EKONOMETRIA. Zastosowanie matematyki w ekonomii. Redaktor naukowy Janusz Łyko

Transkrypt

1 EKONOMETRIA 26 Zastosowane matematyk w ekonom Redaktor naukowy Janusz Łyko Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2009

2 Sps treśc Wstęp 7 Beata Bal-Domańska, Ekonometryczna analza sgma beta konwergencj regonów Un Europejskej 9 Andrzej Bąk, Aneta Rybcka, Marcn Pełka, Modele efektów głównych modele z nterakcjam w conjont analyss z zastosowanem programu R 25 Katarzyna Budny, Kurtoza wektora losowego 44 Wktor Ejsmont, Optymalna lczebność grupy studentów 55 Kaml Fjorek, Model regresj dla cechy przyjmującej wartośc z przedzału (0,) ujęce bayesowske 66 Paweł Hanczar, Wyznaczane zapasu bezpeczeństwa w sec logstycznej 77 Roman Huptas, Metody szacowana wewnątrzdzennej sezonowośc w analze danych fnansowych pochodzących z pojedynczych transakcj 83 Aleksandra Iwancka, Wpływ zewnętrznych czynnków ryzyka na prawdopodobeństwo runy w skończonym horyzonce czasowym w weloklasowym modelu ryzyka 97 Agneszka Lpeta, Stany równowag na rynkach warunkowych 0 Krystyna Melch-Iwanek, Polsk rynek pracy w śwetle teor hsterezy 22 Rafał Pszczek, Zastosowane modelu logt w modelowanu upadłośc 33 Marcn Salamaga, Próba weryfkacj teor parytetu sły nabywczej na przykładze kursów wybranych walut 49 Anton Smoluk, O zasadze dualnośc w programowanu lnowym 60 Małgorzata Szulc-Janek, Influence of recommendatons announcements on stock prces of fuel market 70 Jacek Welc, Regresja lnowa w szacowanu fundamentalnych współczynnków Beta na przykładze spółek gełdowych z sektorów: budownctwa, nformatyk oraz spożywczego 80 Andrzej Wlkowsk, O współczynnku korelacj 9 Mrosław Wójcak, Klasyfkacja nowych technolog energetycznych ze względu na determnanty ch rozwoju 99 Andrzej Wójck, Wykorzystane model wektorowo-autoregresyjnych do modelowana gospodark Polsk 209 Katarzyna Zeug-Żebro, Rekonstrukcja przestrzen stanów na podstawe welowymarowych szeregów czasowych 29

3 6 Sps treśc Summares Beata Bal-Domańska, Econometrc analyss of sgma and beta convergence n the European Unon regons 24 Andrzej Bąk, Aneta Rybcka, Marcn Pełka, Man effects models and man and nteractons models n conjont analyss wth applcaton of R software 43 Katarzyna Budny, Kurtoss of a random vector 53 Wktor Ejsmont, Optmal class sze of students 65 Kaml Fjorek, Regresson model for data restrcted to the nterval (0,) Bayesan approach 76 Paweł Hanczar, Safety stock level calculaton n a supply chan network 82 Roman Huptas, Estmaton methods of ntraday seasonalty n transacton fnancal data analyss 96 Aleksandra Iwancka, An mpact of some outsde rsk factors on the fnte- -tme run probablty for a mult-classes rsk model 09 Agneszka Lpeta, States of contngent market equlbrum 2 Krystyna Melch-Iwanek, The Polsh labour market n lght of the hysteress theory 32 Rafał Pszczek, Logt model applcatons for bankruptcy modellng 48 Marcn Salamaga, Attempt to verfy the purchasng power party theory n the case of some foregn currences 59 Anton Smoluk, On dual prncple of lnear programmng 68 Małgorzata Szulc-Janek, Analza wpływu rekomendacj analtyków na ceny akcj branży palwowej (Analza wpływu rekomendacj analtyków na ceny akcj branży palwowej) 78 Jacek Welc, A lnear regresson n estmatng fundamental betas n the case of the stock market companes from constructon, t and food ndustres 90 Andrzej Wlkowsk, About the coeffcent of correlaton 98 Mrosław Wójcak, Classfcaton of new energy related technologes based on the determnants of ther development 208 Andrzej Wójck, Usng vector-autoregressve models to modellng economy of Poland 28 Katarzyna Zeug-Żebro, State space reconstructon from multvarate tme seres 227

4 PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 76 Ekonometra Agneszka Lpeta Unwersytet Ekonomczny w Krakowe STANY RÓWNOWAGI NA RYNKACH WARUNKOWYCH Streszczene: Rozważmy dwuokresowy model ekonom wymany (contngent market) opsany w pracy M Magll M Qunz [2002] Jest to uogólnene modelu Arrowa-Debreu, w którym opsywana gospodarka sekwencyjne zmena sę w czase Rozważana ekonoma funkcjonuje w dwóch momentach czasu: teraźnejszym przyszłym, przy czym czas przyszły opsany jest stanam śwata (nterpretowanym jako zbór wszystkch możlwośc, w jakch gospodarka może znaleźć sę w przyszłośc) Zanalzowano problem jedynośc stanów równowag na rynkach warunkowych Jest to uzupełnene znanych rezultatów dotyczących problemu stnena równowag na tego typu rynkach Zaletą tej analzy jest brak konecznośc standardowych założeń o różnczkowalnośc funkcj użytecznośc poszczególnych konsumentów, co zwększa klasę relacj preferencj, które można poddać analze Słowa kluczowe: warunkowa ekonoma wymany, stan równowag, optmum Pareta, rzut ortogonalny Wstęp System ekonomczny, zwany ekonomą Debreu (zob [Debreu 959]), ze względu na swój statyczny charakter doczekał sę welu uogólneń (zob np [Radner 970; Alprants 996; Magll, Qunz 2002; Malawsk 2005; Malawsk, Woerter 2006; Moore 2007]) Rozważana w pracy [Magll, Qunz 2002] warunkowa ekonoma wymany (contngent market) jest jedną ze znanych w lteraturze modyfkacj ekonom Debreu Jest to dwuokresowy, sekwencyjny model rynku, w którym rozważa sę tylko jedno dobro We wspomnanej pracy, oprócz prezentacj modelu, omówony został także problem stnena równowag w warunkowej ekonom wymany W wększośc zaprezentowanych metod autorzy przyjmowal dodatkowe założene o różnczkowalnośc funkcj użytecznośc charakteryzujących wybory poszczególnych konsumentów Wyznaczane stanów równowag na rynkach warunkowych sprowadza sę do wyznaczena ekstremów warunkowych funkcj użytecznośc na zborach budżetowych, które muszą spełnać dodatkowo warunek równowag Funkcje użytecznośc są rzeczywstym funkcjam welu zmennych, węc do wyznaczena ekstremów można zastosować klasyczne metody analzy matematycznej programowana lnowego Jednak w nektórych przypadkach, zwłaszcza

5 Stany równowag na rynkach warunkowych gdy wymar przestrzen jest duży, napotykamy lczne przeszkody natury techncznej Dodatkowo funkcje użytecznośc w warunkowej ekonom wymany ne muszą być różnczkowalne W artykule przedstawone zostaną pewne własnośc zborów konsumpcj, zasobów, wektorów cen funkcj użytecznośc charakteryzujących warunkową ekonomę wymany, które mogą być przydatne w procesach efektywnego wyznaczana stanów równowag oraz podczas analzy problemu jedynośc stanów równowag Zaletą tych rezultatów jest brak konecznośc założeń o różnczkowalnośc funkcj użytecznośc poszczególnych konsumentów, co zwększa klasę relacj preferencj, które można poddać analze 2 Defncja warunkowej ekonom wymany Struktura dzałana S + Warunkowa ekonoma wymany funkcjonuje w dwóch okresach Okres t = 0 jest rozumany jako czas teraźnejszy, okres t = oznacza przyszłość Okres t = jest opsany przez skończony zbór {,, S} tzw stanów natury (śwata), gdze S {, 2, 3, } Lczba s {,, S} oznacza jedną z możlwośc realzacj śwata w okrese t = Okres t = 0 jest nterpretowany jako początkowy stan natury s = 0, stąd rozważa sę S + stanów śwata Obserwacja lczby jednostek jednego (ustalonego) dobra w każdym stane s = 0,,, S prowadz do defncj przestrzen towarów cen R Nech I {, 2, } oznacza skończoną lczbę konsumentów dzałających w ekonom Każdemu konsumentow ( =,, I) przyporządkowane są: zbór konsumpcj X zbór tych strumen konsumpcj posadanem jest zanteresowany konsument S+ {,, I} X R, relacja preferencj (relacja spójna, przechodna cągła) {,, I} S+ S+ R R x R S+, których Jeżel + = R S X +, to zbór X jest zborem wszystkch możlwych welkośc danego dobra dla konsumenta =,, I, w każdym stane s = 0,,, S Zakładamy też, że relacja preferencj każdego konsumenta jest reprezentowana przez spełnającą warunek slnej monoto- cągłą funkcję użytecznośc ncznośc: gdze: jeśl x, xˆ R u : R + S + + S + R : x < xˆ u x= ( x,, xs+ ), xˆ = ( xˆ,, xˆs+ ), to ( x) < u ( xˆ), ()

6 2 Agneszka Lpeta def x < xˆ [( l {,, S + }: x xˆ ) x x ] (2) W stane s = 0 konsument posada zasób 0 l l ˆ ω + R oraz (poprawne) określa s swój zasób ω w każdym stane s =,, S Zatem każdy konsument scharakteryzowany jest przez wektor zasobów początkowych 0 S ω = ( ω, ω,, ω ) X Analogczne konsument ( =,, I), wyberając strumeń konsumpcj 0 S x = ( x, x,, x ) X, określa swoją konsumpcję (lczbę jednostek danego dobra) x 0 w okrese t = 0 oraz przewduje konsumpcję w okrese t = dla każdego stanu s = 0,,, S Defncja (zob [Magll, Qunz 2002]) Dwuokresową ekonomę Ε ( u,, w której dzała I konsumentów scharakteryzowanych poprzez funkcje użytecznośc zasoby początkowe I ( u, = ( u,, u, ω,, ω ), nazywamy warunkową ekonomą wymany lub rynkem warunkowym (contngent market) Nech Ο= (0,, 0) R S + oznacza wektor zerowy w przestrzen towarów cen Defncja 2 (zob [Magll, Qunz 2002]) Alokacją w ekonom Euω (, ) nazywamy wektor I + x = ( x,, x ), gdze wektor x R S jest strumenem konsumpcj każdego konsumenta =,, I Alokację stępną lub dopuszczalną, jeżel {,, I}: x X oraz ( x ω ) Ο = I I x = ( x,, x ) nazywamy do- I Zbór wszystkch dostępnych alokacj oznaczamy przez ( S+ ) I I + = F = { x R : ( x ω ) Ο)} Zauważmy że zbór F zależy tylko od postac całkowtego zasobu

7 Stany równowag na rynkach warunkowych 3 ekonom Ε ( u, I ϖ = ω (3) = I Defncja 3 (zob [Magll, Qunz 2002]) Alokację xˆ = ( xˆ,, xˆ ) nazywamy optmum Pareta w warunkowej ekonom wymany Ε ( u,, jeżel: oraz xˆ F ~ ( x F:[( {,, I}: u ( x) u ( xˆ)) ( {,, I}: u ( x) > u ( xˆ))]) 0 Defncja 4 (zob [Magll, Qunz 2002]) Kontraktem warunkowym w ekonom Ε ( u, nazywamy obetncę dostarczena jednej jednostk rozważanego dobra w każdym stane s = 0,,, S Warunkowym wektorem cen (contngent p s S + market prce) nazywamy wektor p= ( p0, p,, p S ) R, gdze p s ( s = 0,, S) jest zdyskontowaną (zaktualzowaną na okres t = 0 ) ceną jednej jednostk dobra w stane s, płaconą w okrese t = 0 W powyższej defncj oznacza lczbę ustalonych arbtralne jednostek penężnych Każdy konsument dzałający na rynku warunkowym ma możlwość realokacj swoch zasobów W tym momence pojawają sę naturalne pytana: czy stneją w zborach budżetowych każdego konsumenta strumene konsumpcj preferowane bardzej nż zasoby początkowe ω ( =,, I) oraz co motywuje konsumen- tów do realokacj swoch zasobów Kluczem do odpowedz na te dwa pytana jest I rozstrzygnęce, czy zasoby ω,, ω tworzą z danym wektorem cen stan równowag w warunkowej ekonom wymany Jeśl tak, to konsumenc ne mają motywacj do realokacj zasobów, jeśl ne, to motywuje ch to do dzałana Warunkowa ekonoma wymany Ε ( u, dzała w następujący sposób W okrese t = 0 konsument może sprzedać swój zasób początkowy ω względem warunkowego wektora cen p = ( p0, p,, p S ), otrzymując dochód w wysokośc: S s s s= 0 w = p ω = p ω (4) Konsument może zakupć strumeń konsumpcj którego wartość ne przekracza jego dochodu, tzn S+ = 0 R x ( x, x,, x S ),

8 4 Agneszka Lpeta S s= 0 s s p x w Założene monotoncznośc funkcj użytecznośc prowadz do analogcznej własnośc monotoncznośc relacj preferencj każdego konsumenta : x, x X : x < x x nterpretowanej jako m węcej, tym lepej Zgodne z tą nterpretacją warunkowy zbór budżetowy konsumenta względem warunkowego wektora cen p R S + (contngent market budget set) zdefnowany jako x jest postac def S+ Β ( p, ω ) = { x R : p x p ω } S + Β ( p, ω ) = { x R : p x = p ω = w} (5) Zauważmy, że konsument w przypadku podjęca decyzj o realokacj wydaje cały swój dochód w z warunku (4) na zakup strumena konsumpcj x Warunkowa ekonoma wymany dzała prawdłowo, jeżel każdy konsument ma możlwość sprzedaży zakupu takej lośc dobra, le chce, o le tylko ne wpływa to na zmanę ceny tego dobra Zatem wymana na rynkach warunkowych mus być oparta na pewnych regułach, które gwarantują jej prawdłowe funkcjonowane które są przestrzegane przez wszystkch uczestnków rynku Zakłada sę, że: wszystke umowy handlowe są zawerane w okrese t = 0, ceny kontraktów w różnych stanach są merzone w tych samych, ustalonych w okrese t = 0 jednostkach penężnych, stneje wolny od opłat ze strony konsumentów montorng rynku, ne ma możlwośc renegocjowana cen kontraktów w okrese t = Defncja 5 (zob [Magll, Qunz 2002]) Warunkowym stanem równowag (contngent market equlbrum) w ekonom Ε ( u, z jednym dobrem nazywamy parę ( x, p ) R ( S+ ) I ( S+ ) + R+ złożoną z alokacj x warunkowego wektora cen p taką, że {,, I}: x arg max{ u ( x ) : x Β( p, ω )} oraz I = ( x ω ) =Ο

9 Stany równowag na rynkach warunkowych 5 Zauważmy, że warunkowy stan równowag jest stanem równowag konkurencyjnej na rynku, w którym konsumenc są borcam cen, tzn każdy konsument kupuje tyle, le chce, ne ma to wpływu na zmanę ceny towaru p s w każdym stane s 0,,, S Zatem, przy założenu slnej monotoncznośc relacj preferencj, problem maksymalzacj użytecznośc na zborach budżetowych ma rozwązane, jeśl ceny towaru w każdym stane są dodatne, tzn rozważane dobro ne jest dobrem wolnym w żadnym stane Spostrzeżene to formalzuje następujące twerdzene: Twerdzene (o braku wolnych kontraktów na rynkach warunkowych) (zob [Magll, Qunz 2002]) W ekonom Ε ( u, następujące warunk są równoważne: para p ( x, p ) jest warunkowym stanem równowag w tej ekonom, S + R ++, zbór Β ( p, ω ) jest zwarty dla każdego {,, I} Twerdzene 2 (zob [Magll, Qunz 2002]) Nech Ε ( u, będze warunkową ekonomą wymany Jeżel para ( x, p ) jest warunkowym stanem równowag w tej ekonom, to alokacja x jest optmum Pareta Jeżel ekonoma Ε ( u, jest w stane równowag, to żaden konsument ne ma motywacj do realokacj swoch zasobów Każdy stan dopuszczalny (zob defncję 2), który ne jest stanem równowag, będze prowokował kolejne realokacje zasobów do momentu uzyskana stanu równowag Zauważmy na konec tej częśc pracy, że kontrakty warunkowe, zdefnowane w defncj 4, mogą być wykorzystane np do modelowana kontraktów ubezpeczenowych, przy czym stany natury zawerają różne rodzaje ryzyka, od którego ubezpecza sę konsument Może to być ubezpeczene od pożaru, kradzeży, wypadku samochodowego, choroby, kalectwa, śmerc nnych stanów nepewnośc, na wypadek zajśca których zwykle dokonuje sę ubezpeczeń 3 Główne rezultaty Kedy został już rozstrzygnęty problem stnena równowag na rynkach warunkowych, pojawają sę kolejne problemy: jak wygląda stan równowag na rynkach warunkowych, czy jest on jedyny jakch użyć metod, aby go wyznaczyć Jeśl funkcje użytecznośc są klasy C 2, to najprostszą metodą, za pomocą której można wyznaczyć stan równowag przy danym wektorze cen, jest metoda mnożnków Lagrange a Jeżel natomast zakładamy tylko cągłość funkcj użytecznośc (bez zakładana różnczkowalnośc), pozostają metody programowana lnowego W tej sytuacj przydatne są wszystke nformacje, które uproścłyby procesy optymalzacyjne

10 6 Agneszka Lpeta Nech Ε( u, będze warunkową ekonomą wymany (zob defncję ), w której para ( x, p ) jest warunkowym stanem równowag oraz wektor ϖ S jest całkowtym zasobem (zob (3)) Zauważmy, z twerdzena, że są dodatne) W tej sytuacj zachodz na- (tzn wszystke współrzędne wektora stępujące twerdzene: p + R + + R S ++ Twerdzene 3 Istneje warunkowa ekonoma wymany Ε( u, ˆ, różnąca sę od ekonom Ε ( u, tylko wektoram zasobów początkowych, w której stneje stan równowag postac ( x, p ) oraz całkowte zasoby w obu ekonomach są take same, tzn I I ϖ = ω + + ω = ˆ ω + + ˆ ω Ponadto wektory zasobów początkowych wszystkch konsumentów w ekonom Ε ( u, ˆ) ω zawerają sę w podprzestrzen wektorowej przestrzen R S+ wymaru p Dowód Zauważmy najperw, że jeśl p + R S ++ S + +, oraz ϖ R to p ϖ 0 Warunkowy wektor cen p ndukuje przekształcene lnowe postac Nech Q : R S+ R S+ S + p : R x p x R będze odwzorowanem danym przepsem p ( x) Qx ( ) = ϖ p ( ϖ ) (6) Oznaczmy ˆ ω = Q( ω ) dla =,, I Wtedy dla dowolnego x R S + ( ) Q x p = x p Z warunku (7) wynka, że zbory budżetowe względem warunkowego wektora cen p w ekonomach Ε ( u, oraz Ε ( u, ˆ są take same Skoro relacje preferencj dla każdego konsumenta są równeż te same, to wektory maksymalzujące użytecznośc na zborach budżetowych poszczególnych konsumentów w ekonom Ε ( u, maksymalzują użytecznośc na zborach budżetowych w ekonom (7)

11 Stany równowag na rynkach warunkowych 7 Ε ( u, ˆ Z defncj odwzorowana Q (zob (6)) wynka, że wektory ˆ ω,, ˆI ω są zawarte w jednowymarowej podprzestrzen generowanej przez wektor całkowtych zasobówϖ (zob (3)) Zauważmy, z warunku (7), że lnowe odwzorowane Q (zob (6)) jest rzutem ortogonalnym na jednowymarową podprzestrzeń generowaną przez wektor ϖ Z twerdzena 3 wynka, że jeśl {,, I}: ˆ ω ω, to stneją przynajmnej dwe różne alokacje zasobów wszystkch konsumentów, które przy danym wektorze cen danych funkcjach użytecznośc dają ten sam stan równowag Ekonoma Ε ( u, ˆ ma charakter pomocnczy Do procesów optymalzacyjnych, zamast danych zasobów I ω,, ω poszczególnych konsumentów, można użyć ch rzutów ortogonalnych na prostą generowaną przez wektor produkcj całkowtej (3) Zajmemy sę teraz sytuacją, kedy wybory każdego konsumenta ogranczają sę do mnejszego zboru nż Wówczas prawdzwe jest twerdzene R S + + V Twerdzene 4 Jeśl stneje podprzestrzeń wektorowa S R {Ο} taka, że + + {,, I}: X V, V R S +, (8) to stneje wektor cen p ˆ V tak, że para ( x, pˆ ) jest warunkowym stanem równowag w ekonom Ε ( u, + Dowód Zauważmy, że jeśl R S S + V oraz V R, to dmv < S + Oznaczmy k = S + dmv ( k {, 2,, S}) Wtedy stneją wektory h,, h k S + l l l R, ( h = ( h 0,, h S ), l {,, k}) take, że gdze funkcjonały k ker l V = h, = h x x h x h x l S l l : R + ( 0,, S) S l są lnowe cągłe dla każdego l {,, k} S k Ustalmy bazę ( v,, v + ) w przestrzen V Nech wektory k S q,, q R + będą wyznaczone z warunków: S R

12 8 Agneszka Lpeta h ( q ) = δ n j v ( q ) = 0 l j l, j dla l, j {,, k}, n (,, S + k) Wówczas wektor ˆp spełna tezę twerdzena postac: k l ) q l l= p ˆ = p h ( p Z twerdzena 4 wynka, że w sytuacj, gdy wybory konsumentów są ogranczone do pewnej podprzestrzen wektorowej V R S, gdze dmv = S + k, k {,, S}, to problem wyznaczena warunkowego wektora cen równowag + można zawęzć do podprzestrzen V, co w procesach optymalzacyjnych pozwala na wyelmnowane k zmennych z warunków budżetowych dzedzny funkcj użytecznośc Zauważmy, że w przypadku założena (7) dana alokacja x, która daje stan równowag w całej ekonom z pewnym wektorem cen, tworzy też stan równowag z pewnym wektorem cen z podprzestrzen V Wnosek Nech Ε ( u, będze warunkową ekonom wymany, w której {,, I} : X V oraz p V Wtedy w ekonom tej stneją przynajmnej dwa stany równowag, a zbory budżetowe przy cenach p oraz ˆp są dentyczne Wnosek 2 Z twerdzena wynka, że pˆ + R S ++ oraz pˆ p, (9) gdze norma jest zadana przez loczyn skalarny Zatem jeśl nerówność w warunku (9) jest ostra, to wektor cen ˆp jest korzystnejszym z punktu wdzena konsumentów warunkowym wektorem cen równowag S + Rozważmy teraz sytuację, w której, przy danym wektorze cen p R ++, stneją w ekonom Ε ( u, co najmnej dwa różne ( x, p ),( xˆ, p ) stany równowag, gdze ( S+ ) I ˆ x, xˆ R, x x Nech I ( S+ ) I R( p ) = { x = ( x,, x ) R :

13 Stany równowag na rynkach warunkowych 9 I {,, I}: u ( x ) = max{ u ( x ) : x Β( p, ω )} x + + x = ϖ (0) będze zborem tych dostępnych alokacj (zob defncje 2 oraz 5), które wraz z wektorem p tworzą stan równowag w warunkowej ekonom wymany Ε ( u, Uwaga Wektory x, ˆx R( p ) są neporównywalne względem relacj " < " R S + R S + (zob ()) Ponadto {,, I}: (( x xˆ ) p ) oraz S+ {,, I}: x xˆ R ++ ( S+ ) I Dowód Przypuśćmy, że wektory x, ˆx R są porównywalne względem relacj " < " R R, np x xˆ > 0 S + S + Wtedy {,, I}: x xˆ oraz {,, I}: x < xˆ Z założena monotoncznośc relacj preferencj otrzymamy {,, I} : u ( x ) u ( xˆ ) oraz {,, I}: u ( x ) < u ( xˆ ), co znaczyłoby, że para ( x, p ) ne jest warunkowym stanem równowag w ekonom Ε ( u, Nech =,, I Wtedy (zob (4)) w = p x = p xˆ, co w konsekwencj oznacza dla każdego =,, I prostopadłość wektorów ( x xˆ ) oraz p Gdyby to ) ne jest warunkowym stanem równowag w eko- co znaczyłoby, że para ( xˆ nom Ε ( u, {,, I}: x xˆ R,, p S+ ++ x xˆ > 0, Uwaga 2 Jeżel w warunkowej ekonom wymany Ε ( u, funkcje użytecznośc wszystkch konsumentów są slne wypukłe, to przy danym wektorze cen stneje co najwyżej jeden stan równowag Dowód Slna wypukłość relacj preferencj oznacza, że x, xˆ X :[( u ( x ) = u ( xˆ )) t (0,) : ( u ( x ) < u ( tx + ( t) xˆ ))]

14 20 Gdyby w ekonom stnały dwa różne stany równowag ( x, p Agneszka Lpeta ),( xˆ, p ), to {,, I}: x x ˆ Z slnej wypukłośc wynkałoby węc, że Wektor postac t (0,) : u ( x ) < u ( tx + ( t) xˆ ) tx + ( t) x ˆ leżący w zborze budżetowym byłby bardzej preferowany nż wektor x, co prowadz do sprzecznośc Na konec artykułu zostane podane twerdzene charakteryzujące zbór stanów równowag w warunkowej ekonom wymany przy danym wektorze cen S + p R ++ Nech Ε( u, będze warunkową ekonomą wymany (zob defncję ), ( w której para x, p ) jest warunkowym stanem równowag (zob defncję 5 + twerdzene ), wektor ϖ R S + jest całkowtym zasobem (zob (3)), a zbór R( p ) jest wyznaczony z warunku (0) Wówczas prawdzwe jest twerdzene Twerdzene 5 Nech X = { x X : u ( x ) = max{ u ( x ): x Β ( p, ω )}} dla {, 2,, I} oraz 2 I 2 I 2 I S+ f : X X X ( x, x,, x ) x + x + + x R () Wtedy x R( p ) x f ( ϖ ) (2) oraz zbór f ( ϖ ) jest zwarty Dowód Zauważmy, że nepustość zborów X dla,, = I wynka z faktu, S+ I R ( ) ż względem wektora cen p stneje stan równowag w ekonom Ε ( u, Postać odwzorowana f z warunku () oraz warunek (2) są konsekwencją defncj 5 Odnotujmy, że odwzorowane f jest cągłe Zatem zbór f ( ϖ ) jako przecwobraz zboru domknętego jest zborem domknętym w przestrzen Ponadto f ( ϖ ) Β ( p, ω ) Β ( p, ω ), I

15 Stany równowag na rynkach warunkowych 2 gdze zbory budżetowe Β( p, ω ) dla =,, I są zwarte (zob twerdzene ) Z twerdzena Tchonowa (zob [Engelkng 975]) wynka, że loczyn kartezjańsk S+ I zborów budżetowych będze zborem zwartym w przestrzen R ( ) Domknęty podzbór zboru zwartego jest równeż zwarty, co daje tezę twerdzena 4 Podsumowane Nektóre zaprezentowane w artykule fakty (twerdzena 3 5) mogą być pomocne (przez redukcję pewnej lczby zmennych) podczas efektywnego wyznaczana stanów równowag w warunkowej ekonom wymany Inne zaś (twerdzene 4, uwaga 2) opsują sytuację, kedy w tej ekonom stneje węcej nż jeden stan równowag Do całoścowej analzy problemu jedynośc stanu równowag na rynku warunkowym potrzebna jest jeszcze wedza na temat postac funkcj użytecznośc poszczególnych konsumentów Pewną charakterystykę zboru stanów równowag w warunkowej ekonom wymany daje twerdzene 5 Lteratura Alprants CD, Problems n Equlbrum Theory, Sprnger-Verlag Berln-Hedelberg, Germany 996 Debreu G, Theory of Value, Wley, New York 959 Engelkng R, Topologa ogólna, PWN, Warszawa 975 Magll M, Qunz M, Theory of Incomplete Markets, MIT Press, Cambrdge 2002 Malawsk A, A Dynamcal System Approach to the Arrow Debreu theory of General Equlbrum, The 9-th World Mult-Conference on Systemcs, Cybernetcs, and Informatcs, Proceedng 2005, July 0-3, Orlando, Florda, USA, Vol VII, 2005 Malawsk A, Woerter M, Dversty Structure of the Schumpeteran Evoluton An Axomatc Approach, Arbetspapere/Workng Papers of the Swss Insttute for Busness Cycle Research, No 53, Zurch 2006 Moore JC, General Equlbrum and Welfare Economcs, Sprnger, Berln 2007 Radner R, Exstence of Equlbrum of Plans, Prces and Prce Expectatons n a Sequence of Markets, Econometrca 970 vol 40 STATES OF CONTINGENT MARKET EQUILIBRIUM Summary: Let Ε ( u, be the contngent market studed n [Magll M, Qunz M, Theory of Incomplete Markets, MIT Press, Cambrdge, 2002] The am of ths paper s the presentaton of some propertes of consumpton sets, utlty functons and total endowments whch may be useful n the characterzaton of the sets of states of equlbrum and n the effectve calculaton of the states of equlbrum on the contngent market