WYKŁAD 1. Rozdział 1: Wiadomości wstępne Istota, występowanie i znaczenie drgań
|
|
- Leszek Markiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD Rozdzł : Wdomośc wstępe.. Istot, występowe zczee drgń Drgem zywmy przebeg czsowy dowolej welkośc fzyczej, p. przemeszcze tłok w cyldrze slk splowego, kąt obrotu wrk, tęże prądu w obwodze elektryczym lub dukcj mgetyczej w rdzeu elektromgesu, jeśl przebeg te chrkteryzuje sę tym, że welokrote przem rośe mleje, oscylując wokół pewej wrtośc średej stłej lub zmeej w czse. ypowy dośwdczle uzyskwy przebeg drgń przedstw elektrokrdogrm serc pokzy Rys... Alz tego przebegu drgń, ezleże od tego, jką welkość fzyczą przedstw, pozwl dgozowe wżych zm w fukcjoowu tego orgu, zrówo fzjologczych, jk chorobowych. Rys... Elektrokrdogrm człowek jko przykłd przebegu drgń Z powyższej defcj drgń wyk, że możemy meć do czye z drgm mechczym, elektryczym, mgetyczym welom ym rodzjm drgń, które mogą zleżeć od sebe wzjeme. Zjomość ch tury, zwązych z m zjwsk orz opsu mtemtyczego umożlwjącego lzę, ber szczególego zcze, zwłszcz w dobe szybkego rozwoju ukłdów mechtroczych, których stotą są sprzęże elektromgeto-mechcze wykjące z budowy tych systemów orz ch sterow. Drg występują powszeche w przyrodze, czego jbrdzej spektkulrym przykłdem są trzęse zem, turbulecje w tmosferze turle efekty kustycze. Występują też w mszych, pojzdch obektch ltjących, powodując zmęczee mterłów, hłs, strty eerg orz dyskomfort psżerów róże dysfukcje urządzeń, często trgcze ktstrofy. Drg mogą być róweż użytecze celowo wzbudze, p. w strumetch muzyczych, w urządzech dgostyczych, w rozmtych metodch drąże obróbk mterłów, 0
2 utwrdz zgłęb elemetów w gruce, wytwrz cepł w welu ych techologch. Js jest węc motywcj do poz tury, przyczy opsu drgń orz do byc umejętośc ch lzow wpływ ch przebeg. Przedmotem tego wykłdu są drg mechcze, węc zmee w czse przebeg przemeszczeń lub prędkośc cł lub ukłdów cł (mechzmów, mszy, pojzdów), trktowych modelowo jko ukłdy puktów mterlych brył sztywych gruce Mechk ogólej lub jko cł odksztłcle, ze z Wytrzymłośc mterłów w ujęcu sttyczym. Do lzowych przebegów drgowych zlczymy róweż zmee w czse sły wewętrze, w tym pręże w rozptrywych cłch odksztłclych, powodujące mędzy ym groźe w skutkch zmęczee mterłów. Kluczowe zczee w bdu drgń m określee relcj pomędzy przyczyą (procesem wzbudze lub wymusze) skutkem w postc zmeego w czse przebegu drgń. W ejszym kurse Drgń mechczych relcje te będą opse rówm różczkowym - zwyczjym dl ukłdów cł modelowo eodksztłclych orz rówm cząstkowym w przypdku rozptrywych cł odksztłclych, tkch jk pręty, struy, wły belk. Rozwązując te rów djąc terpretcje fzyczą otrzymym wykom, pozmy jwżejsze włścwośc drgń, p. zjwsko rezosu, by móc skutecze e wpływć... Modele ukłdów drgjących Ukłdem drgjącym zywmy pojedyńcze cło lub ukłd cł (mechzm, mszyę pojzd lub e urządzee, którego elemety wykoują ruchy powyżej określoe jko drg. Ukłdem drgjącym jest węc zrówo pojzd poruszjący sę po erówoścch drog, jk weżowec w czse trzęse zem orz most wszący poddy dzłu slego wtru boczego (jk com Brdge w USA podczs spektkulrej ktstrofy w roku 94). e podobe rzeczywste ukłdy drgjące choć ezwykle teresujące wże - e będą rozwże w rmch tego wykłdu. Przedmotem Drgń mechczych, podobe jk Mechk ogólej Wytrzymłośc mterłów, są modele cł ukłdów rzeczywstych możlwe proste, le tyle złożoe, by oddć jstotejsze teresujące s włścwośc ukłdu rzeczywstego. Modelowe ukłdu drgjącego poleg pomju cech drugorzędych mej stotych z puktu wdze przyjętego celu. Może to dotyczyć w szczególośc lczby stop swobody modelowego ukłdu, jeśl jego tur tej lczby z góry e rzuc. Jko przykłd moż podć modelowe pojzdu poruszjącego sę po
3 erówoścch drog. Aby pozć zjwsko rezosu drgń poowych, wystrczy jprostszy model o jedym stopu swobody. Bde kątowych drgń podłużych wymg modelu o dwóch stopch swobody, drgń kątowych podłużych poprzeczych modelu o co jmej trzech stopch swobody. Róże modelowe pojzdu trktowego jko ukłd cł sztywych w ruchu po erówoścch drog pokzo Rys... Rys.. Modelowe drgń poowych pojzdu jko ukłdu cł sztywych w ruchu po erówoścch drog; stope swobody: () s=, (b) s=, (c) s=4 W tym mejscu jeszcze bez wyjśe szczegółów leży zzczyć, że pojedycze cło odksztłcle, w którym ms rozłożo jest w sposób cągły, tke jk podt gęte belk czy odksztłcly skręte wł, leży trktowć jko ukłd o eskończee welu stopch swobody. k ukłd zywmy cągłym, w odróżeu od zych z Mechk ogólej ukłdów cł sztywych o skończoej lczbe stop swobody, zwych dlej ukłdm dyskretym. Z puktu wdze lczby stop swobody, modele ukłdów drgjących moż podzelć trzy poższe ktegore: ) ukłdy dyskrete (złożoe modelowo z puktów mterlych brył sztywych), b) ukłdy cągłe (cł odksztłcle lub ch ukłdy), c) ukłdy hybrydowe (zwerjące zrówo cł sztywe jk odksztłcle). Modelowe rzeczywstych ukłdów drgjących może róweż obejmowć rozmte uproszcze dotyczące ksztłtu elemetów, włścwośc mterłowych, włścwośc oporów ruchu lub ch zupełego pomęc, elowośc chrkteru wzbudze ych cech. Z modelowem wąże sę klsyfkcj drgń, o czym będze mow w dlszej częśc wykłdu..3. Modele oddzływń wzbudzjących drg Podobe jk rzeczywste ukłdy drgjące, modelowu podlegją oddzływ mechcze zleże od czsu (sły skupoe lub rozłożoe, momety pędowe),
4 powodujące te drg. Od modelu oddzływ zleży metod jką leży zstosowć w bdu drgń. Rele procesy F( wymuszjące drg mją stępujące modele: ) proces hrmoczy F( F s( t ), (.) gdze F ozcz mpltudę, - częstość kołową [rd/s], - fzę początkową procesu. Przypomjmy, że zwązek częstośc kołowej z okresem procesu hrmoczego jest stępujący: b) proces polhrmoczy, gdze F,, F( F s( t ), (.) są cągm lczb o terpretcj jk w pukce ), c) proces okresowy ehrmoczy, o okrese gdze F( F s( t ), (.3) F są cągm lczb wyzczym podstwe rzeczywstej fukcj F( F( t ), podstwe teor szeregów Fourer [4,6], d) proces skokowy F( F0 H (, (.4) gdze F 0 jest skokem sły F od pozomu 0 w chwl t 0 ( H( jest fukcją Hevsde [4]), e) proces mpulsowy F( J0 (, (.5) gdze J 0 jest mpulsem sły wymuszjącej w chwl t 0 ( ( jest dystrybucją Drc [4]). Nleży zzczyć, że przyczyą wywołującą drg może być e tylko sł lub momet bezpośredo dzłjące elemet ukłdu, le też zdy ruch pewego elemetu lub puktu ukłdu. ego typu wymuszee zywmy kemtyczym. k węc, wymusze podzelmy słowe (w tym poprzez momety) orz kemtycze (poprzez zde ruchy). Powyższ klsyfkcj, z wyjątkem pozycj d) e) dotyczy też procesów wymusze kemtyczego. 3
5 .4. Klsyfkcj drgń Isteje wele klsyfkcj drgń, wyróżjących ktegore według rozmtych kryterów. Pożej podjemy jwżejsze z tych kryterów odpowdjące m typy drgń. Kryterum źródeł eerg: ) drg swobode jedyym źródłem eerg są wruk początkowe, poprzez które jedorzowo wprowdz jest do ukłdu eerg potecjl ketycz; eerg t zostje zchow lub jest rozprsz w wyku prcy sł oporów ruchu, b) drg wymuszoe eerg jest dostrcz do ukłdu w wyku prcy sł wymuszjących, jedocześe jest rozprsz skutek oporów ruchu, przy czym może dojść do zrówowżoego blsu eerg, co prowdz do drgń wymuszoych ustloych, c) drg wymuszoe prmetrycze źródłem eerg są wywołe przez czyk zewętrze lub wewętrze okresowe zmy prmetrów ukłdu, które mogą prowdzć do rst drgń, le też do drgń ustloych przy zrówowżoym blse eergetyczym; przykłdem mogą być drg whdł o okresowo zmeym momece bezwłdośc względem os obrotu, d) drg smowzbude eerg dostrcz jest do ukłdu z stejącego stłego źródł w wyku prcy sł ezleżych jwe od czsu (ych ż wymusze słowe, kemtycze prmetrycze), le zleżych od beżącego położe prędkośc elemetów ukłdu; przykłdem są drg stru strumetów smyczkowych, którym eerg dostrcz prc sły trc smyczk po strue, stłym źródłem eerg jest muzyk poruszjący smyczkem. Kryterum stop swobody (jk w modelowu ukłdów): ) drg ukłdów dyskretych, b) drg ukłdów cągłych, c) drg ukłdów dyskreto-cągłych (hybrydowych). Kryterum lowośc rówń: ) drg lowe, b) drg elowe. Kryterum prwdopodobeństw dl zmeych, wymuszeń prmetrów: ) drg determstycze wszystke welkośc ukłdu wzbudze są zdetermowe, b) drg losowe przyjmej jed welkość jest zmeą lub procesem losowym. 4
6 .5. Skłde drgń hrmoczych Rozptrzmy jperw problem sumow lgebrczego drgń hrmoczych. Iteresuje s, jke włścwośc m drge będące sumą skłdków hrmoczych s( t )... s( t ) Rozptrzymy stępujące przypdk szczególe. ) Skłdk hrmocze mją tę smą częstość Przyjmemy.... Wówczs: s( t ). (.6) gdze s( t ) ( s t cos cost s ) As( t ), (.7) A Wosek cos s orz s Sum dowolej lczby drgń hrmoczych o jedkowej częstośc tg. (.8) cos jest drgem hrmoczym o tej smej częstośc orz o mpltudze fze początkowej zleżej od mpltud fz początkowych skłdków, w sposób pokzy powyżej. b) Skłdk hrmocze mją róże częstośc, le częstośc te są współmere Współmerość częstośc drgń ozcz, że steją tke lczby turle... p, k k k k k,... k, że: gdze p jest pewą lczbą rzeczywstą. Korzystjąc z tej włścwośc możemy stwerdzć, że okresy drgń skłdowych spełją wruek:... p k k k k k... k,. (.9) p Ozcz to, że steje wspóly okres dl wszystkch drgń skłdowych, który jest też okresem ch sumy. Jest o jmejszą wspólą welokrotoścą okresów drgń skłdowych. Wosek Jeśl w cągu częstośc drgń skłdowych, steje choćby jed pr częstośc,... ewspółmerych, to drge sumrycze x ( jest eokresowe. 5
7 c) Przypdek dwóch skłdków hrmoczych o zblżoych częstoścch Precyzując te przypdek, złożymy, że: x s t s ( ) t, gdze, cost. (.0) ( Uwg Przyjęt zerowość fzy początkowej perwszego skłdk uprszcz oblcze, le e zme ogólośc rozwżń, poewż zchowe jest przesuęce w fze obu skłdków. Przeksztłcjąc wzór (.0), otrzymujemy: s t gdze: A( Fukcje s t cos( t ) cost s( t ) cos( t ) s t s( t ) cost A( s t (, cos( t ) s( t ) A( (, tg ( (.) s( t ). (.) cos( t ) są wolozmeym okresowym fukcjm czsu, przedstwjącym zmeą mpltudę fzę początkową drgń Wosek. Okres obu tych fukcj wyos /. Sum drgń hrmoczych o zblżoych częstoścch jest drgem zblżoym do hrmoczego, chrkteryzującym sę wolozmeą mpltudą fzą początkową. Zjwsko flow mpltudy drgń ze jest pod zwą dude (Rys..3). Moż je często zobserwowć jko efekt kustyczy kłd sę dźwęku emtowego przez dw źródł, p. slk smolotu o edele zsychrozowej prędkośc obrotowej. Rys..3. Przebeg mpltudy drgń w przypdku dude Wrto zuwżyć, że drge x ( jko sum drgń hrmoczych o zblżoych częstoścch, może być drgem okresowym, jeśl częstośc eokresowym, jeśl wruek te e jest spełoy. Przykłd.. są współmere lub 6
8 Wyzczyć zmeą w czse mpltudę drgń będących sumą drgń hrmoczych o jedkowej mpltudze zerowej fze początkowej. Zuwżmy jperw, że postć sumowych drgń może być zrówo susow, jk kosusow, to jest x ( s t s( ) t lub x ( cost cos( ) t. Przyjmując postć susową korzystjąc z wzoru (.), otrzymujemy: A( cos( s( Dl postc kosusowej mmy jperw ( cos( ) 4cos t cos. () t cost s t s t cost cost cost s t s t cost (b) orz, jk dl postc susowej: t A( cos( s( cos. (c) Wykres fukcj A( wrz z przebegem drgń pokzo Rys..4. Rys..4. Sum drgń hrmoczych o zblżoej częstośc jedkowej mpltudze Koec Przykłdu.. Oprócz lgebrczego sumow drgń (zchodzących w tym smym keruku) rozwż sę róweż ch sumowe geometrycze w przypdku, kedy zchodzą w kerukch prostopdłych. Ogrczjąc sę do płszczyzy, p. Oxy formułujemy problem stępująco. Współrzęde prostokąte puktu P płszczyźe Oxy są drgm hrmoczym: s( t ), y( bs( t ). (.3) Jk jest tor puktu P płszczyźe Oxy? Problem te był rozwży w kemtyce puktu mterlego w kurse Mechk ogólej [MO] wązuje bezpośredo do 7
9 wykorzyst oscyloskopu w rejestrcj bdu sygłów elektryczych. Skłde drgń w kerukch prostopdłych jest też podstwą bd drgń płszczyźe fzowej, o czym będze mow w dlszych wykłdch. Jke ztem włścwośc może meć trjektor puktu o współrzędych prostokątych (.3), obserwow p. ekre oscyloskopu? Przede wszystkm leży zuwżyć, że jeśl częstośc są współmere, to steje wspóly okres obu fukcj pukt P po tym okrese wrc do swego położe początkowego ( kżdego ego zjmowego trjektor). Ozcz to, że trjektor jest krzywą zmkętą, po której pukt otwrtą, po której pukt P porusz sę okresowo tm z powrotem. Przykłd. P krąży, lub N cewk odchyljące oscyloskopu podwe są sygły cost orz y( cost. Jką krzywą jest trjektor obserwow ekre? Problem poleg zlezeu krzywej y y(x) poprzez elmcję czsu z rówń sygłów. Dokomy tego, wykorzystując wzory trygoometrycze: t s t cos t 4x y cost cos. () rjektor obserwow ekre oscyloskopu jest węc prbolą pokzą Rys..5. Rys..5. Prbol jko trjektor obserwow ekre oscyloskopu w Przykłdze. Pukt P ( x, y) porusz sę po trjektor tm z powrotem, zczyjąc z położe początkowego (,) powrcjąc do tego położe po kżdym okrese [s]. Koec Przykłdu.. Dlsze rozwż dotyczące sumow drgń zchodzących w kerukch prostopdłych ogrczymy do przypdku drgń hrmoczych o jedkowej częstośc, le przesuętych względem sebe w fze. Moż je zpsć stępująco: 8
10 s(, y( bs( t ). Elmując czs, korzystmy z zleżośc trygoometryczych: (.4) b b y bs t cos bcost s xcos b x s. (.5) Podosząc wyrżee (.5) strom do kwdrtu, otrzymujemy: y b y b x x cos Rówe (.6) przedstw krzywą II stop. Jej wyróżk b 4 s 0. (.6) cos (.7) jest mejszy lub rówy zeru, co ozcz, że krzyw t jest typu elptyczego w zleżośc od kąt przesuęc fzowego, może być: ) elpsą o środku w początku ukłdu współrzędych osch obrócoych względem os ukłdu, jeśl cos 0 ; dl cos 0 elps t m ose rówoległe do os ukłdu b b b) prostą y x, gdy cos lub prostą y x gdy cos. O xy,.6. Alz hrmocz drgń okresowych Alz hrmocz drgń okresowych (ogólej wszystkch procesów okresowych, w tym tych, które mogą wzbudzć drg) poleg przedstweu okresowej fukcj czsu w postc sumy procesów hrmoczych o różych częstoścch, mpltudch fzch początkowych. Alze hrmoczej służy prt mtemtyczy szeregów Fourer [3,9]. Wykorzystmy w tym wykłdze ektóre rezultty teor szeregów Fourer, w sposób ewymgjący głębszych przypomeń lub studów. Proces (ekoecze cągły) x ( o zdym okrese moż przedstwć w postc eskończoego szeregu skłdowych procesów hrmoczych (zwych hrmokm), w stępujący sposób: gdze 0 cos t b s t, (.8) jest częstoścą podstwową procesu częstoścą jego perwszej hrmok, 0 jest wrtoścą średą procesu, rozumą jko śred cłkow: 9
11 lczby [3,9]: b 0 t 0 ) dt (.9) wyzcz sę z wzorów zych jko wzory Euler do szeregów Fourer 0 cos t dt, b s t dt. (.0) Poszczególe hrmok w szeregu Fourer (.8) moż przedstwć w forme zwerjącej mpltudę fzę początkową: gdze Szereg Fourer przyjmuje postć: 0 cos t b s t A s t, (.) A b, tg b. (.) 0 A s ( t ). (.3) Wykem lzy hrmoczej procesu lub drgń okresowych jest wdmo mpltudowoczęstoścowe orz wdmo fzowo-częstoścowe. Wdm (czej spektr) są to dgrmy przedstwjące mpltudy kolejych hrmok ch fzy początkowe odpowdjące częstoścom tych hrmok. Poszczególe hrmok chrkteryzują sę tym, ze ch częstośc są welokrotoścm częstośc podstwowej /. Powoduje to, że prążk wdm procesu okresowego leżą w rówych odległoścch od sebe. Nektóre z ch mogą meć wysokość zerową. Ogóly chrkter wdm drgń okresowych pokzo Rys..6. Rys..6. Wdmo mpltudowo-częstoścowe () fzowo-częstoścowe (b) drgń okresowych Przykłd.3 Zleźć wdmo mpltudowo-częstoścowe procesu okresowego, przedzłm stłego, pokzego Rys..7. 0
12 Rys..7. Proces okresowy z Przykłdu.3 Z Rys..7 wyk, że okres fukcj wyos. W przedzle czsu odpowdjącym okresow, fukcję tę opsujemy stępująco: 3 dl 0 t x (. () 3 dl t Częstość podstwow tej fukcj wyos / /. Fukcję przedstwmy w postc szeregu Fourer (.8). Wrtość średą 0 współczyk, b oblczmy podstwe wzorów Euler: b 3 / 0 ( ) ( ) x t dt dt dt, / (b) 3 / 3 / 3 cos ( ) cos s s 3 0 / s tdt tdt t t, 0 3 / (c) 3 / 3 / 3 s tdt ( ) s tdt cost cos 0 t 3 / cos. (d) 0 3 / Perwszych 8 współczyków, orz mpltud A b pokzo w bel.. b b... Numer hrmok /3 0 -/5 0 /7 0 b /3 0 /5 /3 /7 0 A /3 0 /5 /3 /7 0
13 Wdmo mpltudowo-częstoścowe fukcj pokzo Rys..8. Rys..8. Wdmo mpltudowo-częstoścowe fukcj z Przykłdu.3.7. Budowe rówń ruchu ukłdów drgjących Przedmotem szego zteresow w tym kurse drgń mechczych będą dymcze rów ruchu modelowych ukłdów złożoych z puktów mterlych brył sztywych, chrkteryzujących sę skończo lczą stop swobody jk już wemy zywych ukłdm dyskretym, tkże rów wybrych modelowych cł odksztłclych w postc prętów, stru włów belek, trktowych jko ukłdy cągłe. Sttycze rów przemeszczeń wyżej wymeoych ukłdów cągłych (z wyjątkem stru) ze są Czytelkow z kursu Wytrzymłośc mterłów [9]. Budując ch dymcze rów (rów drgń), wykorzystmy podstwowe złoże hpotezy przyjęte w Wytrzymłośc mterłów dl kżdego z tych elemetów. Budow rówń ruchu poprzedz lzę ch drgń będze zprezetow w odpowedej częśc wykłdu. W tym mejscu ztem skocetrujemy sę budowe rówń ruchu ukłdów dyskretych. Ze względu podstwowy zkres tego wykłdu jego rolę pozome studów I stop, rekomedowe stępujące metody ukłd rówń ruchu ukłdów dyskretych: ) Metod bezpośredego zstosow II prw Newto Isteje wele ukłdów drgjących, wet o welu stopch swobody, które moż podzelć elemety w postc puktów mterlych, do których moż wprost zstosowć II prwo Newto, uwzględjąc wszystke sły dzłjące te elemety, w tym sły zewętrze czye, rekcje opory ruchu orz sły wewętrze wszelkej możlwej tury, w tym w podtych elemetch sprężystych tłumących, którym połączoe są pukty mterle. Rówe ruchu gdze -tego elemetu m postć []: m x F x, x,..., x, x,..., x, ), (,..., ), (.4) ( t m orz x ozczją msę współrzędą -tego puktu mterlego, F jest sumą wszystkch sł odpowdjących współrzędej x, zleżą ogóle od wszystkch
14 współrzędych ch pochodych orz od czsu. Wyrżee (.4) jest ukłdem sprzężoych rówń różczkowych zwyczjych, ogóle elowych ejedorodych. Omwjąc bezpośrede wykorzyste prw Newto do budowy rówń ruchu ukłdu drgjącego, leży zuwżyć, że elemety sprężyste, trktowe jko bezmsowe, mogą być e tylko sprężym lowym obrotowym, które są już ze Czytelkow z kursu mechk ogólej [], le też mogą meć chrkter belek, rm, prętów, włów, płyt lub ych elemetów, których sprężyste przemeszcze pod dzłem sł sttyczych potrfmy wyzczć podstwe wedzy z kursu Wytrzymłośc mterłów. Współczyk sztywośc kżdego tkego elemetu moż oblczyć jko stosuek sły do wywołego przez tę słę sttyczego przemeszcze. Bezmsowe elemety sprężyste o sztywoścch szeregowo, otrzymując elemet zstępczy o sztywośc k k z k moż łączyć rówolegle lub, jk pokzo Rys..9. Rys..9. Łączee bezmsowych elemetów sprężystych: ) rówoległe, b) szeregowe W połączeu rówoległym obydw elemety mją jedkowe wydłużee, tke jk elemet zstępczy, sł F w elemece zstępczym jest rów sume sł w elemetch skłdowych, F, F. Wyk stąd sztywość elemetu zstępczego w połączeu rówoległym: F F F k k ( k k ) kz k k. (.5) Dw elemety sprężyste połączoe szeregowo przeoszą jedkową słę F F F, sum ch wydłużeń stow wydłużee elemetu zstępczego zstępcz:. Stąd sztywość F F F. (.6) k k k k k k z Zuwżmy, reguły łącze spręży w ukłdch mechczych są tke sme, jk reguły łącze kodestorów w obwodch elektryczych. Przykłd.4. z 3
15 Wyzczyć sztywość zstępczą elemetów sprężystych w postc sprężyy o sztywośc k s orz belk wsporkowej o długośc l sztywośc gętej EI [9], w połączech pokzych Rys..0. Rys..0. Połącze sprężyy belk wsporkowej: ) rówoległe, b) szeregowe Njperw leży określć sztywość elemetu belkowego w odeseu do ugęc jej swobodego końc f pod dzłem pewej próbej sły F. Sztywość tę wyzczymy podstwe wedzy z wytrzymłośc mterłów, dotyczącej zleżośc ugęc belk wsporkowej od jej obcąże słą końcu: 3 Fl F 3EI f kb. () 3EI f 3 l Sztywośc zstępcze połączeń rówoległego szeregowego (Rys..0,b) wyoszą węc: rówoległe: k Z k s k b k s 3EI l 3EI s 3 s b, szeregowe : k l 3 Z k k 3 s b k s 3 k k k, (b) EI l gdze E ozcz moduł Youg, I jest geometryczym mometem bezwłdośc przekroju względem os obojętej prężeń. Koec Przykłdu.4. Uwg W przypdku drgń w ruchu obrotowym względem stłej os, odpowede rów ruchu, wykjące z prw zmeośc krętu względem os obrotu, zstosowego do kżdego z cł z osob, mją postć logczą do (.4): gdze J orz J M,,...,,,,...,, ), (,..., s), (.7) ( s s t ozczją msowy momet bezwłdośc względem os obrotu orz kąt obrotu -tej bryły, obrotu. M jest sumą mometów dzłjących tę bryłę, względem jej os 4
16 b) Metod rówń Lgrge Rów Lgrge (II rodzju) są ze z kursu mechk ogólej [], z którym skoordyowy jest te wykłd. Ne będzemy ztem ch wyprowdzć szczegółowo kometowć. Ogrczymy sę do pod ch rekomedowej postc oprtej eerg ketyczej, eerg potecjlej orz dysypcyjej fukcj Rylegh, ogrczjąc sę do przypome sposobu korzyst z ch. Rów Lgrge mją stępującą postć: gdze E, E k p, D d dt Ek q Ek q E p q D Q q (,..., s), (.8) ozczją odpowedo eergę ketyczą, eergę potecjlą dysypcyją fukcję Rylegh [], s jest lczbą stop swobody ukłdu, q orz Q ozczją współrzęde uogóloe orz odpowdjące m sły uogóloe wymuszjące drg (epotecjle edysypcyje). Rów Lgrge (.8) po wykou wszystkch ezbędych opercj mtemtyczych stją sę ukłdem rówń różczkowych zwyczjych, ogóle elowych ejedorodych. W dlszych wykłdch rów te będzemy rozwązywć, stosując stdrdowe metody ltycze terpretując fzycze otrzyme wyk. Budow rówń Lgrge, po podjęcu decyzj o modelu fzyczym ukłdu drgjącego, obejmuje stępujące etpy. ) Przyjęce współrzędych uogóloych w lczbe rówej lczbe stop swobody ukłdu. ) Zbudowe eerg ketyczej ukłdu w jego możlwym ruchu wyrżee jej przez współrzęde prędkośc uogóloe. 3) Zbudowe wyrże eergę potecjlą ukłdu w jego chwlowym położeu w czse ruchu wyrżee jej przez współrzęde uogóloe. 4) Zbudowe wyrże dysypcyją fukcję Rylegh wyrżee jej przez współrzęde prędkośc uogóloe. 5) Wyzczee wszystkch sł uogóloych odpowdjących przyjętym współrzędym. 6) Wykoe różczkowń przewdzych w wyrżeu (.8) końcowe sformułowe rówń ruchu Lgrge. W przypdku, gdy bezmsowe elemety sprężyste łączące pukty mterle ukłdu drgjącego są elemetm belkowym lub rmowym, wygode jest w budowe rówń ruchu zstosowe uogóloej dymkę metody sł, stosowej w wytrzymłośc mterłów 5
17 do oblcz sttyczych przemeszczeń w rmch. Ne omwmy tej metody, odsyłjąc Czytelk do ltertury uzupełjącej []. Pyt sprwdzjące do Wykłdu. Jke jest zczee drgń w budowe mszy?. Jke włścwośc m drge będące sumą: s00t s 0t? 3. Co to jest wdmo drgń okresowych jk sę je otrzymuje? 4. Klsyfkcj drgń ze względu źródło eerg. 5. Jk ops włścwośc mją drg hrmocze? 6. Co to jest proces skokowy? 7. N czym poleg lz hrmocz drgń? 8. Jk jest wruek okresowośc sumy lgebrczej drgń hrmoczych? 9. Jke są reguły łącze bezmsowych elemetów sprężystych w ukłdch drgjących? 0. Jką postć mją rów Lgrge II rodzju do czego służą? 6
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoRozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa 1
Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów
Chrkterystyk geometrycze przekrojów poprzeczych prętów Zgode z złożem mechk ukłdów prętowych rzeczywste trójwymrowe cło odksztłcle modelowć będzemy ukłdem jedowymrowym, w którym formcje dotyczące wymrów
Bardziej szczegółowo11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW
1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Bardziej szczegółowo1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA
.4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoSposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = =
Pomr jego dokłdość. Kżdy pomr dje m wyk z pewą ylko dokłdoścą, węc obcążoy je epewoścą pomrową (błędem pomrowym). Pomry fzycze dzelmy : bezpośrede pośrede. Pomrm bezpośredm zywmy ke, kórych wrość lczbową
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoWykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor
Bardziej szczegółowoMetoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA
prwch rękops do żytk słżboweo ISTYTUT RGOLKTRYKI POLITCHIKI WROCŁAWSKIJ Rport ser SPRAWODAIA r LABORATORIUM TORII I THCIKI STROWAIA ISTRUKCJA LABORATORYJA ĆWICI r 9 Sterowe optymle dyskretym obektem dymcym
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowo2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowo( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.
Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowoELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
Bardziej szczegółowoMACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoWyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.
Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoLaboratorium z Biomechatroniki Ćwiczenie 3 Wyznaczanie położenia środka masy ciała człowieka za pomocą dźwigni jednostronnej
Wydzał: Mechaczy Techologczy Keruek: Grupa dzekańska: Semestr: perwszy Dzeń laboratorum: Godza: Laboratorum z Bomechatrok Ćwczee 3 Wyzaczae położea środka masy cała człoweka za pomocą dźwg jedostroej 1.
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3 DYNAIKA UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW ATERIALNYCH zbór skończoej lczby puktów materalych o zadaej kofguracj przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupera Pluto Neptu Ura Satur Jowsz Plaetody
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoTMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną
Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoinstrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoDOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH
Zgnew Kmńsk DOBÓ INIOWO-ŁMNEO OZDZIŁU SIŁ HMUJĄCYCH W SMOCHODCH DOSTWCZYCH Streszczene. W rtykule opsno sposoy dooru lnowo-łmnego rozdzłu sł mującyc w smocodc dostwczyc według wymgń egulmnu 3 ECE. Przedstwono
Bardziej szczegółowoBRYŁA SZTYWNA. Zestaw foliogramów. Opracowała Lucja Duda II Liceum Ogólnokształcące w Pabianicach
BRYŁA SZTYWNA Zestaw fologamów Opacowała Lucja Duda II Lceum Ogólokształcące w Pabacach Pabace 003 Byłą sztywą azywamy cało, któe e defomuje sę pod wpływem sł zewętzych. Poszczególe częśc były sztywej
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr...
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI Trzec ter wpsu zlcze do USOSu j prowdząc(/y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr...
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI Trzec ter wpsu zlcze do USOSu j prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ
Bardziej szczegółowoAnaliza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.
Wykłd Anlz popytu. Optymln poltyk cenow. 1 ANALIZA OYTU. OTYMALNA OLITYKA CENOWA. rzedmotem wykłdu jest prolem zrządzn zyskem poprzez oprcowne wdrożene odpowednej strteg różncown cen, wykorzystując do
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA NR 02 POMIARY I OCENA EKSPOZYCJI ZAWODOWEJ NA DRGANIA PRZEKAZYWANE PRZEZ KOŃCZYNY GÓRNE
LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 0 POMIARY I OCENA EKSPOZYCJI ZAWODOWEJ NA DRGANIA PRZEKAZYWANE PRZEZ KOŃCZYNY GÓRNE. Cel strukcj Celem strukcj jest określee
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzał Mehazy POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Wyzazee położee środka ężkoś układu mehazego Dr ż. K. Kęk 1.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Bardziej szczegółowoArkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa
Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
Bardziej szczegółowo