Ruch i położenie satelity. dr hab. inż. Paweł Zalewski, prof. AM Centrum Inżynierii Ruchu Morskiego

Transkrypt

1 Ruch i położenie satelity dr hab. inż. Paweł Zalewsi, prof. AM Centrum Inżynierii Ruchu Morsiego

2 Podstawy mechanii ciał niebiesich: Znajomość pozycji satelity w przyjętym systemie odniesienia w danym momencie czasu (epoce) jest założeniem dynamicznej metody pomiarowej. Uogólniając - doładność ostatecznych wyniów pomiarów satelitarnych jest uzależniona od doładności modelu orbit satelitarnych, czego przyładem może być wyznaczenie współrzędnych przy pomocy GPS. Wymóg doładności współrzędnych rzędu 1 cm może być spełniony przy znajomości orbit satelitarnych z analogiczną doładnością. W mechanice ciał niebiesich najprostszą formą ruchu jest ruch dwóch obietów (zagadnienie dwóch ciał). Dla sztucznych satelitów Ziemi masę satelity w porównaniu z masą ciała centralnego Ziemi można pominąć. Zagadnienie (problem) dwóch ciał można sprecyzować jao: Znając w danym czasie pozycje i prędości dwóch cząste o znanej masie, poruszających sie pod wpływem wzajemnej siły grawitacyjnej, wyznacz ich pozycje i prędości w innym czasie

3 Podstawy mechanii ciał niebiesich: Przy założeniu, że oba obiety są jednorodne i wytworzone pole grawitacyjne (potencjał grawitacyjny) odpowiada polu obietu puntowego, ruch orbitalny w zagadnieniu dwóch ciał można opisać empirycznie za pomocą praw Keplera lub analitycznie za pomocą praw mechanii Newtona (uproszczeniem jest pominięcie efetów relatywistycznych w prawach zachowania energii, pędu i momentu pędu). Zagadnienie dwóch ciał jest jednym z nielicznych problemów mechanii ciał niebiesich, tóry można przedstawić ogólnym modelem analitycznym. Inne problemy ruchu trzech lub więcej ciał niebiesich pod wpływem wzajemnej grawitacji mają jedynie modele szczególne

4 Podstawy mechanii ciał niebiesich: Oprócz lasycznych perturbacji (załóceń zgodnego z prawami Keplera ruchu ciał niebiesich, spowodowanych obecnością innych ciał oraz oporem ośroda) musi być taże modelowany wpływ anomalii pola grawitacyjnego Ziemi (wyniających z jej niejednorodnej budowy i ształtu) oraz sił pozagrawitacyjnych. Umożliwił to rozwój omputerów przetwarzających duże ilości danych oraz implementowane w nich algorytmy numerycznego całowania. Solar radiation - 4 -

5 Pierwsze prawo Keplera: Pierwsze prawo: Orbita ażdej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z jej ognis. Stąd: Orbita SSZ jest elipsą z Ziemią w jednym z jej ognis. Oś wiela elipsy, Aπ, jest nazywana linią pomiędzy antypodami lub linią apsyd. Punt orbitalny A, najdalszy od centrum mas systemu orbitalnego - 0, nazywany jest puntem apocentrum. Punt π na orbicie, najbliższy centrum mas jest nazywany perycentrum. Gdy w p. 0 znajduje się Słońce, A i π nazywane są aphelium (afelium) i peryhelium. Gdy 0 odpowiada środowi masy Ziemi, wtedy A i π nazywają się apogeum i perygeum. Kąt ν jest tzw. anomalią prawdziwą

6 Pierwsze prawo Keplera: Pierwsze prawo: Orbita ażdej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z jej ognis. Stąd: Orbita SSZ jest elipsą z Ziemią w jednym z jej ognis. Położenie masy puntowej m może być opisane współrzędnymi biegunowymi r, ν, gdzie 0π jest jedną z osi odniesienia orbitalnego uładu współrzędnych. r odległość masy puntowej m od centrum mas, ν anomalia prawdziwa, a półoś wiela, e escentryczność liczbowa, p parametr elipsy

7 Pierwsze prawo Keplera: Ogólnie: Pod wpływem siły centralnej ciała (satelity) poruszają się po tzw. rzywych stożowych: elipsie, paraboli lub hiperboli. Równanie rzywej eliptycznej: (dla e = 0 orąg) Dla ąta escentryczności : - 7 -

8 Drugie prawo Keplera: Drugie prawo: Linia łącząca Słońce z planetą (promień wodzący planety) zareśla w równych odstępach czasu równe pola powierzchni wewnątrz orbity. Na podstawie tego prawa można ustalić położenie satelity w funcji r (odległości od ognisa orbity) i ν (anomalii prawdziwej)

9 Drugie prawo Keplera: Drugie prawo: Linia łącząca Słońce z planetą (promień wodzący planety) zareśla w równych odstępach czasu równe pola powierzchni wewnątrz orbity. Według drugiego prawa obszar F zareślany przez r jest proporcjonalny do przedziału czasu t. c jest stałą prędością polową

10 Drugie prawo Keplera: Ogólnie: W równych odstępach czasu promień wodzący satelity zareśla stałą wartość pola powierzchni wewnątrz orbity. Wprowadzając współrzędne prostoątne x, y: Pochodna tan v po czasie: Zastępując cos ν i wprowadzając otrzymujemy prawo Keplera we współrzędnych artezjańsich:

11 Trzecie prawo Keplera: Trzecie: Stosune sześcianów więszych półosi orbit planetarnych do wadratów oresów obiegu planet woół Słońca jest stały. Ogólnie: Kwadrat oresu obiegu satelity w polu grawitacyjnym jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości od przyciągającego ciała

12 Trzecie prawo Keplera: Trzecie: Kwadrat oresu obiegu satelity w polu grawitacyjnym jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości od przyciągającego ciała. W zapisie matematycznym oznacza to, że dla różnych satelitów P i o oresach obiegu U i, średnie prędości ątowe: C jest stałą systemu planetarnego: Ogólnie: gdzie jest uniwersalną stałą, a M, m są masami odpowiednich ciał

13 Prawa Keplera:

14 Prawo grawitacji Newtona: Każda cząsta materii we Wszechświecie przyciąga ażdą inną cząstę materii z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do wadratu odległości między nimi: K jest wetorem wypadowym wszystich sił działających na masy M i m, a G jest stałą grawitacji:

15 Prawo grawitacji Newtona: W artezjańsim uładzie współrzędnych o osiach: x, y, z oraz ątach: α, β, γ pomiędzy ieruniem siły a odpowiednimi osiami: Dla sztucznych satelitów Ziemi masa m może być pominięta. Podstawowe równanie ruchu satelity przyjmie więc postać: gdzie r jest wetorem wodzącym SSZ wychodzącym z geocentrum

16 Parametry orbity: Część wspólna płaszczyzn równia i orbity nazywana jest linią węzłów, tórą wyznaczają punt przejścia satelity z półuli południowej na północną (węzeł wstępujący - W w ), oraz przeciwległy węzeł zstępujący - W z. Podobnie prosta wyznaczona przez punty apogeum i perygeum oreślana jest jao linia absyd

17 Parametry orbity: Elementy orbity: Retascensja (długość) węzła wstępującego (Ω) - mierzony przeciwnie do ruchu wsazówe umieszczonego na biegunie północnym zegara ąt jai tworzy linia węzłów z osią X uładu współrzędnych. Inlinacja (nachylenie) orbity (i) - mierzony przeciwnie do ruchu wsazówe umieszczonego w węźle W w zegara ąt jai tworzy płaszczyzna równia z płaszczyzną orbity. Orbity, dla tórych i = 0 nazywane są równiowymi, zaś te, dla tórych i = 90 - biegunowymi

18 Parametry orbity: Elementy orbity: Argument perygeum (ω) - mierzony w płaszczyźnie orbity ąt pomiędzy ieruniem węzła W w i ieruniem perygeum. Czas przejścia przez perygeum (t p ) - chwila osiągnięcia przez satelitę puntu najbliższego Ziemi. Duża półoś orbity (a) oraz mimośród orbity (e) - parametry elipsy orbitalnej

19 Parametry orbity: Ω - retascensja (długość) węzła wstępującego i - inlinacja (nachylenie) orbity ω - argument perygeum a - duża półoś orbity e - mimośród (escentryczność) orbity v - anomalia prawdziwa

20 Parametry orbity:

21 Prawa zachowania: Za pomocą trzech zależności praw zachowania: energii: momentu pędu: pędu: możemy streścić wiedzę dotyczącą ruchu satelity po orbicie

22 Prawa zachowania: (1) Rodzina rzywych stożowych (orąg, elipsa, parabola, hiperbola) zawiera jedyne możliwe trajetorie orbity w zagadnieniu dwóch ciał. (2) Ogniso orbity stożowej znajduje się w środu ciała centralnego. (3) Suma energii inetycznej i potencjalnej podczas ruchu satelity po orbicie stożowej nie zmienia się pozostaje stała. Satelita zwalnia wraz ze wzrostem odległości od ciała centralnego i przyśpiesza wraz ze zmniejszeniem odległości od ciała centralnego. (4) Ruch orbitalny satelity odbywa się na płaszczyźnie umieszczonej w uładzie inercjalnym (uład odniesienia, względem tórego ażde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynu). (5) Moment pędu satelity względem ciała centralnego jest stały

23 Prawa zachowania: Charaterystyczne parametry rzywych stożowych:

24 Całowanie numeryczne praw zachowania: Zależność pomiędzy anomalią prawdziwą ν a escentryczną (mimośrodową) E: - średnia prędość ątowa: 2 n T - średnia anomalia:, 3, a 14 m s 2 3 W celu wyliczenia E z M powyższe równanie eliptyczne musi być rozwinięte w szereg Fouriera

25 Obliczanie współrzędnych położenia satelity GPS: Sorygowaną wartość średniej prędości ątowej (ruchu średniego) satelity n otrzymamy dodając do n poprawę transmitowaną w depeszy nawigacyjnej: n n n Anomalię średnią odniesioną do momentu obserwacji: M M 0 n ( t t0) M 0 nt Wartość anomalii escentrycznej E znajdujemy rozwiązując numerycznie (iteracyjnie) równanie: M E esin E Anomalię prawdziwą: v tan 1 1 e cos 2 sin E E e Argument szeroości f uzysujemy w oparciu o wartość anomalii prawdziwej oraz argumentu perygeum ω: f

26 Obliczanie współrzędnych położenia satelity GPS: Korecja argumentu szeroości: u sin( 2f ) C cos(2f ) Korecja promienia wodzącego orbity satelity: C r Crs sin( 2f ) Crc cos(2f ) Korecja inlinacji (nachylenia) orbity satelity: i C is us sin( 2f ) C ic uc cos(2f ) IDOT t Poprawiony o orecję z perturbacji ruchu satelity argument szeroości: u f u Poprawiony o orecję promień wodzący orbity satelity: r a 1 ecos( E) r Poprawiona o orecję inlinacja orbity satelity: i i 0 i

27 Obliczanie współrzędnych położenia satelity GPS: Poprawiona o orecję retascensja (długość węzła wst.) orbity satelity: Współrzędne satelity w płaszczyźnie orbity (orbitalne): Geocentryczne współrzędne prostoątne położenia satelity (jcentrum fazowego anteny nadawczej) w przyjętym uładzie odniesienia np. WGS84 lub GRS80: 0 0 ) ( t t e e ) sin( ' ) cos( ' u r y u r x ) sin( ' ) )cos( cos( ' ) sin( ' ) )sin( cos( ' ) cos( ' i y z i y x y i y x x

28 Obliczanie współrzędnych położenia satelity GPS: CIO - Celestial International Origin CTS - Conventional Terrestrial System

29 Dane potrzebne do wyznaczenia położenia satelity GPS: 1) M 0 - anomalia średnia dla epoi danych efemerydalnych, 2 n - poprawa ruchu średniego, 3) e - mimośród orbity, 4) a - duża półoś elipsy lub jej pierwiaste, 5) Ω 0 - retascensja węzła wstępującego orbity, 6) i 0 - inlinacja orbity, 7) ω - argument perygeum,. 8) Ω - zmiana retascensji w funcji czasu, 9) IDOT - zmiana inlinacji w funcji czasu, 10) C uc - oreta argumentu szeroości (cos), 11) C us - oreta argumentu szeroości (sin), 12) C rc - oreta promienia wodzącego satelity (cos), 13) C rs - oreta promienia wodzącego satelity (sin), 14) C ic - oreta inlinacji (cos), 15) C is - oreta inlinacji (sin), 16) t 0 - czas odniesienia danych efemerydalnych, 17) IODE - wie danych efemerydalnych