E x Direction of Propagation. y B y

Transkrypt

1 Podstawy Optyki

2 x E x Direction of Propagation k z z y B y An electromagnetic wave is a travelling wave which has time varying electric and magnetic fields which are perpendicular to each other and the direction of propagation, z. 2

3 z E B E E and B have constant phase in this xy plane; a wavefront k Propagation E x E x = E o sin(ωt kz) z A plane EM wave travelling along z, has the same E x (or B y ) at any point in a given xy plane. All electric field vectors in a given xy plane are therefore in phase. The xy planes are of infinite extent in the x and y directions. 3

4 Światło Fale EM z zakresu częstotoliwości ν [0.39, 0.75] Hz lub długości ( w próżni) λ [ 400, 760] nm Definicja 1 Wektorem świetlnym nazywamy wektor pola elektrycznego fali EM z zakresu widzialnego E = E m cos(ωt k r + α) Prędkość światła w próżni 1/ ε o μ o, = c, w ośrodku 1/ ε o μ o εμ = v 4

5 Wave fronts (constant phase surfaces) Wave fronts k Wave fronts λ P λ k λ O P r E z A perfect plane wave A perfect spherical wave A divergent beam (a) (b) (c) Examples of possible EM waves 5

6 Wave fronts y (b) x 2w o O θ z Beam axis Gaussian Intensity (c) (a) (a) Wavefronts of a Gaussian light beam. (b) Light intensity across beam cross section. (c) Light irradiance (intensity) vs. radial distance r from beam axis (z). 2w r 6

7 Definicja 2 c Stosunek = n v nazywamy (bezwzględnym) współczynnikiem załamania ośrodka n = εμ, μ 1 n ε, Długość fali światła w próżni λ o = c/f (f-częstość, v = c/n) w ośrodku λ = v/f = λ o /n 7

8 Natężenie światła I = <S> = <E H> [W/m 2 ] E m ε o ε = H m μ o μ = H m μ o H m = ε ε o /μ o E m = n E m ε o /μ o H m = n E m I n E m 2 Wniosek 1 Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali świetlnej; amplituda ta jest nieciągła na granicy ośrodków Definicja 3 Linie wzdłuż których płynie energia fali EM (styczne do wektora Poyntinga S) nazywa się promieniami 8

9 Nałożenie 2 fal harmonicznych i monochromatycznych w ustalonym punkcie r o przestrzeni: E 1 = E 1m cos(ωt + α 1 ), E 2 = E 2m cos(ωt + α 2 ) Zasada superpozycji daje natężenie wypadkowe: I w = (E 1 + E 2 ) 2 = (E 1 ) 2 + (E 2 ) 2 + 2(E 1m E 2m ) cos δ ponieważ E 12 =I 1, oraz E 22 =I 2, I = I 1 +I I 1 I 2 cos δ, δ=(α 2 -α 1 ) 2 I 1 I 2 cos δ człon interferencyjny, ze względu na interferencję I I 1 +I 2, z wyjątkiem szczególnych sytuacji 9

10 Jeśli δ(t) f(t) cos δ = f(r), ponieważ δ(r) jest funkcją miejsca, w którym fale się nakładają: 2π δ = k (r 2 -r 1 ) = k (Δ o r) = (Δ o r) λ 2π 2π 2π lub δ = [ n] (r 2 r 1 )= [n (r 2 r 1 )]= Δr λ o gdzie: Δ o r k - droga geometryczna światła w ośrodku o wsp. n, Δr k - droga optyczna światła w ośrodku (zależnie od miejsca) cos δ = 1 I w = I 1 +I I 1 I, 2 (gdy 1 1 =I 2 = I o, I w =4I o ), cos δ = 0 I w = I 1 +I 2, (gdy 1 1 =I 2 = I o, I w =2I o ), cos δ = -1 I w = I 1 +I 2-2 I 1 I, 2 (gdy 1 1 =I 2 = I o, I w =0 ), λ o λ o Jeśli δ(t)= f(t) : <cos δ(t)> t<τ = 0, I = I +I, niezależnie od miejsca 10

11 Definicja Iloczyn drogi fali EM i współczynnika załamania ośrodka n nazywamy drogą optyczną światła Δ Wniosek δ = ±0, ±2π, ±4π,..., cosδ =1 I w =4I o, (wzmocnienie, dla Δ = ± mλ o, (m = 0,1,2...) int. konstruktywna) δ = ±π, ±3π, ±5π,..., cosδ = -1 I w = 0, ( wygaszenie, dla Δ = ± (m + ½)λ o, (m = 0,1,2...) int. destruktywna) δ dowolne, cosδ = [-1, 1] Uwaga I w = 2I o (1+cosδ) = 4I o (cos 2 δ/2) Interferencja światła powoduje redystrybucję średniej gęstości energii w przestrzeni 11

12 Spójność (koherencja) czasowa Zwykle dla fali EM : E = Acos(ωt -kr +α) ; ω=f(t) i α=f(t), dla 2 fal w punkcie r 1,2 = const : A 1 cos[ω 1 (t) t + α 1 (t)] i A 2 cos[ω 2 (t) t + α 2 (t)], gdy ω o1 = ω o2 = ω o A 1 cos[ω o t + α 1 (t)] i A 2 cos[ω o t + α 2 (t)], wtedy δ(t) = α 2 (t) - α 1 (t) = f(t), 2 I 1 I 2 cos δ(t) = f(t), i średnia mierzona wartość członu interferencyjnego 2 I 1 I 2 <cos δ(t)> zależy od czasu reakcji τ detektora i szybkości zmian f(t) 12

13 (a) P Time Q Amplitude Amplitude υ ο υ (b) Field Δt Time Space l = cδt υ ο Δυ = 1/Δt υ (c) P Q Time Amplitude υ (a) A sine wave is perfectly coherent and contains a well-defined frequency υ o. (b) A finite wave train lasts for a duration Δt and has a length l. Its frequency spectrum extends over Δυ = 1/Δt. It has a coherence time Δt and a coherence length l. (c) White light exhibits practically no coherence. 13

14 Definicja Czasem spójności t s nazywamy czas, w którym przypadkowa zmiana fazy α(t) osiąga wielkość równą π; drogą (zasięgiem) spójności l s nazywamy odległość, którą przebywa fala świetlna w czasie spójności, w próżni : l s = c t s Wniosek Dla niespójnego światła efekt interferencji jest nieobserwowalny; wtedy nałożenie się fal daje wynik: I w = I 1 +I 2 Uwaga Spójność zależy od czasu reakcji τ detektora i szybkości zmian cos δ(t) 14

15 (a) No interference A Interference Δt No interference B Source Time (b) P Q c Spatially coherent source (c) c An incoherent beam Space (a) Two waves can only interfere over the time interval Δt. (b) Spatial coherence involves comparing the coherence of waves emitted from different locations on the source. (c) An incoherent beam. 15

16 I(ω) 2 sin [(ω ωo ) τ / 2] 2 [(ω ω ) τ / 2] o 2 Δω przy tym τ = 2π/Δω = 1/Δν ponieważ t s τ t s 1/Δν 16

17 Dyfrakcja światła interferencja dyfrakcja interferencja redystrybucja natężenia światła w wyniku superpozycji skończonej liczby źródeł dyskretnych (szereg wąskich szczelin) dyfrakcja redystrybucja natężenia światła w wyniku superpozycji fal ze źródła ciągłego (szczelina) Zasada Huygensa - Fresnela Każdy element ds powierzchni falowej S stanowi źródło fali kulistej wtórnej o amplitudzie de proporcjonalnej do wielkości tego elementu: de = K(ϕ) ads o cos(ωt -kr +α) r 17

18 Light intensity pattern Diffracted beam Incident light wave Circular aperture A light beam incident on a small circular aperture becomes diffracted and its light intensity pattern after passing through the aperture is a diffraction pattern with circular bright rings (called Airy rings). If the screen is far away from the aperture, this would be a Fraunhofer diffraction pattern. 18

19 Incident plane wave A secondary wave source New wavefront Another new wavefront (diffracted) θ z (a) (b) (a) Huygens-Fresnel principles states that each point in the aperture becomes a source of secondary waves (spherical waves). The spherical wavefronts are separated by λ. The new wavefront is the envelope of the all these spherical wavefronts. (b) Another possible wavefront occurs at an angle θ to the z-direction which is a diffracted wave. 19

20 dyfrakcja Fraunhofera (w świetle równoległym): dyfrakcja w polu dalekim parametr (b 2 / l λ) << 1 dyfrakcja Fresnela : dyfrakcja w polu bliskim parametr (b 2 / l λ) 1 optyka geometryczna: (bezdyfrakcyjna) parametr (b 2 / l λ) >> 1 20

21 Dyfrakcja na szczelinie Fresnela -prążek zerowy jasny lub ciemny, gęstość prążków rosnąca, zależna od pierwiastka kwadratowego odległości od ekranu (l) 1/2 Fraunhofera -prążek zerowy jasny, gęstość prążków stała, zależna od odległości od ekranu (λ l /d) 21

22 Incident plane wave A secondary wave source New wavefront Another new wavefront (diffracted) θ z (a) (b) (a) Huygens-Fresnel principles states that each point in the aperture becomes a source of secondary waves (spherical waves). The spherical wavefronts are separated by λ. The new wavefront is the envelope of the all these spherical wavefronts. (b) Another possible wavefront occurs at an angle θ to the z-direction which is a diffracted wave. 22

23 Incident light wave δy Y Incident light wave R = Large y Screen y y θ A a θ b c z δy θ ysinθ z θ = 0 θ Light intensity (a) (b) (a) The aperture is divided into N number of point sources each occupying δy with amplitude δy. (b) The intensity distribution in the received light at the screen far away from the aperture: the diffraction pattern 23

24 a b The rectangular aperture of dimensions a b on the left gives the diffraction pattern on the right. 24

25 y S 1 A 2 S 1 Δθ s Δθ S 2 A 1 S 2 L I Screen Resolution of imaging systems is limited by diffraction effects. As points S 1 and S 2 get closer, eventually the Airy disks overlap so much that the resolution is lost. 25

26 y Incident light wave a y One possible diffracted beam Single slit diffraction envelope m = 2 Second-order m = 1 First-order m = 0 Zero-order d θ dsinθ z m = -1 m = -2 First-order Second-order Diffraction grating Intensity (a) (b) (a) A diffraction grating with N slits in an opaque scree. (b) The diffracted light pattern. There are distinct beams in certain directions (schematic) 26

27 Definicja Polaryzacja światła Światło jest spolaryzowane, jeśli drgania wektora świetlnego (nat. pola elektr. E) są uporządkowane Opis polaryzacji za pomocą prostopadłych składowych E x, E y wektora świetlnego E: E x = E mx cos ωt E y E E y = E my cos(ωt +δ) δ E y / E x = = tgϕ = = E my / E mx [cos(ωt +δ)/ cos(ωt)] E x 27

28 Fale spójne δ =const(t); polaryzacja liniowa : δ = 0, π tgϕ = E my / E mx [cos(ωt)/ cos(ωt)] Definicja tgϕ = E my / E mx = const Płaszczyzną polaryzacji (liniowej) nazywa się płaszczyzna prostopadła do kierunku drgań wektora E, zaś płaszczyznę wyznaczoną przez sam wektor E i wektor falowy k (kierunek propagacji fali) nazywa się płaszczyzną drgań 28

29 polaryzacja kołowa : δ = ±π/2 oraz E y = E x tgϕ = ± tg ωt, ϕ(t) = ωt -prawo-i lewoskrętna polaryzacja eliptyczna : δ 0, π oraz E y E x -prawo-i lewoskrętna 29

30 Plane of polarization E y x E y ^ y E x ^ x ^ xe x z ye ^ y (a) (b) (c) E E (a) A linearly polarized wave has its electric field oscillations defined along a line perpendicular to the direction of propagation, z. The field vector E and z define a plane of polarization. (b) The E-field oscillations are contained in the plane of polarization. (c) A linearly polarized light at any instant can be represented by the superposition of two fields E x and E y with the right magnitude and phase. 30

31 E Δz θ = kδz z E E y z E x A right circularly polarized light. The field vector E is always at right angles to z, rotates clockwise around z with time, and traces out a full circle over one wavelength of distance propagated. 31

32 y y y (a) (b) (c) (d) y x x E x E x E xo = 0 E yo = 1 φ = 0 E xo = 1 E yo = 1 φ = 0 E xo = 1 E yo = 1 φ = π/2 E xo = 1 E yo = 1 φ = π/2 Examples of linearly, (a) and (b), and circularly polarized light (c) and (d); (c) is right circularly and (d) is left circularly polarized light (as seen when the wave directly approaches a viewer) 32

33 (a) y (b) y E (c) y E x x x E xo = 1 E yo = 2 φ = 0 E xo = 1 E yo = 2 φ = π/4 E xo = 1 E yo = 2 φ = π/2 (a) Linearly polarized light with E yo = 2E xo and φ = 0. (b) When φ = π/4 (45 ), the light is right elliptically polarized with a tilted major axis. (c) When φ = π/2 (90 ), the light is right elliptically polarized. If E xo and E yo were equal, this would be right circularly polarized light. 33

34 Ecosθ Linearly polarized light E θ TA 2 Light detector TA 1 Polarizer 2 = Analyzer Polarizer 1 Unpolarized light Randomly polarized light is incident on a Polarizer 1 with a transmission axis TA 1. Ligh emerging from Polarizer 1 is linearly polarized with E along TA 1, and becomes incident on Polarizer 2 (called "analyzer") with a transmission axis TA 2 at an angle θ to TA 1. A detector measures the intensity of the incident light. TA 1 and TA 2 are normal to the light direction. 34

35 Dwójłomność wymuszona Naprężenia mechaniczne w ciałach stałych (elastooptyka) (n o -n e ) = k σ, 35