STATECZNOŚĆ MIMOŚRODOWO ŚCISKANEJ ŚCIANKI WSPORNIKOWEJ ELEMENTU CIENKOŚCIENNEGO

Transkrypt

1 CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXII, z. 62 (3/II/15), lipiec-wrzeień 2015, Andrzej SZYCHOWSKI 1 STATECZNOŚĆ MIMOŚRODOWO ŚCISKANEJ ŚCIANKI WSPORNIKOWEJ ELEMENTU CIENKOŚCIENNEGO W pracy zamiezczono wyniki badań tateczności mimośrodowo ścikanych ścianek wpornikowych tanowiących części kładowe elementów cienkościennych. Ścianki takie charakteryzują ię dużymi mukłościami i ą wrażliwe na lokalną utratę tateczności. W celu rozwiązania zadania zatoowano model cienkiej płyty wpornikowej. Funkcję ugięcia zapiano w potaci zeregu wielomianowo inuowego. Uwzględniono warunki prężytego zamocowania przeciw obrotowi oraz różne rozkłady naprężeń (wg funkcji tałej, liniowej i paraboli 2. topnia) na długości elementu. Naprężenie krytyczne odnieiono do najbardziej ścikanej krawędzi dla danego przypadku obciążenia. Wpółczynniki wyboczeniowe k wyznaczono metodą energetyczną. Pokazano wykrey wpółczynnika k dla takich przypadków obciążenia, których nie znaleziono w literaturze. Wyprowadzono wzory aprokymacyjne wpółczynnika k dla tałego na długości płyty rozkładu naprężeń. We wzorach uwzględniono różne przypadki mimośrodowego ścikania w funkcji wkaźnika prężytego utwierdzenia. Omówiono pooby ozacowania wpółczynnika k dla pośrednich wartości parametrów oraz przedtawiono protą formułę przybliżoną dla długich płyt wpornikowych. Spoób wykorzytania wzorów aprokymacyjnych pokazano w przykładzie obliczeniowym. Stwierdzono, że uwzględnienie prężytego zamocowania krawędzi ścianki (płyty) wpornikowej w egmencie pręta cienkościennego oraz poprzecznej i wzdłużnej zmienności naprężeń prowadzi do precyzyjniejzego wyznaczenia naprężeń krytycznych wyboczenia lokalnego. Poprawia to dokładność odwzorowania zachowania ię elementu cienkościennego w inżynierkim modelu obliczeniowym. Tak wyznaczone naprężenia krytyczne mogą także połużyć do dokładniejzego wyznaczenia zerokości wpółpracujących różnie obciążonych ścianek wpornikowych. Słowa kluczowe: pręty cienkościenne, przekrój otwarty, płyty wpornikowe, prężyte zamocowanie, wzdłużna zmienność naprężeń 1 Autor do korepondencji: Andrzej Szychowki, Politechnika Świetokrzyka w Kielcach, Al. Tyiąclecia Pańtwa Polkiego 7, Kielce, tel: , -mail: azychow@tu.kielce.pl

2 440 A. Szychowki 1. Wprowadzenie Wpółcześnie toowane prętowe elementy cienkościenne charakteryzują ię dużymi mukłościami ścianek kładowych. Są zatem wrażliwe na różne potacie wyboczenia lokalnego i/lub dytoryjnego. W złożonych tanach obciążenia (np. przy ścikaniu i zginaniu lub niewobodnym kręcaniu pręta cienkościennego) w płakich ściankach wpornikowych może wytępować mimośrodowe ścikanie przy różnym rozkładzie naprężeń na długości egmentu pręta (l ). Segment pręta cienkościennego zdefiniowano w [5] jako odcinek pomiędzy uztywnieniami poprzecznymi (żebrami, przeponami itp.) zapewniającymi ztywny kontur przekroju. Taka definicja jet zczególnie itotna w przypadku wzdłużnej zmienności naprężeń, gdyż wytępują wówcza złożone potacie utraty tateczności [8]. Ścianka wpornikowa może tanowić np. półkę kztałtownika cienkościennego, pojedyncze odgięcie uztywniające kztałtownika giętego lub płaki element uztywniający kontrukcji blachownicowej. Klayczne przykłady wytępowania ścianek wpornikowych pokazano na ry.1a. Ry. 1a) Przykłady ścianek wpornikowych, b) wydzielona z elementu cienkościennego ścianka wpornikowa Fig. 1a) Example of cantilever wall, b) cantilever wall iolated from a thin-walled member Ponieważ ścianki wpornikowe charakteryzują ię znacznie mniejzą odpornością na naprężenia ścikające w tounku do ścianek przęłowych, tanowią na ogół ściankę łabzą (podpieraną), decydującą o lokalnej utracie tateczności całego przekroju. W takim przypadku ścianka wpornikowa jet prężyście zamocowana przeciw obrotowi w ściance przęłowej (np. półka zamocowana w środniku lub uztywnienie brzegowe zamocowane w półce, por. ry.1.), dla której obie krawędzie wzdłużne ą podparte. W normach [13,14,15] do uwzględnienia wyboczenia lokalnego pręta cienkościennego o przekroju klay 4 przyjęto model obliczeniowy eparacji ścianek (płyt kładowych) polegający na ich wobodnym podparciu na podłużnych krawędziach łączenia. W tym podejściu, o naprężeniach krytycznych z warunku

3 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej wyboczenia lokalnego decyduje najłabza ścianka, na którą nie oddziałują ścianki ąiednie. Jedynie w przypadku odgięcia uztywniającego, w normie [14] przyjęto uprozczony chemat prężytego zamocowania ścianki wpornikowej w półce przekroju, pozwalający na przyjęcie wyżzej wartości wpółczynnika k (np. 0.5 w miejce 0.43). W rzeczywitych elementach cienkościennych wytępuje prężyte zamocowanie ścianek ąiednich, co może być uwzględnione w modelu obliczeniowym [8]. W wielu technicznie ważnych przypadkach lokalne wyboczenie elementu cienkościennego jet wywołane utratą tateczności ścianki najłabzej ( krytycznej ), która po wyboczeniu wymuza deformacje ąiednich ścianek. Oczywiście itnieją przekroje, dla których w określonych tanach naprężenia wzytkie ścianki ą krytyczne, tzn. decydują o utracie tateczności całego przekroju (np. oiowo ścikany kwadratowy przekrój krzynkowy). To prężyte zamocowanie przeciw obrotowi ścianki najłabzej, wynikające ze prężytego połączenia ze ścianką mocniejzą (podpierającą), podnoi jej naprężenia krytyczne. Efekt ten wykorzytuje ię dotychcza jedynie we wpomnianym już przypadku odgięcia krawędzi oraz w analizie wyboczenia dytoryjnego kztałtowników formowanych na zimno [14]. W tym przypadku ściankę z odgięciem (tj. ich zerokości wpółpracujące) traktuje ię jako zatępczy pręt ścikany na podłożu prężytym. Moduł prężytości podłoża (K) wyznacza ię w zależności od ztywności obrotowej (C θ ) krawędzi podpartej (na którą wpływa ztywność zginania ścianki podpierającej i jej tan naprężenia) oraz ztywności zginania amej ścianki. Lokalne wyboczenie elementu cienkościennego o przekroju otwartym, inicjowane np. przez mimośrodowo ścikaną ściankę wpornikową, można w praktyce uwzględniać w oparciu o analizę tateczności płyty wpornikowej prężyście zamocowanej w płycie podpierającej. W przypadku płyty wpornikowej, naprężenia krytyczne wyboczenia lokalnego zależą od jej mukłości, poprzecznego i wzdłużnego rozkładu naprężeń oraz topnia prężytego zamocowania krawędzi podpartej. Poprawne wyznaczenie naprężeń krytycznych dla tak podpartych i obciążonych ścianek (płyt kładowych) pręta cienkościennego łuży do dokładniejzego ozacowania nośności granicznej przekroju metodą zerokości wpółpracującej. W monografii [1] podano wykrey i wzór aprokymacyjny wpółczynnika k dla oiowo ścikanej płyty wpornikowej przy tałym rozkładzie naprężeń na jej długości w funkcji wpółczynnika prężytego zamocowania (ε) wg wzoru: C b D (1) gdzie: C - ztywność obrotowa krawędzi podpartej równa momentowi zginającemu powtałemu podcza obrotu o kąt jednotkowy, b - zerokość płyty ulegającej wyboczeniu, D =Et 3 /(12(1-ν 2 )) - płytowa ztywność zginania.

4 442 A. Szychowki W pracy [12] analizowano m.in. wpływ wzdłużnej zmienności naprężeń (rozkład naprężeń wg funkcji liniowej) na tateczność oiowo ścikanych płyt wpornikowych dla granicznych warunków brzegowych (przegub, utwierdzenie) na krawędzi podpartej. Dla tych przypadków podparcia i obciążenia zaproponowano przybliżoną formułę obliczania wpółczynnika k. W pracy [5] przedtawiono wyniki badań tateczności mimośrodowo ścikanych płyt wpornikowych przy wzdłużnej zmienności naprężeń dla granicznych przypadków podparcia krawędzi podłużnej (przegub lub utwierdzenie). Wyprowadzono wzory na pracę ił zewnętrznych przy obciążeniu wywołującym wzdłużny rozkład naprężeń wg funkcji liniowej oraz wg paraboli 2. topnia. Z kolei w pracy [6] przedtawiono wykrey wpółczynnika k prężyście zamocowanych ścianek wpornikowych dla wybranych przypadków wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń w przedziale: 1.5 γ 8, gdzie γ = l /b. Natomiat w pracy [8] wyprowadzono wzory aprokymacyjne wpółczynnika k dla oiowo ścikanej płyty wpornikowej dla dowolnego topnia prężytego zamocowania krawędzi podpartej oraz dowolnie nachylonego na długości płyty rozkładu naprężeń wg funkcji liniowej i paraboli 2. topnia. Dla wzdłużnej zmienności naprężeń zdefiniowano półfalę krytyczną, jako tę z najwiękzymi ugięciami i wytępującą w obzarze najwiękzych naprężeń. Za jej długość wyboczeniową (l cr ) przyjęto, podobnie jak dla tałej intenywności naprężeń (m i = 0, gdzie m i wg ry.1b), odległość pomiędzy punktami przegięcia (w II (x ) y=b =0, gdzie w(x ) funkcja ugięcia płyty) śladu pierwzej potaci wyboczenia o makymalnych przemiezczeniach i wytępującej od trony makymalnych obciążeń. W celu dokładniejzego rozwiązania wielu zagadnień wyboczenia lokalnego oraz nośności granicznej (zacowanej wg metody zerokości wpółpracującej) otwartych prętów cienkościennych w złożonych tanach naprężenia, należy uzupełnić wybrane rozwiązania tanu krytycznego ścianek kładowych. Chodzi tutaj o mimośrodowo ścikane ścianki (płyty) wpornikowe, przy jednoczenym uwzględnieniu zarówno prężytego zamocowania przeciw obrotowi krawędzi podpartej, jak również wzdłużnej zmienności naprężeń. W normie [5] podano jedynie wzory wpółczynników k dla wobodnie podpartej płyty (ścianki) wpornikowej z uwzględnieniem poprzecznej zmienności naprężeń. Jak wykazano w pracach [5,6,8], w takich ściankach wytępują zapay lokalnej nośności krytycznej w tounku do modelu obliczeniowego eparacji ścianki podpartej przegubowo, który przyjęto w normach [13,14,15]. W niniejzej pracy wyznaczono wpółczynniki k dla prężyście zamocowanych i mimośrodowo ścikanych płyt wpornikowych przy wytępowaniu technicznie ważnych chematów obciążeń, których nie znaleziono w literaturze i nie zamiezczono w pracach [5,6,8]. Ponadto wyprowadzono wzory aprokymacyjne dla różnych poprzecznych rozkładów naprężeń umożliwiające wyznaczenie wpółczynnika k dla m i = 0 oraz ozacowanie k dla pośrednich wartości parametru m i z przedziału (0-1). Zaproponowano także uprozczoną procedurę zacowania k dla długich płyt (ścianek) w przedziale: 8 γ 50.

5 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej Na ryunku 2. pokazano rozpatrywane w niniejzej pracy przypadki poprzecznej zmienności naprężeń w płycie wpornikowej w zależności od wartości parametru α (por.ry.1). Dla porównania, jako pierwzy pokazano klayczny przypadek oiowego ścikania dla α = 0. Ry. 2. Rozpatrywane chematy rozkładu naprężeń w płycie wpornikowej Fig. 2. Conidered pattern of tre ditribution in the cantilever plate 2. Warunki brzegowe płyty wpornikowej Założono, że: 1) ścianka wpornikowa przekroju cienkościennego zachowuje ię jak płyta wpornikowa, prężyście zamocowana przeciw obrotowi w płycie ąiedniej np. w środniku, 2) druga krawędź podłużna jet wobodna i nie zawiera uztywnienia krawędziowego; 3) mimośrodowe ścikanie płyty wytępuje jedynie w jej płazczyźnie; 4) poprzeczne krawędzie płyty przyjęto jako wobodnie podparte; 5) rozpatruje ię naprężenia w zakreie prężytym. Stopień prężytego zamocowania podłużnej krawędzi płyty (y =0) opiano za pomocą wpółczynnika zamocowania ε wg wzoru (1) [1] oraz wkaźnika prężytego utwierdzenia κ wg [4] w natępującej potaci: 1 1 2D b C (2) Wpółczynnik ε wg wzoru (1) zmienia ię od ε = 0 dla podparcia przegubowego do ε = dla utwierdzenia, natomiat wkaźnik κ wg wzoru (2), od κ=0 (przegub) do κ=1 (utwierdzenie), przy czym κ = ε /(2+ε). Sztywność obrotową podpartej krawędzi płyty wpornikowej można wyznaczyć ze wzoru: D r cr C 1 (3) b r cr, r gdzie: η - wpółczynnik zależny od rozkładu obciążenia i warunków podparcia płyty uztywniającej, b r - zerokość płyty uztywniającej, D r - ztywność zginania płyty uztywniającej, σ cr - naprężenia krytyczne płyty wpornikowej ( krytycz-

6 444 A. Szychowki nej ), σ cr,r - naprężenia krytyczne płyty uztywniającej podpartej przegubowo dla jednej półfali wytępującej na długości wyboczeniowej (l cr ) płyty wpornikowej (zakłada ię zgodność kątów obrotu i momentów zginających na krawędzi łączenia ścianek). Uwaga: formuła w nawiaie wzoru (3) uwzględnia w poób przybliżony niekorzytny wpływ naprężeń ścikających w płycie uztywniającej [3]. W przypadku wobodnego podparcia ścianki wpornikowej (dla κ = 0) przy tałym wzdłużnym rozkładzie naprężeń, na jej długości powtaje jedna półfala wyboczenia równa długości egmentu (l cr = l ). Przy wzdłużnej zmienności naprężeń może powtać jedna lub co najwyżej dwie półfale wyboczenia o ilnie zróżnicowanych amplitudach. W tym przypadku półfala krytyczna jet nieymetryczna (względem oi poprzecznej płyty), a jej makymalne ugięcia wytępują od trony makymalnych naprężeń (por.ry.10 dla κ = 0 w pracy [8]). W przypadku κ > 0 wytępuje prężyte zamocowanie płyty wpornikowej w płycie ąiedniej, a długość wyboczeniowa półfali krytycznej ma z reguły wartość mniejzą od długości egmentu pręta cienkościennego (l cr l ). Długość tę można ozacować wg wzoru aprokymacyjnego (4) wyprowadzonego w pracy [8]. Dla oiowo ścikanej i prężyście zamocowanej płyty wpornikowej przy tałej (na długości) intenywności naprężeń wzór ten ma potać: l cr b (4) 0.25 W niniejzej pracy zbadano, że wzór (4) można także bezpiecznie toować do ozacowania długości wyboczeniowej w typowych przypadkach mimośrodowego ścikania (por. ry.2). Z uwagi na to, że dla płyty wpornikowej, w każdym przypadku zamocowania (0 κ 1) długość wyboczeniowa jet więkza od zerokości płyty (l cr >b ), konerwatywną ocenę ztywności obrotowej można uzykać ze wzoru (3) przyjmując η = 2 dla przekroju ścikanego, oraz η = 4 dla przekroju zginanego [3,8]. Takie podejście uprazcza obliczenia i pozwala na bezpieczne ozacowanie naprężeń krytycznych. Wzory na naprężenia krytyczne płyty uztywniającej dla jednej półfali wyboczenia na długości l cr płyty podpieranej (łabzej) podano np. w pracach [3, 9]. Obliczenia ą zatem iteracyjne, ponieważ do wyznaczenia ztywności obrotowej C θ potrzebne ą naprężenia krytyczne σ cr i σ cr,r, które zależą m.in. od wkaźnika κ. Z kolei wkaźnik utwierdzenia κ zależy od ztywności obrotowej C θ i otatecznie od obliczanych naprężeń krytycznych σ cr. Jednakże w praktyce obliczeniowej, przy założeniu wtępnej wartości wkaźnika κ (np. z przedziału ) proce ten jet zybko zbieżny. Wytarczającą z technicznego punktu widzenia dokładność uzykuje ię już po 2 3 iteracjach. Oczywiście w każdym przypadku można korzytać z dodatkowego uprozczenia zaproponowanego w pracy [8]. Polega ono na tym, że w każdym kroku obliczeniowym za σ cr,r przyjmuje ię minimalne naprężenia krytyczne ścianki podpierającej

7 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej (tj. σ cr,r = 4σ E,r dla ścikania przekroju lub σ cr,r = 23.9σ E,r dla zginania przekroju w płazczyźnie środnika, gdzie: σ E,r naprężenia Eulera dla płyty podpierającej). W tym przypadku wytarczy zazwyczaj jedna iteracja. 3. Funkcja ugięcia i tan naprężenia płyty wpornikowej Funkcję ugięcia prężyście zamocowanej i mimośrodowo ścikanej płyty wpornikowej przy wytępowaniu wzdłużnej zmienności naprężeń przyjęto w potaci: w ( x, y ) 2 p p y y y i x 2 (5) io o t f i 1 fip in i1 b b p3 b l gdzie: f i2, f ip - bezwymiarowe, wobodne parametry funkcji ugięcia. Zalety funkcji (5) do aprokymowania złożonej potaci wyboczenia płyt wpornikowych w złożonych tanach naprężenia omówiono w pracach [5,7,8]. W przypadku analizy tateczności płyty wpornikowej tanowiącej część kładową pręta cienkościennego o przekroju otwartym, w której akceptuje ię hipotezę płakich przekrojów lub hipotezę deplanacji przekroju (w zależności od poobu obciążenia), rozkład naprężeń normalnych (por.ry.1) można przedtawić w potaci [6,7]: x 1 y 0 i x b (6) gdzie: σ 0 - krawędziowe naprężenie porównawcze (dodatnie kiedy ścikające) na krawędzi zawierającej początek lokalnego układu wpółrzędnych (y =0, por. ry.1), β i (x ) - funkcja rozkładu naprężeń na długości płyty, α - wpółczynnik rozkładu naprężeń na zerokości płyty wg wzoru: I 0 1 (7) 0 W niniejzej pracy rozpatrzono natępujące przypadki wzdłużnego rozkładu naprężeń: 1) rozkład tały (m = 0), 2) rozkład liniowy oraz, 3) rozkład nieliniowy wg paraboli 2. topnia. W przypadkach 2 i 3 funkcję β i (x ) wg wzoru (6) można przedtawić odpowiednio w potaci: m x l (8) 1( x ) ( x ) 1 m2x l (9)

8 446 A. Szychowki gdzie m i - wpółczynnik charakteryzujący wzdłużną zmienność naprężeń wg wzoru: m 1 (10) i 1 0 Wzdłużny rozkład naprężeń wg funkcji liniowej (6, 8) lub nieliniowej (6, 9) można uzykać przez wprowadzenie naprężeń tycznych [12] lub wzdłużnych ił maowych (por.ry.1), o rozkładzie dobranym w zależności od poobu obciążenia pręta cienkościennego. Spoób zatąpienia naprężeń tycznych odpowiednim rozkładem ił maowych w płytach wpornikowych opiano w pracy [5]. Wprowadzenie wzdłużnych ił maowych oraz opi rozkładu naprężeń normalnych wg wzoru (6) uprazcza funkcję ugięcia (5) poprzez redukcję liczby wobodnych parametrów niezbędnych do aprokymacji potaci wyboczenia. Pozwala to na analizę tateczności płyty wpornikowej (ścianki przekroju) w tych przypadkach, w których rozkład i intenywność naprężeń tycznych nie wpływa itotnie na potać utraty tateczności [5,7]. W niniejzej pracy pominięto wpływ naprężeń tycznych, przyjmując wzdłużny rozkład naprężeń normalnych wg wzoru (6). 4. Naprężenie krytyczne Naprężenie krytyczne (σ cr ) lokalnej utraty tateczności mimośrodowo ścikanej płyty wpornikowej przy wzdłużnej zmienności naprężeń odnieiono do najbardziej ścikanej krawędzi (por.ry.2 linia gruba) i wyrażono w potaci wzoru: cr k E (11) gdzie σ E - naprężenia Eulera dla płyty wg [1,9]. Płytowe wpółczynniki wyboczeniowe (k) wyznaczono metodą energetyczną. Całkowita energia potencjalna układu wynoi: U V, 1 V, 2 L (12) gdzie: V,1 - energia prężyta zginania płyty, V,2 - energia prężytego zamocowania krawędzi podłużnej (y = 0), L - praca ił zewnętrznych. Ponieważ funkcję ugięcia płyty zapiano zeregiem inuowo wielomianowym potaci (5), energię prężytą (V,1 ) wyznaczono w poób zaproponowany w pracy [2], a funkcję pracy ił zewnętrznych (L ) wyznaczono z ekwencji wzorów wyprowadzonych w pracy [5]. Natomiat energię prężytego zamocowania (V,2 ) krawędzi podłużnej wyznaczono wg [1] ze wzoru:

9 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej V l 2 C w dx 2 0 y (13) y 0, 2 Naprężenia krytyczne obliczono z układu równań: U f 0 (14) ip prowadzając zagadnienie do problemu wyznaczania wartości i wektorów włanych. Obliczenia wpółczynników wyboczeniowych k wykonano programem komputerowym Ncr_płyta_w-pręż-(3).nb (opracowanym w środowiku pakietu Mathematica [11]) i rozbudowanym w tounku do aplikacji opianej w pracy [6] o kolejne moduły obliczeniowe. Program umożliwia m.in. tablicowanie wpółczynników, wyznaczanie wzorów aprokymacyjnych oraz graficzną prezentację wyników obliczeń (wykrey, potacie wyboczenia itp.). Funkcję ugięcia płyty aprokymowano zeregiem (5), przy narzuceniu wartości początkowych wkaźnika utwierdzenia wg wzoru (2) od κ=0 dla krawędzi wobodnie podpartej do κ=1 dla krawędzi utwierdzonej. Parametr i o określający ilość półfal funkcji inu w kierunku oi x zeregu (5) dobierano w zależności od tounku wymiarów płyty (γ = l /b ), rozkładu naprężeń działających w jej płazczyźnie oraz wkaźnika κ. Na podtawie analizy zbieżności wyników (analogicznej do przedtawionej w pracy [5]), do obliczeń wpółczynników k prężyście zamocowanych płyt wpornikowych o γ 8 oraz wartości parametrów: 0 m 1 oraz 0 κ 1 przyjęto w praktyce i o = 8. Dało to wytarczającą dokładność z technicznego punktu widzenia przy jednoczenej redukcji ilości obliczeń. W tabeli 1 podano przyporządkowanie numeru krzywej na pozczególnych wykreach (ry.3 8) do wpółczynnika ε oraz wkaźnika κ wg wzorów (1, 2). Tabela 1. Przyporządkowanie numeru krzywej na ry. 3-8 do wpółczynnika ε oraz wkaźnika Table 1. Aignment of the curve number in Fig 3-8 to the coefficient ε and index Nr ε 0 0,15 0,3 0, ,07 0,13 0,231 0,333 0,5 0,6 0,714 0,83 0, Wykrey wpółczynnika wyboczeniowego k Na ryunkach 3 do 5 pokazano wykrey wpółczynnika k dla α = 3 (ry.3), α = -1 (ry.4) i α = 0.5 (ry.5) przy liniowym (m 1 = 1), w kierunku podłużnym, rozkładzie naprężeń (σ x wg (6, 8)) w funkcji γ oraz ε i κ wg tabeli 1. Odpowiednie rozkłady naprężeń pokazano na ry.2.

10 448 A. Szychowki Ry. 3. Wykrey wpółczynnika k dla α = 3 i m 1 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 3. The plot of the coefficient k for α = 3 and m 1 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1 Ry. 4. Wykrey wpółczynnika k dla α = -1 i m 1 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 4. The plot of the coefficient k for α = -1 and m 1 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1

11 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej Ry. 5. Wykrey wpółczynnika k dla α = 0.5 i m 1 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 5. The plot of the coefficient k for α = 0.5 and m 1 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1 Na ryunkach 6 do 8 pokazano wykrey wpółczynnika k dla α = 2 (ry.6), α =10 4 (ry.7) i α =1 (ry.8) przy nieliniowym (m 2 =1), w kierunku podłużnym, rozkładzie naprężeń (σ x wg (6, 9)) w funkcji γ oraz ε i κ wg tabeli 1. Rozkłady naprężeń pokazano jak poprzednio na ry.2. Ry. 6. Wykrey wpółczynnika k dla α = 2 i m 2 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 6. The plot of the coefficient k for α = 2 and m 2 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1

12 450 A. Szychowki Ry. 7. Wykrey wpółczynnika k dla α = 10 4 i m 2 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 7. The plot of the coefficient k for α = 10 4 and m 2 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1 Ry. 8. Wykrey wpółczynnika k dla α = 1 i m 2 = 1 oraz ε i κ wg tabeli 1 Fig. 8. The plot of the coefficient k for α = 1 and m 2 = 1, and alo ε and κ in acc. with Table 1 Na ryunku 9. porównano wpółczynniki k dla prężyście zamocowanej (ε=3, κ=0.6) płyty wpornikowej przy α = -1 oraz liniowym rozkładzie naprężeń w kierunku podłużnym (σ x wg (6, 8)) dla m 1 = 0; 0.25; 0.5; 0.75 i 1 w funkcji γ. Wraz ze wzrotem wartości parametru m 1 naprężenia krytyczne roną i zanika girlandowy charakter krzywych charakterytyczny dla m i = 0.

13 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej Ry. 9. Porównanie wykreów wpółczynnika k dla α = -1, prężyście zamocowanej (ε = 3, κ=0.6) płyty wpornikowej przy liniowym rozkładzie naprężeń dla m 1 = 0; 0.25; 0.5; 0.75 i 1 Fig. 9. Comparion of the coefficient k plot for α = -1, for the elatically retrained (ε = 3, κ=0.6) cantilever plate, auming non-linear tre ditribution, for m 1 = 0; 0.25; 0.5; 0.75; and 1 Z porównania wykreów pokazanych na ry.9. wynika ponadto, że dla pośrednich wartości parametru m 1 wartość wpółczynnika k można konerwatywnie ozacować w oparciu o interpolację liniową, np. k m=0.75 (k m=1 + k m=0.5 )/2; k m=0.5 (k m=1 + k m=0 )/2 itd. Z kolei na ry.10. porównano wpółczynniki k dla prężyście zamocowanej (ε =1, κ=0.333) płyty wpornikowej przy α =10 4 oraz nieliniowym rozkładzie naprężeń w kierunku podłużnym (σ x wg (6, 9)) dla parametru m 2 = 0; 0.25; 0.5; 0.75 i 1 w funkcji γ. Również w tym przypadku, wraz ze wzrotem parametru m 2 naprężenia krytyczne roną. Ponadto z analogicznego (jak dla rozkładu liniowego) porównania wykreów wynika, że dla pośrednich wartości parametru m 2 wartość wpółczynnika k można konerwatywnie ozacować w oparciu o interpolację liniową, chociaż w tym przypadku błędy takiego ozacowania będą więkze (ale na korzyść bezpieczeńtwa). W celu umożliwienia ozacowania wpółczynnika k dla wzdłużnego liniowego lub nieliniowego rozkładu naprężeń i pośrednich wartości parametru m i z przedziału 0 < m i <1 (np. na podtawie wykreów wpółczynników k dla m i =1), w rozdziale 6 niniejzej pracy podano wzory aprokymacyjne wpółczynnika k dla mimośrodowo ścikanej płyty wpornikowej (α wg ry.2.) przy tałym rozkładzie naprężeń na jej długości (m i =0). Uwaga: dodatkowe wykrey wpółczynników k dla innych wartości parametrów α i m i zamiezczono w pracy [6].

14 452 A. Szychowki Ry. 10. Porównanie wykreów wpółczynnika k dla α = 10 4, prężyście zamocowanej (ε = 1, κ=0.33) płyty wpornikowej przy nieliniowym rozkładzie naprężeń, m 2 = 0; 0.25; 0.5; 0.75 i 1 Fig. 10. Comparion of the coefficient k plot for α = 10 4, for the elatically retrained (ε = 1, κ=0.33) cantilever plate, auming non-linear tre ditribution, for m 2 = 0; 0.25; 0.5; 0.75; and 1 Ry. 11. Porównanie wykreów wpółczynnika k dla prężyście zamocowanej (ε = 5, κ = 0.714) płyty wpornikowej przy nieliniowym rozkładzie naprężeń (m 2 = 1) dla różnych wartości α Fig. 11. Comparion of the coefficient k plot for the elatically retrained (ε = 5, κ = 0.714) cantilever plate, auming non-linear tre ditribution (m 2 = 1) and different value of α Na ryunku 11. porównano wpółczynniki k dla prężyście zamocowanej (ε=5, κ=0.714) płyty wpornikowej przy nieliniowym rozkładzie naprężeń w kierunku podłużnym (m 2 =1) oraz różnych (liniowych) rozkładach w kierunku poprzecznym (α = 0; -1; 10 4 ; 3; 2) w funkcji γ. W tym przypadku, wraz ze zmniejzaniem ię trefy naprężeń ścikających (w tounku do przypadku α =0) naprężenia krytyczne roną.

15 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej Przypadek tałego rozkładu naprężeń na długości płyty W przypadku tałego rozkładu naprężeń (m i =0) wykrey wpółczynników wyboczeniowych mają potać krzywych girlandowych (por.ry.9 i ry.10). Dla płyt, których długość jet wielokrotnością l cr wg (4) otrzymuje ię k=k min. Stąd dla długich płyt (ścianek przekroju) wpółczynnik wyboczeniowy zybko dąży do wartości minimalnej (k =k min ). W praktyce projektowej przyjmuje ię z reguły wartość minimalną k min dla danego chematu tatycznego i poobu obciążenia płyty, (np. k = 0.43 dla wobodnie podpartej i równomiernie ścikanej płyty wpornikowej lub k = 4 dla tak amo obciążonej płyty przęłowej [15]). W niniejzej pracy na podtawie obliczeń wykonanych programem Ncr_ płyta_w-pręż-(3).nb, wyznaczono wartości wpółczynników k min (dla m i =0) i wyprowadzono formuły aprokymacyjne dla przypadków mimośrodowego ścikania (por.ry.2.) w funkcji wkaźnika κ. Wzory wyprowadzono przy założeniu rozbicia ich ważności na dwa przedziały zmienności wkaźnika κ i w takiej formie zamiezczono w tabeli 2. W kolumnie 1 podano wartości parametru α wg wzoru (7), (por.ry.2), w kol. 2 wpółczynniki k dla przypadku κ=0, w kol. 4 wpółczynniki k dla przypadku κ = 0.05, a w kol. 5 wzór aprokymacyjny wpółczynnika k w funkcji κ w przedziale 0.05 κ 1. Natomiat w przedziale 0 κ 0.05 można toować interpolację liniową. Tabela 2. Wpółczynniki wyboczeniowe k min dla α wg ry.2. przy m i = 0 Table 2. Buckling coefficient k min for α according to Fig.2. by m i = 0 α κ = 0 0<κ<0.05 κ = < κ < Interpolacja liniowa Dla porównania, w pierwzym wierzu tabeli 2. podano przypadek równomiernie ścikanej płyty wpornikowej. Uwaga: bardziej rozbudowaną potać wzoru dla α =0, ale obowiązującą już w całym przedziale 0 κ 1 podano w pracy [8].

16 454 A. Szychowki 7. Ozacowanie wpółczynnika k przy wzdłużnej zmienności naprężeń dla γ = 8 50 Na ryunkach 3 do 11 pokazano wykrey wpółczynników k w przedziale γ = Na podtawie obliczeń wykonanych programem Ncr_płyta_w-pręż- (3).nb oraz tetów wykonanych wzorami aprokymacyjnymi wyprowadzonymi w pracy [8] dla α =0 twierdzono, że w przedziale γ = 8 50 wpółczynnik k γ można ozacować z natępującej formuły przybliżonej: k 8 kmin k kmin (15) 1764 gdzie: k min wpółczynnik obliczony dla danego chematu obciążenia i wartości wkaźnika κ wg tabeli 2, k 8 - wpółczynnik dla γ = 8 odczytany z odpowiedniego wykreu (ry. 3 do 11 lub z wykreów zamiezczonych w pracy [6]). Makymalne różnice wpółczynnika k γ ozacowanego wg wzoru (15) w tounku do wartości wyznaczonych w/w programem nie przekroczyły +2.5% w przedziale 10<γ <20 oraz -5% w przedziale 40<γ <50. Oczywiście przy założeniu możliwie dokładnego odczytania wartości k 8 z odpowiedniego wykreu. W przypadku płyt długich γ > 50 wpływ wzdłużnej zmienności naprężeń na wartość wpółczynnika k jet niewielki (poniżej 5%) i z technicznego punktu widzenia można w tym przedziale przyjmować k=k min wg tabeli Przykład obliczeniowy Zatoowanie pokazanych w pracy wykreów oraz wyprowadzonych wzorów aprokymacyjnych (tabela 2, wzór (15)) pokazano na przykładzie. Przykład. Dana jet płyta wpornikowa (ścianka przekroju cienkościennego) o wymiarach i rozkładzie naprężeń wg ry.12. Wyznaczyć naprężenie krytyczne przy liniowym, na długości płyty, rozkładzie naprężeń dla m 1 =1. Dane: κ=0.333; γ =1400/100 = 14; E = 210 GPa; ν = 0.3; Naprężenia Eulera dla płyty [15]: σ E = * (3/100) 2 = 171 MPa, wpółczynnik poprzecznego rozkładu naprężeń: α = 1 (120/( 60)) = 3. Ponieważ dla γ =14 nie dyponujemy wykreem wpółczynnika k, tad do jego ozacowania wykorzytamy formułę (15), (oczywiście wartość ściłą k możemy wyznaczyć programem Ncr_płyta_w-pręż-(3).nb, przy zwiękzeniu wartości parametru i o ).

17 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej Ry. 12. Schemat tatyczny ścianki (płyty) Fig. 12. The tatic cheme of the thin-wall (plate) Z tabeli 2. dla α =3 i κ=0.333 obliczono wpółczynnik: k min = * * * =1.17 ; Natępnie z ry.3. (α = 3, krzywa 5, por. tabela 1.) dla γ =8 odczytano k 8 1.4; tąd ze wzoru (15) otrzymano: k 14 =1.17+( ) * ( * )/ (wartość ściła wyznaczona programem dla i o =20 wynioła k = 1.35). Dla porównania, wpółczynnik wyboczeniowy wyznaczony wg normy [15] (tabl. 4.2, ψ = 0.5) przy pominięciu warunków prężytego zamocowania oraz wzdłużnej zmienności naprężeń wyniół k EC3 =0.69; Krawędziowe naprężenie krytyczne wynioło: σ cr =1.34 * 171=229 MPa i jet więkze od naprężenia wyznaczonego wg [15]: σ cr =0.69 * 171=118 MPa o 94%. 9. Podumowanie Uwzględnienie prężytego zamocowania krawędzi płyty (ścianki) wpornikowej w egmencie pręta cienkościennego oraz poprzecznej i wzdłużnej zmienności naprężeń prowadzi do precyzyjniejzego wyznaczenia naprężeń krytycznych wyboczenia lokalnego. Poprawia to dokładność odwzorowania zachowania ię elementu cienkościennego w inżynierkim modelu obliczeniowym, co jet naturalnym kierunkiem rozwoju wpółczenych metod projektowania. Pozwala to także na lepzą ocenę dokrytycznego zakreu pracy przekroju cienkościennego [7], w którym ważna jet teoria Właowa [10], oraz dokładniejze wyznaczenie zerokości wpółpracujących różnie obciążonych ścianek wpornikowych. Funkcja ugięcia potaci zeregu wielomianowo inuowego (5) umożliwia aprokymację potaci wyboczenia mimośrodowo ścikanej płyty wpornikowej przy wzdłużnej zmienności naprężeń oraz modelowanie warunków brzegowych jej prężytego zamocowania przeciw obrotowi. W przypadku wzdłużnej zmienności naprężeń (m i >0) wykrey wpółczynnika k nie maja charakteru krzywych girlandowych i ich zbieżność do k min jet znacznie wolniejza niż w przypadku m i =0, co może być wykorzytane

18 456 A. Szychowki w modelu obliczeniowym. Ze wzrotem wartości wpółczynnika ε wg wzoru (1) oraz wkaźnika κ wg wzoru (2) oraz wzrotem wartości parametru m i wg (10) roną wpółczynniki naprężeń krytycznych płyt (ścianek) wpornikowych. Mniejze wpółczynniki k przy tych amych wartościach parametrów κ, α, m i oraz γ uzykano dla nieliniowego rozkładu naprężeń (np. por.ry.3. krzywa 8 z ry.11. dla α =3). Wyprowadzone w pracy wzory aprokymacyjne zamiezczone w tabeli 2 oraz wykrey wpółczynników k dla m i =1 umożliwiają ozacowanie naprężeń krytycznych dla wartości pośrednich 0<m i <1 na podtawie interpolacji liniowej. Uzykane w ten poób wartości ą mniejze od wyliczonych programem Ncr_płyta_w-pręż-(3).nb. W przypadku płyt długich (ścianek nie użebrowanych elementów cienkościennych) wpółczynnik k można ozacować ze wzoru (15). Ze znaczącym wzrotem długości płyty (np. γ >50) maleje wpływ wzdłużnej zmienności naprężeń. W takim przypadku wpółczynnik k można ozacować wg tabeli 2 w zależności od poprzecznego rozkładu naprężeń. Literatura [1] Bulon P.S. The Stability of Flat Plate. Chatto and Windu. London [2] Jakubowki S. Macierzowa analiza tateczności i drgań włanych ścian dźwigarów cienkościennych. Archiwum Budowy Mazyn (1986), Tom XXXIII, Z.4, [3] Li L-y., Chen J-k. An analytical model for analyzing ditortional buckling of coldformed teel ection. Thin-Walled Structure 46 (2008) [4] Rykaluk K. Pozotające naprężenia pawalnicze w wybranych tanach granicznych nośności. Prace Naukowe Intytutu Budownictwa Politechniki Wrocławkiej, 29, eria: Monografie 11, Wrocław [5] Szychowki A. The tability of eccentrically compreed thin plate with a longitudinal free edge and with tre variation in the longitudinal direction. Thin-Walled Structure 2008, 46(5): [6] Szychowki A. Lokalne wyboczenie ścianki wpornikowej elementu cienkościennego przy wzdłużnej i poprzecznej zmienności naprężeń, Materiały 59 Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB, Lublin - Krynica 2013 (wyłano do czaopima Budownictwo i Architektura). [7] Szychowki A. A theoretical analyi of the local buckling in thin-walled bar with open cro-ection ubjected to warping torion, Thin-Walled Structure 76 (2014) [8] Szychowki A. Stability of cantilever wall of teel thin-walled bar with open cro-ection. Thin-Walled Structure 94 (2015): [9] Timohenko S.P., Gere J.M. Theory of Elatic Stability. Part II. McGraw-Hill, New York, N.Y [10] Vlaow V.Z. Thin-Walled Elatic Beam. Irael Program for Scientific Tranlation, Jerualem, [11] Wolfram S. Mathematica. Cambridge Univerity Pre.

19 Stateczność mimośrodowo ścikanej ścianki wpornikowej [12] Yu C., Schafer BW. Effect of longitudinal tre gradient on elatic buckling of thin plate. J Eng Mech ASCE 2007;133(4); [13] PN-EN Eurokod 3. Projektowanie kontrukcji talowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. [14] PN-EN Eurokod 3. Projektowanie kontrukcji talowych. Część 1-3: Reguły uzupełniające dla kontrukcji z kztałtowników i blach profilowanych na zimno. [15] PN-EN Eurokod 3. Projektowanie kontrukcji talowych. Część 1-5: Blachownice. STABILITY OF ECCENTRICALLY COMPRESSED CANTILEVER WALL OF A THIN-WALLED MEMBER S u m m a r y The paper preent the reult of invetigation into the tability of eccentrically compreed cantilever wall contituting component of thin-walled member. The characteritic of uch wall include high lenderne and uceptibility to local tability lo. To olve the problem, a model of a thin cantilever plate wa ued. The deflection function wa written in the form of the polynomial ine erie. The condition of elatic retraint againt rotation and different tre ditribution (in accordance with a contant function, linear function and the parabola 2 0 ) over the length of the member were accounted for. The critical tre wa referred to the edge that wa mot compreed for a given load cae. The buckling coefficient k were determined uing the energy method. The plot of the coefficient k were preented for thoe load cheme that were not found in the literature. Approximation formula for the coefficient k were derived for tre ditribution that wa contant over the plate length. In the formula, different cae of eccentric compreion were accounted for in the form of a function of the elatic fixity index. The mean of etimating the coefficient k for intermediate parameter value were dicued. Alo, a imple approximation formula for long cantilever plate wa preented. The ue of approximation formula wa demontrated on the computational example. It wa concluded that taking into account the elatic retraint of the edge of the cantilever wall (plate) in the thin-walled bar egment, and alo the tranvere and longitudinal tre variation give more precie determination of the critical tre in local buckling. That contribute to improvement in the repreentation of the thin-walled element behaviour in the computational engineering model. The critical tre determined in the way decribed in the tudy can alo help to more accurately determine of effective width of cantilever wall which are under different load. Keyword: thin-walled bar, open ection, cantilever plate, elatic retraint, longitudinal tre variation Przełano do redakcji: Przyjęto do druku: DOI: /rb