Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.
|
|
|
- Alojzy Kruk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 1/31
2 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31
3 Załóżmy, że mamy 1000 zł. Deponujemy pieniądze w banku, który oferuje oprocentowanie roczne 10% a kapitalizuje odsetki dwa razy w roku. Ile otrzymamy odsetek? 1000zł ) ) = 1000zł ) 2 = 1102, 50zł Inny bank oferuje także 10% rocznie ale kapitalizuje 12 razy: Zatem 2,21zł do przodu. 1000zł ) 12 = 1104, 71zł 12 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 2/31
4 Po długich poszukiwaniach znajdujemy bank który daje 10% ale kapitalizuje codziennie 365 razy w roku)! 1000zł ) 365 = 1105, 16zł 365 Zatem zyskujemy 2,66zł w stosunku do pierwszego banku i 45gr w stosunku do drugiego banku. Czy zatem bank który będzie stale kapitalizował odsetki np. kilka razy na sekundę) zapłaci nam jeszcze więcej? A jeśli tak, to jak dużego zysku możemy się spodziewać? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 3/31
5 Aby odpowiedzieć na pytanie dotyczące banków zajmijmy się na jakiś czas liczbami: = ) 1 3 = ) ) 4 = ) 6 = ) 5 = ) 25 = Wszystkie są elementami ciągu ) n n Jakie własności ma ten ciąg? Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 4/31
6 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31
7 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n ) 1 1 nn 1) + n 2! ) n! n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31
8 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest rosnący. Dowód. a n = ) n = n = 1 ) n n = n 2! ) 1 1 nn 1) + n 2! n ) n! n n! ) )... 1 n 1 n n! ) 1 n = n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 5/31
9 Dowód. Analogicznie a n+1 = ) n+1 = n + 1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31
10 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 n + 1)...2 n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31
11 Dowód. Analogicznie a n+1 = = 1 n ) n+1 = n + 1 ) 0 ) 1 1 ) n + 1)n n + 1) n + 1 2! n + 1 ) 1 n ) n + 1)! 1 n+1 + = n + 1 n + 1)! n + 1 ) ) 1 1 n n 1 n+1 n + 1)...2 n! = n+1 2! n ) )... 1 n n+1 n + 1)! n! + Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 6/31
12 Dowód. Mamy zatem 1 1 ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31
13 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 2! n+1 2! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31
14 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31
15 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31
16 Dowód. Mamy zatem 1 1 n 1 1 n 2! )... 1 n 1 n n! 1 1. ) 1 1 n+1 2! 0 < ) ) 1 1 n n 1 n+1 n! ) ) 1 1 n n n+1 n + 1)! ostatecznie a n < a n+1 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 7/31
17 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31
18 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31
19 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ! + 1 3! n! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31
20 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < 2 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31
21 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest ograniczony z góry przez 3. Dowód. a n = n ) n = = n 2! ) ) 1 1 n... 1 n 1 n n! ! + 1 3! n! n 1 = n 2) 1 ) 1 < < = 3 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 8/31 2
22 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31
23 Twierdzenie Ciąg a n = n) n jest zbieżny posiada granicę) Dowód. Kolejne elementy ciągu rosną, jednak żaden nigdy nie przekroczy 3. Zatem istnieje pewna liczba g 3 granica), przy której nieskończenie wiele elementów ciągu musi się skupiać. Zdefiniujmy zatem liczbę e jako granicę tego ciągu e = lim ) n n n Z obliczeń na komputerze wynika, że e Liczbę e czasem nazywa się liczbą Napera. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 9/31
24 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31
25 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31
26 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31
27 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31
28 Zobaczmy jak obliczać potęgi liczby e. Na przykład, ile to jest w przybliżeniu e 5? Wiemy, że dla dużych n e ) n n weźmy np. n=1000. Zatem e ) ) = ) ) Ogólnie dla dużych n e x 1 + x ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 10/31
29 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31
30 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x + 5 2! 5 2 x )5 2) 3! 5 3 x )5 2)5 3) 4! 5 4 x )5 2)5 3)5 4) 5! 5 5 x 5 = = 1 + x ! 25 x ! x ! 625 x ! 3125 x 5 Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 11/31
31 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31
32 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! 10 2 x )10 2) 3! 10 3 x = 1 + x ! 100 x ! 1000 x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 12/31
33 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31
34 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x )100 2) 3! x 3 + = 1 + x + 1 2! 0.99x ! x ! x ! x ! x ! x ! x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 13/31
35 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31
36 Popatrzmy na pewne wyliczenia, szczególną uwagę kierując na współczynniki przed x k 1 + x ) ) = 1 + x ! x = 1 + x + 1 2! 0.999x ! 0.997x ! 0.994x ! 0.99x ! 0.985x ! 0.979x ! 0.972x Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 14/31
37 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31
38 Rozwijając kolejne wartości e x 1 + x n ) n ze wzoru dwumianowego Newtona dochodzimy do ciekawej równości W szczególności: e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Pozwala to poznać nowe własności liczby e. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 15/31
39 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31
40 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31
41 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31
42 Twierdzenie Liczba e jest niewymierna. Dowód. Przez sprzeczność. Załóżmy, że e = p q. Bez starty ogólności możemy założyć, że q = k! dla pewnego k. Mamy e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! k! + 1 k + 1)! +... Pierwszych k + 1 wyrazów możemy sprowadzić do wspólnego mianownika k! = q e =...) k! + 1 k + 1)! ) +... = e = + c k + 2)! k! Jednak skoro e = p q = p k! =...) k! + c to oznacza, że c 1 k! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 16/31
43 Dowód. Mamy jednak c = 1 k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31
44 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) +... Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31
45 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31
46 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31
47 Dowód. Mamy jednak 1 c = k + 1)! + 1 k + 2)! + 1 k + 3)! +... = = 1 ) 1 k! k k + 1)k + 2) + 1 k + 1)k + 2)k + 3) ) 1 k! k + 1) + 1 k + 1) k + 1) = )) = k! k = 1 )) 1 k + 1 = 1 k! k + 1 k k k! k+1 Zatem c 1 k k! < 1 k!, sprzeczność z założeniem, że e jest wymierne! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 17/31
48 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31
49 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31
50 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31
51 Powtórka Wstęp Liczba e jest granicą ciągu n) n. Ciąg ten jest zbieżny, gdyż jest rosnący i ograniczony z góry. Potęgi e x są granicami nieco zmodyfikowanego ciągu 1 + x n Wykorzystując dwumian Newtona otrzymujemy, że W szczególności e x = 1 + x 1! + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! +... e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... Co można wykorzystać aby udowodnić, że e jest liczbą niewymierną. ) n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 18/31
52 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31
53 Rysunek: Kolejne wielomianowe przybliżenia funkcji wykładniczej e x oraz wykres jej samej. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 19/31
54 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31
55 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31
56 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31
57 Liczby zespolone - szybki kurs Wszyscy wiemy, że równanie x 2 = 1 nie ma rozwiązań wśród liczb rzeczywistych. Podobnie równanie x 2 = 2 nie ma rozwiązania wśród liczb wymiernych W drugim przypadku jednak uznajemy za sensowne uzupełnienie liczb wymiernych o element 2, który jest rozwiązaniem równania. Zasadniczo nie przeszkadza nam, że owej liczby nie da się nawet zapisać w formacie dziesiętnym - potrzeba nieskończenie wiele miejsc! Może zatem da się uzupełnić liczby rzeczywiste o element 1? Co prawda nie umiemy go wyrazić za pomocą liczb rzeczywistych, ale wiadomo jak ten dziwny element ma się zachowywać w przekształceniach! Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 20/31
58 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31
59 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31
60 Liczby zespolone - szybki kurs Do swobodnego operowania 2 wystarczy nam jedynie wiedza, iż 2) 2 = 2 Oczywiście analogicznie: 1) 2 = 1 Okazuje się, że 1 nie jest wcale bardziej tajemniczy niż 2. Tego pierwszego nie znajdziemy wśród liczb rzeczywistych, tego drugiego wśród wymiernych. Jedyna różnica która powoduje, że 2 jest nam łatwiej zaakceptować, to fakt iż można go przybliżać liczbami wymiernymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 21/31
61 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
62 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
63 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
64 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
65 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
66 Liczby zespolone - szybki kurs Wiemy, że < 2 < , gdzie jednak szukać 1? Może zamiast szukać tej magicznej liczby wzdłuż osi rzeczywistej, poszukać jej w poprzek? Faktycznie wygodnie jest przyjąć, że 1 wyznacza nowy, prostopadły kierunek do osi rzeczywistej. Zatem rozszerzenie liczb rzeczywistych o 1 przekształca oś rzeczywistą w płaszczyznę zespoloną Dla wygody zwykło się oznaczać i = 1. Nazywamy tę liczbę jednością urojoną. Liczby postaci a + bi gdzie a, b R nazywamy zespolonymi. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 22/31
67 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31
68 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31
69 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31
70 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31
71 Liczby zespolone - szybki kurs Zobaczmy w jaki sposób wykonywać operacje na liczbach zespolonych. Dodawanie: mnożenie: a + bi) + c + di) = a + c) + b + d)i a + bi) c + di) = ac + adi + bic + bdi 2 = = ac + ad + bc)i bd = ac bd) + ad + bc)i Spróbujmy zatem obliczyć ile dla poszczególnych n N wynosi 1 + iπ ) n n Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 23/31
72 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31
73 i 1+ iπ R Rysunek: Potęgowanie liczby 1 + iπ 6 ) interpretacja geometryczna) Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 24/31
74 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31
75 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31
76 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31
77 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31
78 Rysunek: Kolejne przybliżenia wartości e iπ 1 + iπ n n = 6, 10, 20, 100, 200 ) n dla Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 25/31
79 Wzór Eulera Wstęp Zatem pokazaliśmy, że albo inaczej: lim n 1 + iπ n ) n = e iπ = 1 e iπ + 1 = 0 Wzór łączący ze sobą wszystkie cztery podstawowe stałe matematyczne 1, 0, e, π) w eleganckim i głębokim związku! Wzór ten, zwany wzorem Eulera uważany jest za jeden z najbardziej eleganckich i głębokich wyników w matematyce. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 26/31
80 Powróćmy zatem do pytania, ile może wypłacić bank kapitalizujący ciągle odsetki z 1000zł? Przy założeniu, że stopa roczna wynosi 10% mamy 1000zł lim ) n = 1000zł e 0.1 = 1000zł n n Zatem mamy szansę na 1105,17zł. Zatem zyskamy zaledwie 1gr w stosunku do kapitalizacji dziennej i 46gr w stosunku do kapitalizacji miesięcznej... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 27/31
81 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31
82 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31
83 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31
84 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31
85 Liczba e pojawia się przy prostym przejściu granicznym, związanym np. z zagadnieniem ciągłej kapitalizacji odsetek Na pierwszy rzut oka może nie ma w tej liczbie nic szczególnego, ale przy głębszej analizie okazuje się to prawie najważniejsza liczba w matematyce! Łatwo pokazać, iż jest to liczba niewymierna... Korzystając z definicji e i prostych własności liczb zespolonych można udowodnić najładniejszy wzór matematyki! Jednak to tylko wierzchołek góry lodowej. Liczba e pojawia się w miejscach gdzie nikt by się jej nie spodziewał i przeplata eleganckimi zależnościami przez całą matematykę. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 28/31
86 fx) = 1 e x a)2 2σ 2 2π Rysunek: Krzywa Gaussa także zdefiniowana jest z wykorzystaniem liczby e... Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 29/31
87 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
88 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
89 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
90 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
91 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
92 Zadania Wstęp 1 Zapisz w postaci a b : 64 2, Pokaż, że dla każdego x R zachodzi nierówność e x 1 + x 3 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 istnieje liczba rzeczywista c taka, że dla każdego x R zachodzi równość a x = e cx. 4 Wykorzystaj konstrukcję geometryczną z prezentacji aby pokazać, że e iα = cosα) + i sinα) gdzie i 2 = 1) 5 Uzasadnij, że dla dowolnego n N istnieje takie x n, że dla x > x n zachodzi e x > x n 6 *) Udowodnij, że pochodna funkcji e x jest równa jej samej dla znających definicję pochodnej). Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 30/31
93 Prezentację można pobrać z: philip/kolko_mat2009.pdf Będzie również dostępna na stronie kółka. Filip Piękniewski, WMiI UMK Toruń UKM 31/31
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Przekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Logarytmy. Historia. Definicja
Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
MATURA Przygotowanie do matury z matematyki
MATURA 2012 Przygotowanie do matury z matematyki Część II: Wyrażenia algebraiczne Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Praca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe
Czym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
W planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)
Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych
Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ
TURNIRJ MATEMATYCZNY ELIPSA dla klas LO ROZWIĄZANIA DO ZADAŃ Zadanie. (2 pkt.) Dla jakich wartości parametru m (m R), część wspólna przedziałów A = (, m m i B = 2m 2, + ) jest zbiorem pustym? / Jeśli A
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
MATEMATYKA Katalog wymagań programowych
MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych
Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
WIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Wstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Granice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Ciagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1
WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego
LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV
LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
11. Liczby rzeczywiste
. Liczby rzeczywiste Zdający: Wymagania, jakie stawia przed Tobą egzamin maturalny z przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,