PREDYKCJA Z UKŁADU RÓWNAŃ WSPÓŁZALEŻNYCH PREDICTION FROM AN INTERDEPENDENT SYSTEM OF EQUATIONS

Transkrypt

1 EKONOMERIA ECONOMERICS (55) 207 ISSN e-issn Jerz Witold Wiśniewski Uniwerstet Mikołaja Kopernika w oruniu Jerz.Wisniewski@umk.pl PREDYKCJA Z UKŁADU RÓWNAŃ WSPÓŁZALEŻNYCH PREDICION FROM AN INERDEPENDEN SYSEM OF EQUAIONS DOI: 0.56/ekt JEL Classification: C0 C32 C53 Streszczenie: Predkcję z układu równań współzależnch można przeprowadzić na podstawie równań form zredukowanej. Predkcja z równań form zredukowanej może jednak prowadzić do prognoz rozbieżnch. W prac przedstawiona została procedura predkcji z układu równań współzależnch nazwana zredukowano-łańcuchową. Następuje rozerwanie sprzężenia zwrotnego (zamkniętego cklu powiązań). Umożliwi to rozpoczęcie predkcji która będzie kontnuowana zgodnie z kierunkiem w mechanizmie powiązań zmiennch łącznie współzależnch według zasad predkcji łańcuchowej. Prognoza z równania form zredukowanej zostanie wkorzstana do szacowania prognoz zgodnie z regułą predkcji łańcuchowej w pozostałch równaniach układu. Procedurę predkcji kontnuuje się jeśli prognoza z form zredukowanej różni się istotnie od prognoz z tegoż równania form strukturalnej. Słowa kluczowe: predkcja ekonometrczna prognoza ekonometrczna predktor układ równań współzależnch. Summar: Prediction from an interdependent sstem of equations can be carried out in two was. In the first procedure equations of the structural form of a model are used. In the second proceeding inference into the future is based on the reduced-form equations. Prediction from the reduced form however can lead to divergent forecasts. he work presents the procedure of prediction from an interdependent sstem of equations based on the structural form which can be called the reduced-chain prediction procedure. he procedure requires a break of the feedback or of the closed ccle of links. It will allow starting an econometric prediction which will be continued in accordance with the direction in the linkage mechanism of jointl interdependent variables according to the chain prediction principle. he forecast obtained from the reduced-form equation will be used for forecast estimation in accordance with the chain prediction principle in the other equations of the sstem. he prediction procedure is continued if the first forecast from the reduced-form equation differs significantl from an analogous equation of the structural form after the completion of the process on the ccle of equations. Kewords: econometric prediction econometric forecast predictor sstem of interdependent equations.

2 0 Jerz Witold Wiśniewski. Wstęp Predkcja z układów równań współzależnch nie należ do zagadnień często prezentowanch w literaturze ekonomicznej. Zainteresowanie makromodelami ekonometrcznmi powodowało w przeszłości wzmiankowe traktowanie w literaturze predkcji z układów równań współzależnch. Znane w literaturze układ równań współzależnch są głównie modelami gospodarek narodowch różnch państw. Makromodele są oparte najczęściej na danch w postaci rocznch szeregów czasowch które charakterzują się gładkim przebiegiem. Wjątkowo zdarzają się makromodele ekonometrczne oparte na danch kwartalnch. W takich przpadkach dokładność opisu każdego z równań jest zazwczaj wsoka dominują bowiem przpadki współcznnika zbieżności R 2 na poziomie powżej 095 często osiągając wartość 099. W takiej stuacji nie dostrzega się kwestii ewentualnch rozbieżności prognoz uzskiwanch z form zredukowanej po ich konfrontacji z wnikami predkcji z równań w formie strukturalnej modelu. Celem niniejszej prac jest prezentacja autorskiej metod predkcji z układu równań współzależnch opierającej się na empircznch równaniach form strukturalnej przeznaczonej głównie dla mikromodeli ekonometrcznch. Procedura predkcji będzie analogiczna do tzw. predkcji łańcuchowej właściwej dla modelu rekurencjnego. Różnica w porównaniu z predkcją z modelu rekurencjnego polega na konieczności wkorzstania jednego z empircznch równań form zredukowanej do rozpoczęcia procedur budow ciągu prognoz z kolejnch równań empircznch z form strukturalnej. Konsekwencją tego będzie propozcja procedur predkcji z układu równań współzależnch którą można określić jako zredukowano-łańcuchową [Wiśniewski 206a s ]. Stanowi to wkład do teorii budow prognoz ekonometrcznch we wskazanch poniżej okolicznościach. Proponowana procedura predkcji ekonometrcznej zilustrowana została przkładem empircznm opartm na danch z realnie istniejącego małego przedsiębiorstwa. 2. Specfika predkcji z układów równań współzależnch Predkcję z układu równań współzależnch można przeprowadzić dwoma sposobami. W pierwszm sposobie postępowania wkorzstuje się równania strukturalnej form modelu w drugim natomiast wnioskowanie w przszłość odbwa się na podstawie równań form zredukowanej. Metod te nie zastępują się wzajemnie a stosowalność każdej z nich zależ od rodzaju ptań jakie są stawiane i na które należ odpowiedzieć poprzez przeprowadzenie wnioskowania w przszłość. Równania form zredukowanej można wkorzstwać wted gd pomija się w rozważaniach istnienie wzajemnch powiązań przcznowch w stochastcznch zmiennch łącznie współzależnch oraz gd dąż się do oszacowania efektu tlko jednostronnej zależności tch zmiennch. Sposób postępowania jest wówczas zbliżon do tego jaki stosuje się w przpadku równań prostch. Wartości zmiennch

3 Predkacja z układu równań współzależnch endogenicznch odgrwającch w równaniach rolę objaśniającch ustala się prz tm na okres prognozowan takimi metodami jakie stosuje się do zmiennch egzogenicznch. Predkcja oparta na równaniach form strukturalnej uwzględniająca tlko jedną stronę wielostronnch powiązań pomiędz zmiennmi łącznie współzależnmi ma więc charakter wnioskowania w przszłość włącznie na bardzo krótkie okres [Pawłowski 973 s ; Zeliaś 997 s. 20]. lko w bardzo krótkim okresie można abstrahować od innch stron współzależności międz zmiennmi łącznie współzależnmi. W dłuższch okresach współzależności pomiędz zmiennmi endogenicznmi odgrwają istotną rolę a pominięcie ich może wpaczć sens i wniki badań prognostcznch. Z powższego względu większe znaczenie praktczne ma drugi sposób wnioskowania w przszłość opart na równaniach zredukowanej form modelu. W tej metodzie prognozę można traktować jako warunkową nadzieję matematczną prz czm w warunku wstępują zmienne z gór ustalone. Predkcję przeprowadza się na podstawie każdego z równań form zredukowanej pojednczo. Postępowanie jest tu identczne jak w przpadku modelu prostego. Forma zredukowana ma bowiem charakter modelu prostego. Jeśli bezpośrednio oszacowano parametr równań form zredukowanej wówczas znane są wariancje i kowariancje szacunków parametrów strukturalnch każdego z równań tej form. Łatwo można wówczas wznaczć wariancje predkcji dla każdego z równań. rudniej jest natomiast w stuacji gd formę zredukowaną wznaczono z empircznej form strukturalnej. Warto zwrócić uwagę że zazwczaj równania form zredukowanej z którch każde zawiera wszstkie zmienne z gór ustalone charakterzują się wstępowaniem nieistotnch statstcznie zmiennch objaśniającch. Konsekwencją tego są duże zazwczaj średnie błęd predkcji obliczane z form zredukowanej. Dlatego też średnie błęd predkcji dla prognoz z układów równań współzależnch otrzmanch z równań form zredukowanej warto wznaczać z macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnch uzskiwanch z równań form strukturalnej. Predkcja oparta na równaniach form zredukowanej modelu ma w pewnm sensie własności optmalne jeśli do szacowania parametrów zastosowano odpowiednią metodę estmacji [Pawłowski 973 s. 254; Wiśniewski Zieliński 2004 s. 374]. Predkcja oparta na podstawie równań form zredukowanej ma cechę optmalności w tm sensie że daje ona mniejsze błęd średnie predkcji niż inne metod wkorzstujące ten sam zasób informacji. Rozważm predkcję z układu równań współzależnch na podstawie następującego modelu: = α α x α t α η t 0 t 4 5 3t t = x t () 2t α20 α22 t2 α24 β23 3t η2 t x. 3t = α30 α33 t3 β32 2t η3 t

4 2 Jerz Witold Wiśniewski Predkcję z równania pierwszego powższego układu na okres = n można wkonać niezależnie od pozostałch równań ponieważ jest to równanie oderwane. Prognoz oraz 3 należ szacować na podstawie predktora z form zredukowanej: = c c x c x c x c c = c c x c x c x c c (2) gdzie smbolami c ˆgj (g = 2 3; j = ) oznaczono ocen parametrów równań drugiego i trzeciego z form zredukowanej uzskane za pomocą KMNK. Predktorem dla pierwszej zmiennej łącznie współzależnej będzie: = a a x a a (3) w którm smbolami a0 a a4 a 5 oznaczono ocen parametrów strukturalnch równania uzskane za pomocą klascznej metod najmniejszch kwadratów (KMNK). Dostrzec można że w kolejnch okresach prognozowanch ( = n 2 n 3... n τ) pojawia się konieczność stosowania predkcji sekwencjnej. Zmienna opóźniona 3 wstępująca w każdm z równań rozpatrwanego predktora powoduje konieczność szacowania w pierwszej kolejności prognoz trzeciej zmiennej łącznie współzależnej. Pozwoli to na wkorzstwanie w kolejnch okresach w każdm z równań predktora Y p prognoz 3 jako zmiennej objaśniającej w poszczególnch równaniach. 3. Proponowana procedura predkcji Problematka modeli wielorównaniowch należ do klaski teorii ekonometrii oraz ekonometrii stosowanej. Empirczne zagadnienia prognozowania oparte na modelach wielorównaniowch nie należą do często przedstawianch w literaturze. Szczególnie mało jest prac na temat prognoz z układów równań współzależnch. Dotcz to zwłaszcza mikromodeli ekonometrcznch. Mimo niewielkiego zainteresowania tą problematką ze stron badacz należ wzbogacać literaturę o nowe rozwiązania prognostczne. Pozwoli to rozwiązwać ważne zagadnienia prognozowania zwłaszcza w mikroskali gd pojawi się konieczność szacowania prognoz opartch na układach równań współzależnch na poziomie przedsiębiorstw. Prognoz z układu równań współzależnch można szacować również częściowo z równań form zredukowanej oraz w części z równań form strukturalnej. Rozważm następując układ równań: x t t = α0 α t α4 α6 3t β4 4t η t

5 Predkacja z układu równań współzależnch 3 x 2t = α20 α22 t2 β2 t α25 2t η2 t = α α t β β α η (4) 3t t 32 2t 35 2t 3 t x. 4t = α40 α43 t3 β43 3t α46 3t η4 t Dostrzega się zamknięt ckl powiązań zmiennch łącznie współzależnch: t 2t 4t 3t (5) któr oznacza układ równań współzależnch. Predkcję z powższego modelu można przeprowadzić techniką mieszaną: częściowo z form zredukowanej oraz częściowo z form strukturalnej stosując technikę predkcji łańcuchowej specficznej dla modelu rekurencjnego. Korzstanie w szacowaniu prognoz z predktora form strukturalnej o postaci: a a x a a b = = a a x b a = a30 a3 b3 b32 a35 (6) = a a x b a nie jest natchmiastowo możliwe. Przeszkodą jest brak równania początkowego jako rezultat zamkniętego cklu powiązań tworzącego pętlę (5). Likwidacja pętli może nastąpić przez wkorzstanie równania form zredukowanej do oszacowania prognoz czli: = c c x c x c x c c c (7) Znajomość prognoz umożliwia zastosowanie techniki predkcji łańcuchowej do kolejnch równań predktora w formie strukturalnej. Możem zatem oszacować prognozę z równania:. = a20 a22x2 b2 a25 (8) Dsponowanie prognozami na podstawie równania: oraz ( p 0) umożliwia oszacowanie prognoz. = a30 a3 b3 b32 a35 (9)

6 4 Jerz Witold Wiśniewski Mając prognozę naniu: można oszacować prognoz opierając się na rów-. = a40 a43x3 b43 3 a46 3 (0) z rów- Posiadanie prognoz umożliwia z kolei oszacowanie prognoz nania form strukturalnej: = a a x a a b. () Istnieje bowiem konieczność porównania prognoz z prognozą. W przpadku istotnej różnic pomiędz tmi prognozami należ oszacować prognozę z równania:. = a20 a22x2 b2 a25 (2) Prowadzi to do wznaczenia kolejnch prognoz 3 oraz ( p ) na podstawie równania: oraz 3 = a30 a3 b3 b32 a35 (3). = a40 a43x3 b43 3 a46 3 (4) Proponowana technika predkcji na kolejne okres prognozowane winna uwzględniać konieczność postępowania sekwencjnego wnikającego z wstępowania opóźnionch zmiennch endogenicznch oraz 3. Ostatecznie pre- dkcja z układu równań współzależnch może łączć predkcję z równań form zredukowanej z predkcją sekwencjną oraz łańcuchową. Korzstanie w szacowaniu prognoz z predktora form strukturalnej o postaci: a a x a a b = a a x b a = = a a b b a (5) a a x b a = można dopuścić z powtórzeń co doprowadzi ostatecznie do prognoz zbieżnch z równań o postaci: a a x a a b ( pz) ( pz ) = a a x b a ( pz) ( pz) =

7 Predkacja z układu równań współzależnch 5 Prowadzi to do prognoz = a a b b a (6) ( pz) ( pz) ( pz) a a x b a ( pz) ( pz). = które należ porównać z analogicznmi prognozami z pierwszej iteracji czli. W przpad- ku znacznch różnic i i (i = 2 3 4) należ kontnuować obliczenia prognoz w kolejnch iteracjach aż do iteracji o numerze z w celu uzskania nieistotnch różnic w ostatniej iteracji obliczeń (z) w porównaniu z iteracją bezpośrednio poprzedzającą (z ). Prognoz z poszczególnch równań predktora (6) uzskane w kolejnch v = z iteracjach zamieszczono w tab.. abela ta zawiera również różnice pomiędz prognozami otrzmanmi w kolejnch sąsiadującch iteracjach obliczeniowch. abela. Prognoz z układu równań współzależnch w kolejnch z iteracjach Równanie predktora Iteracja 0 Iteracja Różnica Iteracja 2 Różnica 2 Iteracja z Różnica z ( pz) ( pz) ( pz) ( pz) ( pz) ( pz ) ( pz) ( pz ) ( pz) ( pz ) ( pz) ( pz ) Źródło: opracowanie własne. Proponowana procedura budow prognoz z układów równań współzależnch należ do najtrudniejszch przez znaczną komplikację postępowania badawczego. Dla każdego z okresów prognozowanch ( = n n τ) należ bowiem przeprowadzić z g (g = τ) iteracji. Jeśli dodać do tego konieczność uważnego postępowania związanego z sekwencjnością predkcji prz uwzględnianiu możliwch zmiennch krteriów zbieżności w kolejnch okresach i zmiennch prognozowanch to skala trudności okazuje się relatwnie wsoka. Potrzeba budow prognoz dokładnch oraz o znacznej użteczności dla decdenta wwołuje jednak konieczność poszukiwania procedur spełniającch zapotrzebowanie praktki gospodarczej zwłaszcza na poziomie przedsiębiorstwa. 4. Przkład modeli o równaniach współzależnch W ostatnich latach w literaturze pojawiają się rozwiązania modelowe z obszaru mikroekonometrii uwzględniające opis przedsiębiorstwa lub jego części za pomocą Zdefiniowanie poziomu nieistotnej różnic należ do użtkownika prognoz. Wielkości te zależą od potrzeb użtkownika (decdenta).

8 6 Jerz Witold Wiśniewski układów równań współzależnch. Wwołuje to potrzebę konstrukcji adekwatnch rozwiązań związanch z wkorzstaniem tch modeli do budow prognoz ekonometrcznch. W literaturze zagranicznej brakuje wielorównaniowch mikromodeli ekonometrcznch. Wnika to przede wszstkim z definiowania mikroekonometrii w sposób prezentowan przez Heckmana i McFaddena jako tworzenie narzędzi analiz mikrodanch. W Polsce mikroekonometria rozumiana jest jednak przez część badacz podmiotowo jako część mikroekonomii [Hozer 203]. Dlatego w Polsce pojawił się pierwsze mikromodele ekonometrczne opisujące przedsiębiorstwo. Konkretne empirczne modele o równaniach współzależnch zastosowanch w przedsiębiorstwie znaleźć można w pracach Wiśniewskiego [2003; 2009; 206a; 206b] oraz w prac Strjewskiego [2005]. Sprzężenie zwrotne wstępuje jako współzależność pomiędz wdajnością prac (WP) a przeciętną płacą (SRPL) co można zapisać jako [Wiśniewski 206a s ]: Analogiczne sprzężenie zwrotne wstępuje pomiędz miernikiem skuteczności windkacji wierztelności w przedsiębiorstwie (liq t ) a miernikiem płnności finansowej (evind t ): (7) liqt evindt. (8) Wstępowanie sprzężeń zwrotnch (7) i (8) powoduje konieczność predkcji zredukowano-łańcuchowej. Są to przpadki najprostsze niepowodujące nadmiernch komplikacji w procesie predkcji. Komplikacje pojawiają się w stuacji zamkniętego cklu powiązań obejmującego wiele zmiennch łącznie współzależnch. aka stuacja ma miejsce w ekonometrcznm modelu małego przedsiębiorstwa w którm wstępuje jednocześnie kilka takich przpadków [Wiśniewski 2003 s. 70]. Jeden z tch ckli ma następującą postać: (9) W mechanizmie (9) wstępują: PIEN wartość wpłwów pieniężnch SPRZED wartość przchodów ze sprzedaż brutto PROD wartość produkcji gotowej MRW wartość początkowa środków trwałch INW wartość inwestcji w małm przedsiębiorstwie w danm okresie. Przeprowadzenie predkcji z układu pięciu równań współzależnch jest procedurą o dużm stopniu komplikacji już na poziomie pierwszego okresu prognozowane-

9 Predkacja z układu równań współzależnch 7 go. Zważwsz na to że w empircznm modelu ekonometrcznm małego przedsiębiorstwa opartm na danch miesięcznch wstępuje wiele zmiennch endogenicznch o rozmaitch okresach opóźnień zadanie budow prognoz jest nadzwczaj skomplikowane. Konieczne doświadczenia empirczne mogą doprowadzić do ustalenia procedur ogólnej lub procedur specficznch w określonch warunkach modelowch. 5. Przkład empirczn Poniżej przedstawion zostanie empirczn układ równań współzależnch 2 ze sprzężeniem zwrotnm tpu (7). Model zbudowan został na podstawie kwartalnch szeregów czasowch z kolejnch ośmiu lat. W modelu wstępują następujące oznaczenia zmiennch: WYDt wdajność prac w ts. zł na zatrudnionego kwartalnie SRPLt średnia płaca netto w ts. zł na zatrudnionego kwartalnie t zmienna czasowa Q zmienna zero-jednkowa przjmująca wartość w każdm pierwszm kwartale oraz 0 w pozostałch kwartałach Q2 zmienna zero-jednkowa przjmująca wartość w każdm drugim kwartale oraz 0 w pozostałch kwartałach. Ponadto wstępują charakterstki dokładności opisu równań empircznch z odpowiednimi indeksami adekwatnmi dla poszczególnch równań: R2 współcznnik determinacji Su błąd standardow reszt DW wartość statstki Durbina i Watsona hdrb wartość statstki h Durbina ˆρ współcznnik autokorelacji reszt pierwszego rzędu. Empirczne równania w formie strukturalnej mają następującą postać: WYDt = SRPL 5 2 Q 63 Q (20) t 2 (7598) (3932) (4686) (563) R = Su = 254 DW = wd wd wd SRPL = WYD 0 493SRPL 275t 2989 Q (2) t t t (035) (4506) (397) (277) (3498) R = 0937; Su = 889; hdrb = 0849; r = srpl srpl srpl srpl 2 Dane statstczne niezbędne do budow tego tpu modeli znaleźć można na stronie internetowej: Są to w większości przpadków informacje statstczne pochodzące z realnie istniejącch przedsiębiorstw. Obliczenia wkonano za pomocą pakietu GREL.

10 8 Jerz Witold Wiśniewski Układ równań empircznch w formie zredukowanej jest następując: WYD = SRPL 0 076t 5 4 Q 7 Q (22) * t * t t 2 (6325 (0755) (054) (4308) (5754) R = 0673; Su = 275; DW = zwd zwd zwd SRPL = SRPL 293t 68 2Q 3266 Q (23) t 2 (3767) (3960) (2623) (079) (3484) R = 0924; Su = 208; hd = 0098; r = zsrpl zsrpl zsrpl Rozstrzgnięcia wmaga cz predkcję z równania form zredukowanej można rozpocząć od dowolnego równania 3 cz też warto ustalić zasadę wskazwania takiego równania. Intuicjnie można uznać że rozpocząć należ od równania form zredukowanej o najwższej wartości współcznnika determinacji (R 2 ). W związku z tm predktor pozwalając oszacować prognozę średniej płac zapisać można następująco: * p srpl SRPL = SRPL Q Q. (24) 2 Wstarcz znać wartość ostatniej obserwacji na przeciętnej płac kwartalnej w przedsiębiorstwie która wnosi SRPL 2008;IV = ts. zł na zatrudnionego kwartalnie. Prognoza średniej płac na pierwsz kwartał 2009 roku wnosi: * SRPL p = 2009; Posiadanie prognoz średniej płac z predktora w formie zredukowanej umożliwia wznaczenie prognoz wdajności prac na pierwsz kwartał 2009 roku z form strukturalnej za pomocą równania predktora: WYDp = SRPL 5 2Q 63 Q. (25) p 2 Prognoza wdajności prac na pierwsz kwartał 2009 roku: WYD 2009; p = Możliwe jest teraz wznaczenie prognoz średniej płac na pierwsz kwartał 2009 roku z równania predktora w formie strukturalnej: SRPL = WYD 0 493SRPL Q. (26) p p (035) (4506) (397) (277) (3498) 3 Ma to szczególnie duże znaczenie prz znacznej liczbie zmiennch wstępującch w zamkniętm cklu np. w przpadku mechanizmu tpu (9).

11 Predkacja z układu równań współzależnch 9 Prognoza średniej płac obliczona na podstawie równania (26) wnosi: SRPL = 2009; p Możliwa jest teraz konfrontacja prognoz przeciętnej płac kwartalnej uzskanej na podstawie równania predktora z form strukturalnej ( SRPL = 36805) 2009; p z prognozą tejże średniej płac obliczonej na podstawie predktora z form zredukowanej ( SRPL * 2009; p = ). Pojawia się różnica w wartościach prognoz która wnosi 0 zł na zatrudnionego czli około 027%. Z punktu widzenia praktki zarządzania przedsiębiorstwem różnicę tę można uznać za nieistotną 4. Oznacza to uzskanie prognoz zbieżnch średniej płac. Można zatem zakończć procedurę predkcji na pierwszej iteracji bez konieczności poprawiania prognoz. Pozwoli to wkorzstać prognoz wdajności prac i przeciętnej płac do podejmowania adekwatnch deczji zarządczch. 6. Zakończenie Problematka modeli wielorównaniowch należ do klaski teorii ekonometrii oraz ekonometrii stosowanej. Empirczne zagadnienia prognozowania oparte na modelach wielorównaniowch nie należą do często przedstawianch w literaturze. Szczególnie mało jest prac na temat prognoz z układów równań współzależnch zwłaszcza mikromodeli ekonometrcznch opisującch konkretn podmiot gospodarując. Obserwuje się niewielkie zainteresowanie badacz problematką mikromodeli ekonometrcznch opisującch przedsiębiorstwo. Fundamentalnm powodem jest brak dostępu do informacji statstcznch na poziomie przedsiębiorstwa. Wskutek tego dominują prace empirczne z obszaru ekonometrii finansowej. Powszechnie dostępne są bowiem dane statstczne z giełd cz też z rnków finansowch pozwalające zaspokoić głód ekonometrcznch badań empircznch. Przejście na etap wkorzstwania danch z podmiotów gospodarczch do budow mikromodeli przedsiębiorstw stworz potrzebę ich wkorzstania do budow prognoz. Pozwoli to rozwiązwać ważne zagadnienia prognozowania zwłaszcza w mikroskali gd pojawi się konieczność szacowania prognoz opartch na układach równań współzależnch na poziomie przedsiębiorstw. Konkretne badania empirczne w którch będą wkorzstwane układ równań współzależnch do budow prognoz ekonometrcznch zwerfikują rozmaite propozcje metod predkcji. Pomogą one we wskazaniu najlepszch procedur w określonch okolicznościach pro- 4 Możliwe jest tu zastosowanie rozmaitch krteriów zbieżności. Statstk zapewne chciałb testować istotność różnic pomiędz prognozami wkorzstując odpowiedni test statstczn. Praktk zarządzając przedsiębiorstwem wbierze raczej krterium analogiczne do granicznego błędu predkcji lub względnego granicznego błędu predkcji.

12 20 Jerz Witold Wiśniewski gnozowania. W obecnm stanie zaawansowania badań nad ekonometrcznmi modelami przedsiębiorstw trudne są niezbędne w nauce uogólnienia. Literatura Hozer J. 203 Mikroekonometria Studia i Prace Wdziału Nauk Ekonomicznch i Zarządzania Uniwerstetu Szczecińskiego nr 3 s Pawłowski Z. 97 Modele ekonometrczne równań opisowch wd. drugie PWN Warszawa. Pawłowski Z. 973 Prognoz ekonometrczne PWN Warszawa. Pawłowski Z. 976 Ekonometrczna analiza procesu produkcjnego PWN Warszawa. Strjewski Podejście modułowo-relacjne jako uniwersaln schemat budow ekonometrcznego modelu przedsiębiorstwa praca doktorska Uniwerstet Mikołaja Kopernika oruń. Wiśniewski J.W Ekonometrczn model małego przedsiębiorstwa GRAVIS oruń. Wiśniewski J.W Mikroekonometria Wdawnictwo Naukowe UMK oruń. Wiśniewski J.W. 206a Microeconometrics in Business Management John Wile & Sons Ltd New York Chichester Singapore. Wiśniewski J.W. 206b Empirical econometric model of an enterprise Folia Oeconomica Stetinensia s Wiśniewski J.W. Zieliński Z Element ekonometrii wd. piąte zmienione UMK oruń. Zeliaś A. 997 eoria prognoz PWE Warszawa.