x, y R n, czyli x, y = x i, y i. Przez x oznaczamy tzw. normę taksówkową wektora x i. Jeżeli a jest skalarem, to a 0 oznacza, że a = 0 lub a > 0.

Transkrypt

1 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVIII ZESZYT EMIL PANEK O PEWNEJ PROSTEJ WERSJI SŁABEGO TWIERDZENIA O MAGISTRALI W MODELU VON NEUMANNA 1. WSTĘP Model J. von Neumanna po raz perwszy został opublkowany w języku nemeckm w 1928 r., ale szersze zanteresowane ekonomstów matematyków wzbudzła dopero jego angelska wersja [36] z 1945 r. Intensywny okres zanteresowana równowagą v. Neumanna tzw. efektem magstral w weloproduktowych (welosektorowych) modelach wzrostu typu Neumanna-Gale a-leontefa przypada na drugą połowę XX weku, zob. np. prace [1, 3, 4-8, 10-35], ale równeż w perwszej dekadze obecnego weku raz po raz pojawają sę nowe publkacje na tan temat w czołowych czasopsmach naukowych, por. [2, 9, 37-39]. W artykule prezentujemy wersję modelu von Neumanna, którego postać nawązuje do klasycznych prac, [4-7, 12, 16, 24}. Przytaczamy stosunkowo prosty dowód stnena stanu równowag neumannowskej oraz słabą wersję twerdzena o magstral w takm modelu. Idea dowodu nawązuje do artykułu R. Radnera [33] (zob. także m.n. H. Nkado [24] twerdzene 13.8, A. Takayama [34] twerdzene 7.A.2). Zanm przejdzemy do przedstawena modelu, słów klka o nektórych symbolach matematycznych stosowanych w pracy. Przez R n oznaczamy n-wymarową przestrzeń wektorową (nad całem lczb rzeczywstych). Jeżel wektor x R n jest neujemny, pszemy x 0. Zaps x 0 oznacza, że neujemny wektor x zawera co najmnej 1 element dodatn, tzn. x 0 wtedy tylko wtedy, gdy x 0 oraz x 0. Nazywamy go wektorem półdodatnm. Natomast zaps x > 0 oznacza, że wszystke składowe wektora x są dodatne. Zaps x y znaczy tyle, co x y 0, podobne x y oznacza, że x y 0, a x > y oznacza, że x y > 0. Przez R+ n oznaczamy neujemny orthant R n, tzn. R+ n = {x R n x 0}. Symbolem x, y oznaczamy loczyn skalarny wektorów n x, y R n, czyl x, y = x, y. Przez x oznaczamy tzw. normę taksówkową wektora x R n : x = =1 n x. Jeżel a jest skalarem, to a 0 oznacza, że a = 0 lub a > 0. =1

2 76 Eml Panek 2. MODEL VON NEUMANNA. STATYKA W gospodarce mamy n towarów oraz m procesów produkcj, które nazywamy bazowym procesam technologcznym. Skalar a j 0 wskazuje na welkość zużyca -tego towaru w j-tym bazowym procese technologcznym prowadzonym z jednostkową ntensywnoścą. Natomast skalar b j 0 wskazuje na produkcję -tego towaru w j-tym bazowym procese technologcznym prowadzonym z jednostkową ntensywnoścą. Neujemne (prostokątne, m n ) macerze A = a 11 a 21 a m1 a 1n a 2n a mn, B = nazywamy (odpowedno) macerzą nakładów (zużyca) macerzą wynków (produkcj) w modelu von Neumanna. Zatem w j tym bazowym procese technologcznym stosowanym z jednostkową ntensywnoścą z wektora (werszowego) nakładów a j = (a j1, a j2,, a jn ) można wytworzyć wektor produkcj b j = (b j1, b j2,, b jn ). Zakładamy, że: 1. Każdy wersz neujemny macerzy A zawera element dodatn (tzn. w każdym bazowym procese technologcznym zużywany jest co najmnej jeden towar). 2. Każda kolumna neujemnej macerzy B zawera element dodatn (tzn. każdy towar jest wytwarzany w przynajmnej jednym bazowym procese technologcznym). Model jest lnowy w tym sense, że dla dowolnych lczb ν 1 0, ν 2 0,ν m 0 m m z nakładów x = v j a j otrzymujemy produkcję y = v j b j. O parze j=1 m (x, y) = v j a j, j=1 b 11 b 21 b m1 j=1 m v j b j = (va, vb) j=1 mówmy, ze opsuje dopuszczalny proces produkcj w modelu von Neumanna. Półdodatn wektor (werszowy) v = (ν 1,, ν m ) 0 nazywamy wektorem ntensywnośc stosowana bazowych procesów technologcznych. Weźmy (nezerowy) wektor ntensywnośc ν 0 utwórzmy proces (x, y) = (va, vb). Lczbę α (v) = (vb) (va), gdy (va) > 0 +, welkosc neokreslona, gdy gdy b 1n b 2n b mn (va) = 0, (va) > 0 (va) = (vb) = 0

3 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 77 nazywamy wskaźnkem technologcznej efektywnośc wytwarzana -tego towaru w procese (va, vb). Lczbę α(v) = mn α (v) nazywamy wskaźnkem technologcznej efektywnośc procesu (va, vb), a lczbę α N = max α(v) (1) v 0 nazywamy optymalnym wskaźnkem technologcznej efektywnośc produkcj w modelu (gospodarce) von Neumanna. Poneważ ν 0, węc wprost z defncj mamy α(v) = mn α (v) = max{α α va vb}, czyl zadane (1) jest równoważne z zadanem max α αva vb ν 0. (2) Pokażemy, że przy założenach (I), (II) zadane to ma rozwązane. 1 Twerdzene 1. Przy założenach (I), (II) stneje tak wektor ntensywnośc ν 0, że α( v) = max α(v) = α N > 0. v 0 Dowód. Pokażemy najperw, że funkcja α(v) jest wszędze na R+ n poza 0 cągła oraz dodatno jednorodna stopna 0. Zauważmy, że z defncj v, b α(v) = mn α (v) = mn v, a = v, bk v, a k dla pewnego k. 2 Funkcja α(v) jest zatem cągła w każdym takm punkce ν 0, w którym v, a k > 0 (jako loraz funkcj lnowych, a węc cągłych). Załóżmy teraz, że α(v) = v, bk v, a k oraz v, ak = 0. 1 Inny dowód przytacza m.n. D. Gale [7], twerdzene Symbolem a k, b k oznaczamy k-tą kolumnę macerzy A B: a 1k b 1k a k = a 2k. a nk, b k = b 2k. b mk

4 78 Eml Panek Przy założenu (I) warunek ν 0 pocąga za sobą νa 0, czyl v, a j > 0 dla pewnego j, tzn. α(v) = mn v, b v, a = v, bk v, a k α j(v) < +, co jest nemożlwe. Jeżel bowem v, b k > 0, to α(v) =+, jeżel zaś v, b k = 0, to w punkce v funkcja α(v) jest neokreślona. Zatem, gdy ν 0, to v, b α(v) = mn v, a = v, bk v, a k dla takego (pewnego) k że v, ak > 0 tym samym funkcja α(v) jest cągła wszędze na R+ n poza 0. Poneważ dla każdego ν 0 stneje take k {1,, n}, że v, a k > 0 α(v) = v, bk v, a k, węc dla dowolnej lczby λ>0 mamy α(λv) = λv, bk λv, a k = v, bk v, a k = α(v), co dowodz dodatnej jednorodnośc stopna 0 funkcj α(v) wszędze na R+ n poza 0. Wówczas max α(v) = max α(v). (3) ν 0 ν 0 v = 1 Zbór S+(1) n = {ν 0 v = 1} jest zwarty oraz funkcja α(v) jest cągła na S+(1) n, węc zadane (3) ma rozwązane ν 0. Macerze A, B spełnają warunk (I), (II), węc stneje taka lczba σ>0, że σea eb > 0, gdze e = (1,, 1) wobec tego α N = α( v) σ>0. Wektor ν 0, dla którego α N = α( v), nazywamy optymalnym wektorem ntensywnośc w modelu von Neumanna. Wektory x = va, ȳ = vb nazywamy optymalnym wektoram nakładów (zużyca) wynków (produkcj). O parze ( x, ȳ) = ( va, vb) mówmy, że opsuje optymalny proces produkcj. Przy założenach (I), (II), zgodne z twerdzenem 1, optymalne procesy produkcj w modelu von Neumanna stneją są określone z dokładnoścą do mnożena przez dowolną stałą dodatną (z dokładnoścą do struktury). Trzece założene brzm następująco: (III) Istneje tak optymalny wektor ntensywnośc ν 0, któremu odpowada wektor produkcj ȳ = vb > 0. Innym słowy, wśród optymalnych procesów produkcj stneje przynajmnej jeden proces, w którym wytwarzane są wszystke towary. Model von Neumanna spełnający

5 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 79 ten warunek nazywamy regularnym. Jeżel spełnone jest założene (III), to spełnone jest także założene (II), dlatego w przytoczonych dalej twerdzenach 2 3 jest ono pomjane. Nech p 0 oznacza n-wymarowy (kolumnowy) wektor cen towarów. Lczbę vbp, gdy vap > 0 β(v, p) = vap +, gdy vap = 0, oraz vbp > 0 welkosc neokreslona, gdy vap = vbp = 0 nazywamy wskaźnkem ekonomcznej efektywnośc procesu (va, vb) przy cenach p. Δ Defncja 1. Mówmy, że gospodarka z technologczną efektywnoścą α( v) = α N > 0 znajduje sę w równowadze von Neumanna, jeżel obowązują w nej take ceny p 0, przy których dla dowolnego wektora ntensywnośc ν 0 spełnony jest warunek: vb p α N va p 0. (4) Wektor p nazywamy wektorem cen von Neumanna. Łatwo zauważyć, że ceny von Neumanna są określone z dokładnoścą do struktury. O trójce {α N, v, p}, w której wektor ntensywnośc ν 0 spełna założene (III), mówmy, że tworzy (optymalny) stan równowag neumannowskej. Zgodne z twerdzenem 1: α N va vb. (5) Z (4) otrzymujemy (dla v = ν) vb p α N va p, a z (5) (po przemnożenu obu stron nerównośc przez wektor p 0): vb p α N va p, tzn. α N va p = vb p, przy czym vb p > 0, czyl także va p > 0. Tak węc wszędze gdze funkcja β(, p) jest określona mamy vb p β(v, p) = va p α( v) = α N oraz vb p β( v, p) = va p = max vb p v 0 va p = α( v) = α N. W równowadze von Neumanna ekonomczna efektywność produkcj jest równa efektywnośc technologcznej jest to maksymalna efektywność, jaką może osągnąć gospodarka.

6 80 Eml Panek Twerdzene 2. Jeżel spełnone są założena (I), (III), to stneją ceny von Neumanna Dowód. Przy założenach (I), (III) zbór Q = {q q = v(α N A B), v 0} jest netrywalnym stożkem weloścennym w R n z werzchołkem w 0, który ne zawera wektorów ujemnych. Rzeczywśce, załóżmy że q Q q < 0. Wówczas q = v(α N A B) = α N va vb < 0 dla pewnego wektora ν 0, co jest nemożlwe (sprzeczne z defncją optymalnego wskaźnka technologcznej efektywnośc α N ). Utwórzmy zbór D = Q + R n + = {d d = q + r, q Q, r R n +}. Wówczas D R n (gdyż zbór D ne zawera wektorów ujemnych) oraz e D, = 1,, n. Zatem stneje taka hperpłaszczyzna z wektorem kerunkowym p 0,że p, d 0 dla każdego d D. (6) Do zboru D należą w szczególnośc wektory e = (0,, 1, 0), = 1,, n, węc () p, e = p 0 dla każdego, a poneważ p 0, węc p 0. Z (6) wynka w szczególnośc, że dla każdego ν 0: v(α N A B) p 0, co jest równoważne (4). Podobne jak optymalny wektor ntensywnośc v 0, równeż ceny von Neumanna p 0 są określone z dokładnoścą do struktury. 3. MODEL VON NEUMANNA. DYNAMIKA Załóżmy, że czas t zmena sę skokowo, t = 0, 1,, t 1. Symbolem v(t) = (v 1 (t),, v n (t)) oznaczamy wektor (werszowy) ntensywnośc, z jaką poszczególne bazowe procesy technologczne są stosowane w okrese t. Model von Neumanna opsuje gospodarkę zamknętą w tym sense, że źródłem nakładów w okrese t+1 może być tylko produkcja wytworzona w okrese poprzednm t, co prowadz do nerównośc: v(t + 1)A v(t)b, t = 0, 1,, t 1 1 (7) v(t) 0, t = 0, 1,, t 1. Nech v 0 będze dowolnym wektorem ntensywnośc stosowana bazowych procesów technologcznych w okrese t = 0 v(0) = v 0 0. (8)

7 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 81 Δ Defncja 2. Cąg wektorów {v(t) } t 1 spełnających warunk (7)-(8) nazywamy (v 0 t 1 ) dopuszczalną trajektorą ntensywnośc. Cąg {x(t)} t 1, {y(t)} t 1, gdze x(t) = v(t)a, y(t) = v(t)b, nazywamy (odpowedno) dopuszczalną trajektorą nakładów (zużyca) wynków (produkcj). O trójce {v(t), x(t), y(t)} t 1 mówmy, że opsuje dopuszczalny proces wzrostu w modelu von Neumanna. Spośród dopuszczalnych procesów wzrostu szczególną klasę tworzą procesy stacjonarne. Δ Defncja 3. (v 0 t 1 ) dopuszczalną trajektorę ntensywnośc {v(t) } t 1 nazywamy stacjonarną, jeżel dla pewnej lczby γ>0: v(t) = γ t v 0, t = 0, 1,, t 1. (9) Stacjonarnej trajektor ntensywnośc odpowada stacjonarna trajektora nakładów x(t) = γ t x 0 (10) oraz wynków y(t) = γ t y 0, (11) gdze x 0 = v 0 A, y 0 = v 0 B. O trójce trajektor (9) (11) mówmy, że opsują stacjonarny proces wzrostu w modelu von Neumanna. Warunkem konecznym dostatecznym stnena stacjonarnego procesu wzrostu z tempem γ>0początkowym wektorem ntensywnośc v 0 0 jest spełnene układu nerównośc: γv 0 A v 0 B. (12) Przy założenach (I), (III), zgodne z twerdzenem 1, stneje take rozwązane układu (12) z tempem γ = α N > 0 określonym z dokładnoścą do struktury wektorem v 0 = v 0, że vb > 0. Innym słowy stneje stacjonarny proces wzrostu { v(t), x(t), ȳ(t)} t 1 postac: v(t) = αn t v, (13) x(t) = αn t x, (14) t ȳ(t) = αnȳ, (15) z wektoram x = va 0,ȳ = vb > 0. Nazywamy go optymalnym stacjonarnym procesem wzrostu w modelu von Neumanna. Trajektore (13) (15) nazywamy, odpowedno, optymalna stacjonarną trajektorą ntensywnośc, nakładów (zużyca) wynków (produkcj). O wektorach s v = v(t) v(t) = αt N v αn t v = v v = v 1 v m,, v v = const.,

8 82 Eml Panek s x = s y = x(t) x(t) = ȳ(t) ȳ(t) = αt N x αn t x = αt Nȳ α Nȳ t = x x = ȳ ȳ = x 1 x n,, x x = const., ȳ 1,, ȳ ȳ n ȳ = const., mówmy, że charakteryzują strukturę ntensywnośc stosowana bazowych procesów technologcznych, strukturę nakładów strukturę produkcj w optymalnym stacjonarnym procese wzrostu. O półprostych N v = {λ s v λ>0}, N x = {λ s x λ>0}, N y = {λ s y λ>0}, mówmy, że tworzą magstrale (promene von Neumanna) w przestrzen ntensywnośc, przestrzen nakładów produkcj. Wszystke optymalne stacjonarne procesy wzrostu przebegają po magstralach. W celu zapewnena jednoznacznośc magstral przyjmemy następujące założene: (IV) Dla każdego wektora ntensywnośc v N v zachodz nerówność: vb p α N va p < 0. Łatwo zauważyć, że warunek ten zachodz także dla dowolnego wektora x = va N x oraz y = vb N y. Założene głos zatem, że jedyne na magstralach ekonomczna efektywność produkcj jest równa efektywnośc technologcznej (wszędze poza magstralam efektywność ekonomczna jest nższa od technologcznej). 3 Ustalmy początkowy wektor ntensywnośc v 0 > 0 postawmy następujące (lnowe) zadane programowana dynamcznego: max v(t 1 )B p v(t + 1)A v(t)b, t = 0, 1,, t 1 1 v(0) = v 0 (dane). (16) Jest to zadane maksymalzacj wartośc produkcj w końcowym okrese horyzontu {0, 1,, t 1 }, merzonej w cenach von Neumanna p 0, na zborze wszystkch (v 0, t 1 )-dopuszczalnych trajektor ntensywnośc. Jego rozwązane {v (t) } t 1 nazywamy (v 0, t 1, p)- optymalną trajektorą ntensywnośc. Cąg {x (t) } t 1, {y (t) } t 1, 3 Innym słowy przy założenu (III) w żadnej przestrzen ntensywnośc, nakładów, produkcj ne ma dwóch różnych magstral (o różnej strukturze). Założene to znaczne ułatwa dowód twerdzena 3, choć ne jest generalne wymagane przy dowodach nnych twerdzeń o magstral formułowanych w lteraturze, por. prace wymenone we wstępe.

9 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 83 gdze x (t) = v (t)a oraz y (t) = v (t)b, nazywamy (x 0, t 1, p)- optymalną trajektorą nakładów (z początkowym wektorem nakładów x 0 = v 0 A) oraz (y 0, t 1, p)-optymalną trajektorą produkcj (z początkowym wektorem produkcj y 0 = v 0 B). O trójce {v (t), x (t), y (t) } t 1 mówmy, że opsuje optymalny proces wzrostu w modelu von Neumanna. 4. SŁABE TWIERDZENIE O MAGISTRALI W lteraturze znanych jest wele twerdzeń o stablnośc typu magstralnego optymalnych procesów wzrostu w modelach von Neumanna-Gale a-leontefa (por. załączoną bblografę). Choć nekedy modele te znaczne różną sę mędzy sobą, stota dowodzonych na ch grunce twerdzeń pozostaje ta sama. Wszystke głoszą, że bez względu na początkowy stan gospodark, procesy wzrostu optymalne w sense obszernej klasy kryterów wzrostu (ne tylko kryterum maksymalzacj wartośc produkcj w końcowym okrese ustalonego horyzontu) prawe zawsze przebegają w dowolne blskm otoczenu magstral. Zbeżność jest tym wyraźnejsza, m dłuższy jest zakładany horyzont gospodark. Magstrale jawą sę jako drog szybkego ruchu do których pownna zmerzać (ewentualne, po których pownna poruszać sę) każda racjonalne rozwjająca sę gospodarka. Tempo wzrostu na magstralach jest bowem maksymalnym tempem możlwym do osągnęca przez gospodarkę. Twerdzene 3 (Radner). Jeżel spełnone są założena (I), (III) (IV) to dla dowolnej lczby ε>0 stneje taka lczba naturalna k ε > 0, że lczba okresów czasu, w których zachodz choćby jeden z warunków v (t) v (t) x sv (t) ε, x (t) y sx (t) ε, y (t) ss ε (17) ne przekracza k ε. Lczba k ε ne zależy od długośc horyzontu t 1. Dowód. Pokażemy najperw, że dla dowolnej lczby ε>0 stneje taka lczba δε v > 0, ż warunek v v sv ε (18) pocąga za sobą nerówność vb p (α N δ v ε)va p 0. (19) Przy dowodze wystarczy ogranczyć sę do wektorów ntensywnośc v 0 unormowanych do 1, gdyż jeżel jakkolwek wektor v 0 spełna warunk (18), (19), to spełna je także wektor λv, gdze λ jest dowolną lczbą dodatną. Zbór V ε = { v S+(1) n v s v ε }

10 84 Eml Panek jest zwarty oraz dla każdego v V ε v N v, czyl vb p α N va p < 0 (20) (zgodne z założenem (III)), tzn. va p > 0 dla każdego v V ε. Poneważ β(v, p) = stneje lczba vb p va p jest cągłą na V ε funkcją zmennej v, węc (wobec (20)) β = max v V ε β(v, p) <α N, czyl α N δε v β dla pewnej lczby δε v > 0, skąd wnoskujemy, że dla każdego v V ε α N δε v vb p va p, co prowadz do warunku (19). Podobne dowodz sę, że dla dowolnej lczby ε>0 stneją take lczby δε x > 0, δε y > 0, ż nerówność x x sx ε pocąga za sobą vb p (α N δε)va x p 0, a nerówność y y sy ε pocąga za sobą nerówność vb p (α N δε)va y p 0, gdze x = va, y = vb. Borąc δ ε = mn{δε,δ v ε,δ x ε} y dochodzmy do wnosku, ż dla dowolnej lczby ε>0 stneje taka lczba δ ε > 0, że jeżel zachodz którakolwek z nerównośc v v x sv ε, x y sx ε, y sy ε (gdze x = va, y = vb), to vb p (α N δ ) εva p 0. (21) Nech {v (t) } t 1 będze (v 0, t 1, p)- optymalną trajektorą ntensywnośc rozwązanem zadana (16). Wówczas, zgodne z (4) v (t) B p α N v (t)a p, t = 0, 1,, t 1 oraz (w myśl (7)), czyl v (t + 1) A v (t)b, t = 0, 1,, t 1 1 v (t + 1) A p v (t)ab p α N v (t)a p, t = 0, 1,, t 1 1. (22)

11 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 85 Nech L będze zborem tych okresów czasu, w których zachodz którykolwek z warunków (17). Nech n ε będze lczbą elementów zboru L. Wówczas Z (22), (23) otrzymujemy nerówność v (t + 1) A p (α M δ ε )v (t)a p dla t L. (23) v (t 1 )A p α t 1 n ε N (α N δ ε ) n ε v 0 A p. (24) Poneważ v 0 > 0, węc (przy założenu (III) ) stneje taka lczba σ>0, że 0 <σ s v A v 0 B, wobec tego stneje (v 0 t 1 ) dopuszczalna trajektora {ṽ(t) } τ : ṽ(t) = v 0, α t 1 N σ sv, dla dla t = 0 t = 1,, t 1. Wówczas v (t 1 ) B p ṽ(t 1 ) B p = α t 1 1 N σ sv B p > 0. (25) Łącząc warunk (24) (25) (zważywszy, że v (t 1 ) B p α N v (t 1 )A p) otrzymujemy: 0 <α t 1 1 N σ sv B p v (t 1 ) B p α N v (t 1 )A p α t 1 n ε +1 N (α N δ ε ) n ε v 0 A p, co pozwala na oszacowane górnego ogranczena lczby n ε : n ε μ = ln A ln α ln(α N δ ε ), gdze A = α2 N v0 A p σ s v B p > 0. W charakterze lczby k ε wystarczy wząć najmnejszą lczbę naturalną wększą od mn{0,μ}. LITERATURA [1] Araujo A., Schenkman J.A. [1977], Smoothness, Comparatve Dynamcs and Turnpke Property, Econometrca, 43/1977. [2] Blot J., Crettez B., [2007], On the Smoothness of Optmal Path II: Some Local Turnpke Results, Decson Econom. Fnance, nr 2/2007. [3] Contrbuton to the von Neumann Growth Model, (Bruckman G., Weber W. red.) [1971], Sprnger Verlag, New York -Wen. [4] Czeremnych J., N. [1982], Analz powedenja trajektor dynamk narodnochazajstwennych modelej, Nauka, Moskwa. [5] Czeremnych J., N. [1986], Matematczeskje model razwtja narodnogo chazajstwa, MGU, Moskwa. [6] Czerwńsk Z., [1973], Podstawy matematycznych model wzrostu gospodarczego, PWE, Warszawa. [7] Gale D., [1969], Teora lnowych model ekonomcznych, PWN, Warszawa.

12 86 Eml Panek [8] Gantz D.T. [1980], A Strong Turnpke Theorem for Nonstatonary von Neumann-Gale Producton Model, Econometrca t. 48, nr 7/1980. [9] Guerrero-Luchtenberg C.L. [2000], A Unform Neghborhood Turnpke Theorem and Applcatons, Journal of Math. Econ. 34/2000. [10] Handbook of Mathematcal Economcs, (Arrow K.J., Intrglator M.D. red.) [1982], t.ii, North- Holland, Amsterdam-New York-Oxford. [11] John von Neumann and Modern Economcs, (Dove M., Chakravorty S., Goodwn R. - red.) [1989], Clarendon Press, Oxford. [12] Kemeny J.G., Morgenstern O., Thompson G.L. [1956], A Generalzaton of the von Neumann Model of Expandng Economy, Econometrca 24/1956. [13] Krass J.A. [1976], Matematczeskje model ekonomczeskoj dnamk, Sowetskoje Rado, Moskwa. [14] Makarow W.L., Rubnow A.M. [1973], Matematczeskaja teora ekonomczeskoj dnamk rawnowesja, Nauka, Moskwa. [15] Marena M., Montruccho L., [1999], Neghborhood Turnpke Theorem for Contnous Tme Optmzaton Models, Journal Optm. Theory Appl. 101/1999. [16] Mathematcal Models of Economcs, (Łoś J., Łoś M. red.) [1974], North-Holland, Amsterdam. [17] McKenze L.W. [1976], Turnpke Theory, Econometrca, t.44, nr 5/1976. [18] McKenze L.W. [1998], Turnpkes, Amercan Econ. Rev. 88 (22)/1998. [19] Montruccho L. [1995], A New Turnpke Theorem for Dscounted Programs, Econ. Theory, 5/1995. [20] Morshma M. [1964], Equlbrum, Stablty and Growth, Clarendon Press, Oxford. [21] Morshma M. [1969], Theory of Economc Growth, Clavendon Press, Oxford. [22] Mowszowcz S.M. [1969], Teoremy o magstral w modelach Neumanna-Gale a, Ekonomka matematczeskje metody, nr 6/1969. [23] Mowszowcz S.M. [1972], Magstralnyj rost w dnamczeskch narodnochozastwennych modelach, Ekonomka matematczeskje metody, nr 2/1972. [24] Nkado H., [1968], Convex Structers and Economc Theory, Acad. Press, New York. [25] Panek E., [1985], Asymptotyka optymalnych trajektor w welosektorowym modelu wzrostu, Przegląd statystyczny nr 2/1985. [26] Panek E., [1985], Słabe twerdzene o magstral konsumpcyjnej w welosektorowym modelu wzrostu, Przegląd Statystyczny nr 3/1985. [27] Panek E., [1986], Asymptotyka trajektor produkcj w dynamcznym modelu Leontefa, Przegląd Statystyczny nr 2/1986. [28] Panek E., [1987], O pewnej wersj twerdzena o magstral w welosektorowym modelu wzrostu, Przegląd Statystyczny nr 1/1987. [29] Panek E., [1988], Consumpton Turnpke n a Nonlnear Model of Input-Output Type, w: Input Output Analyss. Current Developments, red. M. Chaschn, Chapman and Hall Ltd., London-New York. [30] Panek E., [1992], Optmal Trajectores n a Multsectoral Model of Economc Growth, Computers and mathematcs wth Applcatons, nr 8-9 (24)/1992. [31] Panek E., [1992], Bardzo slne twerdzene o magstral w welosektorowym modelu wzrostu, Przegląd Statystyczny nr 3-4/1992. [32] Panek E., [1997], Slne twerdzene o magstral w welosektorowym modelu wzrostu, Wersja szczególna, Przegląd Statystyczny nr 1/1997. [33] Radner R.[1961], Path of Economc Growth that are Optmal wth Regard only to Fnal States: A Turnpke Theorem, Revew of Econ. Studes, XXVIII, [34] Takayama A. [1985], Mathematcal Economcs, Cambrdge Unv. Press, Cambrdge. [35] Tsuku J., Murokam Y. [1978], Turnpke Optmalty n Input-Output Systems. Theory and Applcatons for Plannng, North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford.

13 O pewnej prostej wersj słabego twerdzena o magstral w modelu von Neumanna 87 [36] Von Neumann J. [1945], A Model of General Economc Equlbrum, Rev. Econ. Studes, 13/ [37] Zaslawsk A.J. [2000], Turnpke Theorem for Nonautonomous Infnte Dmensonal Dscrete-Tme Control Systems, Optmzaton, 48/2000. [38] Zaslawsk A.J. [2004], A Turnpke Result for Autonomous Varatonal Problems, Optmzaton, 53/2004. [39] Zaslawsk A.J. [2006], Turnpke Propertes n the Calculus of Varatons and Optmal Control, Sprnger Scence & Busness Meda, Inc New York. O PEWNEJ PROSTEJ WERSJI SŁABEGO TWIERDZENIA O MAGISTRALI W MODELU VON NEUMANNA Streszczene Prezentujemy klasyczną wersję modelu von Neumanna, którego postać nawązuje do prac [4-7, 12, 16, 24]. Przytaczamy prosty dowód stnena stanu równowag oraz słabą wersję twerdzena R. Radnera o magstral w takm modelu. Słowa kluczowe: równowaga von Neumanna, stacjonarny optymalny proces wzrostu, efekt magstral JEL codes: O41 A SIMPLE VERSION OF WEAK TURNPIKE THEOREM IN THE VON NEUMANN MODEL Summary In the paper we present a classcal verson of von Neumann model whch refers to works [4-7, 12, 16, 24]. We adduce a smple proof of equlbrum state and a weak verson of R. Radner theorem about turnpke n such model. Key words: von Neumann theorem, statonary and optmal growth process, turnpke effect (result)