Teoria grafów i sieci

Transkrypt

1 Teoria grafów i sieci Monika Bartkiewicz 1 / 8

2 Porównanie grafów dokªadne porównywanie grafów - izomorzm przybli»one porównywanie grafów - wspóªcze±nie stosowane metody maj najcz ±ciej zªo»ono± czasow rz du O(n 3 ), która znacznie utrudnia analiz grafów o liczbie wierzchoªków wi kszej ni» / 8

3 Odlegªo± pomi dzy dwoma wierzchoªkami v i u w grae jest wyra»ona jako dªugo± najkrótszej ±cie»ki pomi dzy nimi. 3 / 8

4 Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 b c 1 u V a b c d e s[u] e 3 d Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 4 / 8

5 Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 b c 1 u V a b c d e s[u] e 3 d Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 5 / 8

6 Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 e b d c 1 u V a b c d e s[u] graf ma jedno centrum, w wierzchoªku e Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 6 / 8

7 Centrum w grae Ekscentryczno±ci wierzchoªka u nazywamy najwi ksz dªugo± najkrótszej ±cie»ki wychodz cej z wierzchoªka u s[u] = max v V δuv gdzie δ uv jest dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki od u do v. a 4 e b d c 1 u V a b c d e s[u] graf ma jedno centrum, w wierzchoªku e Centrum spójnego grafu G, to taki wierzchoªek v, dla którego s[v] jest mo»liwie najmniejsza(o najni»szej ekscentryczno±ci). 7 / 8

8 Centrum w grae Graf spójny mo»e posiada kilka wierzchoªków, które s centrami grafu. a 7 4 b c u V a b c d e s[u] e 4 d 8 / 8

9 Centrum w grae Graf spójny mo»e posiada kilka wierzchoªków, które s centrami grafu. a 7 4 e b d c u V a b c d e s[u] graf ma centra w wierzchoªkach b, c i e 9 / 8

12 Promie«i ±rednica grafu rednic grafu D(G) nazywamy liczb D(G) = max v V s[v] a 4 b c 1 Promieniem R(G) nazywamy liczb e 3 d R(G) = min v V s[v] u V a b c d e s[u] ±rednica wynosi D(G) = max v V s[v] = 4 promie«wynosi R(G) = min v V s[v] = 1 / 8

13 Algorytm znajdowania centrum grafu Center(G) 1 A wyznaczona przez alg.floyda-warshalla - O(n 3 ) wyznaczanie najdªu»szej ±cie»ki 3 for i 1 to n 4 do 5 s[i] 0 6 for j 1 to n 7 do 8 if (i! = j) and (A[i][j] > s[i]) 9 then 10 s[i] A[i][j] 11 min z najdªu»szych ±cie»ek 1 centrum 1 13 for i 1 to n 14 do 15 if (s[i] < s[centrum]) 16 then 17 centrum i a 7 4 e b A = d c u V a b c d e s[u] / 8

19 Algorytm znajdowania centrum grafu 5 5 b c d a e f g k 4 j i h 19 / 8

20 Algorytm znajdowania centrum grafu A = 5 5 b c d a e f g k 4 j i h Warto±ci tablicy s a 15 b 13 c 14 d 19 e 13 f 11 g 14 h 15 i 13 j 15 k 19 0 / 8

22 Algorytm znajdowania centrum grafu A = 5 5 b c d a e f g k 4 j i h Warto±ci tablicy s a 15 b 13 c 14 d 19 e 13 f 11 g 14 h 15 i 13 j 15 k 19 / 8

24 Centrum w drzewie Ka»de drzewo ma albo dokªadnie jedno centrum, albo dwa s siednie centra. a 3 b 3 b b 5 a a 4 b 4 a 1 b 1 4 / 8

25 Centrum w drzewie Ka»de drzewo ma albo dokªadnie jedno centrum, albo dwa s siednie centra. a 3 b 3 b b 5 a a 4 b 4 a 1 b 1 5 / 8

26 redni dªugo±ci najkrótszej ±cie»ki w grae G = (V, E), V = n, wychodz c z wierzchoªka u nazywamy l(u) = 1 n 1 v V,v u δ uv redni dªugo±ci ±cie»ki l w grae G, nazywamy l = l(g) = 1 n u V l(u) = 1 n n v V,v u Charakterystyczn dªugo±ci ±cie»ki w grae G nazywamy median l(g). δ uv 6 / 8

27 Przykªad d 1 a f 1 1 b g c e Centrum to wierzchoªek g. s[u] l(u) l = 30 7 = 4.9 R(G) = 5 D(G) = 9 Charakterystyczna dªugo± ±cie»ki w grae wynosi / 8

28 Sieci rzeczywiste informacyjne w zeª publikacja naukowa strona WWW wyraz poª czenie cytowanie odno±nik zdanie 8 / 8

29 Sieci rzeczywiste Przykªady w zªów i poª cze«tworz cych sieci spoªeczne w zeª poª czenie biologiczne w zeª poª czenie osoba znajomo± neuron akson rma kontrakt, wspóªpraca proteina poª czenia lotnicze naukowiec wspólna publikacja skrzy»owanie reakcja zyczna komunikacyjne w zeª poª czenie stacja transformatorowa przewód wysokiego napi cia lotnisko poª czenia lotnicze skrzy»owanie tory numer telefonu poª czenie telefoniczne (rozmowa) 9 / 8

30 Miary strukturalne sieci -stopie«wierzchoªka Niech G b dzie sieci o n wierzchoªkach i m kraw dziach. Ponadto, niech k i, dla i = 1,,..., n oznacza stopnie kolejnych wierzchoªków grafu. Wówczas rednim stopniem wierzchoªka nazywamy n k = 1 n i=1 k i = m n b a c k = E n = 16 5 = 3, e d 30 / 8

31 Miary strukturalne sieci -stopie«wierzchoªka G sto±ci sieci ρ nazywamy ρ = ( m n ) = m n(n 1) = k n 1 31 / 8

32 Rozkªad stopni wierzchoªka Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. b a e d c k P(k) gdzie P(k) = 0 dla pozostaªych warto±ci k. 5 Przy badaniu sieci, bardzo cz sto korzystamy z rozkªadu stopni wierzchoªków, celem okre±lenia budowy struktury sieci. 3 / 8

33 33 / 8

34 Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e e d 34 / 8

38 Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e C a = Ea 3 = 3 = 3 e d 38 / 8

39 Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania wierzchoªka C i, to stosunek liczby E i istniej cych kraw dzi mi dzy s siadami wierzchoªka do wszystkich mo»liwych kraw dzi mi dzy tymi s siadami. Je»eli k i = deg(v i ) dla wszystkich wierzchoªków v i V, to liczba mo»liwych kraw dzi wynosi k i(k i 1) a wspóªczynnik gronowania wynosi gdzie 0 E i k i (k i 1)/ C i = E i k i (k i 1) a b c C a C b C c C d C e C a = Ea 3 = 3 = 3 zatem 0 C i 1 e d ba.exe 39 / 8

40 Wspóªczynnik gronowania Wspóªczynnik gronowania reprezentuje prawdopodobie«stwo istnienia bezpo±redniego poª czenia pomi dzy dwoma s siadami danego wierzchoªka. Wspóªczynnik gronowania dla grafu peªnego wynosi 1. a b c e d Wspóªczynnik gronowania dla sieci jest warto±ci C i u±rednion warto±ci, liczon po wszystkich w zªach. n i=1 C = C i = C i n Dla wielu du»ych sieci warto± wspóªczynnika gronowania C jest du»a. 40 / 8

44 Wspóªczynnik gronowania Sie Wspóªczynnik C WWW 0,1078 Internet na poziomie domen 0,18-0,3 Baza wspóªpracy naukowców 0,76 E. Coli, sie reakcji 0,59 Sie pokarmowa 0,15 Sie wspóªwyst powania wyrazów 0,77 Sie synonimów 0,7 Sie energetyczna 0,08 44 / 8

45 wiat sieci zªo»onych z internetem w tle Sie j zykowa zbudowana na podstawie pierwszych 34 wersetach Ksi gi Rodzaju. W zªami s sªowa w ich podstawowej formie, kraw d¹ reprezentuje fakt wyst pienia obu sªów jednocze±nie w co najmniej 3 zdaniach. C = / 8

46 wiat sieci zªo»onych z internetem w tle W sieciach rzeczywistych cz sto wyst puje korelacja, pomi dzy wysokim stopniem wierzchoªka i niskim wspóªczynnikiem gronowania. 46 / 8

47 Systemy zªo»one Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Systemy zªo»one, to systemy skªadaj ce si z du»ej liczby elementów, zdolnych do interakcji ze sob i ze swoim ±rodowiskiem. Interakcja pomi dzy elementami mo»e wyst pi pomi dzy najbli»szymi s siadami lub odlegªymi. Wspóln cech wszystkich zªo»onych systemów jest to,»e posiadaj one wªasn organizacj bez stosowania zewn trznych zasad organizacji. System zªo»ony nie jest sum prost jego cz ±ci. 47 / 8

48 Klasykacja modeli sieci zªo»onych Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 48 / 8

49 Klasykacja modeli sieci zªo»onych Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert sieci deterministyczne - opis modelu sieci nie zawiera»adnego elementu losowo±ci. Oznacza to,»e ewolucja sieci jest z góry przes dzona i zale»y wyª cznie od parametrów pocz tkowych. sieci przypadkowe - opis modelu uwzgl dnia czynnik losowy podczas ewolucji sieci. 49 / 8

50 Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 1959 Zaªo»enia modelu sieci powstaj w sposób losowy wykorzystano rachunek prawdopodobie«stwa do analizy sieci ka»dy w zeª miaª podobn liczb poª cze«z innymi w zªami (±rednia warto± stopnia wierzchoªka jest dobrze okre±lona) Graf losowy powstaje poprzez utworzenie losowych poª cze«pomi dzy danymi wierzchoªkami. 50 / 8

51 Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Oznaczmy, przez G(n, p) sie o n wierzchoªkach, dla której p oznacza prawdopodobie«stwo,»e istnieje kraw d¹ pomi dzy wierzchoªkami i i j. konstrukcja grafu ustalamy liczb w zªów sieci z zadanym prawdopodobie«stwem p, b dziemy przypisywa poª czenie ka»dej z ( n ) kraw dzi dla n = 16 i p = 1. 7 ( ) n 1 P(k) = p k (1 p) n 1 k k 51 / 8

52 Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert rozwa»ana sie zawiera ( ) n m = p kraw dzi. n(n 1) = p z lematu o u±ciskach dªoni (±redni stopie«wierzchoªka=warto± ±rednia rozkªadu dwumianowego) k = m n = p(n 1) 5 / 8

53 Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert rozkªad stopni jest rozkªadem dwumianowym ( ) n 1 P(k) = p k (1 p) n 1 k k gdy n, wówczas rozkªad dwumianowy mo»na przybli»y rozkªadem Poissona P(k) = e k k k k! gdzie k = pn wspóªczynnik gronowania dla grafu losowego C = C i = p 53 / 8

54 Model Erd sa - Rényi - klasyczny graf losowy Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert agatka/moodle/rys/er.swf 54 / 8

55 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Grafy losowe o zadanym rozkªadzie stopni w zªów Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. Konstrukcja grafu ustalamy liczb w zªów sieci ustalamy rozkªad k i = deg(v i ), dla i = 1,.., n, taki,»e suma n jest parzysta i=1 k i k = k kp(k) 55 / 8

56 Sie maªych ±wiatów Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert W 1967 ameryka«ski psycholog spoªeczny Stanley Milgram rozesªaª do kilkuset losowo wybranych ludzi z Nebraski i Kansas przesyªki z pro±b, by przekazali je dalej komu± ze swych znajomych, tak by mo»liwie najszybciej dotarªy do pewnej osoby mieszkaj cej w Bostonie. Milgram ±ledziª los przesyªek. Okazaªo si,»e ªa«cuch dziel cy osoby, które losowo wybraª, od celu, miaª ±rednio sze± ogniw. 56 / 8

57 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Sieci maªych ±wiatów - eksperyment Jure Leskoveca i Erica Horvitza W 007 Jure Leskovec i Eric Horvitz przeprowadzili eksperyment pry u»yciu 30 trylionów owych przesyªek do 40 millionów ludzi. rednia dªugo± ±cie»ki pomi dzy u»ytkownikami Microsoft Messenger wynosiªa / 8

58 Sieci maªych ±wiatów - stopie«bacona Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 58 / 8

59 Sie maªych ±wiatów Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Maªy ±wiat jest charakteryzowany przez ±redni dªugo± ±cie»ki w grae. l ln n ln k 59 / 8

60 Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Pytanie Czy sieci regularne s zjawiskiem cz stym? Watts i Strogatz zauwa»yli,»e sieci rzeczywiste nie s ani doskonale regularne, ani zupeªnie losowe. Model W-S opisuje procedury przej±cia od sieci regularnej, poprzez sie maªych ±wiatów do sieci losowej. 60 / 8

63 Model Watts'a i Strogatz'a - budowa Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert W modelu W-S, sieci zªo»one, mo»na budowa poprzez zastosowanie tzw. przekablowania (ang. rewiring) niektórych w zªów sieci(utworzenia skrótów). Prawdopodobie«stwo p oznacza,»e powi zania losowo wybranego w zªa sieci zostan zmienione (przekablowane). wybieramy losowo w zeª usuwamy jedno ª cze wybieramy kolejny w zeª(odlegªy) usuwamy jedno z poª cze«ª czymy oba wybrane w zªy procedur powtarzamy, a» do momentu, w którym modykacjami zostaªo obj tych p n w zªów 63 / 8

64 Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Mo»na zauwa»y,»e dla du»ego przedziaªu prawdopodobie«stw, w rozwa»anym modelu sie zachowuje wªasno±ci maªego ±wiata. Typowe cechy sieci maªego ±wiata C >> C losowy (du»o wi kszy) oraz l << l regularna 64 / 8

65 Model Watts'a i Strogatz'a Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Pytanie Czy sieci rzeczywiste mog by jednocze±nie rzadkie, silnie zgronowane i posiada efekt maªych ±wiatów?. Wspóªistnienie tych cech jest mo»liwe dzi ki istnieniu nielicznych dalekozasi gowych poª cze«, tzw. skrótów. wspóªczynnik ±rednia gronowania ±cie»ka sie regularna wysoki ro±nie wraz ze wzrostem liczby w zªów sie maªych ±wiatów wysoki zale»y logarytmicznie od N graf losowy bliski zeru zale»y logarytmicznie od N 65 / 8

68 Model Barabasi-Albert Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Réka Albert i Albert-László Barabási podj li jedn z pierwszych prób zbadania struktury sieci WWW zaprogramowali robota sieciowego, którego zadaniem byªo wej±cie na ka»d stron WWW w domenie Uniwersytetu Notre Dame w Indianie odnale¹ wszystkie odno±niki na tej stronie zapami ta liczb linków oraz lokalizacj (witryn pocz tkow i t, na który wskazuje link) pod»y linkami do wskazywanych stron i caª procedur powtórzy z nowej strony wówczas zostaªo zaindeksowanych w ten sposób 300 tys. witryn oraz przeanalizowane okoªo 1,5 miliona poª cze«pomi dzy nimi wyniki analizy pokazaªy,»e w sieci WWW istniej witryny które maj niewiele poª cze«przy jednoczesnym istnieniu witryn, które posiadaj bardzo wiele poª cze«- huby. 68 / 8

69 Sieci bezskalowe - scale-free Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Sieci bezskalow nazywamy sie, której rozkªad stopni wierzchoªków jest rozkªadem pot gowym. przeci tnie ilo± wierzchoªków stopnia k jest proporcjonalna do k τ dla pewnego wykªadnika τ pot gowy rozkªad stopni wierzchoªków oznacza,»e nie ma charakterystycznego ±redniego stopnia wierzchoªka bezskalowy oznacza,»e prawo pot gowe wraz z wykªadnikiem jest niezmiennicze przy wybraniu dowolnego losowego podgrafu (z du»ym prawdopodobie«stwem) bezskalowe s : Internet, sie telefonii, wiele z sieci spoªecznych 69 / 8

70 Sieci bezskalowe - scale-free Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Uniwersalna reguªa rz dz ca sieciami bezskalowymi: ba.exe wzrost sieci nie odbywa si w sposób przypadkowy obowi zuje reguªa preferencyjnego doª czania w zªów - nowe w zªy b d z wi kszym prawdopodobie«stwem tworzy poª czenia do w zªów, które maj wysoki stopie«70 / 8

74 Wzrost sieci BA Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Metoda wzrostu sieci w chwili t=0, sie skªada si z m wierzchoªków w kolejnych krokach czasowych do sieci dodawane s nowe w zªy, które tworz m poª cze«do istniej cych ju» wierzchoªków sieci. nowe w zªy realizuj liniow reguª preferencyjnego doª czania, która polega na tym,»e prawdopodobie«stwo,»e nowy wierzchoªek utworzy poª czenie do jednego ze starszych w zªów, jest wprost proporcjonalne do stopnia tego w zªa k i mt 74 / 8

75 Rozkªad stopni wierzchoªków Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Rozkªad stopni wierzchoªków P(k) opisuje prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany w zeª b dzie miaª stopie«k. W rozkªadach pot gowych P(k) = C k α ksztaªt wykresu rozkªadu ma charakter "tªustego ogona" w skali podwójnie logarytmicznej wykres jest linia prost gdzie a = α i b = ln C. ln P(k) = α ln k + ln C y = ax + b 75 / 8

76 Rozkªad stopni wierzchoªków Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert 76 / 8

77 Bezpiecze«stwo Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Zaatakowanie odpowiednio du»ej liczby hubów mo»e spowodowa rozspójnienie sieci. Natomiast sie pozostaje odporna na losowe ataki. Bardziej prawdopodobna jest awaria w zªa, który nie jest hubem, poniewa» jest ich wi cej. 77 / 8

78 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Struktura sieci serwisów WWW - analiza odno±ników Mining Web Logs to Improve Website Organization, Ramakrishnan Srikant, Optymalizacja struktury serwisu na podstawie analizy sposobu nawigacji w serwisie identykacja brakuj cych i niepotrzebnych poª cze«identykacja stron, na których u»ytkownicy rezygnowali z korzystania z serwisu badanie dªugo±ci ±cie»ek W badaniach uwzgl dniono ponad 00 milionów stron WWW. 78 / 8

79 Struktura sieci serwisów WWW Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Cz ±ci sieci WWW: -SCC (rdze«silnie spójna skªadowa sieci WWW), -IN (strony maj ce odno±niki do rdzenia), -OUT (strony, do których odwoªuj si elementy tworz ce rdze«) -TENDRILS (skróty) -DISCONNECTED COMPONENTS 79 / 8

80 Analiza serwisów WWW 000 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert SCC 56,4 miliona stron, IN 43,3 miliona stron, OUT 43,1 miliona stron, TENDRILS 43,8 miliona stron, DISCONNECTED COMPONENTS 16,8 miliona stron ±rednica sieci WWW 905 ±rednia z istniej cych poª cze«w sieci WWW: poª czenia do przodu 16,18 poª czenia do tyªu 16,1 bez uwzgl dniania kierunku 6,8 ±rednica rdzenia / 8

81 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Struktura sieci serwisów WWW - analiza odno±ników 81 / 8

82 Model Erd sa - Rényi Sie maªych ±wiatów Model Barabasi-Albert Dzi kuj za uwag!!! 8 / 8