie przestrzennej dyskretnej zmiany fazy). Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

23 Przeanalizujmy teraz informację zakodowaną w interferogramach uzyskiwanych w konfiguracjach interferometrów pokazanych na rysunku. W celu uproszczenia i ujednolicenia rozważań załóżmy, że: - amplitudy obydwu interferujących wiązek są takie same i równe jedności, - wiązka odniesienia ma płaskie czoło falowe, - opis matematyczny wiązki przedmiotowej w płaszczyźnie detekcji ma postać exp{(iφ)} = exp{i(π/λ) OPD(x,y,z)}, gdzie φ(x,y) jest rozkładem fazowym w tej płaszczyźnie, OPD(x,y) oznacza odstępstwo badanego czoła falowego od płaszczyzny, a λ jest długością fali promieniowania. Oznaczenie OPD odpowiada różnicy dróg optycznych i pochodzi od nazwy w języku angielskim optical path difference, - interferujące wiązki są współfazowe w początku układu współrzędnych związanym z płaszczyzną obserwacji (detekcji). Dowolne przesunięcie fazowe niezależne od współrzędnych (x,y) wprowadza zmianę fazy prążków ( przesunięcie poprzeczne prążków ) w interferogramie nie mające wpływu na informację o badanym obiekcie. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

24 1. Informacja zawarta w interferogramach (obrazach prążkowych): Interferometria z wiązką odniesienia Najprostszą interpretację wyników pomiaru uzyskuje się w przypadku stosowania wiązki odniesienia z płaskim czołem falowym. Gdy obie wiązki propagują się wzdłuż osi z, rozkład intensywności w płaszczyźnie detekcji, z = 0, przedstawia wzór ( x,y) = 1+ exp{ iϕ( x,y) } = [ 1+ exp{ iϕ( x,y) }][ 1+ exp{ iϕ( x,y) }] = [ 1+ cosϕ( x,y) ] I Interferogram stanowi warstwicową mapę zaburzenia fazowego φ(x,y) wprowadzonego przez badany obiekt. Odległość między sąsiednimi prążkami (warstwicami) odpowiada różnicy fazy i drogi optycznej równej, odpowiednio, π i λ. Niech teraz wiązka przedmiotowa propaguje się nadal wzdłuż osi z, a wiązka odniesienia pada pod niewielkim kątem θ względem tej osi w płaszczyźnie x,z, rys. poniżej (I.1.14) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

25 ϕ(x,y) x R θ 1 P Schemat superpozycji wiązki przedmiotowej P propagującej się wzdłuż osi z z płaską falą odniesienia R padającą na płaszczyznę detekcji pod kątem θ. Rozkład intensywności w płaszczyźnie z = 0 wyznacza się ze wzoru I π λ ( x,y) = exp i xsinθ + exp{ iϕ( x,y) } = 1+ cos xsinθ ϕ( x,y) = 1+ cos π λ/sinθ x ϕ ( x,y) π λ, (I.1.15) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

26 W szczególnym przypadku interferencji wiązek o płaskich czołach falowych, tzn. φ (x,y) = 0, otrzymuje się prostoliniowe prążki interferencyjne równoległe do osi y. Są to tzw. prążki odniesienia lub prążki nośne. Ich okres (odległość międzyprążkowa) wynosi λ/sinθ. Podstawiając φ(x,y) = (π/λ) OPD(x,y) otrzymujemy π ( x,y) = 1+ cos [ xsinθ ODP( x, y) ] I λ, (I.1.16) czyli w przypadku kodowania informacji fazowej z wykorzystaniem pochylonej wiązki odniesienia otrzymuje się prążki o lokalnym odstępstwie od prostoliniowości proporcjonalnym do różnicy dróg optycznych wprowadzanej przez obiekt badany. Podsumowując, w przypadku detekcji w polu jednorodnym informacja o fazie φ(x,y) obiektu jest kodowana w postaci zmian intensywności w odniesieniu do jednorodnego rozkładu intensywności. Natomiast w przypadku detekcji w polu prążkowym (z częstością nośną sinθ/λ) informacja fazowa kodowana jest jako odstępstwo prążków od prostoliniowości. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

27 Prostoliniowe prążki odniesienia stosuje się do analizy rozkładu fazy we współrzędnych prostokątnych. W przypadku obiektów z obrotową osią symetrii, analizę we współrzędnych biegunowych ułatwiają radialne prążki odniesienia (równoodległe kątowo, rozbiegające się od środka interferogramu pokrywającego się z osią optyczną; prążki te przypominają tzw. gwiazdę Siemensa) oraz równoodległe prążki kołowe. Pierwsze z nich otrzymuje się w wyniku interferencji fali płaskiej z wiązką o helikoidalnym czole falowym, a drugie z wiązką o stożkowym czole falowym. Otrzymanie wiązek odniesienia o takich czołach falowych wymaga stosowania stożkowego aksikonu do generacji fali stożkowej lub koherentnej filtracji hologramu syntetycznego do generacji obydwu kształtów czół falowych. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

28 . Interferometria z wykorzystaniem przesuniętej repliki wiązki przedmiotowej Aby uniknąć konieczności wytwarzania wiązki odniesienia o idealnie płaskim lub sferycznym czole falowym (najczęściej stosowane kształty czół falowych wiązki odniesienia) opracowano metodę interferencji dwuwiązkowej, w której wiązka niosąca informację o badanym obiekcie interferuje z własną repliką odpowiednio przemieszczoną w płaszczyźnie (x,y) prostopadłej do kierunku propagacji. Najczęściej spotyka się liniowe (poprzeczne) przemieszczenie repliki względem wiązki pierwotnej. Ta metoda interferencji dwuwiązkowej nosi nazwę interferencji z poprzecznym rozdwojeniem czoła fali lub interferencji różniczkowej. Niech interferujące wiązki będą przesunięte w płaszczyźnie detekcji o x/ i x/ wzdłuż osi x. Rozkład intensywności w interferogramie (przypadek detekcji w jednorodnym polu prążkowym) opisuje wzór x x ( x,y) = exp iϕ x,y + exp iϕ x+,y = 1+ cos( x) I ( x,y) ϕ x, (I.1.17) otrzymany przy założeniu ϕ x,y ϕ( x,y) =ϕ( x x,y) + x x, (I.1.18) które jest prawdziwe przy wolnych zmianach funkcji φ(x,y) oraz małym przemieszczeniu x czół falowych. ( ) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

29 I Widzimy, że interferometria z przesuniętą repliką wiązki przedmiotowej koduje, przy spełnieniu wspomnianych założeń, informację o pierwszej pochodnej rozkładu fazy w obiekcie badanym. Stąd też stosowana czasami nazwa interferometrii różniczkowej. Samą funkcję rozkładu fazy uzyskuje się przez całkowanie. Należy zwrócić uwagę, że wartość pochodnej ϕ(x,y)/ x jest uśredniona w przedziale x. Przy zwiększeniu wartości x konieczne jest uwzględnienie wyższych pochodnych rozwinięcia funkcji ϕ(x,y) w szereg Taylora. Detekcję w polu prążkowym otrzymuje się podobnie jak w przypadku interferometrii z wiązką odniesienia przez wzajemne pochylenie wiązek. Należy jednakże pamiętać, aby podczas pochylania wiązek nie spowodować zmiany wielkości rozsunięcia czół falowych. Druga metoda otrzymywania prostoliniowych prążków odniesienia polega na wprowadzeniu przeogniskowania (sferycznego czoła falowego) do wiązki przedmiotowej. Mamy teraz, wzór (I.1.19) x x R + y x x x+ R ( x,y) = exp i + ϕ x,y + exp i + ϕ x+,y = 1+ cos ( x) + y ( x,y) ( x) (I.1.19) gdzie zastosowano przyosiowe, paraboliczne przybliżenie sferycznego czoła falowego o promieniu x ϕ x R x, Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

30 Prostoliniowe prążki odniesienia (funkcja liniowa odpowiadająca pochodnej funkcji kwadratowej zmiennej względem x) są zdeformowane proporcjonalnie do lokalnej wartości pierwszej pochodnej informacji fazowej φ(x,y). Powyższe rozważania dotyczyły generowania pochodnej informacji fazowej wzdłuż kierunku x lub y, ogólniej, w dowolnym kierunku we współrzędnych prostokątnych. Pochodną wzdłuż promienia r = (x + y ) 1/, tzn. φ(r)/ r, realizuje się przez zróżnicowanie powiększenia poprzecznego przekrojów wiązek w płaszczyźnie (x,y) Pochodną kątową ( po azymucie ) generuje się przez wzajemne przemieszczenie kątowe wiązek wokół osi z. Interferometria różniczkowa ma duże znaczenie w zastosowaniach inżynierskich. Wynika to z jej małej czułości na zakłócenia zewnętrzne dzięki nieznacznej separacji wiązek w przestrzeni wpływ zakłóceń jest bardzo zbliżony dla obu wiązek i jest redukowany w procesie interferencji. Dodatkowo, pewne zastosowania wymagają właśnie informacji o pierwszej pochodnej wielkości badanej. Jako przykład służyć może rozkład odkształceń w obciążonym obiekcie mechanicznym lub aberracja poprzeczna badanego układu optycznego. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

31 3. Interferometria z wykorzystaniem wiązek sprzężonych Dwie wiązki niosące sprzężoną informację o rozkładzie fazowym φ(x,y) i propagujące się wzdłuż osi z dają w wyniku interferencji rozkład intensywności opisany wzorem exp i { ϕ( x,y) } + exp{ iϕ( x,y) } = [ 1+ cosϕ( x,y) ] (I.1.0) Interferometria tego typu pozwala więc na uzyskanie zdwojonej informacji o rozkładzie fazy obiektu w porównaniu z interferencją tej samej wiązki przedmiotowej z wiązką odniesienia o płaskim czole falowym. Z interferencją wiązek sprzężonych mamy do czynienia w przypadku superpozycji dwóch symetrycznych (przeciwnego znaku) rzędów dyfrakcyjnych hologramu syntetycznego lub siatki dyfrakcyjnej. Rzędy dyfrakcyjne n i n niosą wzajemnie sprzężoną informację fazową zakodowaną w postaci odstępstwa linii struktury dyfrakcyjnej od prostoliniowości. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

32 Zdwojenie czułości kodowania z wykorzystaniem wiązek sprzężonych uzyskuje się zarówno w przypadku detekcji w jednorodnym polu prążkowym jak i detekcji z wprowadzonymi prążkami odniesienia. Warto w tym miejscu zasygnalizować rozluźnione wymaganie na dokładne nałożenie wiązek na siebie w przestrzeni. W przypadku wystąpienia przesunięcia poprzecznego między wiązkami (detekcja w jednorodnym polu prążkowym) otrzymuje się, wzór (I.1.1), x x exp iϕ x,y + exp iϕ x+,y = 1+ cos ϕ ( x,y) ( x,y) (I.1.1) Tak więc interferencja dwóch wiązek niosących wzajemnie sprzężoną informację fazową, ale przesuniętych poprzecznie względem siebie, daje rozkład intensywności, w którym zakodowana jest zdwojona informacja o samej funkcji fazy φ(x,y), oraz druga pochodna tej funkcji. Ten drugi składnik, w przypadku spełnienia przybliżenia dotyczącego wolnozmienności funkcji i małego przesunięcia poprzecznego x można pominąć. x + = 1+ cos ϕ x ϕ x. x +ϕ x+ x Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

33 Interferencyjne kodowanie informacji fazowej z zastosowaniem dwóch długości fali promieniowania W dotychczas omówionych układach interferencyjnych do rejestracji informacji o obiekcie fazowym wykorzystywano czasowo i przestrzennie koherentne źródło światła generujące promieniowanie o długość fali λ. Jednakże istnieją sytuacje, w których stosowanie jednej długości fali nie pozwala na rozwiązanie pewnych zagadnień. Przykładowo, można tu wymienić dwa zagadnienia metrologiczne: zmniejszenie czułości (rozdzielczości) metody w celu zwiększenia zakresu pomiarowego oraz zwiększenie dokładności pomiaru. Okazuje się, że w takich przypadkach pomocne jest stosowanie promieniowania z dwiema lub większą liczbą długości fal. Służą one do tworzenia interferogramów dla każdej długości fali oddzielnie, lub interferogram tworzony jest z wykorzystaniem częstotliwości różnicowej. Poniżej przedstawione zostaną zasady interferencyjnego kodowania informacji fazowej z zastosowaniem dwóch długości fali, z podkreśleniem sposobu akwizycji informacji. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

34 Interferometria z zastosowaniem dwóch długości fali promieniowania w celu zwiększenia zakresu pomiarowego Wspólną cechą interferencyjnego kodowania fazy jest porównanie rozkładu fazy w wiązce przedmiotowej z rozkładem fazy drugiej wiązki: wiązki odniesienia, przesuniętej repliki wiązki przedmiotowej lub wiązki sprzężonej. To porównanie odpowiada matematycznej operacji odejmowania zespolonych amplitud obu wiązek. Zajmijmy się przypadkiem dużych zmian fazy wprowadzanych przez obiekt badany. Otrzymywane prążki interferencyjne mogą okazać się zbyt gęste dla oka lub matrycy CCD. Pewnym rozwiązaniem jest zastosowanie interferometrii różniczkowej, ale wymaga ona operacji całkowania w celu uzyskania informacji o rozkładzie fazy. W przypadku interferometrii z wiązką odniesienia można zastosować promieniowanie o większej długości fali, np. promieniowanie lasera CO, λ = 10.6 µm, zamiast promieniowania lasera He-Ne, λ = µm. Ta prawie dwudziestokrotna różnica długości fali spowoduje prawie dwudziestokrotne zmniejszenie czułości metody, a więc i liczby otrzymywanych prążków interferencyjnych. Odpowiednio wzrasta zakres pomiarowy. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

35 Inne ciekawe podejście polega na wytworzeniu dwóch interferogramów tego samego obiektu fazowego z zastosowaniem dwóch różnych długości fali promieniowania, a następnie na ich porównaniu. Jak wykażemy niżej, technika ta powoduje również zmniejszenie czułości pomiaru metodą z wiązką odniesienia przez wytworzenie większej efektywnej długości fali promieniowania. Rozkłady intensywności pierwszego i drugiego interferogramu z częstością nośną, rejestrowane za pomocą promieniowania o długościach fali λ 1 i λ, mają postać Iλ 1, λ ( x,y) = 1+ cos x ϕ ( x, y) 1, π /sinθ (I.1.) Możliwa jest multiplikatywna lub addytywna superpozycja powyższych rozkładów intensywności. Pierwszą z nich realizuje się metodą prążków mory. Iloczyn rozkładów intensywności I λ1 i I λ opisuje wzór (I.1.3) 1, 1,. I λ 1 I λ = π 4+ 4cos λ1/sinθ π + cos λ1/sinθ 1 1 x ϕ x ϕ 1 1 ( x,y) + 4cos x ϕ ( x,y) λ ( x,y) cos x ϕ ( x,y) λ π /sinθ π /sinθ. (I.1.3) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

36 Stosując dolnoprzepustową filtrację częstości przestrzennych otrzymujemy π λ1/sinθ ( x,y) = 4+ cos x ϕ ( x,y) x ϕ ( x, y) λ π /sinθ Iλ ekw 1 1. (I.1.4) W przypadku tego samego kąta padania wiązek odniesienia θ = θ 1 = θ rozkład fazy między wiązką przedmiotową i wiązką odniesienia jest taki sam, tzn. xsinθ1 OPD1( x,y) = xsinθ OPD( x,y) (I.1.5) Otrzymujemy więc I λ ekw = 4+ cos = 4+ cos [ xsinθ OPD( x,y) ] λ λ λ λ 1 [ xsin OPD( x,y) ] π, (I.1.6) gdzie, jak poprzednio, OPD oznacza różnicę dróg optycznych wprowadzaną przez obiekt badany. Z powyższych wzorów wynika, że prążki mory iloczynowej odpowiadają prążkom interferencyjnym uzyskiwanym w interferometrze z wiązką odniesienia przy zastosowaniu ekwiwalentnej długości fali λ ekw = λ 1 λ / (λ 1 λ ). Metoda zapewnia szeroki zakres czułości z wykorzystaniem lasera argonowego generującego kilka długości fali. π λ 1 1 π λ Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

37 Opisana wyżej superpozycja iloczynowa, w której jeden z rejestrowanych interferogramów stanowi strukturę odniesienia nie daje możliwości pracy na bieżąco (w czasie rzeczywistym). Jakakolwiek zmiana położenia badanego obiektu lub interferogramu odniesienia podczas badań prowadzi do niepożądanej zmiany wyniku pomiaru. Wersję kodowania na bieżąco realizuje się przez jednoczesne tworzenie interferogramów w interferometrze. Rozkłady intensywności interferogramów dodają się (wiązki o różnych długościach fali promieniowania są wzajemnie niekoherentne) i wynikowy rozkład intensywności ma postać, wzór (I.1.7) Iλ + I 1 λ λ + λ = 4+ 4cos λ1λ 1 [ xsinθ -OPD( x,y) ] π cos [ xsinθ -OPD( x,y) ] (I.1.7) Omawiana superpozycja odpowiada technice kodowania informacji metodą modulacji kontrastu częstości nośnej, w odróżnieniu od poprzednio opisanej metody modulacji intensywności. W wyniku skanowania obrazu interferencyjnego rozkład intensywności zostaje zamieniony na sygnał elektryczny. Po odjęciu składowej stałej, sygnał podnosi się do kwadratu i stosuje się filtrację dolnoprzepustową. Niskoczęstotliwościowy sygnał modulujący opisuje wzór (I.1.8) I Tak jak poprzednio, ekwiwalentna długość fali promieniowania wynosi λ ekw = λ 1 λ / (λ 1 λ ). λ ekw λ1 λ π λ λ λ λ1 = 4+ 4cos π y λ1λ (I.1.8) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski 1 [ xsinθ OPD( x, )]

38 Interferometria heterodynowa W metodzie heterodynowej częstotliwości interferujących wiązek są nieznacznie przesunięte względem siebie. Przesunięcie częstotliwości uzyskuje się przez wstawienie w jedną lub obydwie gałęzie interferometru obrotowego elementu polaryzacyjnego (np. płytki ćwierćfalowej λ/4 w zespole z nieruchomą płytką λ/4), obrotowej siatki dyfrakcyjnej, modulatora elektrooptycznego lub modulatora akustooptycznego. Pole elektryczne generowane przez wiązki o częstotliwościach ν 1 i ν, w dowolnym punkcie (x,y) płaszczyzny detekcji, opisuje wzór oraz (I.1.9) E x, y,t = A x,y exp i π νt ϕ x,y (I.1.30) gdzie A 1 (x,y) i A (x,y) oznaczają części rzeczywiste amplitud wiązek, a φ 1 (x,y) i φ (x,y) oznaczają fazę wiązek. Intensywność jest równa ( x,y,t) = E1( x,y,t) + E( x,y,t) = A1( x,y) + A( x,y) + A ( x,y) A ( x,y) cos π( ν ν ) t ϕ x, I gdzie φ(x,y) = φ (x,y) φ 1 (x,y). E ( y,t) = A ( x,y) exp{ i[ π ν t ( x,y) ]} 1 x, 1 1 ϕ1 ( ) ( ) {[ ( )]} 1 [ ( y) ], 1 (I.1.31) Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

39 Wartość intensywności w rozpatrywanym punkcie płaszczyzny detekcji zmienia się sinusoidalnie w czasie z częstotliwością ν 1 ν, a faza sygnału jest proporcjonalna do różnicy faz między dwiema interferującymi wiązkami. Jest ona mierzona elektronicznie względem sygnału odniesienia uzyskiwanego albo z drugiego detektora umieszczonego w punkcie, w którym różnica faz między wiązkami nie ulega zmianie, lub z generatora sterującego modulatorem przesuwnikiem częstotliwości. Z uwagi na prowadzenie pomiaru w dziedzinie czasu metoda umożliwia uzyskanie bardzo wysokich dokładności pomiaru rozkładu fazy lub zmian drogi optycznej wprowadzanych przez badany obiekt ( nawet rzędu kilkulub kilkunastotysięcznych części długości fali). Metoda interferometrii heterodynowej jest metodą z punktową akwizycją danych. Rozkład fazy odpowiadający badanemu obiektowi otrzymuje się w wyniku mechanicznego skanowania płaszczyzny interferogramu detektorem punktowym. Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski

40 Najczęściej stosowane polowe metody interferometryczne z jednoczesną akwizycją i równoległym przetwarzaniem informacji Nazwa metody lub grupy metod Interferometria obiektów nie rozpraszających światła: - Interferometria z wiązką odniesienia - Interferometria z przesuniętą repliką wiązki przedmiotowej - Interferometria z wiązkami sprzężonymi (w tym interferometria siatkowa) Interferometria obiektów rozpraszających światło - interferometria holograficzna (optyczna i cyfrowa), w tym układy z wiązką odniesienia, przesuniętą repliką wiązki przedmiotowej i wiązką sprzężoną - elektroniczna interferometria plamkowa (ang. ESPI), w tym układy z wiązką odniesienia, przesuniętą repliką wiązki przedmiotowej (ang. ESPSI) oraz wiązką sprzężoną - metoda koherentnej i niekoherentnej projekcji prążków Właściwości badanego obiektu Obiekt transmitujący światło oraz obiekt z powierzchnią zwierciadlaną (w tym odbiciową siatką dyfrakcyjną) Obiekt przestrzenny z powierzchnią chropowatą. Pomiar przemieszczeń w płaszczyźnie wymaga płaskiej powierzchni obiektu. Wielkość wyznaczana (mierzona pośrednio) - Grubość, współczynnik załamania, kształt frontu falowego i elementów optycznych - Gradient zmian wielkości wymieniowych wyżej - Kształt frontu falowego i elementów optycznych, przemieszczenia w płaszczyźnie (przyp. interferometrii siatkowej) - Przemieszczenia u, v i w, amplituda i faza drgań, przestrzenny kształt obiektu, współczynnik załamania, itp. oraz pochodne tych wielkości (w zależności od metody) - Jak wyżej - Przestrzenny kształt obiektu Optyka falowa cz. : Interferencja Interferometria K.Patorski