Marek Walesiak. MIAR lwrel!cji W AB.lLIZIE 'lfl'nixćw

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE AKADEMII BOII'OKICZNEJ WROCŁAWIU Nr 600 Metody statystyczej aalisy wielowymiarowej ich sastosowaia w badaiach ekoomiczych Marek Walesiak O S'rOSOW.ALII'OŚCI MIAR lwrel!cji W AB.lLIZIE 'lfl'nixćw POMIARU 1'0RZłl)XOWEGO w artykule scharakteryzowao swięzki istiej~ między współczyikami: korelacji liiowej Pearsoa, rag Spearmaa i tau Xedalla z puktu widzeia skal pomiaru. Zwrócoo uwagę a ie dostrzegay w polskiej literaturze statystyczej 'fakt, łe wapółe~ik korelacji tau Iedalla jest (dla wyików pomiaru ragowego) szczególą poataeią współczyika korelacji liiowej Pearsoa. pojęć Problemetyka poruszaa w artykule wymaga wprowadzeia podatawowych z r.akresu teorii pomiaru. Przez pomiar rosumie się pr~rsądkowaie licsb obiektom zgodie z określoymi regułami w ta~i sposób, aby liczby odzwierciedlały zachodzące 111iędzy tymi obiektami relacje (por. p.[ 5, 54;, s. 17 ] ). Podsta~ teorii pomiaru jest pojęcie skali. D e 'f i i c j a ( por. [ 1, e ; 9, s. 37 ] ). Takłl uporządkowaą czwórkę U <.A; G; H; F >, h a).a to iepusty zbiór obiektów, H - zbiór liczb rzeczywistych, G- klaaa fukcji odwzotowującycb A w H, F- klasa fukc ji odwzorowujących H w H, b) dla wuyatlcich g E G i!e.7, 'f o seg, o) l zawiera przekształceie H a H, a poadto d1a ka żdeso!k, t 1 E F iłohie!ko r 1 E 7, azywa się skalą pomiaru. W teorii pomiaru rozróżia się 4 podstawowe skale pomiaru, wprowadzoe przez s.s. Steveaa [ 7]. D e! i i c j a {por. [ 1, a. 103]). U <.A; G; H; I'> jest alta-l!ł om ialą wtedy i tylko 7 jest sbiorea wa y tkicb!akcji! odvzorowuj,oych R w H (H ~ R) taki ch, łe

2 14 t - fukcja wzajemie jedozacza. ( 1) D e t i i c ja 3 (por.[1, e. 103]). U <A; G; H; P)jest skalą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy ~ jest zbiorem wszystkich fukcji t odwsorowuj~ych H w B (B R) takich, te t - fukcja ściśle mootoiczie rosąca. (} D e t i i c ja 4 (por.[1, e. 103; 9, s. 37]}. U (A; G; H; F) jest ekalą iterwalową (przedziałową) wtedy i tyl~o wtedy, gdy H jest zbiorem wezyetkicb liczb rzeczywistych R i ~ jest zbiorem fukcji f takich, te dla dodatiego b t(y} b y + a, t(y)e R (3} dla wezyetkicb ye R. D e t i i c ja 5 (por. [1, s. 103; 9, s. 38]). U (A; G; H;~) jeet skalą ilorazową (etosukową} wtedy i tylko wtedy, gdy H jest zbiorem liczb rzeczywietych dodatich R+ i ~ jest zbiorem fukcji f takich, te dla d. oda tie go b!(y) b y, t(y)e R+ (4) dla wszyetkich ye R+. Skale te uporządkowae są od ajsłabszej (omiala) at do ajmociejszej (ekala ilorazowa). Wyika to z defiicji 6. D e f i i c j a 6 (por. [ 8, s. 5_]). Skala u jelł't -fllociejsza od skali 0 1 zawsze i tylko wtedy, gdy jej dopuszczale przekształceie jest zdegeerowaym przypadkiem dopuszcsalego przekeztałceia skali o 1 Na wartościach poszczególych ekal, ze względu a _dopuszczale przekształceie, mota wyzaczać aetępujące relacje: a) skala omiala - relacje: I'Ó\: ości, rótości, b) ekala porządkowa - relacje: rówośoi, rótości, miejezości, większości, c) skala przedziałowa - relacje: rówo&oi, rótości, miejszości, większości, rówości rótic i przedziałów, d) skala ilorazowa - relacje: rówości, rótości, miejszości, większości, rówości rótic i przedziałów, rówości stoeuk6w między poszczególymi wartościami skali. Wykoywaie operacji arytmetyczych dodawaia i odejmowaia jest dopuszczale a wartościach skali przedziałowej. Skala ilorazowa dopuszcza poadto wykoywaie a wartościach skali operacji dzieleia 1 moteia. Jedyą dopuszczalą operacją empiryczą a wartościach skali omialej 1 porządkowej jeet zliczaie zdarzeń (tz. tego, ile relacji miejszości, więkezości i rówości określoo a wartościach p. skali porządkowej). Jeda s podstawowych re~ł teorii pomiaru mówi, ~e jedyie rezultaty

3 15 ooriaru w skali mociejszej mogą być trasformowae a liczby aletące do skali słabszej (por. p. [6, s. 17], [9, s. H]). Stosując dozwoloe przekształceie wartości a skali, zachowujemy iezmieość typu skali p rzyjętej dla daej cechy. Typ skali, ze względu a dopuszczale przekształceia, determiuje rozmaitych techik etatystyczo-ekoometryczych. stosowalość D e f 1 i c j a 7 (por. p. [8, s. 61]). 'l'echikami statystyczymi dopuszczalymi dla daego typu skali są takie techiki, które doetarozsją wyików (w sesie relacji) iezmieych względem dopuszczalych przekształceń. W pracy [10] J.W. Wiśiewski a przykładzie współczyika korelacji 1 Wkweetioował ią z reguł teorii pomiaru, która mówi, te metody ilościowe, które mota stosować do wyików pomiaru w skali słabszej, zezwala się stosować rówie! do liczb uzyskaych z mierzeia a poziomie mociejszym. W kokluzji stwierdza się, te o ile współczyik korelacji Pearsoa mota stosować z powodzeiem do badaia skorelowaia cech mierzoych a skali omialej (po odpowiediej traeformacji), o tyle trasformację Yapółczyika korelacji Pearaoa w formie współczyika korelacji rag S~armaa alety stosować z ostrożością w stosuku do pomiaru ragowego. Wprawdzie ostatie zdaie jest prawdziwe, ale ie kwestiouje powytezej reguły teorii pomiaru, albowiem odpowiedikiem współczyika korelaoji Pearsoa (stosowaego do pomiaru siły i kieruku zw~zku liiowego międsy dwiema cechami mierzoymi a a~ali przedziałowej i (lub) ilorazowej) w badaiu skorelowaia dwóch eech mierzoych a skali porządkowej jest ie współczyik rag Spearmaa, ale współczyik tau Xedalla. Współczyik korelacji rag Spearmaa jest w szczególy sposób trasformowaym współczyikiem korelacji liiowej Pearsoa, w 'którym wykorzystuje eię specyfikę kolejych liczb aturalych (por. p. [ 6, s. 160-, 16] ). Współczyik te ie jest typową lliarą korelacji rag, stosując go bowiem zakłada się, h odległości po111iędzy sąsiedimi regami są sobie rówe {a skali porządkowej odległości aiędzy dowolymi dwiema ragami, ie eą zae). Załohie to ozacza, te mota go wjkorzystyvać. gdy Mmy do czyieia ie z pomiarem porządkowym, ald z pomiarem co ajmiej przedz iałowym. W myśl defiicji 7 współczyik korelacji rag Spearmaa ie 111ote być etoscway jako miara skorelowaia warto! ci dwóch cech mierzoych a skali. Porządkowej. Ilustruje to astępujący przykład. 1w artykule ie podejmuje się obroy tej reguły teorii pomiaru, ale ~estiouje się przykład, a podstawie kt6rego j4 podwałoo.

4 "'1' M 16 Przykła d 1. Dae eą trzy uporządkowaia 5 obiektów ze względu a wartości 3 cech 1~ ierzoyc h a skali porządkowej: M1 1 M 3, M Zgodość uporządkowań ze względu a cechy M 1 1 M oraz M 1 M 3 oceioo r.a pomocą współczyika korelac j 1 rag Spearmaa i otrzymao wyiki: Między tymi wapółc zyikami zachodzi re la c ja: r 3 (M 1,M ) <r 3 (M,M 3 ). Do wyików pomiaru zastosowao dopuszczale przekształceie () a skali porządkowej (!(y) y ), które zachowuje ustaloy porządek wyików pomiarów. Uzyskae wyiki ie mają wcześiej stwierdzoej własości, poiewa~ r~(m 1,M ) -1,9 > r 3 (M,~) -3,. Współczyaika korelacji Spearmaa ie mo~a stosować jako miary skorelowaia wartości dwóch cech ~ierzoycb a skali porządkowej, ie zapewia o bowiem wyików iezmieych wz~lędem dopuszczalych przekształceń a tej skali. Do pomiaru siły i kieruku skorelowaia dwóch cech mierzoych a skali porządkowej wykorzystuje się wspó ł czyik tau Kedalla, który jest e ze zefólą postacią wepółc zyika korelacji liiowej Pearsoa [ 3, e ]. Wzór a współczy ik Pearsoa w wers j i rachukowej mo ż a przedstawić alteratywie jako (por. [3; 4, e. 66] ): r ( r L Lxizi- L xi L z i i i 1 ] [ l 0,5 ) xi - ( L :ri) L: - z i ( ) z!) ) L-J.., i 1 i J L. ~ (x1 - xj)(zi- zj) ~ j i 1 ~ (xi - xj) ~ j i 1 j i 1 L, L, (z i - z j) ) 0,5 (5)

5 gdzie: xi ( z1) - i-ta we rtość cechy M 1 (M); e t~ x1z1 j 1 1 j 1 1 j 1 1 t= (:x1 - xj)(z 1 - llj) - E: z= xi zj j-1 j-1 - L L :xjz1 L:: z::==xjzj ( - L x1z1 - ( L cx1zj j 1 1 j 1 1 i 1 j 1 i 1 - L xi z i) L :xi z i - L 11 i ia t t= r. + :xj (- 1) L xi -( c L:XiX;!- Cxi ) - j j i 1 L x1 - L: cx1xj L xi - <L: X i) 1=1 j 1 i 1 i Prawa stroa wzoru (5) po trasformacji wartości cech mierzoych a skali przedziałowej 1 (lub) ilorazowej a wartości cech ze skali porządkowej według Bchematu: 1, jeśli xi) xj (zi > zj), kij(bij) - o, jeśli xi x j ( z 1 zj), (6) -1, jeśli :xi ( x 3 (z 1 ( zj), przyjmuje postać wsp6lczy1ka korelacji rag ( tau) Kedalla: ( 7) Współczyik 'korelacji rk jest stosoway jako miara Bkorelowa.fa dwóch cech mierzoych a skali porządkowej. Przyjmuje wartości liczbowe z przedziału -1 ( rk ( 1. Gdy uporządkowaia rag dla obu cech Bą zupełie przeciwe, wówczas ri -1. Wartość 1 ozacza pełą zgodość u porządkowań.

6 P r s y k l a d Dokoao dwóch rówoległych 16 oce szas 6 kadydatów a prezydeta: Kadydaci A B C D E F Uporządkowaie Uporządkowaie 3,5 3,5 1,5 1,5 6 5 Zgodość oce określoo przez ustaleie zgodości uporządkowań kadydatów a podatawie współczyika (7): 11 rx -( 1_5_..:.1...:..3 -., 0..., o. 788 Otrzymaa wartość wskazuje a dość du~ą zgodość obu uporządkowań. LITERATURA [ 1] [ J [ 3] [ 4] [ 5] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] Adama E.W., Fagot R.P., Robieo R.E.: A theory of appropriate etatistics. "Peychometrika 1965 (30) o. e Cboyowaki M.: Pomiar w psychologii. W: Problemy psychologii matematyczej. Red. J. Kozielecki. Warszawa: PWN Kedall M.G.: Rak Correlatio Methods. Lodo: Griffi Kedall M.G., Bucklad W.R.: Słowik termiów statystyczych. Warezawa: P\liE Pawlows~i T.: Metodologicze zagadieia humaistyki. Warszawa: PWN Steczkowski J., Zeliaś A.: Statystycze metody aalizy cech jakościowych. Warszawa: PWE Stevea S.S.: Measuremet, Psychophyeios ad Utility. W: Measuremet; Defiitios ad Theories. Red. c.w. Churehma, F. Ratoosh, New York: Wiley Waleta K.: Podstawowe pojęcie teorii pomiaru. W: Problemy psychologii matematyczej. Red. J. Kozielecki. Warszawa: PWN Walesiak M.: Sytetycze badaia porówawcze w świetle teorii pomiaru. Przegląd Statystyczy" 1990 z. 1- s Wiśieweki J.W.: Korelacja i regresja w badaiach zjawisk jakościowych a tle teorii pomiaru. "Przegląd Statystyczy" 1986 z. 3 s. '39-48.

7 1HF 1 PPL i CI\ B l LITY O F' CORRELIITION MEIISURES I N THE 1\NIILYS I S O F' ORD l NI\ i. MEIIS UREMENT RESULTS Summary the paper the relatjos betwe e Pearso correlatjo coeffjcjet. ::>~e<hma rak correlat1o coeff:c1et ad tau Kedall coefflciet ar ~ aa.y~ed WJth respect to che scale of measuremet.!t JS argued that he rau Kedall correlat1o coeff1c1et 1s (for the rak meas,jremet r~:-ul.s) the specjaj case of the Pearso correjatjo coeff1c1e