X. NIELINIOWOŚĆ GEOMETRYCZNA, ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI

Transkrypt

1 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 79 X. NIEINIOWOŚĆ GEOMETRYCZNA ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI Źróła nelnoośc: że rzemeszczena że graen rzemeszczeń że okszałcena. W rzak żch rzemeszczeń: obcążene zachoacze (oencjalne): ne zmena sojej elkośc orenacj na skek rzemeszczeń konsrkcj obcążene nezachoacze (ne konserane): zmena soją orenacje zależnośc o rzemeszczeń konsrkcj n. obcążene ślezące zasze rosoałe o akalnej oerzchn cała Rs... Obcążene ślezące. Sformłoane zaganena nelnoo - geomercznego MES Założena: małe okszałcena że rzemeszczena obcążena konserane os agrange a ( zglęem konfgracj onesena). Rónane rónoag nkające z zasa rac rzgooanej δε T T δ ρfˆ T σ δ ˆ ( ) (.) są ( q) Β Q Ψ σ (.) rónane o jes słszne la oolnego nelnoośc. Wekor Ψ ( q) jes ekorem różnc sł ęzłoch ochozącch o ozałań enęrznch zenęrznch. W arnkach rónoag ekor en jes rón zer. Zązk geomerczne ε Β( q) q (.3) gze macerz Β (q) jes lnoa fnkcja arameró q Β Β Β ) (.4) ( q gze B - jak la nfnezmalnch okszałceń.

2 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) 8 Zązk fzczne rao Hooke a la małch okszałceń ( ε ε ) σ σ D (.5) gze: σ - narężena ocząkoe n. srężene; ε - okszałcena nemechanczne; n. skrcz em. Nelnoe zązk fzczne ne zmenają zasanczo algorm rozązana. Rozązane rónana () Jes o rónane nelnoe kóre należ rozązać jena z meo. W m cel należ znaczć sczną macerz sznośc Ψ Β σ Β σ K q (.6) gze rzros: σ Dε DΒ q Β Β są Ψ Β σ Β DΒ q Β σ T ( Β Β ) D( Β Β ) q ( Β DΒ Β DΒ Β DΒ ) q Β σ Β DΒ (.7) gze K σ q K K ( ) - macerz ocząkoch rzemeszczeń (macerz żch rzemeszczeń) q K - macerz sznośc małch rzemeszczeń K σ (q ) - macerz ocząkoch narężeń. K Osaeczne: ( K K K ) q K q Ψ (.8) σ gze: K T - sczna macerz sznośc. Algorm rozązana Przkłaoo rónane () ( q) Β Q Ψ σ (.9) rozązjem meoą eracjną nerzrosoą korzsając z rónana K T ( q ) α Q Ψ (.) gze q q

3 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 8 la α. la > Przjmjem na ocząk krok q. Nech a) znaczam K T ( q ) K b) znaczam Ψ c) rozązjem rónane K Q K Q ) są q e) nech f) znaczam K q ) K K ( q ) K ( q ) T ( σ g) znaczam Ψ Β q ) σ( q ) Q h) rozązjem rónane ( K T ( q ( K ( q )) Ψ ) Ψ ) są q q j) rzechozm o nk e) oók sełnon jes arnek Ψ > ε T gze ε - mała lczba. Rs... Zaganene saecznośc ocząkoej Jes o zlnearzoane zaganene saecznośc. Zakłaam : a) K

4 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) 8 b) narężena są roorcjonalne o mnożnka obcążena jeżel oznaczć: K σ ( σ ( Q ) K σ o la obcążena Q λq macerz narężeń ocząkoch bęze róna K λk. Ukła jes rónoaze obojęnej o obcążenem krcznm ( K λ K ) q λ kr Q jeżel Ψ kr σ. (.) Ukła rónań ma neralne rozązane jeżel kr σ e ( λ K ) K. (.) Zaganene sroaza sę o oszkana arośc łasnch. Najmnejsza arość łasna jes oszkanm rozązanem mn{ } λ. λ kr σ σ 3. Nelnoa saeczność Jes o najbarzej ogólne zaganene saecznośc. Rozażam zaganene jenoarameroego obcążena co oznacza że szske obcążena rosną roorcjonalne o jenego mnożnka λ Q λq. (.3) Śceżka rónoag o krza rzesrzen arameró ęzłoch oraz aramer λ { q q... q n λ}. Zkle analzjem rz ej śceżk na łaszczznę λ q α gze q α jes oącm aramerem. Na rs..3: B nk bfrkacj G - nk granczne. G Rs..3. Pnk krczne na śceżce rónoag Ogólne nk bfrkacj nk granczne określone są jako nk krczne.

5 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 83 Posaoa śceżka rónoag o aka la kórej q ( ). W nkach bfrkacj śceżka rozaja sę na osaoą órną. okalna globalna raa saecznośc. lokalna raa saecznośc nasęje rzeskok na śceżkę saeczną globalna raa saecznośc rzemeszczena rosną neogranczene. Rs Woące sone sobo Barzo częso rzak bfrkacjnej ra saecznośc obserje sę: rze raa saecznośc lko część arameró jes akna zn. mają znaczne ększe arośc o ozosałch arameró oznaczam je rzez q o bfrkacj aknają sę nne aramer oznacza je b. Śceżk rónoag można analzoać rzesrzen arameró q rakjąc je jako aramer oące lb b. Analzjąc nkó bfrkacj gonej jes jako aramer oące rzjmoać aramer b o momen bfrkacj rzjmją one częso arośc blske zer. Rs..5

6 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) Ukła ealne merfekcjne Ukła ealn o kła z ealną geomerą ealnm schemaem obcążena (n. sł ealne ros obcążon słą ealne osoą). W rzeczsośc rakce mam o cznena z kłaam merfekcjnm. W akm rzak zkle na śceżce rónoag zamas nkó bfrkacj mam nk granczne (arz rsnk). T nkó bfrkacj sanó rónoag. Analzjem jenokrone nk bfrkacj kłaze obfrkacjnch arameró oącch b. W zależnośc o nk bfrkacjnego rzeczsa konsrkcja zachoje sę jako: nesaeczna lb saeczna. Rs..6. Rozaje nkó bfrkacj Warnk saecznośc kła. Warnkem konecznm saecznośc kła jes oana określoność energ oencjalnej. Jeżel kła jes rónoaze o δ Π (.4) oraz δ Π > san rónoag saecznej δ Π san rónoag krcznej (obojęnej) (.5) δ Π < san rónoag nesaecznej W sane rónoag krcznej δ Π Π q q α β δq α δq α (.6)

7 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 85 lb Δq K Δ q (.7) co ocąga za sobą arnek zeroana sę znacznka macerz scznej ( λ) D e K. (.8) q W akm rzak sełnon jes zór Cramera D Δq Δλ (.9) gze D α Qβ la α... N. (.) K αβ Wg zor Cramera znacznk D jes rón zer nasęjącch rzakach a) Δ λ - nk granczn b) Δ λ - nk bfrkacj. 6. Analza saecznośc orzez zaganene łasne Sosób : Mam rzrosoe rónane rónoag K Δq ΔλQ. (.) K o osac agonalnej. W m cel formłjem sanar- Przekszałcam macerz sczną oe zaganene łasne ( K κi) W. (.) Poneaż K jes smerczne oano określone o orzmjem z rónana () N eraskó rzeczsch κ κ... κ N ekor łasne... N kóre sanoą macerz ekoró łasnch [ ] W... N. (.3) Korzsając z oższego rónane () rzekszałca sę o osac κ κ κ K Δq ΔλQ (.4) gze Δq κ WΔq Qκ W Q (.5) K κ W K W K κ ag[ κ κ... κ ]. (.6) N Wznacznk K κ łao oblczć D e( K κ ) κ κ κ3... κ. (.7) N Jeżel arośc łasne są szeregoane zrasająco o ersz nk krczn mam la κ D W akm raze raa srona erszego rónana z kła (3) ooaają-

8 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) 86 ca erszej arośc łasnej ms bć zero: κ ΔλQ Δλ Q (.8) są mam a rzak: Q Q a) Δλ nk granczn b) Δλ nk bfrkacj. Q (ekor form boczena rosoał o ek- Wnka sa że nkce bfrkacj ora obcążena). Poobne można analzoać ozosałe arośc łasne ojencze lb elokrone. Ooaają m albo nk granczne lb kolejne nk bfrkacj. Sosób Wchozm z założena że nkce krcznm rónane rzrosoe MES może meć ęcej nż jeno rozązane zn. bęą sełnone rónana K Δq ΔλQ K Δq ΔλQ (.9) gze Δ q Δq są ooeno rozązanam na óch śceżkach rónoag chozącch z nk bfrkacj. Po ojęc sronam mam: K v (.3) gze v Δq Δq. Macerz sczną rzesaam osac K K K ( ) K ( ) K ( σ). (.3) Zakłaam że na ocnk [ Δ] τ zasje sę osac K () τ K ( τδ σ τδσ) Po roznęc ( τ ) macerz σ K jes fnkcja małego aramer ( ). (.3) K szereg Talora ooczen τ mam K K K () τ K () τ τ... (.33) τ τ Są orzmjem ogólnone karaoe zaganene łasne {[ K ( σ) K ( ) ] τ[ K ( Δσ) K ( Δ) K ( Δ ) K ( Δ) ] ( Δ Δ) } v K δ δ τ K (.34) Jes o złożone karaoe zaganene łasne rne o rozązana.

9 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 87 Sosób 3 Poobn o sosob z m że rzros macerz scznej lczm bezośreno ( q Δq) K ( q) ΔK K (.35) są zag. łasne ma osać [ K ( q) τδk ] v. (.36) Po rozązan zaganena łasnego znaczam τ kr jako mnmalną arość łasną. Jeżel τ kr () o oznacza że na analzoanm ocnk rzros obcążena sęje nk krczn. 7. Zaganene żch rzemeszczeń łach cenkch. Założena analzje sę cenką łę la kórej słszne są założena knemaczne Krhhoffa- ove łę rakje sę jako zaganene maroe szske ola fzczne osjące eorę ł są olam marom na oerzchn śrokoej ł rzak oolnego obcążena łce różna se san arczo zgęco la zaganeń lnoch san arczo zgęco ł searją sę zglęem sebe rzak zglęnena nelnoośc geomercznej san e są częścoo srzężone; klascznm jęc zglęna sę jene ł san zgęcoego na san arczo ose eor ł bęą konsekenne różnane ola zązane ze sanem arczom zgęcom oznaczane ooeno: (. ) (. ).. Posaoe rónana eor ołok cenkch a) San rzemeszczena Przjmje sę orogonaln kła sółrzęnch ak że ose leżą łaszczźne śrokoej ł. San rzemeszczena efnje ekor rzemeszczena. ( ) ( ) v( ). (.37) ( ) Rs..7. Schema ł cenkej b) San okszałcena ekor okszałcena Zązk geomerczne określają zależnośc omęz ogólnonm okszałcenam a fnkcjam rzemeszczena. Uogólnonm okszałcenam san arczoego są okszałcena oerzchn śrokoej ł jej łaszczźne naomas ogólnonm okszałcenam san zgęcoego są krzzn oerzchn śrokoej. W efncj okszałceń ε zglęna sę człon nelnoe zązane z rzemeszczenem () (arz rs..8).

10 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) ' (.38) χ κ κ γ ε ε v v ε ε ε (.39) c) San narężena sł enęrzne ekor narężeń San narężena efnoan jes orzez sł enęrzne. Dla san arczoego są nm sł rzekrojoe naomas la san zgęcoego momen zgnające skręcające. Wekor narężena zasano osac M M M N N N σ σ σ. (.4) ) noe zązk konsne mają osać Rs..8

11 Konerla P. Meoa Elemenó Skończonch eora zasosoana 89 σ D ε σ D ε. (.4) σ D ε Rs..9. Sł enęrzne łce 3. Moel skren MES Ponżej zefnoano osaoe elkośc rónana zązane z moelem MES ł. Wszske rónana zasano na ozome znegroanego moel bez oołana sę o fnkcj na ozome oszczególnch elemenó. a) Paramer ęzłoe ęźle -m v q q (.4) q θ θ globaln ekor arameró ęzłoch moel skrenego ł [ q q q q ] T q. (.43) 3... N Rs... Moel skren obszar ł b) Inerolacja fnkcj rzemeszczena fnkcje kszał San arczo zgęco neroloane są nezależne. Fnkcje nerolacjne (fnkcje

12 Krs na Sach Dokoranckch Polechnk Wrocłaskej (ersja: l 7) 9 kszał) la san arczoego mszą należeć o rzesrzen H (co najmnej) naomas san zgęco maga co najmnej rzesrzen H. Zkle fnkcjam bazom są ooeno: fnkcje cągłe klas C la san arczoego fnkcje klas C la san zgęcoego. Fnkcje rzemeszczena zasjem osac Nq q q N N ) ( ) ( ) ( ) ( v. (.44) c) Zązk geomerczne v v ε ε ε. (.45) Część nelnoą ekora okszałcena zasjem osac ε Aθ. (.46) Oba obek A θ są zależne o arameró ęzłoch. Różnczka nelnoego skłanka okszałcena jes róna q B q AG A A A θ θ θ ε. (.47) W oższm rażen różnczka ekora θ jes róna q G G q q N θ θ. (.48)