Analiza wariancji klasyfikacja prosta

Transkrypt

1 Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. Anlz wrnc klsyfkc prost Dne o przeżywlnośc chrząszczy hodownych hodowlnych n czterech różnych pożywkch. Kżd pożywk stnow grupę po 5 pomrów. Interesue ns odpowedz n pytne, czy skłd pożywk m wpływ przeżywlnośc chrząszczy. Jest model to I nlzy wrnc, ponewż czynnk różncuący grupy (skłd pożywk) est czynnkem powtrzlnym znduącym sę pod kontrolą eksperymenttor, ne zmenną losową. Sposób przeprowdzen oblczeń est tk sm dl modelu I II. Poleg on n oszcownu wrnc mędzy grupm wewnątrz grup. MP ,4 MP ,4 MP ,8 MPR ,0 Dl tych dnych będzemy testowć hpotezę zerową zkłdącą, że zróżncowne przeżywlnośc mędzy grupm ne est wększe nż wewnątrz grup, czyl medzy różnym pożywkm ne m różncy w przeżywlnośc chrząszczy. Zgodne z konwencą wskźnkem oznczymy -ty pomr w -te grupe. W ten sposób drug pomr w trzece grupe (MP) oznczmy symbolem x,3 =6. W nszych dnych są =4 grupy, w kżde grupe mmy =5 pomrów, ztem we wszystkch grupch est łączne =0 pomrów. Aby otrzymć ogólną (cłkowtą) sumę kwdrtów odchyleń posłużymy sę wzorem: Perwszy skłdnk wzoru (1) otrzymuemy podnosząc do kwdrtu kżdy z pomrów, nstępne sumuąc wszystke wynk (58) (60)... (66) Ztem cłkowt (ogóln) sum kwdrtów odchyleń wynos ,45=514,55 1 I II III IV V I II III IV V 5 MP MP MP MPR (1) Drug skłdnk wzoru (1), czyl wyrz poprwkowy oblczmy sumuąc wszystke pomry, podnosząc e do kwdrtu, nstępne dzeląc przez lczbę wszystkch pomrów. / ( ) / 0 (193) / / ,45

2 Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. Mędzygrupow sum kwdrtów odchyleń est lczon według wzoru: () Drug skłdnk tego wzoru est dentyczny k w wzorze (1) do oblczen cłkowte sumy kwdrtów (est to wyrz poprwkowy), zostł wcześne wylczony wynos 8359,45. Perwszy wyrz wzoru () otrzymuemy sumuąc wszystke pomry dl kżde grupy osobno. stępne kżdą z tych sum podnosmy do kwdrtu dzelmy przez lczbę pomrów, n podstwe których zostł oblczon. Jeżel lczb pomrów w kżde grupe est różn, to zgodne ze wzorem () dl kżde grupy dzelmy przez lczbę pomrów w te grupe 1 97, 34, 3 39, / (97) / 5 (34) / 5 (39) / 5 (35) / ,8 I II III IV V / MP ,8 MP ,8 MP , MPR ,0 Zgodne ze wzorem () mędzygrupow sum kwdrtów odchyleń wynos: 83807,8-8359,45=15,35 Sum kwdrtów odchyleń (SK) równ sę: Ogóln SK = mędzygrupow SK + wewnątrzgrupow SK ,8 Wewnątrzgrupową sum kwdrtów odchyleń (skłdnk błędu) oblcz sę nstępuąco: Wewnątrzgrupow SK = Ogóln SK - mędzygrupow SK Czyl dl przykłdu: 514,55 15,35=99,0 Lczb stopn swobody dl cłkowte SK wynos: df=-1 = 0-1=19, dl mędzygrupowe SK: df=-1 = 4-1=3 dl wewnątrzgrupowe SK: df = ( 1) (5 1) (5 1) (5 1) (5 1) 16 Wzór ten pozwl oblczyć wewnątrzgrupow lczbę stopn swobody nwet, gdy lczb pomrów w poszczególnych grupch est różn. Cłkowt df = mędzygrupow df + wewnątrzgrupow df stępne uzyskne sumy kwdrtów (SK) stopne swobody (df) zbermy w tbelce

3 Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. Oszcowne wrnc mędzy grupm wewnątrz grup (newyśnone) otrzymuemy dzeląc sumy kwdrtów odchyleń przez odpowdące m stopne swobody, odpowedno 15,53/3=71,783 99,0/16=18,700 Tbel 1. Sumy kwdrtów (SK), stopne swobody (df), oszcowne wrnc stosunek F oszcown wrnc mędzygrupowe (medzy pożywkm) do oszcown wrnc wewnątrzgrupowe (błędu) dl przykłdu. Źródł zmennośc SK df Cłkowt (ogóln) Mędzy pożywkm Błąd 514,55 15,35 99, Oszcowne wrnc 71,783 18,700 F 3,839 Oszcowne wrnc ogólne w nlze wrnc możn pomnąć, ponewż nteresue ns stnene zmennośc mędzy grupm (pożywkm). Aby ustlć, czy zróżncowne mędzy grupm est sttystyczne stotne musmy oblczyć stosunek: F = wrnc mędzy grupm/wrnc w grupch Co w przykłdze de F=71,783/18,700=3,839 W przypdku, gdy oszcowne wrnc mędzy grupm est mnesze nż w grupch, czyl gdy F 1, to możemy uznć, ze zebrne dne ne pozwlą n stwerdzene zróżncown mędzy grupm. W przecwnym rze nleży dokonć porównn z tbelą G w które podno wrtośc krytyczne rozkłdu F. Tbel est tk skonstruown, że w główce tblcy podn est lczb stopn swobody dl wększego oszcown wrnc (czyl mędzy grupm), w perwsze kolumne dl mneszego (czyl wewnątrz grup). Sprwdzmy nperw wrtośc krytyczne dl pozomu stotnośc 0,05. Dl df=3 (wększ wrnc) df=16 (mnesz wrnc) otrzymuemy krytyczny stosunek F 0,05; 3; 16 =3,4. Ponewż otrzymny z oblczeń stosunek F=3,839 est wększy od krytycznego, to odrzucmy hpotezę zerową zkłdącą, że poszczególne grupy ne różną sę mędzy sobą. Skłd pożywk m ztem wpływ n przeżywlność chrząszczy. Odrzucąc te hpotezę, kceptuemy prwdopodobeństwo popełnen błędu I rodzu P<0,05. Gdyby odczytny z tblcy G krytyczny stosunek F 0,05; 3; 16 =3,4 był wększy od stosunku oblczonego, wówczs nleżłoby przyąć hpotezę zerow. Po odrzucenu hpotezy n pozome stotnośc 0,05 nleżłoby sprwdzć, czy ne d sę e odrzucć z mneszym błędem I rodzu. Dltego też sprwdzmy wrtość krytyczną stosunku F dl pozomu stotnośc 0,05. Wynos on F 0,05; 3; 16 =4,08, czyl est wyższ nż otrzymny stosunek F. Hpotezy zerowe przy tym pozome stotnośc ne możn odrzucć. Wynk z tego, że hpotezę zerową nleży odrzucć n pozome stotnośc 0,05 (?0,05), zś prwdopodobeństw popełnen błędu I rodzu przy e odrzucenu zwer sę w przedzle 0,05<P<0,05. Z pomocą nlzy wrnc klsyfkc prost możn testowć hpotezę zerow o brku różnc mędzy dwom tylko grupm. Tk test est formlne dentyczny z testem t Student różnc mędzy średnm, gdy ne mmy do czynen z prm zwąznym przy złożenu Z oznczenem tym spotkmy sę eszcze przy oblcznu IR-u 3

4 Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. ednorodnośc wrnc. Gdybyśmy te sme dne sprwdzl obom testm, to medzy otrzymnym stosunkem F otrzymną sttystyk zwązek t =F. Możn ztem uwżć test t Student z speclny przypdek stosown nlzy wrnc do porównywn dwóch tylko grup. Test posteror Tukey (metod T) Poszukuemy tzw. nmnesze stotne różncy (IR) defnowne ko: IR=(wrtość krytyczn) (błąd stndrdowy) Wrtość krytyczn to rozstęp studentyzowny, który podny est w tbel H 1. Rozstępy te (Q 0,05; ; df ) podwny est dl lczby zbegów (grup) lczby stopn swobody df (lczby stopn swobody df =-, gdze lczb wszystkch pomrów) przy złożonym pozome stotnośc 0,05. IR oblczmy n podstwe wrnc wewnątrz grup (zbegów), czyl wrnc newyśnone zwne też skłdnkem błędu. Posługuemy sę ztem stopnm swobody oszcownem wrnc newyśnone (wewnątrzgrupowe). Test Tukey przeprowdzmy operąc sę n dnych o przeżywlnośc chrząszczy n różnych pożywkch. Dl pozomu stotnośc 0,05, lczby zbegów =4 df=16 otrzymuemy Q 0,05; 4; 16 =4,05. Błąd stndrdowy s oblczmy według wzoru s s x, (3) n gdze s ozncz oszcowne wrnc newyśnone czyl skłdnk błędu, zś n to lczb powtórzeń w ednym zbegu. W nszym przykłdze: Skłdnk s zostł uż oblczony zmeszczony w tbel 1. IR lczymy według wzoru IR Q0,05; ; df s,(4) W rozptrywnym przykłdze s 18,7 s x 1,934 n 5 IR=4,05 1,934=7,837 Dl kżdego zbegu (grupy) oblczmy średną rytmetyczną z pomrów orz dolny d górny g zkres kżde średne dl porównn ze średnm pozostłych zbegów. Zkresy te oblczmy ze wzorów d IR / (5) g IR / x 1 Wrtość krytyczne są dostępne też w nternece. Szczególne polecm ten perwszy lnk

5 Anlz wrnc Oprcowno n podstwe: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. W nszym przykłdze: MP0 MP5 MP MPR 59,4 68,4 65,8 65,0 d 55,48 64,48 61,88 61,08 g 63,3 7,3 69,7 68,9 Średne ch zkresy możn przedstwć grfczne MP5 MP MPR 60 MP Jeżel zkresy średnch z dwóch zbegów zchodzą n sebe, to znczy, że mędzy tym zbegm ne m sttystyczne stotnych różnc, eżel ne zchodzą, to znczy, że są sttystyczne stotne różnce trzeb odrzucć hpotezę zerową o brku różnc w porównywne prze zbegów. Innym słowy, hpotezę zerową dl dwóch średnch odrzucmy wówczs, gdy IR est mnesz nżel różnc medzy tym średnm. Oprócz grfcznego przedstwen tych wynków możn przedstwć wynk porównn kżdego zbegu z kżdym. Zbeg nleży ułożyć według wzrstące średne. By dokonć nterpretc nleży odąć od sebe poszczególne średne dl grup. Jeżel: 1. IR < różnc średnch odrzucmy H 0, są różnce sttystyczne stotne. IR różnc średnch ne m różnc Dl nszego przykłdu MP0 MPR MP MP5 59,4 65,0 65,8 68,4 MP MPR - - MP - Z tego porównn wyrźne wdć, że różnce w przeżywlnośc są sttystyczne stotne przy porównywnu wynków zbegu MP0 z zbegem MP5. Porównn pozostłych 5 pr ne pozwlą n odrzucene hpotezy zerowe, ponewż, ch zkresy zchodzą n sebe. Ksążk godne uwg: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw. Zelńsk R Tblce sttystyczne. PW Wrszw. 5

6 Anlz wrnc - krótk kurs korzystn z komputer Przedstwone powyże oblczen możn wykonć korzystąc nrzędz znstlownych w progrme Mcrosoft Excell. Ponewż to nrzędze ne est stndrdowo znstlowne nleży to zrobć smemu. W tym celu po uruchomenu progrmu nleży weść w opce rzędz, nstępne wybrć Dodtk. W okenku, które sę pow nleży zznczyć perwsze trzy pozyce: Aktulzowne łączy dodtków, Anlyss ToolPk, orz Anlyss ToolPk-VBA. Wybór nleży potwerdzć poprzez ncśnęce przycsku OK. Terz możn przystąpć do wprowdzen dnych. Dne mogą być wprowdzne w postc werszy lub kolumn. W nszym przykłdze dne są podne w werszch. MP MP MP MPR Po wprowdzenu dnych ponowne rozw sę menu rzędz, z nego wyber sę opce Anlz Dnych. W okenku, które sę pow wyber sę Anlz wrnc: ednoczynnkow. stępne pow sę kolene okno dlogowe. Jko Zkres weścowy pode sę cłość nszych dnych (włączne z nzwm), nstępne nleży wybrć sposób w k dne są podwne: wersze lbo kolumny (w nszym przykłdze wersze). Ponewż zznczylśmy w zkrese weścowym kolumnę z nzwm to w okne dlogowym też to nleży to zznczyć. Pozom stotnośc wybermy, w zleżnośc od potrzeb (zwykle 0,05 lub 0,01). stępne potwerdzmy wybór przez przycśnęce przycsku OK. Ponewż nc ne zmenlśmy w opcch wyśc to wynk pow sę n nowym rkuszu w forme tbel. Wygląd to nstępuąco: Anlz wrnc: ednoczynnkow PODSUMOWAIE Grupy Lcznk Sum Średn Wrnc MP ,4 30,8 MP ,4 19,3 MP ,8 1,7 MPR AALIZA WARIACJI Źródło wrnc SS df MS F Wrtość-p Test F Pomędzy grupm 15, , , , ,38867 W obrębe grup 99, 16 18,7 Rzem 514,55 19 Proszę zwrócć uwgę, że w tbel powyże w kolumne Test F podno odpowedne krytyczne wrtośc F (stron 3) przy złożonym pozome stotnośc (w tym przypdku 0,05), co unezleżn ns od tbel G. Dl porównn złączm ponże tbelkę z wynkm, którą uprzedno sm sporządzlśmy. Wytłuszczone dne są nezbędne do lczen IR-u: Źródł zmennośc SK df Cłkowt (ogóln) Mędzy pożywkm Błąd 514,55 15,35 99, Oszcowne wrnc 71,783 18,700 F 3,839

7 Anlz wrnc - krótk kurs korzystn z komputer Welkość Wrtość-p możn oblczyć korzystąc z funkc Rozkłd F wpsuąc: to wrtość, dl które t funkc m być oblczon czyl F, Stopne_swobody1 to lcznk stopn swobody (df pomędzy grupm), Stopne_swobody to mnownk stopn swobody (df w obrębe grup). W nszym przypdku to odpowedno 3,838681, Z kole welkość Test F możn oblczyć też używąc funkc Rozkłd F odwrócony wpsuąc: Prwdopodobeństwo to prwdopodobeństwo zwązne ze skumulownym rozkłdem F-Snedecor czyl pozom stotnośc, Stopne_swobody1 to lcznk stopn swobody (df pomędzy grupm), Stopne_swobody to mnownk stopn swobody (df w obrębe grup). W nszym przypdku będze to odpowedno 0,05 orz df (czyl 3 16). W przypdku korzystn z pketu Open Offce sprw sę trochę komplkue, gdyż ne est dostępn funkc, który by równe łtwo dokonywł wszystkch oblczeń. leży wykorzystć funkcę: =ODCH.KWADRATOWE(xx:yy) w celu oblczen wewnątrzgrupowe SK (stron ). Jko zkres funkc, czyl xx:yy podemy dne dl poszczególnych grup. stępne sumuemy wynk uzyskne dl poszczególnych grup uzyskuemy wewnątrzgrupową SK. Terz nleży tylko, tk k n strone 3, otrzymny wynk podzelć przez lczbę stopn swobody df (lczby stopn swobody df =-, gdze lczb wszystkch pomrów, - lczb zbegów (grup)). MP0 MP5 MP MPR Odchylene kwdrtowe 13, 77, 50,8 48 Sum odchyleń 99, =0 =4 df=16 Oszcowne wrnc mędzy grupm 18,7 Dlsze postępowne zostło uz omówone wcześne (stron 4). Przy oprcownu częśc dotyczące korzystn z Open Offce korzystłem z pomocy dr Jck Rożnowskego, z co estem mu serdeczne wdzęczny. 7

8 Anlz wrnc - krótk kurs korzystn z komputer W przypdku użyc progrmu STATISTICA dne nleży uporządkowć w nstępuący sposób: Rodz pożywk Ilość chrząszczy 1 MP0 58 MP MP MP MP0 6 6 MP MP MP MP MP MP 69 1 MP 6 13 MP MP MP MPR MPR MPR MPR 60 0 MPR 66 By przeprowdzć nlzę wrnc wybermy: Sttystyk AOVA ednoczynnkow AOVA. W powącym sę okne dlogowym ko predyktory koścowe wybermy kolumnę 1 (Rodz pożywk), ko lstę zmennych zleżnych kolumnę (Ilość chrząszczy). Ztwerdzmy wybór w kolenym okne mmy szereg możlwośc: Wszystke efekty SS Stopne - swobody MS F p Wyrz wolny 8359, , ,184 0, Rodz pożywk 15, ,78 3,839 0,03078 Błąd 99, ,70 Wygląd znomo. z kole tzw. IR możn oblczyć wyberąc koleno zkłdk Węce czynnków nstępne Post hoc. stępne nleży wybrć eden z dostępnych testów (sugerue zznczyć opcę ednorodne grupy wybrny pozom stotnośc). 8

9 Stron pochodz z: Łomnck A Wprowdzene do sttystyk dl przyrodnków. PW Wrszw