METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 4 s. -8 Gliwice 7 METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE JERZY SKRZYPCZYK Zkłd Mechniki Teoretcnej Politechnik Śląsk emil: jer.skrpck@polsl.pl Strescenie. W prc predstwiono now sstem lgebricn e specjlnie definiownmi opercjmi dodwni i mnoŝeni. Nowo wprowdone licb ostł nwne licbmi perturbcjnmi II rędu. Wkno Ŝe sstem licb recwistch (R ) jest nuron w nowm sstemie lgebricnm (R ). Predstwiono równieŝ jk wkonuje się poostłe opercje lgebricne tkie jk: odejmownie odwrotność or dielenie. Klscne problem perturbcjne II rędu mogą bć rowiąwne w nowm sstemie równie łtwo jk wkłe problem mtemtki stosownej mechniki teoretcnej i fiki. Nie są wmgne Ŝdne dodtkowe prekstłceni. Jko prkłdem posłuŝono się prostmi dnimi perturbcjnmi e sttki i dnmiki dl rm w kresie spręŝstm.. WSTĘP Teori perturbcji pojwił się w jednej njstrsch diedin mtemtki stosownej: mechnice nieb. Współcesne stosowni teorii perturbcji sięgją disij dleko dlej niŝ mechnik nieb le ide metod poostł niemienion. Teori perturbcji jest disij cęścią nuki o ogromnm nceniu teoretcnm i prktcnm. Dokłdnie cęł się on w ltch 96/7 wr prcmi Rleigh i Schrödinger. Obecnie metod perturbcjne mją ogromną bibliogrfię liconą w tsiącch pocji i poostją niemiennie w uŝciu. [5] Anlię cn się wkle od prostego problemu któr łtwo rowiąć tw. problemu be perturbcji i wkorstuje się go jko prbliŝenie rowiąni brdiej skomplikownego problemu któr róŝni się od podstwowego tlko istnieniem pewnch młch skłdników. Rowiąni posukuje się w postci kolejnch prbliŝeń rowiąni podstwowego predstwionego njcęściej w postci seregu potęgowego pewnego młego prmetru. Generlnie metod perturbcjne mogą bć sformułowne w nstępującm sensie. Zbdjm jk perturbcje (młe) wielkości nominlnego prmetru mogą mienić rowiąnie rowŝnego problemu. ZłóŜm Ŝe rowiąnie problemu powiedm odpowid mcier współcnników A. Podstwow problem teorii perturbcji jest nstępując: jk mieni się rowiąnie jeŝeli mcier A mieni wrtość n AB gdie jest pewnm młm prmetrem B jest perturbcją. Posukujem rowiąni w postci seregu jednorodnch skłdników leŝnch od mcier perturbcji B tn. postci :.. () JeŜeli ogrnicm rowŝni do dwóch pierwsch skłdników seregu () mówim o metodie perturbcji I rędu jeŝeli do trech to II rędu itd. W metodch perturbcjnch powŝne trudności są wiąne koniecnością wkonwni duŝej ilości obliceń nlitcnch. Jko wnik otrmujem biór klscnch dń które wkle rowiąujem n drode numercnej por. [][][6].

2 J. SKRZYPCZYK W prc stosowno specjln rodj licb wnch dlej licbmi perturbcjnmi II rędu (PN II rędu) i podobnch do licb perturbcjnch definiownch we wceśniejsch prcch utor por. [8-8]. Prpomnijm Ŝe są one definiowne jko uporądkowne trójki licb recwistch () R. [9] Zbiór elementów PN II rędu dodwniem ( ) i mnoŝeniem ( ) or ustlonm elementem neutrlnm dodwni :() i mnoŝeni :() jest ciłem por. [4-5]. Zdefiniowne w tki sposób ciło jest nwne ciłem licb perturbcjnch II rędu. Ciło PN II rędu nie wier cił licb recwistch R. MoŜn udowodnić Ŝe licb recwiste moŝn roptrwć jko pewne scególne element podbioru cił PN II rędu pr chowniu wsstkich obowiąującch dl nich reguł dodwni i mnoŝeni or pr chowniu elementów neutrlnch dodwni i mnoŝeni. Zdefiniowno równieŝ funkcje o wrtościch perturbcjnch II rędu dl rgumentów perturbcjnch II rędu jko roserenie klscnch funkcji elementrnch i trgonometrcnch. Włsności -funkcji są podobne do włsności wkłch funkcji. Obliceni wkorstniem licb perturbcjnch II rędu są mtemtcnego punktu wideni równowŝne klscnm metodom perturbcjnm II rędu. Now formlim mtemtcn ostł stosown do klscnch gdnień teorii perturbcji kresu mechniki teoretcnej. RowŜono problem sttcne i dnmicne prostch rm w kresie spręŝstm perturbcjmi w kresie obciąŝeń i prmetrów (sstem liniowch równń lgebricnch perturbcjmi) podobnie jk dnmicne problem drgń (perturbowne gdnienie wrtości włsnch). Zlet nowej metodologii są predstwione równo w kresie obliceń nlitcnch jk i w specjlistcnch procedurch numercnch dedkownch do gdnień liniowch równń perturbownch gdnień wrtości włsnch i bdń w kresie równń róŝnickowch. Now technik moŝe bć np. stosown do nli równń e miennmi róŝnch tpów i w stucji gd wsstkie prmetr równni są perturbowne. Wr nowm sstemem obliceń otrmujem niewkle proste i uŝtecne nrędie do rowŝń nlitcnch i numercnch gdnień łoŝonch problemów perturbcjnch mechniki. [4-7] Brdiej wnsowne stosowni technicne por. Skrpck Winkler-Skln Fle kustcne w wrstwowm ośrodku niejednorodnm: now metod perturbcji II rędu niniejs est.. SYSTEM ALGEBRAICZNY LICZB PERTURBACYJNYCH II RZĘDU DEFINICJA. Zdefiniujem licbę wną dlej licbą perturbcjną II rędu jko trójkę uporądkowną licb recwistch () R. Zbiór licb perturbcjnch II rędu będiem oncć jko R. Pierws element trójki () jest nwn wrtością główną drugi - perturbcją I rędu ntomist treci - perturbcją II rędu. Niech R oncją dowolne licb perturbcjne II rędu or :() :( ) :( ) :( ) i i i R i. Powiem Ŝe dwie licb perturbcjne II rędu są równe: wted i tlko wted gd or. Wprowdim w biore R diłni dodwni ( ) i mnoŝeni ( ) nstępująco: :( ) () :( ) () TWIERDZENIE. Zbiór R diłnimi dodwni ( ) i mnoŝeni ( ) określonmi wormi () i () or wróŝnionmi elementmi: erowm :() or jednkowm :() jest ciłem. Ciło to nwiem ciłem licb perturbcjnch II rędu.

3 METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE Określone powŝej w def. ciło R nie wier cił licb recwistch R. MoŜn jednk wkć Ŝe licb recwiste mogą bć trktowne jko pewne element cił R chowniem diłń lgebricnch or elementów neutrlnch dodwni i mnoŝeni por. [8-9] [-]. TWIERDZENIE. Prekstłcenie j:r R j():() dl kŝdego R jest nureniem sstemu lgebricnego licb recwistch R w sstemie lgebricnm R. Jest ono prekstłceniem róŝnowrtościowm or chowuje odpowidjące sobie diłni lgebricne or element neutrlne dodwni i mnoŝeni. Więcej scegółów ptr [8]-[].. NOTACJA UPROSZCZONA W RACHUNKU PERTURBACYJNYM PoniewŜ prekstłcenie j(.) jest nureniem więc kŝdą licbę perturbcjną postci () R R moŝem utoŝsmić licbą recwistą. MoŜem skorstć tego utoŝsmieni w celu wprowdeni dogodniejsej smboliki dl licb perturbcjnch. Oncm pre licbę perturbcjną () or pre η licbę perturbcjną (). ZłóŜm Ŝe licb perturbcjn () będie identfikown licbą R () licbą R or () licbą. Wówcs dl dowolnej () R mm () () () () () () () () () j() j() η j() η (4) Licb recwiste nwć będiem odpowiednio: cęścią główną: _mv cęścią młą I rędu (perturbcją I rędu): _pv i cęścią młą II rędu (perturbcją II rędu): _pv. Licbę perturbcjną II rędu η będiem piswć w uprosceniu η _mv_pv η_pv. JeŜeli obie cęści perturbcjne są równe eru to jest licbą recwistą. Z prw mnoŝeni wnik Ŝe : () () () η więc godnie uprosconą notcją η. Podobnie η : η () () () η : η η () () () : () () () i godnie uprosconą notcją. Jk wkle będiem uŝwć skrótu dl jko or jko. MoŜem tem stwierdić n podstwie powŝsch rowŝń Ŝe definiowne ostł nowe obiekt. Będą dlej nwne licbmi perturbcjnmi II rędu i są uporądkownmi trójkmi licb recwistch () R które będą piswne w nstępującej formie: :η. Zbiór licb perturbcjnch II rędu będie oncon jko R nturlnie j(r) R. Zwolennic wkłch metod perturbcjnch mogą diłć n nich tk jk n licbch recwistch dodjąc je odejmując mnoŝąc i dieląc. Smbol będie pełnił rolę młego prmetru II rędu pr łoŝeniu Ŝe. Wor n sumę róŝnicę ilocn i ilor dją się pr wkorstniu uprosconej notcji wrić nstępująco: : ( ) ( ) (5) Odejmownie definiujem jko - (- ) tem - : - ( - ) ( - ) (6) α : α(α) (α) for α R (7) : ( ) ( ) (8)

4 4 J. SKRZYPCZYK Element odwrotn do licb perturbcjnej jest definiown jko licb perturbcjn - tk Ŝe - ( )( )() R. ZuwŜm dlej ( ) ( ) ( ) ( ) (9) wted i tlko wted gd ( ) () Formuł dieleni moŝe bć tem wprowdon w nstępując sposób ( ) ( ) ( ) / 4. UOÓLNIONE -FUNKCJE Funkcje o wrtościch perturbcjnch są definiowne dl rgumentów perturbcjnch jko rosereni klscnch funkcji elementrnch i trgonometrcnch. Scegółowe włsności -funkcji bł nliowne brdiej scegółowo w prcch [] [-4] [] [4-7]. Niech D R będie dowolnm podbiorem. Jeśli kŝdej licbie D prporądkujem ξ-pewną licbę perturbcjną II rędu to powiem Ŝe w biore D ostł określon funkcj perturbcjn II rędu f :D R miennej perturbcjnej. Będiem pisć f :D R lub w f () lub w uprosceniu w -f(). Dl ilustrowni w jki sposób moŝn tworć rosereni nnch funkcji n rgument perturbcjne wkorstm dowolną prostą funkcję. Obok wielominów i funkcji wmiernch do njprostsch funkcji miennej recwistej nleŝ funkcj wkłdnic ep(). Jk tem roumieć ntomist pis ep() gd R? Jk widomo dl R funkcj wkłdnic jest określon seregiem potęgowm R k!...!!! ) ep( k k () bieŝnm n cłej osi R. N podstwie relcji () definiujem funkcję ep () dl R jko k k R k!...!!! ) : ( ep () Korstjąc relcji () or () moŝem npisć ( ) R ) ep(...!! : ) ( ep ()

5 METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE 5 ZuwŜm Ŝe sereg () jest bewględnie bieŝn dl kŝdej wrtości R. Zchodi pondto j(ep()) (ep())ep () cli now funkcj ep (.) jest recwiście rosereniem funkcji recwistej ep(). 5. PRZYKŁAD Now formlim mtemtcn ostł stosown do prostch problemów perturbcjnch które wstępują w klscnej mechnice teoretcnej. Predskutujm problem perturbcjn dl gdnieni sttki prostej rm (rs. ) or gdnienie jej drgń dnmicnch por. []. Zlet nowej metod moŝn uwŝć równo w rowŝnich nlitcnch jk i w procedurch numercnch które słuŝą nliie ukłdów liniowch or problemów gdnień włsnch por. [8-] [-7]. Równni równowgi prjmują postć KqF w scególności λ -6l -λ q 6 pl EJ λ 6l q Al pl q λ (4) l 6l 6l 8l J -λ λ q4 ZłóŜm Ŝe λ8 l5 p4.57 scegół ptr []. Dl tch wrtości nominlnch prjęto Ŝe: perturbcje I rędu dl wsstkich nieerowch elementów są losowe or rędu ±% nominlnej wrtości perturbcje II rędu wsstkich elementów nieerowch są losowe or rędu ±% nominlnej wrtości. Znki perturbcji łoŝono losowe. Numercne wrtości po oblicenich nstępujące: K F [ ] T ) l EJ pl q EJ q6 q q p q 4 q 5 b) w ϕ u ϕ u w ϕ u w. q 9 q 7 q 8 l w ϕ u Rs. Schemt rm [] Numercne obliceni w nowej rtmetce są brdo łtwe do progrmowni prwie tką smą łoŝonością jk dl licb recwistch lub espolonch. Obliceni wkonno pojedncą precją wkorstniem stndrdowej procedur elimincji Guss

6 6 J. SKRZYPCZYK równowŝeniem (pivoting) stosownm do cęści głównej mcier perturbcjnej K minowicie do K_mv [6]. Otrmno nstępujące wniki: q l EJ [ ] T Dokłdność obliceń bł kontrolown pre śledenie wrtości odpowiednich residuów: residuum_mv[-.7e E E-6.E] residuum_pv[.e E E-5.E] residuum_pv[.e E E-4.E] Wrunek wstrcjąc stbilności roptrwnej rm jest nstępując: mcier K - σ K G musi bć mcierą dodtnio określoną por. [4] gdie 6 l 5 K G l l 5 σ Sl EJ Dl σ powŝs mcier jest mcierą stwności i m włsność dodtniej określoności. Ale włsność t moŝe ulec gubieniu jeŝeli spełnion będie relcj det(k-σ K G ) minowicie 4 ( λ ) σ ( 9 5λ ) σ ( 4 5λ ) (5) 5 ZłóŜm Ŝe λ λ λ λ. Wówcs równnie (5) prjmuje postć 4 ( λ ) σ ( 9 5λ ) σ ( 4 5λ ) Równnie (6) m dw rowiąni 5 4 λλ σ σ 4 ( λ λ λ ) σ ( λ λ λ ) σ 6( λ λ λ ) λ m λ λ σ λ gdie wsstkie opercje są w sensie perturbcjnm. ZłóŜm Ŝe λ8.8.8 wówcs otrmujem wniki numercne postci σ E E-6 σ E E-5 (6) (7) 6. WNIOSKI Obliceni wkorstniem nowch licb perturbcjnch prowdą do plikcji które mtemtcnego punktu wideni są równowŝne metodom perturbcjnm II rędu w klscnej teorii perturbcji. Zlet nowego sstemu lgebricnego są nstępujące: moŝem cłkowicie pominąć etp łoŝonch obliceń nlitcnch które są tpowe dl rowijni proksmownch wielkości rowiąń w seregi nieskońcone. T metod jest skutecn równieŝ dl wielkości niennch - posukiwnch rowiąń jk równieŝ dl współcnników perturbcjnch roptrwnego problemu;

7 METODY PERTURBACYJNE II RZĘDU W MECHANICE 7 otrmujem ogromne uproscenie wsstkich obliceń rtmetcnch które wstępują wkle w nlitcnm sformułowniu i nliie problemu; więksość nnch lgortmów numercnch moŝe bć w prost sposób dptown dl nowego sstemu lgebricnego be więksch trudności. Wr nowm sstemem lgebricnm otrmujem biór brdo prostch nrędi mtemtcnch które moŝn w łtw sposób wkorstć w rowŝnich nlitcnch or w komputerowej cęści nli łoŝonch problemów perturbcjnch. Pokno prkłd plikcji sformułowni perturbcjnego w dwóch klscnch dnich mechniki komputerowej. Predstwiono scegół nli numercnej dl: rm spręŝstej o prmetrch perturbownch pod diłniem perturbownch obciąŝeń (sstem liniowch równń lgebricnch) or nli perturbcjnej stbilności (perturbcjne gdnienie wrtości włsnch). BIBLIOGRAFIA. Bellmn R: Introduction to m mtri nlsis. New York : Mc-Grw-Hill Book Compn Gelfnd I.M.: Wkłd lgebr liniowej. Wrsw: PWN 97.. Gomuliński A. Witkowski M.: Mechnik budowli: kurs dl wnsownch. Wrsw: Oficn Wd. Pol. Wrswskiej Kcorek T.:Wektor i mciere w utomtce i elektrotechnice. Wrsw: WNT Kto T.: Perturbtion theor for liner opertors. Berlin : Springer-Verlg Kiełbsiński A. Schwetlick H.: Numerische linere Algebr. Berlin: VEB Deutcher Verlg der Wissenschften Korn G.A. Korn T.M.: Mtemtk dl prcowników nukowch i inŝnierów. C. I. Wrsw: PWN Skrpck J.: Perturbtion methods - new rithmetic. Zest Nukowe Pol. Śl. ser. Budownictwo. Gliwice s Skrpck J.: Metod perturbcjne - now rtmetk. Zest Nukowe Ktedr Mechniki Stosownej Politechniki Śląskiej Gliwice 4 nr s Skrpck J.: Perturbtion methods I - lgebr functions liner equtions eigenvlue problems: new lgebric methodolog. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings October 4 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv Slovki s Skrpck J.: Perturbtion methods - New Algebric Methodolog with Applictions in Mechnics. W: XLIV Smpojon Modelownie w mechnice. Gliwice 5. Zes. Nuk. Kt. Mech. Stos. nr 9 s Skrpck J.: Perturbtion methods for sstems with intervl prmeters: Proc. of AI- METH 5 Artificil Intelligence Methods November 6-8 Polnd Gliwice 5.. Skrpck J.: Perturbtion methods - new lgebric methodolog. Proc. of CMM- 5 Computer Methods in Mechnics June Cęstochow Skrpck J.: Perturbtion methods for sstems with intervl prmeters. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings. October 5 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv Slovki s Skrpck J. Multi-scle perturbtion methods in mechnics. Modelownie InŜnierskie 6 nr t. s Skrpck J.: Multi-scle perturbtion methods in mechnics. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics And Dnmics Of Buildings October 6 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv Slovki s

8 8 J. SKRZYPCZYK 7. Skrpck J.: Multi-scle perturbtion methods in mechnic. Slovk Journl of Civil Engineering 6 s Skrpck J.: II-order perturbtion methods in mechnics. Mterił I Kongresu Mechniki 9- sierpni 7 Wrsw CD s Skrpck J.: II-order perturbtion methods in mechnics new lgebric methodolog. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings October 7 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv Slovki s Skrpck J. Winkler A.: Perturbtion methods II-differentition integrtion nd elements of functionl nlsis with pplictions to perturbed wve eqution. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings October 4 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv Slovki s Skrpck J. Winkler-Skln A.: Sound wve propgtion problems new perturbtion methodolog. Archives of Acoustic 6 No. 6 s Skrpck J. Winkler-Skln A.: Sound wve propgtion problems new perturbtion methodolog. Archives of Acoustic 6 No. 4 Suplement s Skrpck J. Winkler-Skln A.: Sound wve propgtion problems new perturbtion methodolog. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings October 6 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv s Skrpck J. Winkler-Skln A.: Acoustic wves propgtion problems in lered medium: the new II order perturbtion pproch. Archives of Acoustic 6 s Skrpck J. Witek H.: Fu boundr element methods: new perturbtion pproch for sstems with fu prmeters. Proc. of Interntionl Conference New Trends in Sttics nd Dnmics of Buildings October 5 Fcult of Civil Engineering SUT Brtislv 5 s Skrpck J. Witek H.: Fu boundr element methods: new lgebric pproch for sstems with fu prmeters. W: AI-METH Series on Artifcil Intelligence Methods : Recent Developments in Artificil Intelligence Methods 5 s Skrpck J. Witek H.: Fu boundr element methods: new multi-scle perturbtion pproch for sstems with fu prmeters. Modelownie InŜnierskie 6 nr t. s II-ORDER PERTURBATION METHODS IN MECHANICS Summr. The im of the pper is to present new lgebric sstem with specificll defined ddition nd multipliction opertions. The new numbers clled II-order perturbtion numbers re introduced. It s proved tht the sstem of rel numbers (R ) is imbedded into the new lgebric sstem (R ). Some dditionl properties s subtrction inversion nd division re presented too. Clssicl higher-order perturbtion problems cn be solved in the new lgebric sstem s es s usul problems of pplied mthemtics theoreticl phsics nd techniques. Additionl nlticl trnsformtions re not required. Sttic perturbtion problems of simple frme re discussed s well s dnmicl vibrtion problems.