M21 Badanie mechanicznych układów drgających

Transkrypt

1 M Bnie mechnicznych ukłów rgjących Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest nie ruchu hrmonicznego n przykłzie whł fizycznego orz przyliŝenie pojęci rgń włsnych ukłu n moelowym przykłzie wheł symptycznych (ientyczne whł sprzęŝone; ukł o wóch stopnich swooy). Bn jest zleŝność okresu rgń whł fizycznego o wrtości momentu ezwłności orz wyznczne są okresy rgń normlnych i częstość unień w ruchu wóch jenkowych wheł sprzęŝonych. ZGDNIENI DO PRZYGOTOWNI - ruch hrmoniczny, wielkości chrkteryzujące ruch hrmoniczny (okres, częstość, mplitu, wychylenie), opis ruchu whł mtemtycznego przy młych wychylenich z połoŝeni równowgi - sił jko wektor, rozkł wektor n skłowe - efinicj momentu ezwłności, yskusj zleŝności momentu ezwłności o rozkłu msy wzglęem osi orotu - opis ruchu wheł sprzęŝonych l młych wychyleń z połoŝeni równowgi: rgni normlne, unieni WPROWDZENIE PRZYŚPIESZENIE, PRZYŚPIESZENIE ZIEMSKIE Przyśpieszenie mówi nm jk zmieni się prękość ruchu nego cił w czsie. Przyśpieszenie śrenie efiniujemy jko stosunek róŝnicy prękości początkowej i końcowej ( v=v k -v p ) o czsu t w jkim ciło się poruszło. ZleŜność tę moŝn zpisć wzorem: = v/t [] gzie: to przyspieszenie, v zmin prękości, t czs w jkim zszł zmin prękości. Przyśpieszenie przemiotu poruszjącego się zleŝy o wrtości siły jk wprwił przemiot w ruch, im większ wrtość siły tym większe przyspieszenie (zkłjąc, Ŝe ms jest stł). Oczywiście, jeśli sił ziłjąc n cił o róŝnej msie jest tk sm, przyśpieszenie cięŝszego cił jest mniejsze. Związek pomięzy przyspieszeniem siłą wyrzić moŝn z pomocą wzoru: F=m [] gzie: F to sił m to ms cił. Jest to II zs ynmiki Newton. Piłk rzucon pionowo o góry porusz się corz wolniej, gyŝ zwrot ziłjącej n nią siły cięŝkości jest przeciwny o zwrotu prękości z jką się porusz. Prękość w ruchu o góry mleje o osiągnięci wrtości zero po czym piłk zczyn spć W trkcie spni porusz się corz szyciej (przyśpiesz), poniewŝ zwrot siły cięŝkości (w ół; w kierunku ziemi) jest zgony z kierunkiem prękości spjącej piłki. N Ziemi n nej szerokości geogrficznej przyśpieszenie z jkim porusz się ciło w opisnym eksperymencie jest stłe

2 M i nzywne jest przyśpieszeniem ziemskim (g). W nszej szerokości geogrficznej wynosi ono 9,8 m/s. Przyśpieszenie ziemskie nie zleŝy o msy przyśpiesznego cił. ENERGI KINETYCZN, ENERGI POTENCJLN;ENERGI MECHNICZN KŜe poruszjące się ciło posi energię kinetyczną, któr zleŝy o jego msy i kwrtu prękości: E k = mv / [3] gzie E K to energi kinetyczn, m ms cił v to prękość cił. Z kolei energi potencjln chrkteryzuje zolność cił o wykonywni prcy. Energi potencjln cił ęącego po ziłniem siły grwitcji jest zleŝn o jego połoŝeni. W przyliŝeniu wyrzić moŝemy to z pomocą wzoru E p = mgh [4] gzie E P to energi potencjln, m ms cił, g przyśpieszenie ziemskie, h wysokość cił n połoŝeniem przyjętym umownie z h= 0. Energi mechniczn jest sumą energii kinetycznej i energii potencjlnej cił (lu ukłu cił). Gy siły zewnętrzne nie wykonują prcy n rozwŝnym ukłem cił, orz zniemy yssypcję energii (np. trcie, opór powietrz) to jego energi mechniczn nie uleg zminie (zs zchowni energii mechnicznej). RUCH HRMONICZNY ZSD ZCHOWNI ENERGII MECHNICZNEJ W RUCHU HRMONICZNYM KŜy z ns zetknął się z rozhuśtną huśtwką, poruszjącym się zwonem, rgjącymi strunmi gitry czy memrną ęn. Są to przykły ruchów okresowych. JeŜeli ciło w regulrnych ostępch czsu powrc o tego smego połoŝeni, ruch tki nzywmy ruchem okresowym. WŜną wielkością opisującą ruch okresowy jest jego częstotliwość, czyli licz pełnych cykli (np. wychyleń l whł) wykonywnych w ciągu kŝej sekuny. Częstotliwość oznczmy zwykle symolem f, jej jenostką w ukłzie SI jest herc (Hz) Hz= /s. Czs w jkim wykonywne jest jeno pełne rgnie nzywmy okresem T. Związek pomięzy częstotliwością okresem ruch wyrŝmy wzorem: T = [5]. f Interesującym przykłem ruchu okresowego jest ruch hrmoniczny, w którym sił powoując ten ruch skierown jest zwsze w kierunku połoŝeni równowgi, jej wrtość jest proporcjonln o wychyleni. mplituą nzywmy wrtość ezwzglęną mksymlnego wychyleni. I Prcowni Fizyczn 009

3 M Rys. Whło mtemtyczne. Szczególnym przypkiem ruchu hrmonicznego jest ruch whł. Punkt mterilny o msie m (czyli ciło o msie m i rzo młych rozmirch) zwieszony n nierozciągliwej nici o znikomej msie i ługości L, który porusz się (rg) w jenej płszczyźnie po wpływem siły cięŝkości nzywmy whłem mtemtycznym. Po wychyleniu o kąt θ ms m porusz się po łuku s (Rys. ). W chwili, gy whło jest ochylone o pionu o kąt θ, siłę cięŝkości F r, ziłjącą n msę m moŝemy rozłoŝyć n skłową ziłjącą wzłuŝ nici F r y (jest on równowŝon przez npręŝenie nici) i skłową o niej prostopłą F r x. Przyczyną ruchu whł jest ziłnie skłowej siły cięŝkości F r r x ( F x = mg sinθ ), któr skierown jest stycznie o toru ruchu. Jest on zwsze skierown w stronę połoŝeni równowgi i moŝn wykzć, Ŝe l młych wychyleń jej wrtość jest proporcjonln o wychyleni. Ruch whł mtemtycznego jest przykłem ruchu hrmonicznego. MoŜn pokzć, Ŝe w zkresie młych kątów (czyli wtey, gy ruch ten moŝn opisć jko ruch hrmoniczny) okres rgń whł mtemtycznego nie zleŝy ni o msy m ni o wychyleni początkowego (mplituy rgń) i wyrŝ się wzorem: T L = π. [6] g Drugą zsę ynmiki Newton (czyli m = F) moŝn l oscyltor hrmonicznego zpisć w trochę innej postci. Wiemy, Ŝe prękość v jest pierwszą pochoną połoŝeni cił (v = x/t ), ntomist przyśpieszenie jest pierwszą pochoną prękości (czyli = v/t). Z tego wynik, Ŝe przyśpieszenie jest rugą pochoną połoŝeni: ( = x/t ). Jenocześnie wiemy, Ŝe sił w ruchu hrmonicznym jest proporcjonln o wychyleni i przeciwnie o I Prcowni Fizyczn 009

4 M niego skierown (F = -kx). JeŜeli połączymy te wyrŝeni przy pomocy rugiej zsy ynmiki Newton, otrzymmy: m x/t = -kx. [7] WyrŜenie to, nzywne jest równniem oscyltor hrmonicznego. Spotkcie je jeszcze nie rz. Rozwiązniem tego równni jest wyrŝenie postci: x(t) = sin(ω 0 t)+bcos(ω 0 t), gzie mplituy, i B są pewnymi stłymi ω 0 = k/m jest częstością włsną whł. lterntywnym i równie orym sposoem zpisni rozwiązni jest x(t) = sin(ω 0 t +δ), gzie stłymi są mplitu orz fz δ. Łtwo zoczyć, Ŝe to są prwiłowe rozwiązni wstwijąc je po prostu o równni i sprwzjąc Ŝe lew stron równni równ się prwej. Pewnie się zstnwicie, jk to się zieje, Ŝe rz piszemy Ŝe częstość oscyltor jest równ ω 0 = k/m, czyli zleŝy o msy, ntomist wcześniej twierziliśmy, Ŝe okres whł mtemtycznego o msy nie zleŝy. Bez powni szczegółowego wyprowzeni, moŝemy powiezieć, Ŝe stł k w przypku whł mtemtycznego wynosi: k = mg/l, rolę wychyleni x pełni kąt wychyleni Θ. Dlczego tk jest, moŝn przeczytć w większości poręczników o fizyki, np. w [] i []. Rzeczywiste whło, nzywne zwykle whłem fizycznym, moŝe mieć skomplikowny rozkł msy. N Rys. przestwione zostło przykłowe whło fizyczne ochylone o pionu o kąt θ. Sił cięŝkości F r przyłoŝon jest w śroku cięŝkości C znjującym się w oległości h o osi orotu O. Rys.. Whło fizyczne MoŜn wykzć, Ŝe okres ruchu whł fizycznego wyrŝ się wzorem T = π I, mgh [8] gzie I jest momentem ezwłności. Energi oscyltor liniowego, czyli whł mtemtycznego i fizycznego, zmieni się wciąŝ z energii kinetycznej w potencjlną i z powrotem, poczs gy ich sum- energi mechniczn E oscyltor pozostje stł. Schemtycznie przestwi to Rys. 3. I Prcowni Fizyczn 009 3

5 M Rys. 3 Zmin energii kinetycznej w potencjlną l ukłu whło- Ziemi. WHDŁ SPRZĘśONE DRGNI NORMLNE, DUDNIENI RozwŜmy w ientyczne whł fizyczne, połączone spręŝyną, któr umoŝliwi przekz energii o jenego whł o rugiego (Rys. 4). Whł zwieszone są w tkiej oległości, Ŝe l połoŝeni równowgi spręŝyn nie jest rozciągnięt. Ogrniczymy się tutj o rgń o niewielkich wychylenich z połoŝeni równowgi, tk y moŝn je yło rozwŝć jko rgni hrmoniczne. Ukł tki nzywmy whłmi sprzęŝonymi. I Prcowni Fizyczn 009 4

6 M s l Rys. 4 Whł sprzęŝone Dw whł sprzęŝone są przykłem ukłu o wóch stopnich swooy, które opisć moŝemy wom zmiennymi niezleŝnymi: njwygoniej kątem wychyleni kŝego z wheł z połoŝeni równowgi. Ukł sprzęŝonych wheł chrkteryzuje się szczególnymi rozjmi rgń, zwnymi rgnimi włsnymi, ąź normlnymi. Drgnimi normlnymi nzywmy tki ruch wheł, w którym wszystkie whł rgją z tą smą częstością, wychyleni wykzują ustloną relcję fzową, np. wychyleni wheł są tkie sme. W ogólności tki ukł fizyczny m tyle rozjów rgń włsnych, ile jest zmiennych niezleŝnych opisujących jego ruch. Dowolne rgnie pojeynczego elementu ukłu moŝn opisć jko pewną komincję rgń normlnych, czyli ich superpozycję (złoŝenie). Dl wheł symptycznych (w ientyczne whł sprzęŝone), które są ukłem o wóch stopnich swooy, istnieją w rozje rgń normlnych. Ns interesuje, jk zoczyć te rgni w ruchu nszych wheł, opisywnym przez kąty wychyleni wheł z połoŝeni równowgi (zmienne ϕ i ϕ ; Rys. 4). Innymi słowy, chcemy wiezieć, jk wprwić w ruch w jenkowe whł sprzęŝone, y wykonywły I-sze lu II-gie rgnie normlne. Whł sprzęŝone wykonują I-sze rgnie normlne, gy kŝe z nich rg z częstością ω = ω0 ( ω 0 jest częstością rgń swoonych pojeynczego whł), przy czym w owolnej chwili ϕ = ϕ (whł rgją w zgonej fzie). Whł wykonują II-gie rgnie normlne, gy kŝe z nich rg z częstością ω spełnijącą równnie: ω = ω0 + k (k jest stłą chrkteryzującą ukł wheł) i w kŝej chwili ϕ = ϕ (whł rgją w przeciwnych fzch). W przypku, gy w rgjące jenkowe whł sprzęŝone nie wykonują rgń normlnych oserwujemy tzw. unieni, polegjące n okresowym wzmcniniu i wygszniu mplituy rgni wyjściowego. Dunieni są wynikiem złoŝeni (superpozycji) rgń normlnych tego ukłu. Ruch wheł jest opisny poniŝszymi równnimi: ϕ ( t) = ϕ ( t) = cosωt + cosωt ω ω ω + ω cosωt = cos( t)cos( t) = ω ω ω + ω cosωt = sin( t)sin( t) = mo mo ( t)cosω t ( t)sinω t [9] I Prcowni Fizyczn 009 5

7 M Bjąc zchownie wheł n postwie powyŝszych równń, moŝemy powiezieć, Ŝe kŝe z nich poleg zjwisku unień z tką smą częstościąω. JenkŜe, gy jeno z wheł m mksymlne wychylenie, rugie w tym momencie jest nieruchome. Nstępnie mplitu pierwszego whł stopniowo mleje, rugiego rośnie, Ŝ sytucj się owróci. Potem wychylenie rugiego whł stopniowo mleje, pierwszego rośnie it., przy czym zleŝności pomięzy opowienimi okresmi i częstościmi są nstępujące: ω π T ω = ω ω = T T T T T = [0] Zjwisko unień wóch jenkowych wheł sprzęŝonych jest rzo łnym przykłem przekzu energii. W przypku, gy nie m strt energii whł n zminę przekzują soie stopniowo cłą energię i przekz ten oyw się z częstością unień. PRZEBIEG ĆWICZENI UKŁD POMIROWY W skł ukłu pomirowego wchozą: - w whł fizyczne - spręŝyn (jko urzązenie sprzęgjące whł) - orz przyrząy: przymir metrowy, suwmirk i stoper PRZEBIEG POMIRÓW Wykonj pomir okresu rgń swoonych pojeynczego whł mocując msę ociąŝjącą w kilku róŝnych oległościch o osi orotu. Po zkończeniu tej serii pomirów zmocuj msy ociąŝjące tk, y otrzymć w jenkowe whł (o tkich smych okresch). Połącz whł z pomocą spręŝyny zmocownej w połowie ługości wheł. Wykonj pomir czsu trwni okresów I-szego i II-giego rgni normlnego. Wykonj pomir czsu okresu unień. WSKZÓWKI DO OPRCOWNI WYNIKÓW Wyzncz okresy rgń wheł swoonych orz oszcuj ich niepewności. Zstnów się, co moŝesz powiezieć o zleŝności okresu rgń o momentu ezwłności whł fizycznego. WykŜ, Ŝe whł uŝywne w rugiej części oświczeni moŝesz uwŝć z jenkowe. (Sprwź czy okresy ich rgń są zgone w grnicch niepewności). Wyzncz częstości I-szego i II-giego rgni normlnego orz częstość unień i oszcuj ich niepewności. Sprwź, czy uzyskne wyniki są zgone z przewiywnimi teoretycznymi. LITERTUR: [] Dvi Holliy, Roert Resnick: Postwy Fizyki tom II, PWN Wrszw 005; [] Henryk Szyłowski: Prcowni fizyczn, PWN, Wrszw 999; [3] nrzej Mgier, I Prcowni Fizyczn, Instytut Fizyki Uniwersytet Jgielloński, Krków 006. I Prcowni Fizyczn 009 6