METODY ANALIZY DANYCH PRZESTRZENNYCH W BADANIACH ODCHY EK GEOMETRYCZNYCH WYZNACZANYCH W POMIARACH WSPÓ RZ DNO CIOWYCH POWIERZCHNI SWOBODNYCH

Transkrypt

1 K O M I S J A B U D O W Y M A S Z Y N P A N O D D Z I A W P O Z N A N I U Vol. 9 r Archiwum Techologii Maszy i Automatyzacji 009 MAGORZATA PONIATOWSKA * METODY ANALIZY DANYCH PRZESTRZENNYCH W BADANIACH ODCHYEK GEOMETRYCZNYCH WYZNACZANYCH W POMIARACH WSPÓRZDNOCIOWYCH POWIERZCHNI SWOBODNYCH Pomiary wspórzdociowe s ródem cyfrowych daych w postaci wspórzdych puktów pomiarowych o dyskretym rozkadzie a mierzoej powierzchi. Odchyki geometrycze powierzchi swobodych wyzacza si w kadym pukcie jako odchyki ormale tych puktów od powierzchi omialej (modelu CAD). Róe przyczyy bdów w procesie wytwarzaia prowadz do powstawaia odchyek o odmieym charakterze, determiistyczym i losowym. Udzia zjawisk losowych w odchykach geometryczych powierzchi zaley od rodzaju obróbki. W artykule zapropoowao stosowaie metod aalizy daych przestrzeych do bada losowoci odchyek geometryczych powierzchi swobodych, polegajce a testowaiu ich przestrzeej autokorelacji. Sowa kluczowe: pomiary wspórzdociowe, powierzchia swoboda, odchyki geometrycze, przestrzea autokorelacja 1. WPROWADZENIE Wspórzdociowa techika pomiarowa polega a okrelaiu wartoci wspórzdych puktów pomiarowych lokalizowaych a powierzchi przedmiotu. W wyiku pomiaru otrzymuje si zbiór daych dyskretych w postaci wspórzdych puktów pomiarowych. Z puktu widzeia techik CAD/CAM ajwaiejsz cech pomiarów wspórzdociowych jest dostarczaie daych o geometrii przedmiotu w postaci cyfrowej. W pomiarach wspórzdociowych typowych czci maszy, opisaych za pomoc prostych figur geometryczych, wykorzystuje si wbudowae w oprogramowaia makroistrukcje; a podstawie wspórzdych puktów pomiarowych wyzaczae s skojarzoe elemety geometrycze, a astpie ich wy- * Dr i. Katedra Iyierii Materiaowej i Techologii Maszy Politechiki Biaostockiej. Praca aukowa fiasowaa przez MNiSW ze rodków a auk w latach jako projekt badawczy N N

2 64 M. Poiatowska miary oraz odchyki ksztatu i pooeia. Kotrola dokadoci sprowadza si do porówaia wyzaczoych wymiarów z daymi zawartymi a rysukach kostrukcyjych. Dla zapewieia fukcjoaloci, ergoomii i estetyki wyrobów czsto projektuje si czci maszy zooe z powierzchi swobodych 3D. Tego typu czci s uksztatowae przez powierzchie, których ie da si opisa prostymi rówaiami matematyczymi. W projektowaiu, wytwarzaiu i pomiarach powierzchi swobodych wykorzystuje si techiki CAD/CAM. Kotrola dokadoci polega a digitalizacji badaego obiektu (pomiar wspórzdociowy metod skaigu wedug regularej siatki puktów), a astpie a porówaiu otrzymaych wspórzdych puktów pomiarowych z projektem (modelem) CAD. Wartoci odchyek geometryczych powierzchi swobodej, czyli ormale odchyki puktów pomiarowych od powierzchi omialej, moa obliczy, wyzaczajc uprzedio skadowe bdów w kierukach X, Y, Z [6]. Za pomoc oprogramowaia wspórzdociowych maszy pomiarowych wykouje si automatyczie takie obliczeia dla kadego puktu pomiarowego w opcji skaowaia UV, przezaczoej do skaowaia a podstawie modelu CAD (UV kieruki parametryzacji powierzchi B-sklejaej). Wyiki kotroli dokado- ci wykoaia moa przedstawi w postaci przestrzeego wykresu. Odchyki geometrycze w kadym pukcie pomiarowym s skutkiem oddziaywaia róych przyczy, zarówo o charakterze zdetermiowaym jak i losowym. Odchyki zdetermiowae s przestrzeie skorelowae, brak przestrzeej korelacji ozacza ich losowo. Do bada autokorelacji odchyek powierzchi swobodych w ujciu przestrzeym aley stosowa metody aalizy daych przestrzeych. Statystyka przestrzea, propoowae w iej metody umoliwiaj ilociowy opis przestrzeych powiza daych.. CHARAKTERYSTYKA ODCHYEK GEOMETRYCZNYCH POWIERZCHNI Odchyki geometrycze powierzchi s spowodowae wieloma czyikami. lady a powierzchi s spowodowae róymi bdami w procesie wytwarzaia. Odchyki geometrycze s czym skutkiem tych bdów. Na przykad, bdy frezowaia wykaczajcego mog by podzieloe a trzy skadowe: odchyki ksztatu, falisto i chropowato. Skadowe zwizae z odchykami ksztatu i falistoci s aooymi a powierzchi omial ieregularo- ciami powierzchi dajcymi w efekcie gadk powierzchi. Skadowa zwizaa ze zjawiskami losowymi, m.i. chropowatoci powierzchi, to ieregularo- ci o duej czstotliwoci. Powierzchia rzeczywista to wyik aoeia falisto- ci i chropowatoci a powierzchi omial. Udzia zjawisk losowych w odchykach geometryczych powierzchi zaley od rodzaju obróbki. Dae lite-

3 Metody aalizy daych przestrzeych w badaiach odchyek geometryczych raturowe i badaia wase wskazuj, e po wykaczajcej obróbce frezowaiem przypadkowe odchyki geometrycze powierzchi maj wiksze wartoci i odchyki zdetermiowae [3, 4]. Przyczyami odchyek ksztatu s m.i. odchyki prowadic obrabiarki, odksztaceia obrabiaego przedmiotu lub elemetów obrabiarki, ieprawidowe zamocowaie. Falisto powierzchi powoduj m.i. odchyki geometrycze lub odchyki ruchu arzdzia, drgaia obrabiarki lub arzdzia. Chropowato jest spowodowaa ksztatem ostrza arzdzia oraz posuwem wzduym lub wgbym arzdzia, a take drgaiami a styku przedmiot arzdzie. W pomiarach wspórzdociowych okrela si wspórzde skoczoej liczby puktów a powierzchi elemetu. Celem tych pomiarów jest wyzaczeie gadkiej powierzchi aooej a powierzchi omial. Jedak w procesie pomiarowym skadowa losowa akada si a skadow zdetermiowa. W kosekwecji przestrzee wspórzde zebrae w kadym pukcie pomiarowym zawieraj dwie odrbe skadowe. Skadowa zwizaa z odchykami zdetermiowaymi reprezetuje tred gadkiej powierzchi i jest przestrzeie skorelowaa. Natomiast skadowa losowa jest sabo skorelowaa i jest uwaaa za przestrzeie losow. Powierzchia zbudowaa z puktów pomiarowych jest wic bardziej zooa i powierzchia omiala. Odchyki geometrycze powierzchi maj wic charakter mieszay, zarówo co do wartoci jak i co do przestrzeego rozkadu. Jeli obserwacja rozkadu przestrzeego daych wykazuje systematycz zmieo, a graficze odzwierciedleie wartoci a mapie daje swoisty wzór, mówi si o ich przestrzeej autokorelacji, o przewadze zjawisk zdetermiowaych ad losowymi. W przeciwym razie ieuporzdkoway rozkad odchyek wskazuje a przewag wpywów przestrzeie losowych. Na rysukach i 3 zamieszczoo przestrzey rozkad, a a rys. 5 map wyzaczoych odchyek geometryczych powierzchi przedmiotu ze stopu alumiium (zaprezetowaego a rys. 1) w odiesieiu do omialych wspórzdych x i y. Zastosowao obróbk wykaczajc frezowaiem: frez kulisty o redicy 6 mm, prdko obrotowa wrzecioa 7500 obr/mi, posuw roboczy 300 mm/mi oraz dwustro obróbk metod wierszowaia w paszczyie XY. Pomiary wykoao a wspórzdociowej maszyie pomiarowej Mistral Stadard Brow&Sharpe. Wykorzystao gowic pomiarow TP00 z trzpieiem pomiarowym dugoci 0 mm, zakoczoym kulist kocówk pomiarow o redicy mm. Powierzchi o wymiarach podstawy mm skaowao metod UV i otrzymao 500 rówomierie rozmieszczoych puktów pomiarowych (50 wierszy i 50 kolum).

4 66 M. Poiatowska Rys. 1. Model CAD powierzchi przedmiotu Fig. 1. Model CAD of the surface Moa zaobserwowa, e pukty pomiarowe zawieraj zarówo skadowe przestrzeie zdetermiowae, jak i losowe (rys. i 3). Badaie losowoci wartoci otrzymaych odchyek, ieuwzgldiajce przestrzeych powiza, wykazao, e dae podlegaj ormalemu rozkadowi prawdopodobiestwa, co ilustruje rys. 4. Dae uzyskae w pomiarach powierzchi swobodych maj charakter 3D, aaliza ograiczoa do wartoci odchyek ie daje wielu iformacji. Dla wioskowaia o przebiegu obróbki a frezarkach wieloosiowych bardzo cee s iformacje o przestrzeym rozkadzie odchyek. Z [mm] 0,000-0,005-0,010-0,015-0,0 0-0, Y [mm] 0-0,05-0,00-0,015-0,010-0,005 0, X [m m ] Rys.. Wartoci odchyek geometryczych w odiesieiu do paszczyzy XY Fig.. Geometric deviatios versus XY plae

5 Metody aalizy daych przestrzeych w badaiach odchyek geometryczych Z [mm] -0, ,0 1-0, , , ,0 0 Y [mm] ,0 0-0, , , ,0 1-0, X [m m ] Rys. 3. Wybray fragmet wykresu z rys. w powikszeiu Fig. 3. Elarged selected sector of the plot i Fig Liczba obs ,06-0,01-0,016-0,011-0,007-0,00 0,003-0,04-0,019-0,014-0,009-0,004 0,001 mm Rys. 4. Histogram odchyek geometryczych powierzchi Fig. 4. Histogram of geometric deviatios Przestrzey rozkad odchyek w odiesieiu do paszczyzy XY ajatwiej moa obserwowa a barwej mapie (rys. 5). W tym przypadku w odiesieiu do losowych wartoci wykres wskazuje a przewag przestrzeej struktury zdetermiowaej. Niemoliwe jest jedak podjcie jedozaczej decyzji bez zastosowaia odpowiedich metod ujmujcych ilociowo przestrzee zwizki daych. Takie moliwoci daje statystyka przestrzea i zwizae z i metody aalizy daych przestrzeych.

6 68 M. Poiatowska Y [mm] ,05-0,00-0,015-0,010-0,005 0, X [mm] Rys. 5. Mapa odchyek geometryczych powierzchi Fig. 5. Map of geometric deviatios 3. METODY BADA PRZESTRZENNEJ AUTOKORELACJI DANYCH Przestrzea autokorelacja daych odosi si do systematyczych zmia przestrzeych. W ujciu ogólym dodatia autokorelacja ozacza, e obserwowae wartoci cech w wybraym regioie s podobiejsze do cech regioów ssiedich, i wyikaoby to z losowego rozmieszczeia tych wartoci. Ujema autokorelacja przestrzea wartoci w regioach ssiedich ozacza, e s oe róe bardziej, i wyikaoby to z ich rozoeia losowego. Brak autokorelacji przestrzeej ozacza przestrze losowo. Wartoci obserwowae w daym obszarze ie zale od wartoci obserwowaych w obszarach ssiedich, a obserwoway wzorzec przestrzey jest tak samo prawdopodoby jak kady iy wzorzec przestrzey. Do testowaia istieia zaleoci przestrzeej wykorzystuje si statystyki globale i lokale Moraa i Geary ego dla daej zmieej. Zasig efektów przestrzeych moe by baday przez aaliz opóieia w procesie przestrzeym, a struktura zaleoci przestrzeej przez testowaie i wybór macierzy wag, defiiowaych wedug róych kryteriów [1, ]. Z daych literaturowych wyika, e czciej wykorzystuje si statystyk I Moraa, która moe by stosowaa do aalizy daych przestrzeych zarówo

7 Metody aalizy daych przestrzeych w badaiach odchyek geometryczych o rozkadach ormalych, jak i ieokreloych rozkadach prawdopodobiestwa [1, ]. Adaptujc metody statystyki przestrzeej stosowae w badaiach przestrzeej autokorelacji do bada odchyek geometryczych, aley wyzaczy: i odchyki geometrycze w kadym pukcie pomiarowym, redi arytmetycz odchyek geometryczych w puktach pomiarowych, w ij wspóczyiki wag, elemety macierzy wag bdce miar przestrzeej relacji midzy i i j. Macierz wag przestrzeych defiiuje struktur przestrzeego ssiedztwa. Pozwala mierzy przestrzee powizaia, jest kostruowaa w celu specyfikacji przestrzeej zaleoci. Przyjmuje si jed z moliwych struktur zaleo- ci, p. ssiedztwo wedug wspólej graicy, ssiedztwo w przyjtym promieiu czy odwrotoci odlegoci. Do bada odchyek geometryczych ajbardziej odpowiedie jest uzaleieie przestrzeej relacji od odlegoci midzy puktami pomiarowymi, a w szczególoci od odwrotoci odlegoci. W wyiku skaowaia otrzymujemy wspórzde (oraz odchyki geometrycze) puktów rozmieszczoych a powierzchi wedug regularej siatki. Odlego midzy puktami i i j, zgodie z miar euklidesow, opisuje wzór: d ij 1 x x y y, (1) i j gdzie: x i, y i wspórzde puktu i, x j, y j wspórzde puktu j, d ij odlego midzy puktami pomiarowymi i i j. Jeli przyjmiemy, e zaleo midzy wartociami odchyek w puktach i i j maleje ze wzrostem odlegoci, relacj t moemy wyrazi astpujco: k i j w ij d ij, () gdzie: w ij = 0 dla i = j, k staa (k 1). Wspóczyik przestrzeej autokorelacji ma posta: gdzie I w ij i1 j 1 0 i1 S i i j, (3) S 0 w ij j i1 j1 i.

8 70 M. Poiatowska Statystyka I Moraa ma rozkad asymptotyczie ormaly (dla ). W dalszej kolejoci, po wyzaczeiu wspóczyika I, aley zweryfikowa hipotez zerow o braku przestrzeej autokorelacji a zaooym poziomie ufoci [5]. Momety rozkadu moa wyzaczy przy zaoeiu, e odchyki pochodz z populacji o rozkadzie ormalym oraz z populacji o ieokreloym (radomizowaym) rozkadzie prawdopodobiestwa. Przyjmujc radomizoway rozkad prawdopodobiestwa dla odchyek geometryczych, warto oczekiwa E(I) i wariacj var(i) oblicza si ze wzorów [1, 5]: gdzie: 3 3S S 3S b 1 S 1 EI, (4) 1 var( I ) 6S , S 1 1 S b, 1 w ij w ji i1 j1 w i (.) w(.) j, i1 S S i j, w i (.) w ij, w (.) j w ji. j i Warto oczekiwaa (4) statystyki I Moraa (3) jest bliska 0, co moa iterpretowa jako losowo [1,, 5]. Weryfikacja hipotezy o braku przestrzeej autokorelacji (losowoci) badaej próbki odchyek geometryczych przebiega wedug astpujcego plau: 1. Postawieie hipotezy zerowej H 0 : odchyki geometrycze ie s przestrzeie skorelowae. Hipoteza alteratywa H 1 : odchyki geometrycze s przestrzeie skorelowae.. Przyjcie poziomu istotoci, czyli prawdopodobiestwa odrzuceia hipotezy zerowej, gdy jest prawdziwa. z I p E I / var I, I p wspóczyik 3. Obliczeie statystyki testowej obliczoy z próby, momety rozkadu obliczoe ze wzorów (4) i (5). 1 (5)

9 Metody aalizy daych przestrzeych w badaiach odchyek geometryczych Wyzaczeie graiczej wartoci statystyki z g dla przyjtego poziomu; gdy warto statystyki testowej z < z g, brak jest podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej i przyjmujemy wówczas hipotez zerow; w przeciwym razie hipotez alteratyw. W badaiach odchyek geometryczych przyjcie hipotezy zerowej ozacza przestrze losowo badaej próby odchyek. 4. PODSUMOWANIE Do bada odchyek geometryczych powierzchi swobodych ajodpowiediejsze s metody aalizy daych przestrzeych, gdy pozwalaj oe uzyska iformacje o przestrzeej zaleoci midzy wartociami odchyek w poszczególych puktach pomiarowych. Iformacje o dokadoci wykoaia powierzchi s istote zarówo ze wzgldu a waciwoci tej powierzchi, jak i proces techologiczy. Metody te moa wykorzysta do bada surowych daych, czyli otrzymaych bezporedio z pomiarów, jak rówie do bada reszt powierzchiowych modeli regresji w badaiach adekwatoci modeli. Wykrycie dodatiej korelacji przestrzeej dowodzi istieia systematyczych bdów obróbki, charakter bdów pozwala a okreleie ich wartoci, a astpie elimiacj przez usuicie róde bdów czy korekcj programu obróbkowego. LITERATURA [1] Cliff A. D., Ord J. K., Spatial Processes, Lodo, Pio Ltd [] Kopczewska K., Ekoometria i statystyka przestrzea, Warszawa, CeDeWu 007. [3] Poiatowska M., Characteristics of geometric errors determied usig discrete measuremet data, Archiwum Techologii Maszy i Automatyzacji, 008, vol. 8, o., s [4] Poiatowska M., Determiig the ucertaity of fittig discrete measuremet data to a omial surface, Metrology ad Measuremet Systems, 008, vol. 15, o. 4, s [5] Upto G. J. G., Figleto B., Spatial Data Aalysis by Example, vol. 1, New York, Wiley [6] Werer A., Poiatowska M., Determiig errors i complex surfaces machiig with the use of CNC machie tools, Archiwum Techologii Maszy i Automatyzacji, 006, vol. 6, o., s Praca wpya do Redakcji Recezet: prof. dr i. Eugeiusz Ratajczyk

10 7 M. Poiatowska METHODS OF SPATIAL DATA ANALYSIS IN RESEARCH ON GEOMETRIC DEVIATIONS DETERMINED IN COORDINATE MEASUREMENTS OF FREEFORM SURFACES S u m m a r y Coordiate measuremets are the source of digital data i the form of coordiates of the measuremet poits of a discrete distributio o the measured surface. The geometric deviatios of freeform surfaces are determied at each poit as ormal deviatios of these poits from the omial surface (the CAD model). Differet sources of errors i the productio process result i deviatios of differet character, determiistic ad radom. The cotributio of radom pheomea o the surface depeds o the type of processig. The article suggests applyig the methods of aalysis of spatial data i research o the geometric deviatios radomess of freeform surfaces, cosistig i testig their spatial autocorrelatio. Key words: coordiate measuremets, freeform surface, geometric deviatios, spatial autocorrelatio