def T a JeŜeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, Ŝe całka niewłaściwa def def

Transkrypt

1 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE CAŁKI NIEWŁAŚCIWE IERWSZEGO ROZAJU e ł iewłśiw półprostej Nieh uj :[ R ęzie łowl przeziłh [T] l Ŝego T> Cłę iewłśiwą pierwszego rozju uji przezile [ eiiujem wzorem: e T T JeŜeli gri po prwej stroie zu rówośi jest sońzo to mówim Ŝe ł iewłśiw jest zieŝ JeŜeli gri t jest rów lu - to mówim Ŝe ł jest rozieŝ opowieio o lu - W pozostłh przph mówim Ŝe ł jest rozieŝ Alogizie eiiuje się łę iewłśiwą pierwszego rozju przezile -]: e S S e ł iewłśiw prostej Nieh uj : R R ęzie łowl przeziłh [ST] l owolh S i T tih Ŝe - < S < T < Cłę iewłśiwą pierwszego rozju uji przezile - eiiujem wzorem: e + gzie ozz owolą lizę rzezwistą JeŜeli oie łi po prwej stroie zu rówośi są zieŝe to mówim Ŝe ł jest zieŝ JeŜeli je z th łe jest rozieŝ o - lu rug jest zieŝ lo rozieŝ opowieio o - lu to mówim Ŝe ł jest rozieŝ o - lu W pozostłh przph mówim Ŝe ł t jest rozieŝ Uwg JeŜeli łi są zieŝe l pewego R to są zieŝe l Ŝego R i ih sum ie zleŝ o Ft 3 zieŝość łe posti Nieh > Wte p p ziez l p > jest roziez l p Uwg Alogiz t jest prwziw tŝe l łe p gzie < o ile uj połow jest poprwie oreślo KRYTERIA ZBIEśNOŚCI CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH IERWSZEGO ROZAJU Tw rterium porówwze JeŜeli g l Ŝego [ uje i g są łowle przeziłh [T] l T> 3 ł g jest zieŝ to ł jest zieŝ Uwg Twierzeie powŝsze pozostie prwziwe g ierówośi w złoŝeiu są prwziwe l Ŝego [ *

2 gzie * > JeŜeli złoŝeie 3 tego twierzei m postć ł g jest rozieŝ to w tezie otrzmm ł jest rozieŝ rwziwe jest tŝe logize rterium porówwze l łe iewłśiwh posti Tw rterium ilorzowe Nieh uje otie i g ęą łowle przeziłh [T] l Ŝego T> orz ieh Wówzs ł jest zieŝ ł g jest zieŝ g gzie << Uwg rwziwe jest tŝe logize rterium ilorzowe l łe iewłśiwh posti 3 ZBIENOŚĆ BEZWZGLĘNA CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH IERWSZEGO ROZAJU e 3 zieŝość ezwzglę łe iewłśiwh pierwszego rozju Nieh uj ęzie łowl przeziłh [T] l Ŝego T> Cł e jest zieŝ ooie oreśl się zieŝość ezwzglęą łe Tw 3 o zieŝośi łe iewłśiwh zieŝh ezwzglęie Nieh uj ęzie łowl przeziłh [T] l Ŝego T> JeŜeli ł to ł jest zieŝ oto jest zieŝ ezwzglęie jest zieŝ ezwzglęie Uwg owŝsze twierzeie jest prwziwe tŝe l pozostłh rozjów łe iewłśiwh pierwszego rozju Twierzeie owrote ie jest prwziwe l owolej uji p ł iewłśiw z uji [ jest zieŝ le ie jest zieŝ ezwzglęie 4 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE RUGIEGO ROZAJU si przezile e 4 łi iewłśiwe rugiego rozju Nieh uj : ] R ęzie ieogrizo prwostrom sąsieztwie putu orz łowl przeziłh [+ε] l Ŝego < ε < Cłę iewłśiwą rugiego rozju uji przezile ] eiiujem wzorem: ε + + ε

3 JeŜeli gri po prwej stroie zu rówośi jest sońzo to mówim Ŝe ł jest zieŝ JeŜeli gri t jest rów lu - to mówim Ŝe ł jest rozieŝ opowieio o lu - W pozostłh przph mówim Ŝe ł t jest rozieŝ Alogizie eiiuje się łę iewłśiwą uji ieogrizoej lewostrom sąsieztwie putu : e ε + ε JeŜeli uj jest oreślo i ogrizo przezile ] orz łowl przeziłh [+ε] l Ŝego < ε < to ł olizo weług powŝszej eiiji jest zieŝ ooie jest uji oreśloej przezile [ Ft 4 o zieŝośi łe p Nieh > Wte ł iewłśiw Alogiz t jest prwziw tŝe l łe ziez l p < jest roziez l p p p gzie < o ile uj połow jest poprwie oreślo e 43 łi iewłśiwe rugiego rozju iąg lsz Nieh uj :[ ] \ { } R gzie ęzie ieogrizo oustroh sąsieztwh putu orz łowl przeziłh [-ε ] [+ε] l Ŝego < ε < mi{ } Cłę iewłśiwą rugiego rozju uji przezile [] eiiujem wzorem: e + JeŜeli oie łi po prwej stroie zu rówośi są zieŝe to mówim Ŝe ł jest zieŝ JeŜeli je z th łe jest rozieŝ o - lu rug jest zieŝ lo rozieŝ opowieio o - lu to mówim Ŝe ł jest rozieŝ o - lu W pozostłh przph mówim Ŝe ł t jest rozieŝ W poo sposó oreśl się łi iewłśiwe z uji ieogrizoh sąsieztwh putów [] N przł l uji : R ieogrizoej prwostrom sąsieztwie putu i lewostrom sąsieztwie putu orz łowlej przeziłh [ + ε - ε] l Ŝego gzie jest owolm putem przeziłu e ε < + przjmujem: 5 KRYTERIA ZBIEśNOŚCI CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH RUGIEGO ROZAJU Tw rterium porówwze JeŜeli g l Ŝego ] uje i g są łowle [+ε] l < ε < 3 ł g jest zieŝ to ł jest zieŝ

4 Uwg Twierzeie powŝsze pozostie prwziwe g ierówośi w złoŝeiu są prwziwe l Ŝego * ] gzie < * < JeŜeli złoŝeie 3 tego twierzei m postć ł jest rozieŝ to w tezie otrzmm ł g jest rozieŝ rwziwe jest tŝe logize rterium porówwze l uji oreśloh przezile [ i ieogrizoh lewostrom sąsieztwie putu Tw rterium ilorzowe Nieh uje otie i g ęą łowle przeziłh [+ε] l Ŝego < ε < orz ieh gzie << Wówzs ł jest zieŝ ł g jest zieŝ + g Uwg rwziwe jest tŝe logize rterium l łe iewłśiwh przezile [ SZEREGI LICZBOWE I OTĘGOWE EFINICJE I OSTAWOWE TWIERZENIA e szereg sum zęśiow szeregu Nieh ęzie iągiem lizowm Szeregiem lizowm zwm iąg S gzie S Szereg ti ozzm przez Lizę zwm -tm wrzem lizę S -tą sumą zęśiową tego szeregu e szereg zieŝ i rozieŝ sum szeregu Mówim Ŝe szereg jest zieŝ jeŝeli istieje sońzo gri iągu S JeŜeli to mówim Ŝe szereg S lo S jest rozieŝ opowieio o - lo o W pozostłh przph mówim Ŝe szereg jest rozieŝ Sumą szeregu zieŝego zwm grię Uwg Alogizie moŝ zeiiowć szereg Ft 3 zieŝość szeregu geometrzego Szereg geometrz Uwg rzjmujem tutj Ŝe e S i ozzm ją tm smm smolem o szereg gzie Z orz jego sumę jest zieŝ wte i tlo wte g < Tw 4 wrue oiez zieŝośi szeregu JeŜeli szereg jest zieŝ to Uwg Twierzeie owrote ie jest prwziwe Świz o tm przł iągu le szereg l zieŝego szeregu geometrzego mm: N Mm owiem jest rozieŝ o owŝsze twierzeie zpise w rówowŝej posti: jeŝeli

5 lo gri ietórh szeregów ie istiej to szereg KRYTERIA ZBIEśNOŚCI SZEREGÓW Tw rterium łowe Nieh uj :[ [ gzie N ęzie ierosą Wówzs szereg Uwg Reszt tego szeregu to jest wrŝeie i Ft zieŝość szeregów posti jest zieŝ ł Szereg ziez l p > jest p roziez l p Tw 3 Krterium porówwze l Ŝego szereg jest zieŝ e R i + p szereg Uwg JeŜeli złoŝeie m postć szereg Tw 4 rterium ilorzowe Nieh > l Ŝego orz ieh Tw 5 Krterium Alemert JeŜeli + < to szereg szereg JeŜeli + > to szereg jest rozieŝ stosujem o uzsii rozieŝośi spełi oszowie: R jest zieŝ jest zieŝ jest rozieŝ to w tezie otrzmm: szereg gzie << Wówzs jest zieŝ szereg jest zieŝ jest rozieŝ jest zieŝ jest rozieŝ Uwg JeŜeli zmist złoŝei poego w puie spełio jest wrue + l Ŝego to szereg jest l rozieŝ JeŜeli + Np l iągów jest rozieŝ to rterium Alemert ie rozstrzg z szereg + + mm le szereg jest zieŝ jest zieŝ tomist szereg

6 Tw 6 Krterium Cuh ego JeŜeli < to szereg JeŜeli > to szereg jest zieŝ jest rozieŝ Uwg JeŜeli to rterium Cuh ego ie rozstrzg z szereg 3 ZBIEśNOŚĆ BEZWZGLĘNA SZEREGÓW Tw 3 Leiiz o zieŝośi szeregu przemieego JeŜeli iąg jest ierosą o umeru N to szereg przemie + jest zieŝ oto prwziwe jest stępująe oszowie reszt szeregu: i e 3 zieŝość ezwzglę szeregu Szereg jest zieŝ ezwzglęie i+ i e szereg Tw 33 o zieŝośi szeregów zieŝh ezwzglęie JeŜeli szereg lizow jest zieŝ ezwzglęie to jest zieŝ l Ŝego jest zieŝ jest zieŝ Uwg Twierzeie owrote ie jest prwziwe Świz o tm przł szeregu jest zieŝ ezwzglęie + tór jest zieŝ le ie e 34 szereg zieŝ wruowo Szereg zieŝ tór ie jest zieŝ ezwzglęie zwm szeregiem zieŝm wruowo Ft 35 sum wŝiejszh szeregów + π 6 e!! e + l + π 4 4 SZEREGI OTĘGOWE e 4 szereg potęgow Szeregiem potęgowm o śrou w puie R zwm szereg posti: gzie R orz R l Uwg W tm prgrie przjmujem Ŝe e Liz zwm współzimi szeregu potęgowego

7 e 4 promień zieŝośi szeregu potęgowego romieiem zieŝośi szeregu potęgowego zwm lizę R oreśloą rówośią: g R sup < sup < oto przjmujem R g sup orz R g sup Uwg romień zieŝośi szeregu potęgowego moŝe ć tŝe oliz ze wzoru: o ile te grie istieją R lo ze wzoru R + Tw 43 Cuh ego Hmr Nieh < R < ęzie promieiem zieŝośi szeregu potęgowego zieŝ ezwzglęie w Ŝm puie przeziłu R + R rozieŝ w Ŝm puie zioru - R + R Wte szereg te jest: Uwg W ou ońh przeziłu R + R szereg potęgow moŝe ć zieŝ lu rozieŝ G R to szereg potęgow jest zieŝ jeie w puie G R to szereg potęgow jest zieŝ ezwzglęie łej prostej e 44 przeził zieŝośi szeregu potęgowego rzeziłem zieŝośi szeregu potęgowego zwm ziór: R : szereg jest ziez Tw 45 o rozwijiu uji w szereg potęgow JeŜeli: uj m przezile - δ + δ pohoe owolego rzęu l Ŝego - δ + δ spełio jest wrue R gzie R! ozz -tą resztę we wzorze Tlor l uji przezile [ ] lu [ ] to l Ŝego δ + δ! Uwg Zmist złoŝei powŝszego twierzei moŝ przjąć Ŝe: M > M l Ŝego N {} orz l Ŝego δ + δ Szereg potęgow wstępują w tezie tego twierzei zwm szeregiem Tlor uji w puie G to szereg te zwm szeregiem Mluri Tw 46 o jeozzośi rozwiięi uji w szereg potęgow l Ŝego δ + δ JeŜeli! gzie δ > to l

8 Ft 47 szeregi Mluri ietórh uji elemetrh 3 e si! os !! 3! +! l + r tg sh h! ! l < l R 5 + 5! ! 4! 6! ! l R l R l < l < ! 3! 5! 7! !! 4! 6! l R l R Tw 48 o róŝizowiu szeregu potęgowego Wte: \ l Ŝego R R Nieh < R ęzie promieiem zieŝośi szeregu potęgowego Uwg N przezile -RR sum szeregu potęgowego m iągłe pohoe owolego rzęu oo wzór jest prwziw tŝe l szeregu potęgowego posti : Nieh < R ęzie promieiem zieŝośi szeregu potęgowego Tw 49 o łowiu szeregu potęgowego \ Wte: l Ŝego R + R Nieh < R ęzie promieiem zieŝośi szeregu potęgowego Wte: + t t l Ŝego R R + Uwg oo wzór jest prwziw tŝe l szeregu potęgowego posti Nieh < R ęzie promieiem zieŝośi szeregu potęgowego t t + : Wte: + l Ŝego R + R

9 Ft 4 sum wŝiejszh szeregów potęgowh l + l Uwg Wszstie poe wŝej wzor są prwziwe l Ŝego - 3 FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 3 ZBIORY NA ŁASZCZYŹNIE I W RZESTRZENI + l e 3 płszzz przestrzeń rzestrzeią wuwmirową płszzzą zwm ziór wszstih pr uporząowh gzie R rzestrzeń wuwmirową ozzm przez R : R e { : R} ooie przestrzeią trójwmirową przestrzeią zwm ziór wszstih uporząowh z gzie z R rzestrzeń trójwmirową ozzm przez R 3 : 3 R e { z : z R} Elemet orz z th przestrzei zwm opowieio putmi płszzz lu przestrzei Liz orz z zwm opowieio współrzęmi rtezjńsimi putów orz z e 3 oległość putów Oległość putów płszzz lu przestrzei ozzm smolem i oreślm wzorem: gzie R lu wzorem gzie z z R 3 e e z z Rs 3 Oległość wóh putów płszzźie Rs 3 Oległość wóh putów w przestrzei e 33 otozeie putu Otozeiem o promieiu r > putu płszzźie lu przestrzei zwm ziór: O r : { < r} e Otozeiem putu płszzźie jest oło otwrte o śrou w m puie Otozeiem putu w przestrzei jest ul otwrt o śrou w m puie e 34 sąsieztwo putu Sąsieztwem o promieiu r > putu płszzźie lu przestrzei zwm ziór: S e r O r { } \ Sąsieztwem putu płszzźie jest oło otwrte ez śro ooie sąsieztwem putu w przestrzei jest ul otwrt ez śro

10 Rs 33 Otozeie o promieiu r putu płszzźie Rs 34 Sąsieztwo o promieiu r putu płszzźie e 35 ziór ogrizo i ieogrizo Ziór A jest ogrizo jeŝeli jest zwrt w otozeiu pewego putu tz A O r > W przeiwm przpu mówim Ŝe ziór A jest ieogrizo r Rs 35 Ziór A jest ogrizo płszzźie e 36 put wewętrz zioru wętrze zioru Nieh A ęzie ziorem płszzźie lu w przestrzei ut jest putem wewętrzm zioru A jeŝeli istieje otozeie tego putu zwrte w ziorze A tz O r > r A Wętrzem ziór zwm ziór wszstih jego putów wewętrzh e 37 put rzegow zioru rzeg zioru Nieh A ęzie ziorem płszzźie lu w przestrzei ut jest putem rzegowm zioru A jeŝeli w Ŝm otozeiu tego putu moŝ zleźć put leŝąe o zioru A i put ie leŝąe o zioru A tz r> O r A orz O r A' Brzegiem zioru zwm ziór wszstih jego putów rzegowh Rs 36 ut jest putem rzegowm zioru A e 38 ziór otwrt Ziór jest otwrt jeŝeli Ŝ put tego zioru jest jego putem wewętrzm e 39 ziór omięt Ziór jest omięt jeŝeli zwier swój rzeg

11 Rs 37 Ziór A jest otwrt płszzźie Rs 38 Ziór B jest omięt w przestrzei e 3 oszr oszr omięt Niepust ziór jest oszrem jeŝeli: jest otwrt Ŝe w put zioru moŝ połązć łmą łowiie w im zwrtą Oszr łązie ze swoim rzegiem zwm oszrem omiętm Rs 39 Ziór A jest oszrem omiętm płszzźie Rs 3 Ziór B ie jest oszrem płszzźie 3 FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH e 3 uj wóh zmieh Fują wóh zmieh oreśloą ziorze A R o wrtośih w R zwm przporząowie Ŝemu putowi ze zioru A ołie jeej liz rzezwistej Wrtość uji w puie ozz przez Fuję tą ozzm przez : A R lu z gzie A Rs 3 Ilustrj o eiiji uji wóh zmieh

12 e 3 uj trzeh zmieh Fują trzeh zmieh oreśloą ziorze A R 3 o wrtośih w R zwm przporząowie Ŝemu putowi ze zioru A ołie jeej liz rzezwistej Wrtość uji w puie z ozz przez z Fuję tą ozzm przez : A R lu w z gzie z A Rs 3 Ilustrj o eiiji uji trzeh zmieh e 33 ziezi ziezi turl Nieh : A R gzie A jest poziorem płszzz lu przestrzei Ziór A zwm ziezią uji i ozzm przez JeŜeli jest tlo wzór oreślją uję to ziór th putów płszzz przestrzei l tórh wzór te m ses zwm ziezią turlą uji e 34 wres i poziomi uji wóh zmieh Wresem uji wóh zmieh zwm ziór: 3 z R : z { } oziomią wresu uji opowijąą poziomowi hr zwm ziór: : h { } Rs 33 oziomi wresu uji opowiją poziomowi h Ft 35 wres wŝiejszh uji wóh zmieh Wresem uji z A + B + C A B jest płszzz o wetorze ormlm przehozą przez put C Wresem uji z + jest proloi orotow tj powierzhi powstł z orotu proli z woół osi Oz

13 3 Wresem uji z + jest stoŝe tj powierzhi powstł z orotu półprostej z l woół osi Oz 4 Wresem uji z ± R + jest gór + lu ol - półser o śrou w pozątu ułu współrzęh i promieiu R 5 Wresem uji jest sioło z z Ft 36 przesuięi i oii wresów uji Wres uji powstje z wresu uji Wres uji powstje z wresu uji z + z przez przesuięie o wetor v z z przez smetrię wzglęem płszzz O

14 Rs 34 rzesuięie wresu uji o wetor v Rs 35 Oiie wresu uji wzglęem płszzz O e 37 uj ogrizo Fuj wóh zmieh jest ogrizo ziorze ogrizo tz A M > A jeŝeli ziór wrtośi uji ziorze A jest M Uwg eiij uji ogrizoej trzeh zmieh jest logiz eiije uji wóh i trzeh zmieh ogrizoh z ołu lu z gór są pooe o opowieih eiiji l uji jeej zmieej 33 GRANICE FUNKCJI W UNKCIE e 33 iąg płszzźie Ciągiem putów płszzźie zwm owzorowie zioru liz turlh w ziór R Wrtość tego owzorowi l liz turlej zwm -tm wrzem iągu i ozzm przez Ciąg ti ozzm przez lu Ziór wrzów tego iągu tj ziór { : N} ozzm róto przez { } lu { } e 33 gri włśiw iągu Ciąg jest zieŝ o putu o otujem lu wte i tlo wte g orz Uwg Ciąg jest zieŝ o putu jeŝeli w owolm otozeiu putu zjują się prwie wszstie wrz tego iągu eiij iągu putów w przestrzei i eiij gri tiego iągu są logize o poh powŝej e 333 Heiego gri włśiwej uji w puie Nieh wóh zmieh ęzie oreślo ziorze otwrtm z wjątiem ć moŝe putu Liz g jest grią włśiwą uji w puie o zpisujem wte i tlo wte g { } g l N g Uwg W poo sposó moŝ oreślić grię uji w puie owolego zioru płszzźie orz grię uji trzeh zmieh Grię uji w puie ozzm przez MoŜ rówieŝ pisć g g e 334 Heiego gri iewłśiwej uji w puie Nieh wóh zmieh ęzie oreślo ziorze otwrtm z wjątiem ć moŝe putu Fuj m w puie grię iewłśiwą o zpisujem

15 wte i tlo wte g { } N l Uwg eiij Heiego gri iewłśiwej - uji w puie jest logiz o eiiji pisej powŝej ooie eiiujem oie grie iewłśiwe l uji trzeh zmieh Tw 335 o gri sum [ ] q p g q g p + + Tw 336 o gri ilozu [ ] pq g q g p Tw 337 o gri ilorzu p g l Ŝego 3 q g q p g Uwg Osttie trz twierzei są prwziwe l uji trzeh zmieh W th twierzeih opuszzle są tŝe grie iewłśiwe o ile opowieie ziłi z timi smolmi są ozzoe o zjowi gri uji wóh i trzeh zmieh moŝ stosowć twierzei o wóh i o trzeh ujh logize o tih twierzeń l uji jeej zmieej 34 FUNKCJE CIĄGŁE e 34 uj wóh zmieh iągł w puie Nieh uj ęzie oreślo ziorze otwrtm zwierjąm put Fuj jest iągł w puie wte i tlo wte g e 34 uj wóh zmieh iągł ziorze otwrtm Fuj jest iągł ziorze otwrtm R jeŝeli jest iągł w Ŝm puie tego zioru Uwg W poo sposó moŝ zeiiowć iągłość uji w puie owolego zioru A R orz iągłość tm ziorze eiije iągłośi w puie i ziorh l uji trzeh zmieh są logize o poh powŝej Tw 343 ziłi ujh iągłh Sum iloz ilorz orz złoŝeie uji iągłh są ujmi iągłmi Tw 344 Weierstrss o osiągiu resów JeŜeli ziór R jest omięt i ogrizo uj jest iągł to { } : sup orz { } : i

16 4 RACHUNEK RÓśNICZKOWY FUNKCJI WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH 4 OCHONE CZĄSTKOWE FUNKCJI e 4 pohoe ząstowe pierwszego rzęu Nieh uj ęzie oreślo oszrze R orz ieh ohoą ząstową pierwszego rzęu uji wzglęem w puie oreślm wzorem: e + ohoą tą ozzm tŝe smolmi: ooie jest oreślo poho ząstow pierwszego rzęu uji wzglęem w puie : + ohoą tą ozzm tŝe smolmi: Uwg Alogizie oreśl się pohoe ząstowe pierwszego rzęu l uji trzeh zmieh JeŜeli grie oreśljąe pohoe ząstowe są włśiwe iewłśiwe to mówim Ŝe opowieie pohoe ząstowe są włśiwe iewłśiwe e 4 pohoe ząstowe pierwszego rzęu oszrze JeŜeli uj m pohoe ząstowe pierwszego rzęu w Ŝm puie oszru R to uje gzie opowieio przez zwm pohomi ząstowmi pierwszego rzęu uji oszrze i ozzm oszrze R 3 l uji trzeh zmieh lu lo teŝ Alogizie oreśl się pohoe ząstowe pierwszego rzęu Ft 43 iterpretj geometrz pohoh ząstowh Nieh uj z m pohoe ząstowe pierwszego rzęu w puie oto ieh α ozz ąt hlei stzej o rzwej otrzmej w wiu przeroju wresu uji płszzzą w puie o płszzz O orz ieh β ozz ąt hlei stzej o rzwej otrzmej w wiu przeroju wresu uji płszzzą Wte tgα tg β Rs 4 Iterpretj geometrz pohoej ząstowej Rs 4 Iterpretj geometrz pohoej ząstowej oho ząstow jest mirą lolej szośi wzrostu uji wzglęem zmieej prz ustloej wrtośi zmieej ooie jest l pohoej ząstowej zmieh orz l pohoh ząstowh uji trzeh

17 Uwg Omieie iŝ l uji jeej zmieej wglą związe mięz iągłośią uji wóh zmieh istieiem pohoh ząstowh Fuj moŝe mieć w puie oie pohoe ząstowe le ie musi ć w tm puie iągł e 44 pohoe ząstowe rugiego rzęu Nieh uj m pohoe ząstowe oszrze R orz ieh ohoe ząstowe rugiego rzęu uji w puie oreślm wzormi: owŝsze pohoe ozzm tŝe opowieio przez lo teŝ Uwg Alogizie oreśl się pohoe ząstowe rugiego rzęu uji trzeh zmieh e 45 pohoe ząstowe rugiego rzęu oszrze JeŜeli uj m pohoe ząstowe rugiego rzęu w Ŝm puie oszru R to uje gzie zwm pohomi ząstowmi rugiego rzęu uji oszrze i ozzm opowieio przez lu przez lo teŝ Uwg Alogizie oreśl się pohoe ząstowe rugiego rzęu uji trzeh zmieh oszrze R 3 e 46 pohoe ząstowe wŝszh rzęów Nieh uj m pohoe ząstowe rzęu otozeiu putu ohoe ząstowe pierwszego rzęu w puie pohoh ząstowh rzęu uji zwm pohomi ząstowmi rzęu + uji w puie JeŜeli uj m pohoe ząstowe rzęu w Ŝm puie oszru to mówim Ŝe oszrze są oreśloe pohoe ząstowe rzęu uji ohoą ząstową -tego rzęu uji w puie powstłą w wiu -rotego róŝizowi wzglęem zmieej i stępie l-rotego róŝizowi wzglęem zmieej gzie + l ozzm przez l Alogizie oreśl się i ozz pohoe ząstowe rzęu 3 uji trzeh zmieh Fuj wóh zmieh m pohoh ząstowh rzęu uje trzeh zmieh 3 pohoh ząstowh rzęu ohoe ząstowe w tórh wstępuje róŝizowie wzglęem wóh róŝh zmieh zwm pohomi ząstowmi mieszmi Tw 47 Shwrz o pohoh mieszh Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu oto ieh pohoe ząstowe istieją otozeiu putu

18 pohoe ząstowe Wte ęą iągłe w puie Uwg rwziwe są tŝe logize rówośi l pohoh mieszh rugiego rzęu uji trzeh zmieh tŝe l pohoh mieszh wŝszh rzęów 4 RÓśNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI e 4 uj róŝizowl w puie Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu orz ieh istieją pohoe ząstowe Fuj jest róŝizowl w puie wte i tlo wte g spełio jest wrue: h + h + h + h Uwg Alogizie eiiuje się róŝizowlość w puie uji trzeh zmieh Istieie pohoh ząstowh uji w puie ie gwrtuje jeszze róŝizowlośi uji w tm puie Tw 4 wrue oiez róŝizowlośi uji JeŜeli uj jest róŝizowl w puie to jest iągł w tm puie Uwg Twierzeie owrote ie jest prwziwe Świz o tm przł uji w puie le ie jest w tm puie róŝizowl + tór jest iągł Tw 43 wrue wstrzją róŝizowlośi uji Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu Nieh poto pohoe ząstowe pohoe ząstowe istieją otozeiu putu ęą iągłe w puie Wte uj jest róŝizowl w puie Uwg Osttie twierzeie jest prwziwe tŝe l uji trzeh zmieh Ft 44 iterpretj geometrz uji róŝizowlej w puie RóŜizowlość uji w puie ozz Ŝe istieje płszzz stz iepioow o wresu tej uji w puie Rs 4 łszzz stz o wresu uji

19 Ft 45 rówie płszzz stzej o wresu uji Nieh uj ęzie róŝizowl w puie Rówie płszzz stzej o wresu uji w puie z gzie z m postć: z z + e 46 róŝiz uji Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu oto ieh uj m pohoe ząstowe pierwszego rzęu w puie RóŜizą uji w puie zwm uję zmieh oreśloą wzorem: e + RóŜizę uji ozz się tŝe przez lu róto Uwg Alogizie eiiuje się róŝizę uji trzeh zmieh Ft 47 zstosowie róŝizi uji o olizeń przliŝoh Nieh uj ęzie róŝizowl w puie Wte Uwg rwziw jest tŝe logiz wzór przliŝo l uji trzeh zmieh Wzor te worzstuje się o olizeń przliŝoh sompliowh wrŝeń lgerizh Ft 48 zstosowie róŝizi uji o szowi łęów pomirów Nieh wielośi izze z ęą związe zleŝośią z oto ieh ezwzglęe pomiru wielośi i Wte łą ezwzglę z i ozzją opowieio łę z olizeń wielośi z wrŝ się wzorem przliŝom: + rwziwe są tŝe logize wzor l więszej liz wielośi izzh 43 RÓśNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOśONYCH Tw 43 o pohoej uji złoŝoej Nieh uj m iągłe pohoe ząstowe oszrze R uje ęą róŝizowle przezile R orz tt l Ŝego t Wte uj złoŝo Ft tt jest róŝizowl przezile orz F + t t t Uwg Alogiz reguł róŝizowi jest prwziw l uji trzeh zmieh Tw 433 o pohoh ząstowh uji złoŝoej Nieh uj ęzie oreślo oszrze R orz ieh uje ęą oreśloe oszrze U R prz zm uvuv l Ŝego putu uv U oto ieh pohoe ząstowe ęą iągłe oszrze pohoe ząstowe istieją oszrze U Wte uj złoŝo Fuv uvuv m oszrze U pohoe ząstowe pierwszego rzęu wrŝoe wzormi: F F + + u u u v v v Uwg JeŜeli jest ują tlo jeej zmieej to reguł róŝizowi uji Fuv uv przjmują postć: F F u u v v Alogize reguł róŝizowi są prwziwe tŝe l uji trzeh zmieh

20 44 OCHONA KIERUNKOWA FUNKCJI e 44 poho ieruow uji Nieh uj ęzie oreślo oszrze R orz ieh put oto ieh v v v ęzie wersorem płszzźie ohoą ieruową uji w puie w ieruu wersor v oreślm wzorem: + tv + tv + v t t Ft 44 iterpretj geometrz pohoej ieruowej Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu oto ieh γ ozz ąt hlei o płszzz O półstzej o rzwej otrzmej w wiu przeroju wresu uji półpłszzzą przehoząą przez prostą orz rówoległą o wersor v Wte tg γ v oho ieruow oreśl szość zmi wrtośi uji w ieruu wersor v Rs 44 Iterpretj geometrz pohoej ieruowej uji Uwg Alogizie oreśl się pohoą ieruową l uji trzeh zmieh oho ieruow jest przeiesieiem uje wielu zmieh pojęi pohoej jeostroej uji jeej zmieej Nietórz utorz przjmują Ŝe w eiiji pohoej ieruowe t ąŝ o z ou stro oho ieruow jest wte uogólieiem pojęi pohoej ząstowej uji Np l uji wóh zmieh orz wersorów v i u mm v i u e 443 griet uji Nieh uj ęzie oreślo oszrze R orz ieh put oto ieh istieją pohoe ząstowe Grietem uji w puie zwm wetor oreślo wzorem: e gr Griet uji ozzm tŝe róto przez gr Alogizie oreśl się griet l uji trzeh zmieh Tw 444 wzór o olizi pohoej ieruowej Nieh uj ęzie oreślo oszrze R oto ieh pohoe ząstowe istieją oszrze pohoe ząstowe ęą iągłe w puie Wte gr οv v gzie v jest owolm wersorem płszzźie oo wzór o olizi pohoej ieruowej jest prwziw tŝe l uji trzeh zmieh

21 Ft 445 iterpretj geometrz grietu Griet uji w puie wszuje ierue jszszego wzrostu uji w tm puie rs 44 Griet uji w puie jest prostopł o poziomi uji przehoząej przez te put rs 443 Rs 44 Rs WZÓR TAYLORA EKSTREMA FUNKCJI e 45 róŝiz -tego rzęu uji wóh zmieh Nieh uj m otozeiu putu iągłe pohoe ząstowe o rzęu N włązie RóŜizą -tego rzęu uji w puie zwm uję zmieh i oreśloą wzorem: + We wzorze tm smole ozzją operje róŝizowi po zmieh i tomist potęgę trtujem ormlie o otrzmi pohoh ząstowh wŝszh rzęów RóŜizę -tego rzęu uji ozzm róto przez otowo przjmujem Ŝe e Tw 45 wzór Tlor Nieh uj m otozeiu O putu iągłe pohoe ząstowe o rzęu włązie orz ieh put + + O Wte!!!! + Θ + Θ Θ< < Uwg Rówość poą w tezie twierzei zwm wzorem Tlor l uji wóh zmieh Ostti słi we wzorze Tlor zwm -tą resztą tego wzoru i ozzm przez R l putu powŝszą rówość zwm wzorem Mluri e 453 estrem lole i wrtośi estremle uji wóh zmieh Fuj m w puie miimum lole jeŝeli [ ] S > δ δ Fuj m w puie miimum lole włśiwe jeŝeli [ ] S > > δ δ Liz m jest jmiejszą wrtośią uj ziorze A jeŝeli m A orz A Fuj m w puie msimum lole jeŝeli [ ] S > δ δ Fuj m w puie msimum lole włśiwe jeŝeli [ ] S < > δ δ Liz M jest jwięszą wrtośią uj ziorze A jeŝeli

22 M A orz A Tw 454 wrue oiez istiei estremum Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu oto ieh uj m estremum lole w puie istieją pohoe ząstowe Wte Uwg Z twierzei tego wi Ŝe uj moŝe mieć estrem tlo w puth w tórh wszstie jej pohoe ząstowe są rówe lo w puth w tórh hoć je poho ząstow ie istieje Zerowie się w puie ou pohoh ząstowh ie gwrtuje jeszze istiei estremum lolego Np uj 3 spełi rówośi le ie m estremum w puie Tw 455 wrue wstrzją istiei estremum Nieh uj ęzie oreślo otozeiu putu oto ieh uj m iągłe pohoe ząstowe rzęu rugiego otozeiu putu 3 > Wte uj m estremum lole w puie i jest to: miimum lole włśiwe g > msimum lole włśiwe g < Uwg G wzzi w złoŝeiu 3 powŝszego twierzei jest ujem to uj ie m w puie estremum lolego Ntomist g wzzi te jest rów to ie z uj m estremum lole w puie przeprowzm imi metomi p orzstją z eiiji e 456 estrem wruowe uji Fuj m w puie miimum lole włśiwe prz wruu g g g orz istieje liz δ> t Ŝe > l Ŝego putu S δ spełijąego wrue g Fuj m w puie msimum lole włśiwe prz wruu g g g orz istieje liz δ> t Ŝe < l Ŝego putu S δ spełijąego wrue g Rs 45 Fuj osiąg w puie msimum prz wruu g Ft 457 lgortm zjowi estremów wruowh Estrem lole uji wóh zmieh z wruiem g zjujem weług lgortmu: rzwą L: g g jest pom wruiem zie łui tóre są wresmi uji posti p l I lu q l J szum estremów uji jeej zmieej p przezile I lu q przezile J 3 porówujem wrtośi otrzmh estremów rzwej L i ustlm estrem wruowe Ft 458 lgortm zjowi wrtośi estremlh oszrze omiętm

23 Wrtośi jmiejszą i jwięszą uji oszrze omiętm zjujem w stępują sposó: wzzm put poejrze o estrem lole zwrte wętrzu oszru wzzm put poejrze o estrem lole zwrte rzegu oszru 3 wzzm put slejei łuów tworząh rzeg oszru 4 olizm wrtośi uji we wszstih otrzmh puth i wzzm wrtość jwięszą i jmiejszą 46 FUNKCJE UWIKŁANE e 46 uji uwiłe Fują uwiłą oreśloą przez wrue zwm Ŝą uję spełijąą rówość F F l wszstih z pewego przeziłu I ooie oreśl się uję uwiłą posti gzie J Rs 46 Fuje uwiłe I orz J oreśloe przez wrue F Tw 46 o istieiu i róŝizowlośi uji uwiłej Nieh F ęzie oreślo pewm otozeiu putu oto ieh pohoe ząstowe istieją i są iągłe tm otozeiu F 3 Wte pewm otozeiu putu istieje jeozzie oreślo uj uwił spełiją wrui: F l Ŝego z tego otozei ' F F l Ŝego z tego otozei Uwg JeŜeli uj F m iągłe pohoe ząstowe rugiego rzęu otozeiu putu orz spełi wrui F to uj uwił jest wurotie róŝizowl pewm otozeiu putu Tw 463 o estremh uji uwiłej Nieh uj F ęzie oreślo otozeiu putu i ieh m tm iągłe pohoe ząstowe rzęu rugiego oto ieh F F F

24 F 3 A F Wte uj uwił oreślo przez rówie F m w puie estremum lole włśiwe i jest to: miimum g A > msimum g A < Uwg Rówość jest wruiem oiezm ierówość jest wruiem wstrzjąm istiei estremum uji uwiłej rwziwe jest tŝe logize twierzeie o estremh uji uwiłej posti Ft 464 lgortm zjowi estremów lolh uji uwiłej ut w tórh uj uwił moŝe mieć estrem zjujem orzstją z wruu oiezego istiei estremum W tm elu rozwiązujem uł wruów: F F F W otrzmh puth sprwzm wrue wstrzją istiei estremum tj oreślm z wrŝei F A F N postwie zu tego wrŝei ustlm rozj estremum 5 CAŁKI OWÓJNE 5 CAŁKI OWÓJNE O ROSTOKCIE Ozzei w eiiji łi po prostoąie: {: } prostoąt płszzźie; { } poził prostoąt prostoąt prz zm prostoąt poziłu łowiie wpełiją te prostoąt i mją prmi rozłąze wętrz; wmir prostoąt ; + - ługość przeątej prostoąt ; δ m{ : } śrei poziłu ; Ξ { Κ } gzie ziór putów pośreih poziłu Rs 55 oził prostoąt [] [] e 5 ł powój po prostoąie Nieh uj ęzie ogrizo prostoąie Cłę powóją z uji po prostoąie eiiujem wzorem: δ e o ile gri po prwej stroie zu rówośi istieje orz ie zleŝ o sposoów poziłu prostoąt i o sposoów woru putów pośreih Ξ Mówim wte Ŝe uj jest łowl prostoąie

25 Uwg Cłę powóją z uji po prostoąie ozzm teŝ smolem prostoąie jest turlm uogólieiem łi z uji jeej zmieej po przezile Ft 5 o łowlośi uji iągłh Fuj iągł prostoąie jest im łowl Tw 53 o liiowośi łi JeŜeli uje i g są łowle prostoąie orz R to: uj + g jest łowl prostoąie orz + g + g ; uj jest łowl prostoąie orz Cł powój po Tw 54 o twośi łi wzglęem oszru łowi Nieh uj ęzie łowl prostoąie Wte l owolego poziłu prostoąt prostoąt o rozłązh wętrzh uj jest łowl th prostoąth orz + Tw 55 o zmiie łi powójej łi iterowe Nieh uj ęzie iągł prostoąie {: } Wte Uwg Cłi wstępująe w tezie powŝszego twierzei zwm róto łmi iterowmi uji po prostoąie Bęziem pisli umowie zmist opowieio i Ft 56 ł z uji o rozzieloh zmieh JeŜeli uj g jest iągł przezile [] uj jest iągł przezile [] to gzie [] [] i g h g h 5 CAŁKI OWÓJNE O OBSZARACH NORMALNYCH e 5 ł powój po oszrze Nieh uj ęzie ują ogrizoą oszrze ogrizom R orz ieh ęzie owolm prostoątem zwierjąm oszr oto ieh * ozz rozszerzeie uji R oreśloe wzorem: l Cłę powóją uji po oszrze eiiujem wzorem: l R e o ile ł po prwej stroie zu rówośi istieje Mówim wte Ŝe uj jest łowl oszrze \

26 Uwg Cł ie zleŝ o woru prostoąt e 5 oszr ormle wzglęem osi ułu Oszrem ormlm wzglęem osi O zwm ziór : g h { } gzie uje g i h są iągłe [] orz g < h l Ŝego Oszrem ormlm wzglęem osi O zwm ziór : p q { } gzie uje p i q są iągłe [] orz p < q l Ŝego Rs 5 Oszr orml wzglęem osi O Rs 5 Oszr orml wzglęem osi O Tw 53 łi iterowe po oszrh ormlh : g h to JeŜeli uj jest iągł oszrze ormlm { } h g : p q to JeŜeli uj jest iągł oszrze ormlm { } Uwg Cłi iterowe: h g q p ęziem zpiswli umowie opowieio w posti: h g q p q e 54 oszr regulr płszzźie Sumę sońzoej liz oszrów ormlh wzglęem osi O lu O o prmi rozłązh wętrzh zwm oszrem regulrm płszzźie Ft 55 ł po oszrze regulrm Nieh oszr regulr ęzie sumą oszrów ormlh o prmi rozłązh wętrzh orz ieh uj ęzie łowl oszrze Wte + + Κ p + Uwg Cłi po oszrh regulrh mją te sme włsośi o łi po prostoąth liiowość twość wzglęem oszru łowi e 56 ł powój z uji wetorowej Nieh uje Q ęą łowle oszrze regulrm R Cłę z uji wetorowej F Q oreślm wzorem: e F Q po oszrze

27 Uwg ooie eiiuje się łę po oszrze z uji wetorowej posti: F Q R Tw 57 o łowiu uji ieiągłh JeŜeli uj jest łowl oszrze regulrm uj ogrizo g porw się z ują poz sońzoą lizą rzwh tóre są wresmi uji iągłh posti p lu q to uj g jest łowl orz g e 58 wrtość śrei uji oszrze Wrtośią śreią uji oszrze zwm lizę: gzie ozz pole oszru e śr Tw 59 o wrtośi śreiej l łe powójh Nieh uj ęzie iągł oszrze ormlm Wte śr 53 ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH OWÓJNYCH e 53 współrzęe ieguowe ołoŝeie putu płszzźie moŝ opisć prą liz ϕ gzie: ϕ - ozz mirę ąt mięz otią zęśią osi O promieiem woząm putu - ozz oległość putu o pozątu ułu współrzęh < ϕ < π lo π < ϕ π ; Ft 53 zleŝość mięz współrzęmi ieguowmi i rtezjńsimi Współrzęe rtezjńsie putu płszzz ego we współrzęh ieguowh ϕ oreśloe są wzormi: osϕ : si ϕ B Rs 53 Ilustrj o wzorów przejśie o współrzęh ieguowh o rtezjńsih Tw 533 współrzęe ieguowe w łe powójej Nieh oszr U ęzie oreślo we współrzęh ieguowh wzorem: U : g h { ϕ α ϕ β ϕ ϕ } gzie uje g i h są iągłe przezile [αβ] [π] uj ęzie iągł oszrze tór jest orzem oszru U prz przesztłeiu ieguowm BU Wte β h ϕ osϕ si ϕ ϕ osϕ si ϕ ϕ U α g ϕ Uwg Cłę iterową ęziem zpiswli umowie w posti β α β α h ϕ g ϕ osϕ si ϕ ϕ h ϕ ϕ osϕ si ϕ g ϕ

28 54 ZASTOSOWANIA CAŁEK OWÓJNYCH Ft 54 zstosowi w geometrii ole oszru R wrŝ się wzorem: Ojętość rł połoŝoej oszrem R i ogrizoej powierzhimi z i z g rs 54 wrŝ się wzorem: g [ ] 3 ole płt Σ tór jest wresem uji z gzie rs 54 wrŝ się wzorem: Σ + + Złm tu Ŝe uj m iągłe pohoe ząstowe pierwszego rzęu oszrze Rs 54 Rs 54 Ft 54 zstosowi w ize Ms oszru o gęstośi powierzhiowej ms σ wrŝ się wzorem: M σ Momet sttze wzglęem osi O i O oszru o gęstośi powierzhiowej ms σ wrŝją się wzormi: MS MS σ X σ Y 3 Współrzęe śro ms oszru o gęstośi powierzhiowej ms σ wrŝją się wzormi: MS Y MS C M C M 4 Momet ezwłośi wzglęem osi O O orz putu O oszru o gęstośi powierzhiowej ms σ wrŝją się wzormi: I X σ Y X I σ I + σ 5 rie jeą stroę płsiej płti zurzoej pioowo w iez o ięŝrze włśiwm γ wrŝ się wzorem: 6 NtęŜeie pol eletrzego iuowe w puie rozłoŝo w sposó iągł oszrze wrŝ się wzorem: E γ r przez łue eletrz o gęstośi powierzhiowej łuu σ σ r r r r r 3 4πε gzie r ε ozz przeilość eletrzą próŝi 7 Sił prziągi grwitjego ms m supioej w puie r przez oszr o gęstośi powierzhiowej ms σ wrŝ się wzorem:

29 gzie r G ozz stłą grwitji F σ r r r r r Gm 3 8 Eergi ietz oszru o gęstośi powierzhiowej ms σ orjąego się z pręośią ątową ω woół osi O wrŝ się wzorem: ω E σ Uwg Wzór tęŝeie pol grwitjego jest logiz o wzoru tęŝeie pol eletrzego Wzór siłę prziągi pohoząą o łuów eletrzh jest logiz o wzoru siłę prziągi grwitjego Wzor te są prwziwe tŝe l oszrów płsih połoŝoh w przestrzei Wte przjmujem r orz r z Ft 543 śroi ms oszrów smetrzh G oszr płszzźie m śroe smetrii i gęstość powierzhiow jest ują smetrzą wzglęem tego śro p jest stł to śroe ms oszru porw się z jego śroiem smetrii G oszr płszzźie m oś smetrii i gęstość powierzhiow jest ują smetrzą wzglęem tej osi p jest stł to śroe ms oszru leŝ tej osi Ft 544 I reguł Guli Nieh S ęzie igurą ogrizoą zwrtą w półpłszzźie Ojętość rł powstłej z orotu igur S woół rwęzi półpłszzz wrŝ się wzorem: r S gzie r C ozz oległość śro ms igur S o osi orotu S ozz pole tej igur π Ft 545 II reguł Guli Nieh L ęzie rzwą ogrizoą zwrtą w półpłszzźie ole powierzhi Σ powstłej z orotu rzwej L woół rwęzi półpłszzz wrŝ się wzorem: Σ L C πr C gzie r C ozz oległość śro ms rzwej L o osi orotu L ozz ługość tej rzwej 6 CAŁKI OTRÓJNE 6 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOAŁOŚCIANIE Ozzei w eiiji łi po prostopłośiie: {z: p z q} prostopłośi w przestrzei; { } poził prostopłośiu prostopłośi prz zm prostopłośi poziłu łowiie wpełiją prostopłośi i mją prmi rozłąze wętrz; z wmir prostopłośiu ; + + z - ługość przeątej prostopłośiu ; δ m{ : } śrei poziłu ; Ξ { z z Κ z } gzie z ziór putów pośreih poziłu Rs 66 oził prostopłośiu [] [] [pq]

30 e 6 ł potrój po prostopłośiie Nieh uj ęzie ogrizo prostopłośiie Cłę powóją z uji po prostopłośiie eiiujem wzorem: e z z δ Z o ile gri po prwej stroie zu rówośi istieje orz ie zleŝ o sposoów poziłu prostopłośiu i o sposoów woru putów pośreih Ξ Mówim wte Ŝe uj jest łowl prostopłośiie Uwg Cłę potróją z uji po prostopłośiie ozzm teŝ smolem Ft 6 o łowiu uji iągłej Fuj iągł prostopłośiie jest im łowl z z Tw 63 o liiowośi łi JeŜeli uje i g są łowle prostopłośiie orz R to: uj + g jest łowl prostopłośiie orz z + g z z z z g z z ; + uj jest łowl prostopłośiie orz z z z z Tw 64 o twośi wzglęem oszru łowi JeŜeli uj jest łowl prostopłośiie to l owolego poziłu prostopłośiu w prostopłośi o rozłązh wętrzh uj jest łowl i orz z z z + Tw 65 o zmiie łi potrójej łę iterową JeŜeli uj jest iągł prostopłośiie {z: p z q} to q z z z z p Uwg owŝsze twierzeie ęzie prwziwe tŝe wte g po prwej stroie rówośi piszem owolą ią łę iterową jest sześć rozjów łe iterowh Cłę iterową zpisujem umowie w posti q p z z q z z p ooą umowę przjmujem l pozostłh łe iterowh W wielu przph wór opowieiej olejośi łowi pozwl zzie uprośić olizei łi potrójej Ft 66 ł z uji o rozzieloh zmieh JeŜeli uj jest iągł przezile [] uj g jest iągł przezile [] 3 uj h jest iągł przezile [pq] to gzie [] [] [pq] q g h z z g h z z p

31 6 CAŁKI OTRÓJNE O OBSZARACH NORMALNYCH e 6 ł potrój po oszrze Nieh uj ęzie ują ogrizoą oszrze ogrizom R 3 orz ieh ęzie owolm prostopłośiem zwierjąm oszr oto ieh * ozz rozszerzeie uji R 3 oreśloe wzorem: z Cłę potróją uji po oszrze eiiujem wzorem: l z 3 l z R e z z z \ z o ile ł po prwej stroie zu rówośi istieje Mówim wte Ŝe uj jest łowl oszrze Uwg Cł z z ie zleŝ o woru prostopłośiu e 6 oszr ormle wzglęem płszzz ułu Oszrem ormlm wzglęem osi O zwm ziór { z : U z G } gzie U jest oszrem regulrm płszzźie O uje i G są iągłe U prz zm < G l putów leŝąh o wętrz oszru U Oszrem ormlm wzglęem osi Oz zwm ziór { z : z U z G z } gzie U jest oszrem regulrm płszzźie Oz uje i G są iągłe U prz zm z < Gz l putów z leŝąh o wętrz oszru U Oszrem ormlm wzglęem osi Oz zwm ziór { z : z U z G z } gzie U jest oszrem regulrm płszzźie Oz uje i G są iągłe U prz zm z < Gz l putów z leŝąh o wętrz oszru U Rs 6 Oszr orml wzglęem płszzz O Rs 6 Oszr orml wzglęem łszzz Oz Rs 63 Oszr orml wzglęem płszzz Oz Tw 63 łi iterowe po oszrh ormlh JeŜeli uj jest iągł oszrze { z : U z G } ormlm wzglęem płszzz O gzie i G są iągłe oszrze regulrm U to G z z z z U z : g z G ormlm wzglęem płszzz O gzie uje i g są iągłe oiu [] uje i G są iągłe oszrze : g to JeŜeli uj jest iągł oszrze { } { } z z g G z z

32 Uwg Cłę po prwej stroie powŝszej rówośi ęziem zpiswli umowie w posti: g G z z rwziwe są tŝe logize wzor z łmi iterowmi po oszrh ormlh wzglęem pozostłh płszzz ułu e 64 oszr regulr w przestrzei Sumę sońzoej liz oszrów ormlh wzglęem płszzz ułu o prmi rozłązh wętrzh zwm oszrem regulrm w przestrzei Ft 65 ł po oszrze regulrm w przestrzei Nieh oszr regulr ęzie sumą oszrów ormlh o prmi rozłązh wętrzh orz ieh uj ęzie łowl oszrze Wte + + Κ z z z + z Uwg Cłi po oszrh regulrh mją te sme włsośi o łi po prostopłośih liiowość twość wzglęem oszru łowi e 66 ł potrój z uji wetorowej Nieh uje Q R ęą łowle oszrze regulrm R 3 Cłę z uji wetorowej F Q R oszrze oreślm wzorem: e F z z Q z R z v po e 67 wrtość śrei uji oszrze Wrtośią śreią uji oszrze zwm lizę: gzie ozz pole oszru e śr z z v Tw 58 o wrtośi śreiej l łe potrójh JeŜeli uj jest iągł oszrze ormlm to z śr z 63 ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁKACH OTRÓJNYCH e 63 współrzęe wlowe ołoŝeie putu w przestrzei moŝ opisć tróją liz ϕh gzie: ϕ ozz mirę ąt mięz rzutem promiei woząego putu płszzzę O otią zęśią osi O ϕ < π lo π < ϕ π ; ozz oległość putu o pozątu ułu współrzęh < h ozz oległość otią lu ujemą putu o płszzz O < h < Rs 63 Współrzęe wlowe putu w przestrzei

33 Ft 63 zmi współrzęh wlowh rtezjńsie Współrzęe rtezjńsie z putu przestrzei ego we współrzęh wlowh ϕh oreśloe są wzormi: W osϕ si ϕ z h : Rs 63 Zmi współrzęh wlowh rtezjńsie Tw 633 współrzęe wlowe w łe potrójej Nieh Oszr U ęzie oreślo we współrzęh wlowh wzorem ϕ h : α ϕ β ϕ g ϕ ϕ h G ϕ { } gzie uje i g są iągłe przezile [αβ[ [π] uje i G są iągłe m oszrze { ϕ : α ϕ β ϕ g ϕ } uj ęzie iągł oszrze tór jest orzem oszru U prz przesztłeiu wlowm WU Wte z z U osϕ siϕ h hϕ β α g ϕ ϕ G ϕ ϕ osϕ si ϕ h h ϕ Uwg Cłę iterową z powŝszego twierzei zpisujem umowie w posti: β α g ϕ ϕ G ϕ ϕ osϕ si ϕ h h ϕ Współrzęe wlowe stosujem główie wte g oszr łowi jest ogrizo rgmetmi powierzhi wlów ser stoŝów lu płszzz e 634 współrzęe serze ołoŝeie putu w przestrzei moŝ opisć tróją liz ϕψ gzie ϕ ozz mirę ąt mięz rzutem promiei woząego putu płszzzę O otią zęśią osi O ϕ π lo π < ϕ π ; < ψ ozz mirę ąt mięz promieiem woząm putu płszzzą O ψ ozz oległość putu o pozątu ułu współrzęh < Uwg We współrzęh geogrizh Ziemi liz ϕ ψ są opowieio ługośią i szeroośią geogrizą π π Rs 633 Współrzęe serze putu w przestrzei

34 Ft 635 zmi współrzęh serzh rtezjńsie Współrzęe rtezjńsie putu z w przestrzei ego we współrzęh serzh ϕψ oreśloe są wzormi: osϕ osψ S : siϕ osψ z siψ Rs 634 Zmi współrzęh serzh rtezjńsie Tw 636 współrzęe serze w łe potrójej Nieh Oszr U ęzie oreślo we współrzęh serzh wzorem : g G { ϕ ψ α ϕ β ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ } gzie uje i g są iągłe przezile [αβ[ [π] uje i G są iągłe m oszrze { ϕ ψ : α ϕ β ϕ ψ g ϕ } uj ęzie iągł oszrze tór jest orzem oszru U prz przesztłeiu serzm SU Wte z z U osϕ osψ si ϕ osψ siψ osψψϕ β α g ϕ ϕ G ϕ ψ ϕ ψ Uwg Cłę iterową z powŝszego twierzei zpisujem umowie w posti: ϕ ψ osϕ osψ si ϕ osψ siψ osψ ψ ϕ β g ϕ G ϕ ψ ϕ ψ osϕ osψ si ϕ osψ siψ osψ α ϕ Współrzęe serze stosujem główie o opisu oszrów łowi tóre są ogrizoe rgmetmi powierzhi ser stoŝów lu płszzz 64 ZASTOSOWANIA CAŁEK OTRÓJNYCH Ft 64 zstosowi w geometrii Ojętość oszru R 3 wrŝ się wzorem: z Ft 64 zstosowi w ize Ms oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝ się wzorem: M γ z z Momet sttze wzglęem płszzz ułu współrzęh oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝją się wzormi: MS zγ z zz z MS γ z zz z MS γ z zz

35 3 Współrzęe śro ms oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝją się wzormi: MS z MS MS z C C zc M M M 4 Momet ezwłośi wzglęem osi ułu współrzęh oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝją się wzormi: I + z γ z z X Y + z I γ z z Z + I γ z z 5 Momet ezwłośi wzglęem pozątu ułu współrzęh oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝ się wzorem: I + z γ z z + 6 Sił prziągi grwitjego ms m supioej w puie r przez oszr R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝ się wzorem: gzie r z G ozz stłą grwitji r r γ r F Gm 3 r r 7 NtęŜeie pol eletrzego iuowe w puie r przez łue eletrz rozłoŝo z gęstośią ojętośiową łuu γ oszrze R 3 wrŝ się wzorem: r r γ r E 3 4πε r r gzie r z ε ozz przeilość eletrzą próŝi 8 Eergi potejl wzglęem płszzz O oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ wrŝ się wzorem: E p g zγ z z gzie g ozz przspieszeie ziemsie Złm tutj Ŝe pole grwitje jest jeoroe 9 Eergi ietz oszru R 3 o gęstośi ojętośiowej ms γ orjąego się z pręośią ątową ω woół osi Oz wrŝ się wzorem: + ω E γ z z Uwg Wzór siłę prziągi eletrzego orz tęŝeie pol grwitjego są pooe o poh wŝej Ft 643 śroi ms rł smetrzh JeŜeli rł w przestrzei m płszzzę smetrii i gęstość ojętośiow ms jest ują smetrzą wzglęem tej płszzz p jest stł to śroe ms rł leŝ tej płszzźie JeŜeli rł w przestrzei m oś smetrii i gęstość ojętośiow ms jest ują smetrzą wzglęem tej osi p jest stł to śroe ms rł leŝ tej osi 3 JeŜeli rł w przestrzei m śroe smetrii i gęstość ojętośiow ms jest ują smetrzą wzglęem tego śro p jest stł to śroe ms rł porw się ze śroiem smetrii