Jolanta Długosz FUNKCJE ZESPOLONE. Teoria, przykłady, zadania. Wydanie szóste zmienione. GiS

Transkrypt

1 FUNKCJE ZESPOLONE

2 Jolanta Długosz FUNKCJE ZESPOLONE Teoria, przykłady, zadania Wydanie szóste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 013

3 Jolanta Długosz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska jolanta.dlugosz@ pwr.wroc.pl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Jolanta Długosz Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Printed in Poland Składwykonanowsystemie L A TEX. ISBN Wydanie VI zmienione, Wrocław 013. Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4

4 Spis treści Wstęp 7 1 Liczby zespolone Pojęciawstępne Postaćtrygonometrycznaiwykładnicza Pierwiastkowanieliczbzespolonych Zbiorynapłaszczyźniezespolonej Graniceciągówzespolonych... 5 Zadania... 8 Funkcje zespolone 9.1 Podstawowepojęcia Funkcjewykładniczaitrygonometryczne Logarytmifunkcjalogarytmiczna Odwzorowaniazbiorównapłaszczyźniezespolonej Graniceiciągłośćfunkcjizespolonych Zadania Funkcje holomorficzne Pochodnafunkcjizespolonejzmiennejzespolonej RównaniaCauchy ego Riemanna Funkcjeholomorficzneiharmoniczne Interpretacjefunkcjiholomorficznej.Potencjałzespolony Zadania Całki funkcji zespolonych Funkcjazespolonazmiennejrzeczywistej Krzywenapłaszczyźniezespolonej Całkakrzywoliniowafunkcjizespolonejzmiennejzespolonej TwierdzeniecałkoweCauchy ego WzórcałkowyCauchy ego... 7 Zadania

5 5 Szeregi zespolone Szeregiliczbowe Szeregipotęgowe SzeregiTaylora Punktyzerowefunkcjiholomorficznej Zadania Punkty osobliwe i residua 97.1 SzeregiLaurenta Punktyosobliwe Residua Zastosowanieresiduówdoobliczaniacałek Zadania Przekształcenie Laplace a DefinicjaprzekształceniaLaplace a WłasnościprzekształceniaLaplace a OdwrotneprzekształcenieLaplace a Metodywyznaczaniaoryginałów Metodaoperatorowa Splotfunkcji Transmitancja Zadania Przekształcenie Z Definicjaprzekształcenia Z Własnościprzekształcenia Z Przekształcenieodwrotneimetodyjegowyznaczania Zastosowaniedorozwiązywaniarównańróżnicowych Zadania Odpowiedzi 15 Dodatek 18 Literatura 185 Skorowidz 18

6 Wstęp Niniejszy podręcznik jest przeznaczony dla studentów politechnik. Mogą z niego korzystać także studenci wydziałów fizyki i matematyki uniwersytetów. W książce omówiono funkcje zespolone oraz ich zastosowania. Podręcznik składa się z ośmiu rozdziałów. W rozdziale pierwszym przypominano podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych i zbiorach na płaszczyźnie zespolonej. W rozdziale drugim wprowadzono funkcje zespolone oraz omówiono granice i ciągłość takich funkcji. W następnym rozdziale wprowadzono pochodne funkcji zespolonej i omówiono ich własności. Kolejny rozdział poświęcony jest całce funkcji zespolonej i jej własnościom. Rozdział piąty zawiera wprowadzenie do szeregów zespolonych. W rozdziale szóstym omówiono szeregi Laurenta oraz wprowadzono residua i pokazano ich zastosowanie do obliczania całek. W rozdziale przedostatnim i ostatnim omówiono odpowiednio przekształcenie Laplace a i przekształcenie Z oraz ich zastosowania do rozwiązywania równań różniczkowych i różnicowych. W książce materiał teoretyczny jest ilustrowany odpowiednio dobranymi przykładami. Pomagają one lepiej zrozumieć wprowadzane pojęcia i formułowane twierdzenia. Przykłady mogą służyć także jako wzorzec przy samodzielnym rozwiązywaniu zadań umieszczonych na końcu rozdziałów. Dodatkowo każdy podrozdział jest zakończony ćwiczeniami, których przerabianie na bieżąco utrwala materiał. Do wszystkich ćwiczeń i zadań podane są odpowiedzi lub wskazówki. W obecnym wydaniu zmieniono układ i zakres materiału. W szczególności dodano rozdział o przekształceniu Z. Dołączono także nowe przykłady, ćwiczenia i zadania oraz rysunki. Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki. Jolanta Długosz 7

7 1 Liczbyzespolone W podręczniku symbole x, y, t zawsze oznaczają liczby rzeczywiste, a symbole ux, y), vx, y), xt), yt) funkcje rzeczywiste zmiennych rzeczywistych. 1.1 Pojęciawstępne Dla wygody Czytelników przypominamy wiadomości o liczbach zespolonych wykorzystywane w podręczniku. Każda liczba zespolona z ma postać z=x+iy, gdziex,y R,aijestjednostkąurojoną.Tensposóbprzedstawianialiczbzespolonych nazywamy postacią algebraiczną. Liczby x i y nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistąiurojonąliczbyzespolonejz,cozapisujemy=x,=y. Definicja 1.1. sprzężenie liczby zespolonej) Sprzężeniemliczbyzespolonejz=x+iy,gdziex,y R,nazywamyliczbę z=x iy. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych definiujemy tak, aby działania te na liczbach rzeczywistych były szczególnym przypadkiem działań na liczbach zespolonych i by zachować ich własnościprzemienność oraz łączność dodawania i mnożenia, rozdzielność mnożenia względem dodawania). Pamiętamy przy tym, że i = 1.Abywynikdzieleniaprzezliczbęzzapisaćwpostacialgebraicznejmnożymy dzielną i dzielnik przez z. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy tradycyjnie przez C. Przykład 1.1. Wykonać działania na liczbach zespolonych: a)1+i)3 i); b) + ) 3; 3 i 3i c) +i ; d)5+i) 1+i) +i). 9

8 10 1. Liczby zespolone Rozwiązanie. a) Mamy 1+i)3 i)=1 3 1 i+i 3 i i=3 i+i+4=7+4i b)korzystajączewzorua+b) 3 =a 3 +3a b+3ab +b 3,otrzymamy + 3i ) 3= ) 3 +3 ) 3i+3 ) 3i ) + 3i ) 3 = 8+1 3i i=10+9 3i. c) Mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, otrzymamy 3 i +i =3 i) i) +i) i) = 3i i 1 = 5 5i =1 i. 5 5 d) Wykonamy najpierw działania w liczniku i w mianowniku, a następnie dzielenie jak w poprzednim przykładzie. Mamy 5+i) 1+i) +i) = i i 1+i + i+i = 5+10i i 4+4i 1 = 7+9i 3+4i = 7+9i)3 4i) 3+4i)3 4i) = i+9i 3 9i 4i 3 4i) = i. Przykład1.. Niechz=x+iy,gdziex,y R.Wyznaczyć: a)re iz ) ; b)im 1 z 1. Rozwiązanie. a) Mamy ZatemRe iz ) = xy. b)dlaz 1mamy iz =ix+iy) =i x +ixy y ) = xy+i x y ). 1 z 1 = 1 x+iy 1 = x 1 iy x+iy 1)x 1 iy) = x 1 iy x 1 iy x 1) iy) = x 1) +y. ZatemIm 1 z 1 = y x 1) +y. Definicja1.. płaszczyznazespolona,płaszczyznagaussa 1 ) Liczbęzespolonąx+iy,gdziex,y R,przedstawiamynapłaszczyźniewpostaci punktuowspółrzędnychx,y)lubwektoraopoczątku0,0)ikońcux,y).płaszczyznę, której punktom przyporządkowano liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną zespoloną. W tej interpretacji oś Ox nazywamy osią rzeczywistą, a oś Oy osią urojoną ioznaczamyodpowiednioprzezi.zbiórzłożonyzpłaszczyznyzespoloneji punktu. nazywamy płaszczyzną Gaussa. 1 CarlFriedrichGauss ),matematykniemiecki.

9 1.1. Pojęcia wstępne 11 iy i z=x+iy 1 x Rys Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Uwaga. Płaszczyznę Gaussa można utożsamić ze sferą. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie sfery na płaszczyznę Gaussa można określić następująco: Rozważmy sferę styczną do płaszczyzny zespolonej w punkcie z = 0. Prosta prostopadła do płaszczyzny zespolonej w punkcie styczności przecina sferę jeszcze w jednym punkcie nazwijmy go N. Przyporządkujmy punktowi P sfery punkt z płaszczyzny zespolonej,wktórymprzecinająprostanp.imbliżejpunktunznajdujesiępunkt P,tymdalejodpunktuz=0jestjegoobraznapłaszczyźniezespolonej.Wteorii funkcji zespolonych praktyczne okazało się dołączenie do płaszczyzny zespolonej punktu, który przyporządkujemy punktowi N na sferze. Opisane tu odwzorowanie sfery na płaszczyznę Gaussa nazywa się rzutem stereograficznym. N P z Rys. 1.. Rzut stereograficzny Przykład 1.3. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb zespolonych spełniającychwarunekre 1 z 1. Rozwiązanie.Dlaz=x+iy 0mamy Re 1 z =Re z x iy x =Re z z x +y = x +y 1.

10 1 1. Liczby zespolone Popomnożeniuobustronostatniejnierównościprzezx +y >0otrzymamy x x +y. Stąd po prostych przekształceniach mamy nierówność równoważną ) 1 x 1 +y ). ) 1 Zatem szukany zbiór to zewnętrze koła o środku,0 ipromieniu 1 wrazzbrzegiem,ale bez punktu O. 1 1 Definicja 1.3. moduł liczby zespolonej) Modułemliczbyzespolonejz=x+iy,gdziex,y R,nazywamyliczbęrzeczywistą z = x +y. iy z z z z 1 z x z 1 Rys Moduł liczby zespolonej Rys Moduł różnicy liczb zespolonych Uwaga.Modułróżnicyliczbzespolonychz 1,z jestdługościąodcinkałączącego punktyz 1,z płaszczyznyzespolonej. Fakt 1.1.własności modułu) Niechz,z 1,z będądowolnymiliczbamizespolonymi,andowolnąliczbąnaturalną. Wtedy: F1) z 0oraz z =0 z=0; F) z = z = z ; F3) z, z ; F4) z 1 z = z 1 z,wzórtenjestprawdziwydladowolnejliczbyczynników,w szczególnościmamy z n = z n ;

11 1.1. Pojęcia wstępne 13 F5) z 1 z = z 1 z,oilez 0; F) z 1 +z z 1 + z. Przykład 1.4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki: a) z i <1; b)1< z+ i ; c) iz 1. Rozwiązanie. Wykorzystamy interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. a) Szukany zbiór składa się z tych liczb zespolonych, których odległość na płaszczyźnie zespolonejodpunktuijestmniejszaniż1.zatemzbiórtenjestwnętrzemkołaośrodkuw punkcieiipromieniu1. i 1 b) Ponieważ 1< z+ i 1< z +i), więc szukany zbiór składa się z tych liczb zespolonych, których odległość na płaszczyźnie zespolonejodpunktu +ijestwiększaniż1,aleniewiększaniż.zatemzbiórtenjest pierścieniemośrodku +iorazpromieniuwewnętrznym1izewnętrznym,przyczym okrągopromieniu1nienależydotegopierścienia,aokrągopromieniunależydoniego. 1 +i c) Ponieważ iz = i z = iz+i) = i z+i = z+i, i) więc mamy iz 1 z i) 1. Zatem szukany zbiór składa się z tych liczb na płaszczyźnie zespolonej, które są oddalone od punktu iniemniejniż1.

12 14 1. Liczby zespolone i 1 Definicja 1.4. argument liczby zespolonej) Argumentemliczbyzespolonejz=x+iy 0,gdziex,y R,nazywamykażdąliczbę ϕ R spełniającą układ równań: cosϕ= x z, sinϕ= y z. Przyjmujemy, że argumentem liczby 0 jest dowolna liczba ϕ R. Zbiór wszystkich argumentów liczby z oznaczamy przez Arg z. Argumentem głównym liczby z 0 nazywamy ten jej argument ϕ, który spełnia warunek: ϕ π, π]. Przyjmujemy, że argument główny liczby 0 jest równy 0. Argument główny liczby z oznaczamy przez argz. Uwaga. Argumentem głównym liczby zespolonej z 0 nazywamy miarę ϕ kąta zorientowanego, utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej Re z oraz promień wodzącyliczbyz,przyczym π<ϕ π. z argz z ϕ z ϕ Rys Argumenty liczby zespolonej Fakt 1..własności argumentu) Niech z 0 będzie dowolną liczbą zespoloną. Wtedy: F1) argz= argz,gdyargz πorazargz=π,gdyargz=π; F)arg z)=argz+π,gdy π<argz 0,arg z)=argz π,gdy0<argz π; ) ) 1 1 F3) arg = argz,gdyargz πorazarg =π,gdyargz=π. z z

13 1.1. Pojęcia wstępne 15 Przykład 1.5. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki: a) π <argz π 3 ; b)0 argz+ i) 3π 4. Rozwiązanie. Wykorzystamy interpretację geometryczną argumentu głównego liczby zespolonej. a) Zbiór spełniający podane w przykładzie warunki składa się z liczb zespolonych, których argumenty główne zawarte są w przedziale π 3],π. Jest to obszar kątowy ograniczony półprostymiwychodzącymizpoczątkuukładuwspółrzędnychitworzącymikąty π iπ 3 z dodatniączęściąosi.pierwszazpółprostychnienależydotegozbioru.nienależydo niego tez początek układu współrzędnych, gdyż arg 0 = 0. π 3 π b)podstawmyw=z+ i.wtedyzbiórspełniającywarunki 0 argw 3π 4 [ składa się z liczb zespolonych, których argumenty główne zawarte są w przedziale 0, 3π ]. 4 Jest to obszar kątowy zawarty między dodatnią półosią Re w, a półprostą wychodzącą z początkuukładuwspółrzędnychitworzącązniąkąt 3π 4 rysunek).ponieważz=w +i, więc zbiór spełniający warunki 0 argz+ i) 3π 4 jestokreślonympowyżejobszaremkątowymprzesuniętymowektorz 0= +irysunek). Imw 3π 4 3π 4 +i Rew

14 1 1. Liczby zespolone Ćwiczeniaodp. str. 15) 1. Obliczyć wartości wyrażeń: a)1 i)+3+i); b) i ) ) +i ; c)+i) 4 3i); d) 5 i 1+i ; e) i) ; f)3 i) 3..Niechz=x+iy,gdziex,y R.Znaleźć: a)re 1 z ; b)im z z ; c)re z+1 z i ; d)imiz z. 3. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory określone warunkami: a) z i =1; b) z+3 i 3; c) 1+i)z <; d) z i =; e) z+i = z ; f) z i z. 4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory określone warunkami: a) π 3 argz 3π 4 ; b) π 4 argz +3i)<5π ; c)arg z)= π ; d) π argz π Postać trygonometryczna i wykładnicza Przypomnijmy, że każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci z=rcosϕ+isinϕ), gdzie r jest jej modułem, a ϕ argumentem. Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy postacią trygonometryczną. irsinϕ z=rcosϕ+isinϕ) r ϕ rcosϕ Rys. 1.. Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczby zespolonej Uwaga. Liczby zespolone różne od 0, przedstawione w postaci trygonometrycznej, są równe, jeżeli ich moduły są równe, a argumenty różnią się o całkowitą wielokrotność liczby π.

15 1.. Postać trygonometryczna i wykładnicza 17 Fakt 1.3.mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej) Niechz =rcosϕ+isinϕ),z 1 =r 1 cosϕ 1 +isinϕ 1 ),z =r cosϕ +isinϕ ) będą liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej oraz niech n będzie liczbą naturalną. Wtedy: z 1 z =r 1 r [cosϕ 1 +ϕ )+isinϕ 1 +ϕ )]; 1.1) z 1 z = r 1 r [cosϕ 1 ϕ )+isinϕ 1 ϕ )], oilez 0; 1.) z n =r n cosnϕ+isinnϕ) wzórdemoivre a. Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy. W szczególności dla argumentów głównych mamy: argz 1 z )=argz 1 +argz +kπdlapewnegok { 1,0,1}; ) z1 arg =argz 1 argz +kπdlapewnegok { 1,0,1}. z Jak pamiętamy, jeszcze inną formą przedstawiania liczb zespolonych jest tzw. postać wykładnicza: z=re iϕ, gdzierjestmodułem,aϕargumentemliczbyz.jestonaopartanawzorzeeulera e iϕ =cosϕ+isinϕ. e iϕ ϕ 1 Rys.1.7.Interpretacjageometrycznae iϕ Fakt 1.4.mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej) Niechz=re iϕ,z 1 =r 1 e iϕ1,z =r e iϕ będąliczbamizespolonymiwpostaciwykładniczej oraz niech n będzie liczbą naturalną. Wtedy: z 1 z =r 1 r e iϕ1+ϕ) ; z 1 z = r 1 r e iϕ1 ϕ), oiler 0; AbrahamdeMoivre ),matematykangielskipochodzeniafrancuskiego.

16 18 1. Liczby zespolone z n =r n e inϕ dlan N wzórdemoivre a. Uwaga.Zpowyższegofaktuwynika,żewyrażeniee iϕ =cosϕ+isinϕzachowuje podstawowe własności funkcji wykładniczej. Przykład 1.. Obliczyć wyrażenia:a) 3i) 5 1+i) 10 ;b) 1+i) i ) 1. Rozwiązanie. ) a)mamy 3i =4orazarg π 3i = 3.TakwięcwobecwzorudeMoivre a otrzymamy ) 5=4 3i 5[ cos 5 π )) +isin 5 π ))]=4 3 3 π 5 cos 5 ) 3 π +isin 5 )) 3 π. Podobniedla 1+imamy 1+i =,arg 1+i)= 3 4 πoraz 1+i) 10 = ) ) )) 10 cos π +isin π = 5 cos 15 ) π+isin15 π. Zatem wobec wzoru1.1), otrzymamy ) 5 1+i) 3i 10 =4 5 cos 5 ) 3 π +isin 5 )) cos 3 π 5 15 ) π+isin15 π = 15 cos π 3 +isinπ 3 = 15 cos ) cos π 3 π ) +isin π ) +isin π )) π 3 )) π = cos 15 π ) +isin π )) ) = i = 14 3 i ). b)ponieważ 1+i = orazarg1+i)= π 4,więcwobecwzorudeMoivre amamy 1+i) 14 = ) 14 cos 14 π 4 ) +isin 14 π 4 ))= 7 cos 3π ) +isin3π = 7 i. Analogicznie 1+ 3i =,arg 1+ 3i = 3 π,więc ) 1= 1+ 3i 1 cos 1 π ) +isin 1 π )) = 1 cos8π+isin8π)= Zatem 1+i) 14 ) 1 = 7 i 1+ 3i 1= i 5= i 3. Przykład 1.7. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć liczby: a)i; b) 1; c)+i; d) 4i. Następnie,posługującsięrysunkiemorazinterpretacjągeometrycznąliczbyre iϕ, przedstawić zaznaczone liczby w postaci wykładniczej.

17 1.. Postać trygonometryczna i wykładnicza 19 Rozwiązanie.Modułemliczbyzespolonejzdanejwpostaciwykładniczejre iϕ jestr,aargumentem ϕ. W interpretacji geometrycznej r jest odległością na płaszczyźnie zespolonej liczby z od O, a ϕ jest wyrażoną w radianach miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią półoś rzeczywistą i wektor wodzący z. a)liczbaiznajdujesięwodległości1odo,ajejwektorwodzącytworzyzdodatniąpółosią osirzeczywistejkątomierze π rysunek).zatem π i=e i. b)liczba 1znajdujesięwodległości1od0,amiarakątaϕwynosiπrysunek).Zatem 1=e πi. c)liczba+iznajdujesięwodległości + = odo,amiarakątaϕwynosi π 4 rysunek). Zatem +i= π 4 e i. d)liczba 4iznajdujesięwodległości4odO,amiarakątaϕwynosi π rysunek). Zatem 4i=4e π i. a) b) Im z c) Im z +i d) Im z i 1 4i Ćwiczeniaodp. str. 1) 1. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: a)i; b) i; c)3+3 3i; d) i; e) 10.. Korzystając ze wzoru de Moivre a, obliczyć wyrażenia: a) 1 ) ) 10 4; 3i b) + i ; c) 1 i)7 Wynik podać w postaci algebraicznej. 1+i) 5; d) 1 i 3+i ). 3. Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej: π a)e i ; b)e πi ; c)e 3 πi ; d)e i.

18 0 1. Liczby zespolone 4. Podane liczby zapisać w postaci wykładniczej: a) i; b)1+i; c) 4; d)3 3 3i. 1.3 Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 1.5. pierwiastek z liczby zespolonej) Pierwiastkiem stopnia n N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną wtaką,że w n =z. Zbiórwszystkichpierwiastkówstopnianzliczbyzoznaczamyprzez n z. Fakt 1.5.wzór na pierwiastki z liczby zespolonej) Niechz 0iniechz=rcosϕ+isinϕ)będzieprzedstawieniemliczbyzwpostaci trygonometrycznej. Wtedy dla n N mamy n z={w0,w 1,...,w n 1 }, 1.3) gdzie w k = n r cos ϕ+kπ +isin ϕ+kπ ) n n dlak=0,1,...,n ) Uwaga.Niechz 0iniechz=re iϕ będzieprzedstawieniemliczbyzwpostaci wykładniczej. Wtedy ) w k = n re iϕn kπi πi k n n e =w 0 e dlak=1,,...,n 1. Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków Dlan 3pierwiastkin-tegostopniazliczbyztworząwierzchołkin-kątaforemnego wpisanegowokrągośrodkuwpoczątkuukładuwspółrzędnychipromieniu n r. w 1 w π n ϕ n w 0 n z w 3 w n 1 w n Rys Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej

19 1.3. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 1 Przykład1.8. Obliczyćpierwiastki: a) 1; b) 4 + 3i. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej. Rozwiązanie. a)isposób.ponieważ z = 1 =1orazϕ=arg 1)=π,więckorzystajączewzorów 1.3) i1.4), otrzymamy { 1= = 1 cos π+kπ +isin π+kπ ) }, k=0,1,...,5 { cos π +isinπ,cosπ +isinπ,cos5π +isin5π,cos7π +isin7π, cos 3π } +isin3π,cos11π +isin11π { } = +1 i,i, +1 i, 1 i, i, 1 i. W postaci wykładniczej mamy { π 1= e i π,e i 5π,e i 7π,e i 3π,e i 11π i},e. IIsposób.Ponieważ z = 1 =1orazϕ=arg 1)=π,więckorzystajączewzoru1.4) dlak=0,mamy w 0= 1 cos π ) 3 +isinπ = +1 i. Pozostałe wartości możemy odczytać z rysunku, korzystając z interpretacji geometrycznej zbiorupierwiastkówzliczbyzespolonej.jakwiadomo,zbiórpierwiastkówstopnian 3 z liczby zespolonej z pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrągopromieniu n riśrodkuwpoczątkuukładuwspółrzędnych. w 1 w w 3 π w 0 1 w 5 w 4 3 Mamyw 1 =i,w = +1 iborew= Rew0,Imw = Imw0),w3 = w0= i,w4= i,w5= 1 i.jeszczełatwiejodczytaćzrysunkupostaćwykładniczą tych liczb. ) b)obliczamy + 3i =4orazarg + 3i = 3 π.zatemkorzystajączewzoru

20 1. Liczby zespolone 1.4)dlak=0,otrzymamy w 4 0= 4 cos 3 π 4 +isin 3 π 4 = cos π +isinπ ) = ) 3 +1 i = + i. Pozostałe liczby odczytamy z rysunku, wiedząc, że leżą w wierzchołkach kwadratu. w 1 π w 0 w w 3 PonieważRew 1= Imw 0,Imw 1=Rew 0,więcw 1= + i,w3= w1= geometrycznej postaci wykładniczej liczby zespolonej, mamy 4 + { e π 3i= i, 3 e πi, 7 e πi, 5 πi} 3 e. Przykład 1.9. Rozwiązać równania: i,aponadtow= w0= i.również,korzystajączrysunkuorazinterpetacji a)z +iz+=0; b)z 3 +3z +4z 8=0; c)z 3 i=0. Rozwiązanie. a)wrozwiązaniuwykorzystamywzorynapierwiastkitrójmianukwadratowegoaz +bz+c, gdziea,b,c Coraza 0: z 1= b δ a, z b+δ =. a Wtychwzorachδjestjednązliczbzespolonychspełniajacychwarunekδ = =b 4ac. Dlarównaniakwadratowegoz +iz+=0mamy =i 8= 9=3i).Zatem z 1= i 3i = i, z = i+3i b) W rozwiązaniu wykorzystamy twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Jeżeli równaniez 3 +3z +4z 8=0mapierwiastekcałkowity,tonależyondozbiorudzielników wyrazuwolnego 8,tj.dozbioru{±1,±,±4,±8}.Zauważmy,żez 1=1rzeczywiściejest rozwiązaniem rozważanego równania. Tak więc z twierdzenia Bezout wynika, że wielomian z 3 +3z +4z 8=0dzielisiębezreszty)przezdwumianz 1.Mamy z 3 +3z +4z 8 ) :z 1)=z +4z+8. =i.

21 1.4. Zbiory na płaszczyźnie zespolonej 3 Rozwiązaniamirównaniaz +4z+8=0,obliczonymijakwprzykładziea),sąz = +i, z 3= i.zatemrozwiązaniamirównaniawyjściowegosąz 1=1,z = +i,z 3= i. c)rozwiązanierównaniaz 3 i=0jestrównoważnezobliczeniempierwiastka 3 i.wtym celuwykorzystamywzory1.3)i1.4).dlaz=imamyr= z =orazϕ=argz= π. Zatem 3 i= 3 cos π +kπ 3 π +isin +kπ, gdziek=0,1, 3. Stądrozwiązaniamirównaniaz 3 i=0są z 3 0= cos π ) ) +isinπ = i, z 3 1= cos 5π ) +isin5π = 3 z 3 = cos 3π ) +isin3π = 3 i i ), Ćwiczeniaodp. str. 1) 1. Obliczyć pierwiastki z liczb zespolonych: a) 3 8; b) 5 i; c) i; d) Rozwiązać równania: a)z +iz+1+3i=0; b)z 3+i)z+4+3i=0; c)z 3 +z +z+=0; d)z 3 +i= Zbiory na płaszczyźnie zespolonej Definicja 1.. otoczenie i sąsiedztwo punktu) Otoczeniemopromieniuε>0punktuz 0 nazywamyzbiór: Oz 0,ε)={z C: z z 0 <ε}. Sąsiedztwemopromieniuε>0punktuz 0 nazywamyzbiór: a) Sz 0,ε)={z C:0< z z 0 <ε}. b) Oz 0,ε) ε z 0 Sz 0,ε) ε z 0 Rys. 1.9.a) Otoczenie punktu;b) Sąsiedztwo punktu

22 4 1. Liczby zespolone Definicja 1.7. zbiór otwarty, zbiór domknięty) Zbiór nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt tego zbioru należy do niego wraz z pewnym otoczeniem. Zbiór nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Definicja 1.8. punkt skupienia) Punktz 0 jestpunktemskupieniazbioru,jeśliwkażdymjegosąsiedztwieznajdująsię punkty tego zbioru. Definicja 1.9. punkt brzegowy, brzeg zbioru) Punktz 0 jestpunktembrzegowymzbioru,jeśliwkażdymotoczeniutegopunktu znajdują się zarówno punkty należące do tego zbioru, jak i punkty nienależące do niego. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. z 0 Rys Punkt brzegowy zbioru Rys Brzeg zbioru Uwaga. Inaczej mówiąc, zbiór jest otwarty, jeśli nie należy do niego żaden punkt jego brzegu. Zbiór jest domknięty, jeśli należą do niego wszystkie punkty jego brzegu. a) b) Rys Zbióra) otwarty;b) domknięty Definicja 1.10.obszar, obszar jednospójny) Zbiór nazywamy obszarem, jeśli jest otwarty i każde dwa jego punkty można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą. Obszar ograniczony nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzegu nie da się przedstawić jako sumy dwóch niepustych, rozłącznych i domkniętych zbiorów.

23 1.5. Granice ciągów zespolonych 5 Uwaga. Dla obszarów nieograniczonych jednospójność można zdefiniować tak samo, jeżeli potraktujemy je jako podzbiory płaszczyzny Gaussazobacz Definicja 1.). Otoczeniamipunktu sąnaniejzbiorypostaci{z C: x >R} { },gdzier>0. a) b) Rys Obszara) jednospójny;b) niejednospójny Ćwiczeniaodp. str. 1) 1. Zbadać, które z podanych zbiorów są otwarte, a które domknięte: { a) z C:0<argz< π } ; b){z C:1 z <}; 3 c) { z C: e){z C: z >1}; } 1 < z <, π <argz< π ; d) {z C: 1 } 3, ; f){z C: z =3} {0}.. Zbadać, które z podanych zbiorów są obszarami lub obszarami jednospójnymi: a){z C:1 z <}; b){z C:0< z <}; { c) z C:1< z <, π } <argz< π ; d){z C: <}; 4 e){z C: >1, z <}; f){z C: <1, z <}. 1.5 Granice ciągów zespolonych Definicja 1.11.ciąg liczbowy) Ciągiem zespolonym nazywamy odwzorowanie zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb zespolonych. Wartość tego odwzorowania dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazemciąguioznaczamyprzezz n =x n +iy n,gdziex n,y n R.Ciągtakioznaczamy przezz n ).Zkoleizbiórwyrazówtegociągu,tj.{z n :n N},będziemyzapisywać krótko{z n }. Definicja 1.1.granica właściwa ciągu zespolonego) Mówimy,żeciągzespolonyz n )magranicęwłaściwąz 0 C,cozapisujemy lim z n= n z 0,gdy [ n>n 0 )= z n z 0 <ε )]. ε>0 n 0 N n N

24 1. Liczby zespolone z 1 z z 0 ε z 3 z n0 z n0 +1 Rys Granica właściwa ciągu liczb zespolonych Inaczejmówiąc,ciągzespolonyz n )jestzbieżnydopunktuz 0,jeśliwdowolnym otoczeniupunktuz 0 znajdująsięprawiewszystkiewyrazyciągu. Fakt 1..zbieżność części rzeczywistej i urojonej ciągu zespolonego) Ciągzespolonyz n )=x n +iy n ),gdziex n,y n Rdlan N,jestzbieżnydopunktu z 0 =x 0 +iy 0,gdziex 0,y 0 Rwtedyitylkowtedy,gdy lim x n=x 0 oraz lim y n=y 0. n n Definicja 1.13.granica niewłaściwa ciągu zespolonego) Ciągzespolonyz n )magranicęniewłaściwą,cozapisujemy lim n z n=,gdy M>0 n 0 N n N [ n>n 0 )= z n >M )]. z z 1 z n0 +1 z 3 z n0 M Rys Granica niewłaściwa ciągu liczb zespolonych Fakt 1.7.granica niewłaściwa ciągu a granica modułów wyrazów ciągu) Ciągzespolonyz n )magranicęniewłaściwąwtedyitylkowtedy,gdyciągjegomodułów z n )równieżmagranicęniewłaściwą.

25 1.5. Granice ciągów zespolonych 7 Twierdzenie 1.1.o arytmetyce granic ciągów) Jeżeliciągizespolonez n ),w n )majągranicewłaściwe,to T1) lim z n+w n )= lim z n+ lim w n; n n n T) lim z n w n )= lim z n lim w n; n n n ) T3) lim z n w n )= lim z n n n z n T4) lim = n w n lim n w n ) ; lim z n n lim w, oile lim w n 0. n n n Uwaga. Inaczej mówiąc, twierdzenia o arytmetyce granic znane dla ciągów rzeczywistych pozostają prawdziwe także dla ciągów zespolonych. Przykład Obliczyć granice właściwe lub niewłaściwe ciągów: a)z n = n +i)+n i n ; b)z n = n1 i) ; c)z n = n i n+i ni+1). Rozwiązanie. a) Mamy ) n +i)+n i n +n+ n 1 ) ) i limre = limre n n n n oraz ) n +i)+n i n +n+ n 1 ) ) i limim = limim n n n n Zatem wobec Faktu1.), otrzymamy lim n zn=+i. b) Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic, otrzymamy = lim + 1 ) = n n = lim 1 1 ) =1. n n n1 i) :n 1 i lim === n n+i :n lim n + i n T4) === T1) = 1 i +0 =1 i. c) Mamy z n = n i n ni+1) = i ni+1) = n4 +1 n = n 1+ 1 n 4 Stąd lim z n =.ZatemwobecFaktu1.7)badanyciągmagranicęniewłaściwą. n Ćwiczeniaodp. str. 1) 1. Korzystając z Faktu 1., zbadać zbieżność ciągów: a)z n = n+ n +i 1 3n 3 n +1 ; b)z n= ein n ; c)z n= i) n ; d)z n = n ni n+1.

26 8 1. Liczby zespolone. Zbadać, czy podane ciągi zespolone mają granicę niewłaściwą: a)z n =1+i) n ; b)z n = 1) n n; c)z n = i) n +i n )n. 3. Korzystając z twierdzenia o arytmetyce granic, obliczyć granice ciągów: 1+ i ) n a)z n = n +in in 1 ; b)z n= 3n++ni ; c)z n = n+4i i ) 3. n Zadania odp. str Obliczyć wartości wyrażeń: a) + 14 ) ) 1 i 5+i); b)3 i) 4+i); c) 4 +i ; d)1+i) 4 ; e) +3i) 3 ; f) +3i 1 i ; g)1+i) i) 1 i)..niechz=x+iy,gdziex,y R.Podanewyrażeniaprzedstawićzapomocąx,y: a)re z ) ; b)e z ; c) z ; d) z n ; e)im z 3) ; f)re zz ) ) z ; g)im ; h)re z 1 1+z 3. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone warunkami: a)0 Reiz)<1; b) z i =; c) z 1 <1; d)< z+i <3; e) z 1+i >; f)0< 1 i z ; g) iz+1 ; h) z i = z 1 ; i) π 4 <argz 3+i) 3 π. 4. Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczby: π a)e πi ; b)e i 3 ; c)e πi ; d)e kπi dlak Z. 5. Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej. Podać interpretację geometryczną: a) 4 1; b) 9 8i; c) 3 7; d) 3 1+i.. Rozwiązać równania: a)z +4z+5=0; c)z 3 4z +z 4=0; d)z 3 8=0. b)z + 4i)z 11+i=0; 7. Obliczyć granice właściwe lub niewłaściwe ciągów: a)z n = 1+n 3+n)ni n ; b)z n = 1+in n i ; c)z n=e iπ n 1 n ; d)z n = ). ) n i. 1 i