WYZNACZANIE ENERGII AKTYWACJI W PÓŁPRZEWODNIKACH.

Transkrypt

1 Politchnika Warszawska Wydział Fizyki Laboratorium Fizyki II. Rajmund Bacwicz Ćwiczni nr 8 Do użytku wwnętrzngo WYZNACZANI NRGII AKTYWACJI W PÓŁPRZWODNIKACH. Z względu na rzwodnictwo lktryczn ciała stał tradycyjni dzili się na mtal, ółrzwodniki i izolatory. Oorność właściwa matriałów (rzystywność) zminia się od ρ 0 8 Ωcm dla mtali do wartości ρ większych od 0 Ωcm dla izolatorów. Sróbujmy na oczątk zrozumić istotę tych różnic. Wilkością charaktryzującą rzwodnictwo lktryczn matriałów jst rzwodność lktryczna σ. Jst to odwrotność oorności właściwj ρ. Podstawow wyrażni oisując rzwodność lktryczną matriałów ma ostać: σ = Nqµ () N liczba nośników rądu w jdnostc objętości matriału (koncntracja nośników) q ładunk nośnika µ - ruchliwość nośników Nośnikami rądu są cząstki obdarzon ładunkim lktrycznym. Najczęścij są nimi lktrony, al w wilu substancjach są to jony bądź, jak w rzyadku lktrolitów, gruy atomów osiadając ładunk. W rzyadku wystęowania w matrial nośników kilku rodzajów wyrażni na σ jst sumą składników ostaci (). Nośniki rądu w matrial umiszczonym w olu lktrycznym uzyskują orócz osiadanj rędkości ruchu cilngo (chaotyczngo)rędkość w kirunku działającgo ola, tzw. rędkość dryfową. Ustala się ona jako wynik działania siły rzyśiszającj ochodzącj od tgo ola i zdrzń nośników z drgającymi atomami, dfktami it. czyli rocsów okrślanych mianm rozraszania nośników. Ruchliwością nośników nazywamy iloraz rędkości dryfowj lktryczngo ε : v d i natężnia ola v = () ε µ d Wilki zakrs obsrwowanych wartości ρ, a zatm i σ, wiąż się rzd wszystkim z różnicami w wartości koncntracji nośników N. Wdług torii asmowj ciał stałych ) lktrony zajmują stany w dozwolonych asmach nrgtycznych. O rzwodnictwi lktrycznym dcyduj obsadzni najwyżj ołożongo (w skali nrgii) asma, w którym znajdują się lktrony ) Przz ciało stał rozumimy w tym oracowaniu ciało osiadając strukturę krystaliczną.

2 Możliw są dwa rzyadki ( dla uroszcznia załóżmy tmraturę zra bzwzględngo T = 0 K) () najwyższ obsadzon asmo wyłnion jst całkowici; () najwyższ obsadzon asmo wyłnion jst częściowo (rys.). W irwszym rzyadku rzwodność lktryczna wynosi zro, oniważ ni ma swobodnych nośników rądu lktryczngo ciało zachowuj się jak izolator. Wynika to z ważngo twirdznia fizyki ciała stałgo: lktrony znajdując się w całkowici wyłnionych asmach ni biorą udziału w rzwodzniu rądu. W rzyadku drugim w rzwodnictwi lktrycznym biorą udział lktrony z asma częściowo wyłniongo (są to zatm lktrony swobodn). Sytuacja taka wystęuj w mtalach. Rys.. Obsadzni asm nrgtycznych w izolatorz (a) i w mtalu (b). Koncntracja lktronów w mtalu jst bardzo duża i wynosi zwykl ok. 0 3 cm -3. Odowiada to liczbi atomów mtalu w jdnostc objętości z każdgo atomu ochodzi co najmnij jdn lktron. Rozważmy traz obsadzni asm nrgtycznych w tmraturz wyższj od zra bzwzględngo T > 0 o K. Zwiększni tmratury oznacza, ż możliw stają się rzskoki lktronów z najwyższgo asma obsadzongo (asma walncyjngo) do najbliższgo asma ustgo (asma rzwodnictwa). O il w rzyadku mtalu związana z tym zmiana koncntracji jst znikoma w orównaniu z już istnijącą, to w rzyadku ustgo asma rzwodnictwa trmiczni wzbudzon nośniki są jdynymi mogącymi rzwodzić rąd lktryczny. Prawdoodobiństwo takich rzskoków zalży, rzd wszystkim od szrokości rzrwy nrgtycznj g między asmm walncyjnym a asmm rzwodnictwa (nazywanj czasm rzrwą wzbronioną). Dla g większj od 3 V (ni istnij tutaj ustalona granica), rawdoodobiństwo rzjść trmicznych jst w tmraturz okojowj znikomo mał. Oznacza to bardzo małą koncntracj nośników, czyli ciało taki jst izolatorm. Gdy wartość rzrwy nrgtycznj jst

3 bliska V lub mnijsza, wówczas wskutk rzskoków trmicznych osiągać można znaczącą koncntrację nośników rądu, choć zawsz jst to liczba kilka rzędów wilkości mnijsza niż w mtalu. Matriał taki nazywamy ółrzwodnikim. Podkrślić nalży, ż odział na izolatory i ółrzwodniki oarty o krytrium wilkości rzrwy nrgtycznj zakłada, ż mamy do czyninia z substancjami czystymi, o doskonałj sici krystalicznj. W rzczywistych matriałach wystęują dfkty struktury, zaniczyszcznia albo clowo wrowadzon domiszki, któr mogą być źródłm rzwodnictwa lktryczngo nawt w rzyadku istninia bardzo dużj rzrwy nrgtycznj. Oznacza to możliwość uzyskania właściwości ółrzwodnikowych rzz ciała stał zaklasyfikowan jako izolatory z względu na dużą wartość g. Poniważ liczba trmiczni wzbudzonych lktronów zalży od tmratury więc i rzwodność lktryczna silni zminiać się będzi z tmraturą. Zanim jdnak rzystąimy do ilościowgo oisu tgo zjawiska zauważmy, ż w ółrzwodnikach nośnikami rądu orócz swobodnych lktronów są tzw. dziury. Dziura jst bardzo użytcznym ojęcim fizyki ółrzwodników. Wrowadza się j by oisać rzwodzni rądu rzz lktrony z rawi całkowici wyłniongo asma walncyjngo. Jśli niobsadzonych stanów w aśmi walncyjnym jst dużo mnij od stanów obsadzonych wówczas zamiast rozatrywać rzwodzni rądu rzz lktrony wygodnij jst wrowadzić quasi-cząstki o ładunku dodatnim + dziury. Dziura odowiada niobsadzonmu stanowi w aśmi walncyjnym. Można jj rzyisać masę i rędkość. Podkrślić jdnak trzba, ż ni nalży rzyisywać jj lokalizacji w okrślonym atomi sici krystalicznj. Przwodność lktryczna ółrzwodnika jst więc sumą wkładów od lktronów znajdujących się w aśmi rzwodnictwa i dziur z asma walncyjngo σ = n µ + µ (3) gdzi n i µ są koncntracją i ruchliwością lktronów, a i µ d koncntracją i ruchliwością dziur. Przjściu lktronu z asma walncyjngo do asma rzwodnictwa towarzyszy wytworzni dziury. Wymaga to nrgii co najmnij równj rzrwi d wzbronionj g (rys.). Prawdoodobiństwo tgo, ż lktron będzi osiadać wystarczającą do takigo rzjścia nrgię okrślimy na odstawi znango z torii kintycznj gazów rozkładu Boltzmana. 3

4 Rys.. Tworzni ary nośników lktron dziura w ółrzwodniku. Wdług rozkładu Boltzmana, dla układu znajdującgo się w równowadz trmodynamicznj z otocznim rawdoodobiństwo znalzinia układu w stani nrgtycznym o nrgii wyznacza tzw. czynnik Boltzmana: gdzi k jst stałą Boltzmana, (4) 4 V k = 0,86 0, a T jst tmraturą K bzwzględną układu. Oznacza to, ż rawdoodobiństwo osiadania rzz cząstkę nrgii bardzo szybko malj z wzrostm, a takż jst bardzo mał w niskich tmraturach. W rzyadku ółrzwodnika o rzrwi nrgtycznj g rawdoodobiństwo trmiczngo rzjścia lktronu z asma walncyjngo do asma rzwodnictwa okrśla czynnik Boltzmana w ostaci g Poniważ rzjściu lktronu towarzyszy jdnoczsna kracja dziury, okazuj się ), ż g n ~ x Jżli dziury owstają wyłączni wskutk rzjść lktronów z asma walncyjngo do asma rzwodnictwa wówczas n = i (5) g n = ~ x (6) Przyadk taki okrślamy mianm ółrzwodnika samoistngo ) Jst to wynik tzw. rawa działania mas. Ścisł wyrowadzni tgo związku odan jst w dalszj części instrukcji. 4

5 tmratury Ruchliwość nośników rądu jst w ółrzwodniku otęgową funkcją µ ~ T gdzi wartość wykładnika zalży od mchanizmu rozraszania nośników i rzyjmuj wartość z rzdziału od 0,5 do,5. W każdym jdnak rzyadku jst to zalżność słabsza od funkcji ksonncjalnj ostaci (4). Zalżność rzwodności lktrycznj σ od tmratury jst zdominowana rzz zalżność tmraturową wykładniczym (6). Na odstawi () mamy więc gdzi koncntracji tkwiącą, rzd wszystkim w czynniku σ = σ o x (7) g = nazywana jst nrgią aktywacji. Rlacja (7) okrśla zalżność rzwodnictwa od tmratury nazywaną zalżnością aktywacyjną. nrgia aktywacji jst wic ołową nrgii otrzbnj do rznisinia lktronu do asma rzwodnicwa. Najlszym sosobm graficznj rrzntacji (7) jst tzw. wykrs Arrhniusa, na którym rzdstawiamy l nσ w funkcji. Mamy bowim T lnσ = lnσo - (8) Wykrs Arrhniusa jst więc linią rostą o nachylniu roorcjonalnym do nrgii aktywacji (rys.3). Rys.3. Wykrs Arrhniusa Zalżność o charaktrz rlacji (7) sotyka się w bardzo wilu sytuacjach w fizyc i chmii. Wszędzi, gdzi zmiana stanu układu znajdującgo się w równowadz trmodynamicznj z otocznim wymaga dostarcznia nrgii W, rawdoodobiństwo znalzinia układu w wyższym stani nrgtycznym okrśla W statystyka Boltzmana, a więc czynnik x. Mówiąc inaczj, dla układu 5

6 znajdującgo się w tmraturz T czynnik tn okrśla rawdoodobiństwo okonania bariry nrgtycznj o wysokości W. Przykładm takigo rocsu jst arowani ciczy. Z względu na siły wiązania w ciczy cząstczka, by móc wyarować musi okonać wzgórz nrgii W, mówiąc inaczj musi wykonać racę rzciwko siłom sójności. Oczkujmy zatm, ż liczba cząstk ary w jdnostc objętości jst okrślona rzz czynnik W x. Mimo, ż tgo tyu analiza jst uroszczona, daj ona orawny ois gęstości ary w funkcji tmratury. syntzy Inny rzykład dotyczy rakcji chmicznj. Załóżmy, ż ma ona ostać rakcji A + B AB. Jżli nrgia nizbędna do wywołania tj rakcji wynosi szybkość zachodznia rakcji zalży od tmratury rzz czynnik W A (nrgia aktywacji) to W A x Widać więc jaki sns ma odnoszni tmratury w clu rzyśisznia rakcji. Zauważmy, ż odobny fkt dałoby zmnijszni wartości rzz zastosowani scjalnych substancji zwanych katalizatorami).. W A (uzyskuj się to Sośród wilu innych zjawisk, których zalżność tmraturowa okrślona jst rzz czynnik W x wymińmy jszcz trmomisję lktronów z mtalu ( W - jst wtdy racą wyjścia lktronów) oraz rzwodnictwo jonow matriałów ( W - ma wówczas sns nrgii otrzbnj do uwolninia jonu znajdującgo się w studni otncjału). Domiszki w ółrzwodnikach. Przyadk rzwodnika samoistngo, a więc sytuacja, w którj jdynym źródłm swobodnych nośników w ółrzwodniku są rzjścia lktronów z asma walncyjngo do asma rzwodnictwa jst sotykana nizmirni rzadko. Zwykl ni możmy ustrzc się domiszk i dfktów, któr zminiają rzdstawiony wyżj obraz rzwodnictwa lktryczngo w ółrzwodniku. Co, więcj, w większości zastosowań ółrzwodników w tchnic stosuj się ółrzwodniki clowo domiszkowan. Najłatwij zrozumić rolę domiszk na rzykładzi najważnijszgo obcni matriału ółrzwodnikowgo jakim jst krzm. Każdy atom krzmu związany jst w krysztal z sąsiadami, cztrma wiązaniami kowalncyjnymi, na utworzni których zużywa cztry lktrony 6

7 walncyjn. Jżli zastąimy atom krzmu atomm V gruy układu riodyczngo n. fosform to odda on do wiązań lktrony, natomiast iąty ozostani słabo związany z atomm domiszki (rys.4). lktron tn moż być łatwo odrwany od atomu fosforu i stać się rzz to lktronm swobodnym w aśmi rzwodnictwa. Rys.4. Schmat struktury krzmu z domiszkowym atomm fosforu. Domiszka taka jst więc donorm. Donorami w krzmi są tż inn irwiastki V gruy układu okrsowgo: arsn, bizmut, i antymon. Jżli odstawimy wną liczbę atomów krzmu atomami irwiastka gruy III (n. galm), to każdy z nich musi obrać jdn lktron, by utworzyć cztry komltn wiązania z otaczającymi atomami Si. Oznacza to, ż każdmu z nich towarzyszyć będzi słabo związana dziura domiszka taka nazywa się akctorm. Domiszki t dadzą zatm dodatkow oziomy w rzrwi nrgtycznj ółrzwodnika: domiszka donorowa blisko asma rzwodnictwa, domiszka akctorowa w obliżu asma walncyjngo (rys.5). Odlgłości tych oziomów od odowidnich asm są nrgiami jonizacji domiszk. Są on znaczni mnijsz od nrgii rzrwy nrgtycznj. W krzmi nrgia jonizacji łytkigo donora wynosi D = 0,03 V, odczas gdy rzrwa nrgtyczna wynosi D = 0,03 V a akctora g =, V. Z względu na niwilki nrgi jonizacji omawian domiszki nazywa się łytkimi. Oznacza to, ż rzjścia nośników z oziomów domiszkowych do najbliżj ołożonych asm wymagają znaczni mnijszych nrgii niż rzjścia między asmm walncyjnym i asmm rzwodnictwa i zachodzą rzy dużo niższych tmraturach. Warto wsomnić, ż nośniki związan z domiszką mogą zajmować tż stany wzbudzon analogiczni do stanów wzbudzonych atomu wodoru. W ółrzwodniku, w którym wrowadziliśmy domiszki donorow dominować więc będą lktrony jst to ółrzwodnik tyu n, natomiast domiszki akctorow dadzą rzwodnictwo dziurow ółrzwodnik tyu. 7

8 Rys.5. Schmat nrgtyczny ółrzwodnika zawirającgo dwa rodzaj domiszk. Koncntracja nośników w stani równowagi cilnj. Wrowadzimy traz wyrażni na gęstość nośników w ółrzwodniku. Sodziwamy się, ż ich liczba zalży od ilości dostęnych mijsc w aśmi rzwodnictwa, czyli gęstości stanów dla tgo asma g () oraz rawdoodobiństwa obsadznia tych stanów f (). Liczba lktronów o nrgii z rzdziału + d wynosi więc d n() = g()f()d (9) Koncntrację lktronów w aśmi rzwodnictwa otrzymamy o zsumowaniu rzyczynków od wszystkich stanów w tym aśmi: gdzi max jst nrgią dna asma rzwodnictwa a n = g()f()d (0) max jst maksymalną nrgią lktronu w tym aśmi. Gęstość stanów (liczba stanów o nrgiach zawartych omiędzy i + d ) w intrsującym nas zakrsi nrgii oisuj nastęująca funkcja nrgii (atrz dodatk A): 3 m () 4 ( ) g = π () h Podobni dla asma walncyjngo: 3 m d w () 4 ( w ) g = π () h gdzi m i m są asami fktywnymi lktronu i dziury różnymi od masy lktronu d swobodngo m o (n. w krzmi m 0,m ), zaś i w są nrgiami krawędzi o obu asm (rys.5). 8

9 Prawdoodobiństwo znalzinia lktronu w stani o nrgii oisuj funkcja Frmigo-Diraca: gdzi f() = ( F ) (3) + jst nrgią (oziomm) Frmigo. Przbig funkcji f () dla różnych F tmratur rzdstawia rys.6. Rys.6. Funkcja rozkładu Frmigo-Diraca w dwóch tmraturach. Zauważmy, ż w tmraturz zra bzwzględngo obsadzon są wszystki stany do nrgii Frmigo. W tmraturach różnych od zra nrgia Frmigo okrślana jst rzz warunk, ż rawdoodobiństwo obsadznia stanu o nrgii równj F wynosi. W ółrzwodnikach, oza rzyadkim tzw. ółrzwodników zdgnrowanych, oziom Frmigo lży w zakrsi rzrwy wzbronionj na tyl dalko od asma rzwodnictwa (w ółrzwodniku samoistnym słniona jst rlacja F g ), ż >> F (4) Pozwala to na ominięci jdynki w mianowniku wyrażnia () i zaisani funkcji f () w ostaci F f() x (5) czyli na zastąini rozkładu Frmigo-Diraca rozkładm Boltzmana. Obliczamy traz koncntrację lktronów na odstawi wzoru (9) korzystając z (0) i (5). Poniważ f () jst funkcją szybko maljącą, możmy zastąić górną granicę całki w (0) max rzz niskończoność. Otrzymujmy: 9

10 Wrowadzimy zminną m n = 4π h x = 3 F m n = 4π h x π Poniważ x dx =, więc o n = 0 ( ). Otrzymamy stąd 3 F o x x 3 F F m = N (6) h Tu N oznacza fktywną gęstość stanów w aśmi rzwodnictwa. Podobni możmy obliczyć koncntrację dziur jśli zauważymy, ż funkcja rozkładu dla dziur () = f(), oniważ dziura zdfiniowana jst jako brak lktronu w aśmi walncyjnym. Czyli: f d f d ( ) = = F F (7) + + Wykorzystując (9), () i (7) otrzymujmy: gdzi w = w g w 3 F w F d dx F w Πmd ( ) f d ( ) d = = NW (8) h jst nrgią krawędzi asma walncyjngo a N w zwimy fktywną gęstością stanów w aśmi walncyjnym. Zatm, koncntracja nośników w ółrzwodniku wyznaczona jst rzz ołożni oziomu Frmigo. Zauważmy, ż: n h co jst w zgodzi z wzorm (5), ) 3 3 g Π = 4 (m md) (9) ( w = g Dla rzyadku ółrzwodnika samoistngo daj to: 3 3 g Π i = i = (m md) (0) n h Obliczmy traz koncntrację nośników w ółrzwodniku domiszkowanym. Załóżmy, ż domiszkami są donory (domiszki lktronow) o koncntracji Jonizacja atomu donora daj lktron w aśmi rzwodnictwa. Zatm w obszarz tmratur gdzi dominują rzjścia z oziomów donorowych do asma rzwodnictwa wszystki lktrony w aśmi rzwodnictwa ochodzą od donorów (jst to tzw. obszar rzwodnictwa domiszkowgo). Mamy wówczas: N D.

11 gdzi n () + = N D + N D jst liczbą zjonizowanych donorów. Równani () wyraża fakt naturalności ładunkowj ółrzwodnika (całkowity ładunk równa się zro). Liczbę nizjonizowanych donorów okrśla rozkład Frmigo-Diraca 3). o Nd ND = NDf() = D F () + (nrgię jonizacji donora mirzymy od dna asma rzwodnictwa, = 0 ), stąd + o d N D ND ND = F + + Zatm wdług (), korzystając z (6) mamy F N D x = F + N = D (3) N + D By otrzymać ścisł wyrażni na koncntrację nośników nalży z równości (4) obliczyć (4) F i wstawić do wyrażnia (6) dającgo n. My ograniczymy się do niskich tmratur, w których D >>. Wówczas omijając jdynkę o rawj stroni równości (4) otrzymujmy stąd n = N F N D D x x (5) N F D x = ( N N D ) x (6) Zatm w zakrsi tmratur zdominowanym rzz rzwodnictwo domiszkow nrgia aktywacji wynosi = w rzyadku ółrzwodnika tyu jdyni zamiast odowiadając akctorom: i N. A A D. Idntyczni wygląda analiza i N odstawiamy aramtry W ółrzwodniku z jdnym rodzajm domiszk sodziwamy się więc krzywj rzwodnictwa na wykrsi Arrhniusa w ostaci rzdstawionj na rys.7. W niższych tmraturach dominuj jonizacja domiszk. Odowiada tmu odcink D A rostj o nrgii aktywacji = dla domiszki donorowj ( = dla domiszki akctorowj). D D ) Dla uroszcznia omijamy tu tzw. sinową dgnrację oziomu donorowgo.

12 Po rzkroczniu tmratury, w którj wszystki atomy domiszki są zjonizowan moż wystąić rzdział tmratur gdzi rzwodnictwo raktyczni ni zminia się, aż do osiągnięcia tmratur rzy których możliw staj się trmiczn wzbudzni lktronów z asma walncyjngo do asma rzwodnictwa. g Odowiada tmu odcink rostj o nrgii aktywacji =. Zakrsy tmraturow dla oszczgólnych odcinków krzywj zalżą od wartości nrgii jonizacji i rzrwy nrgtycznj. Rys.7. Wykrs Arrhniusa dla ółrzwodnika domiszkowango. Analizę rzwodnictwa w obcności domiszk bardzo komlikuj fakt jdnoczsngo wystęowania domiszk donorowych i akctorowych. Zwróćmy uwagę, ż rzwodność lktryczna ółrzwodnika jst wtdy mnijsza aniżli w rzyadku wystęowania domiszk jdngo rodzaju zachodzi zjawisko tzw. komnsacji domiszk. Związk między rzwodnością i tmraturą zalży w takij sytuacji od wzajmnych rlacji omiędzy koncntracjami domiszk i jst rzdyskutowany w odanj litraturz (n.[3] ). Wykonani ćwicznia. W ćwiczniu dokonujmy omiaru oorności ρ róbk ółrzwodnikowych grzanych w icyku oorowym. Tmraturę ustalamy rzz zadani wartości naięcia kontrolra tmratury. Szczgółow działani układu oisuj instrukcja rzy ćwiczniu. Oracowani wyników. Na odstawi wyników omiarów wykonać wykrs ln =f( ), gdzi T jst tmraturą bzwzględną (w K), a R oorm róbki.

13 Zastąini odwrotnością ooru ni ma wływu na wartości szukanych nrgii aktywacji rzwodnictwa.. Obliczyć niwności omiarow wilkości mirzonych bzośrdnio tmratury na icyku oorowym T oraz ooru R mirzongo omomirzm i naniść j na wykrs w ostaci odcinków niwności. Obliczń niwności dokonać na odstawi: danych tchnicznych dla użytych rzyrządów omiarowych, własnych oszacowań wykonanych w trakci ćwicznia (n. zakrs wahań tmratury w momnci odczytywania ooru it.) lub wskazówk rowadzącgo. 3. Do danych doświadczalnych doasować rostą mtodą najmnijszych kwadratów. UWAGA: Jśli wykrs składa się z odcinków rostoliniowych, rocdurę doasowania rzrowadzić dla każdgo odcinka oddzilni. Na odstawi wsółczynnika kirunkowgo obliczyć nrgię aktywacji rzwodnictwa domiszkowgo, okrślić niwność standardową, biorąc od uwagę niwność tyu A (wynikającą z zastosowania MNK) i tyu B (wynikającą z skończonj dokładności omiaru tmratury i ooru). W razi koniczności osłużyć się rawm roagacji niwności. 4. Korzystając z wzoru (6) obliczyć koncntrację swobodnych nośników w róbc w T=300 K zakładając, ż są to lktrony a fktywna gęstość stanów w aśmi rzwodnictwa wynosi N =0 9 cm Korzystając z tstu χ srawdzić hiotzę o liniowości zalżności ln =f( ). Sformułować wnioski na tmat wiarygodności otrzymanych wyników, zastosowanj mtody omiarowj, źródł niwności itd. 6. Korzystając z wzoru (6) obliczyć koncntrację swobodnych nośników w róbc w T=300 K zakładając, ż są to lktrony a fktywna gęstość stanów w aśmi rzwodnictwa wynosi N =0 9 cm -3. Nastęni oszacować wartość ruchliwości w tj tmraturz zakładając ż róbka ma kształt cylindra o długości mm i owirzchni odstaw mm Pytania kontroln.. Jak wytłumaczyć różnic w rzwodności lktrycznj różnych ciał stałych?. Jaki nośniki rądu wystęują w ółrzwodniku? 3. Co to jst zalżność aktywacyjna i w jakich rzyadkach ma zastosowani? 4. Jaki wływ na rzwodnictwo lktryczn ółrzwodnika mają łytki domiszki? 5. Omów zalżność lnσ dla ółrzwodnika domiszkowango. T 3

14 6. Czy omiar rzwodności ozwala na okrślni tyu nośników ( n czy )? Litratura.. C. Kittl, Wstę do fizyki ciała stałgo, PWN Warszawa R. Trykozko, Ćwicznia laboratoryjn z fizyki, Wydawnictwa Politchniki Warszawskij, Warszawa S. Strzałkowski, Podstawy fizyki ciała stałgo, Wydawnictwa Politchniki Warszawskij, Warszawa 98. Dodatk A Gęstość stanów lktronowych w ółrzwodniku. Obliczmy gęstość stanów w aśmi lktronowym ółrzwodnika. Podstawową zalżnością, którą w tym clu wykorzystamy jst zalżność nrgii lktronu od jgo ędu a ściśl biorąc od tzw. quasiędu. Zauważmy, ż dla lktronu swobodngo tgo tyu ma ostać = (7) m gdzi r jst ędm lktronu, a m masą lktronu swobodngo. Analogiczna rlacja jst rawdziwa w wilu rzyadkach dla lktronu w cil stałym (krysztal). gdzi h k = = (8) m m r r = hk r jst tzw. kwaziędm, k wktorm falowym lktronu, a m jgo masą fktywną ( h = h π ). Zalżność nrgii od wktora falowgo nosi nazwę rlacji dysrsyjnj i jst bardzo istotna w dyskusji wilu zjawisk lktronowych w cil stałym. Dla ustalonj wartości równani (8) wyznacza sfrę rzstrzni wktora falowgo. Jst to tzw. owirzchnia izonrgtyczna. Nalży zauważyć, ż każdmu stanowi lktronowmu odowiada w rzstrzni wktora falowgo k objętość wynosząca 4 3 π τ = (9) V gdzi V jst objętością kryształu. Fakt tn wynika z warunków brzgowych jaki słniać muszą funkcj falow lktronu (atrz [, ] ). Oznacza to, ż rozkład stanów lktronowych w rzstrzni k stanowi rodzaj sici (rys.8). Obliczni liczby stanów rzyadających na rzdział nrgii od do 4 + d wymaga więc oblicznia liczby węzłów tj sici w tj części rzstrzni k, którą wyznacza odany rzdział

15 nrgii. Na odstawi związku (8) widzimy, ż srowadza się to do oblicznia liczby stanów w warstwi sfrycznj o rominiu (rys.8). m k = h i grubości m dk = d h Rys.8. Stany lktronu w rzstrzni wktora falowgo. Poniważ objętość tj warstwy wynosi 4π k dk więc oszukiwana gęstość wynosi 4πk dk k dk = V (30) τ n Po wykorzystaniu związku między i k, otrzymujmy zatm dla kryształu o objętości jdnostkowj ( V = ) : m m g()d = d 4 d = π π h h Przbig funkcji gęstości stanów w ółrzwodniku ilustruj rys (3) Rys.9. Przbig funkcji gęstości stanów lktronowych w ółrzwodniku. 5

16 6 Warsaw Univrsity of Tchnology Faculty of Physics Physics II Laboratory - Southrn Camus xrcis No 8 Activation nrgy in Smiconductors lctric conductivity is a rorty of matrial quantifying its ability to conduct lctric currnt. As far as th lctric conductivity is concrnd, a solid stat matrial can b a mtal, a smiconductor or an insulator. Th rsistivity of matrials varis from ρ = 0-8 Ωcm for mtals u to ρ > 0 Ωcm for insulators. Th lctrical conductivity of a matrial, which is th invrs of its rsistivity, is xrssd as follows: σ=μqn () whr µ stands for a charg carrir mobility, q - lmntal charg and N - numbr of charg carrirs in a matrial volum (concntration). Charg carrirs ar articls, which hav an lctrical charg. Most common of ths ar lctrons but in som matrials, ions or clustr of atoms can carry charg as wll. If many diffrnt carrirs of charg xist in a matrial, its total conductivity is a sum of lmnts dscribd by (). Whn th matrial is in an lctric fild, th charg carrirs, bsids thrmal vlocity rlatd to chaotic movmnt at crtain tmratur, hav a vlocity in a dirction of alid fild, calld a drift vlocity - v d. Its valu is a rsult of acclrating lctric fild forc and carrir collisions with atoms, dfcts tc. Th carrir mobility is dfind by: μ= v () ε whr ε is a dilctric rmittivity of a matrial. Th wid rang of obsrvabl valus of σ and ρ coms thn from variations of charg carrir concntration N. According to th band thory of a solid stat, lctrons occuy rmittd nrgy lvls in nrgy bands. Th last fully occuid band is a valnc band and th first unoccuid band is a conduction band. Figur. Schmatic rrsntation of a valnc and conduction band in an (a) insulator, (b) smiconductor. ach nrgy band consists of many closly sacd nrgy lvls.

17 7 Th nrgy distanc btwn highst occuid nrgy lvl (valnc band maximum) and lowst unoccuid nrgy lvl is calld an nrgy ga or a bandga. At a tmratur highr than 0 K lctrons gain thrmal nrgy. Whn tmratur incrass, th robability that lctron form a valnc band will b xcitd to th conduction band also incrass. Chang in fr carrir concntration in a mtal is small comard to th numbr of fr lctrons in a matrial. Th situation is diffrnt in a smiconductor whr lctrons xcitd to th conduction band ar th only ons that can conduct lctric currnt. Th robability of lctron xcitation to th conduction band dnds on th valu of nrgy bandga. If an nrgy bandga is wid (5 V 6 V, thr is no dfinitiv bordrlin) concntration of lctrons in a conduction band is ngligibly small and such a matrial is an insulator. Whn a bandga is around V or smallr, thn, du to th thrmal xcitation carrir concntration can b considrably highr but still fw ordrs of magnitud smallr than in a mtal. Such a matrial is a smiconductor. It should b ointd out that this classification assums idal crystallin structur of a matrial. In ral matrials, thr xist imuritis, dfcts or intntional doants and hav an imact on conductivity. lctron xcitd to th conduction band lavs an unoccuid stat in a valnc banda hol. Th conct of hol was introducd to dscrib movmnt of lctrons in almost full valnc band. If a numbr of mty stats in a valnc band is much lowr than a numbr of occuid stats it is much asir to considr not lctrons but hols - quasi-articls with ositiv charg. A hol can b dscribd with its mass and vlocity but not xact localization in a crystal. Figur. Cration of lctron - hol air in a smiconductor. Conductivity of a smiconductor is a sum of lctron and hol conductivitis: σ=μ (3) whr n and ar lctron and hol concntrations and µ and µ h ar lctron and hol motilitis. xcitation of an lctron to th conduction band rquirs nrgy at last qual to g (Figur ). Probability that lctron at a crtain tmratur will hav nough nrgy can b dscribd with a Boltzmann distribution known from kintic thory of gass. According to it, a robability that a body bing in a thrmal quilibrium will hav nrgy is roortional to a Boltzmann factor: P ~ (4)

18 8 whr k B =8.6*0-5 V/K is th Boltzmann constant and T tmratur in Klvins. It mans that a robability of articl having nrgy dcrass vry quickly with incras of and is ngligibl at vry low tmraturs. For a smiconductor, lctron nrgy incrass by g valu, which mans that robability of lctron xcitation from valnc to conduction band, is dscribd by: P ~ Whn lctron movs to th conduction band it lavs a hol in a valnc band. It will b shown in a latr art that: n ~ (5) (6) If hols ar cratd only du to lctron xcitation, thn n= and: n= ~ (7) Such a smiconductor is an intrinsic smiconductor. Charg carrir mobility is a owr function of a tmratur: µ T whr dnds on th carrir scattring mchanism and hav valus from -0.5 to.5. In ach cas, howvr, th mobility dnds wakr on a tmratur than on a carrir concntration. This mans that th tmratur dndnc of a conductivity in a intrinsic smiconductor will b dtrmind by th tmratur dndnc of a carrir concntration: σ=σ =σ whr a = g / is an activation nrgy of conductivity. quation (8) dscribs fact that th conductivity is activatd with nrgy a. A grahical rrsntation of th quation (8) is so calld Arrhnius lot (Figur 3.) a ln(s) dndnc on /T: ln(σ)=ln(σ ) k T An Arrhnius lot is in this cas a straight lin with th slo roortional to th activation nrgy. This ty of dndnc is tyical commonfor many hnomna and can b found whnvr Boltzmann statistics can b alid. (8) (9) Figur 3. Schmatic Arrhnius lot for intrinsic smiconductor

19 9 Carrir dnsity at a thrmal quilibrium Th dnsity of lctrons in a smiconductor is rlatd to th dnsity of availabl stats and th robability that ach of thm is occuid. Th dnsity of occuid stats r unit volum and nrgy rang (, +d), dn(), is simly th roduct of th dnsity of stats in th conduction band, g c () and th Frmi-Dirac robability function, f(), (also calld th Frmi function): dn()=g f()d (0) Sinc hols corrsond to mty stats in th valnc band, th robability of having a hol quals th robability that a articular stat is not filld, so that th hol dnsity in th nrgy rang (, +d), d(), quals: d()=g f() d () For an lctron which bhavs as a fr articl with th ffctiv mass, m *, th dnsity of stats is qual to: g ()= 8π h m / () whr c is th bottom of th conduction band blow which th dnsity of stats is zro. Th dnsity of stats for hols in th valnc band is givn by: g ()= 8π h m / (3) Th robability of xistnc of an lctron having th nrgy is dscribd by th Frmi-Dirac distribution function, also calld th Frmi function. Th Pauli xclusion Princil ostulats that only on frmion can occuy a singl quantum stat. Thrfor, as frmions ar addd to th band, thy will fill th availabl stats just lik watr fills a buckt. Th stats with th lowst nrgy ar filld first, followd by th nxt highr ons. At absolut zro tmratur (T = 0 K), th nrgy lvls ar all filld u to a maximum nrgy, which w call th Frmi lvl. No stats abov th Frmi lvl ar filld. At a highr tmratur, on finds that th transition btwn comltly filld stats and comltly mty stats is gradual rathr than abrut. lctrons ar frmions. Thrfor, th Frmi function rovids th robability that nrgy lvl at nrgy, an lctron occuis, in thrmal quilibrium with a larg systm. Its tmratur, T, and its Frmi nrgy, F, charactriz th systm. Th Frmi function is givn by: f()= (4) ( ) Th function is lottd in Figur at thr diffrnt tmraturs. At 0 K th Frmi function would hav a rctangular charactr with robability 00% u to F and 0 for > F. At othr tmraturs, th robability of lctron having nrgy = F is always qual 50%.

20 0 Figur 4. Th Frmi function at thr diffrnt tmraturs Th carrir dnsity in a smiconductor is obtaind by intgrating th roduct of th dnsity of stats and th robability dnsity function ovr all ossibl stats. For lctrons in th conduction band, th intgral is takn from th bottom of th conduction band, labld, c, to th to of th conduction band: n= dn()= g () f()d (5) This gnral xrssion is illustratd with Figur 3 with c = 0. Th figur shows th dnsity of stats function, g c (), th Frmi function, f(), as wll as th roduct of both, which is th dnsity of lctrons r unit volum and r unit nrgy, n(). Th intgral corrsonds to th crosshatchd ara. Th actual location of th to of th conduction band dos not nd to b known as th Frmi function gos to zro at highr nrgis. Th ur limit can thrfor b rlacd by infinity 8π / n= g () f()d= h m ( d ) (9)

21 Figur 5. Th carrir dnsity intgral. Th dnsity of stats, g c (), th dnsity r unit nrgy, n(), and th robability of occuancy, f() ar shown. Th carrir dnsity, n, quals th crosshatchd ara. Non-dgnrat smiconductors ar dfind as smiconductors for which th Frmi nrgy is at last 3 away from ithr band dg. Thn - F >>k B T and on can b skid in th dnominator of Frmi function and rsolvd analytically yilding: n= 8π / h m d =N (6) with N C dfind as: = h (7) is th ffctiv dnsity of stats in th conduction band. Similarly for hols, th Frmi function is fd()=-f(), as a hol is dfind as a lack of lctron in a valnc band. Thn: f ()= ( ) = ( ) (8) Substituting () and (6) into (4) On can obtain xrssion for hol dnsity: = 8π h m d =N (9) whr th ffctiv dnsity of stats in th valnc band is dfind as: = h (0) Basd on th quations (6) and (9), on can conclud that th carrir concntration in a smiconductor is dtrmind by th Frmi nrgy. In an intrinsic smiconductor, numbr of hols in a valnc band must b qual to th numbr of lctrons in a conduction band: n==n i. Thn th intrinsic carrir dnsity is qual to:

22 n = n= N N () Dod smiconductors Dod smiconductors ar smiconductors that contain imuritis - forign atoms incororatd into th crystal structur of th smiconductor. ithr ths imuritis can b unintntional, du to th lack of control during th growth of th smiconductor, or thy can b addd on uros to rovid fr carrirs in th smiconductor. Lt us considr an Si atom in a rfct crystal. It has four valnc lctrons, which crat four covalnt bonds with surrounding Si atoms. If a Si atom is rlacd with an atom from grou V i.. hoshorus which has fiv valnc lctrons, four of thm will crat bonds and th fifth will b vry wakly bondd. It can b asily saratd from th hoshorus atom and bcam a fr lctron in th conduction band. Figur 6. Schmatic crystallin structur of silicon with hoshorus and boron imuritis. An atom, which donats lctrons to th conduction band, is thrfor calld a donor. In cas of silicon th lmnts from grou V ar donors i.. arsnic, bismuth or antimony. Oosit situation taks lac whn an atom from grou III is introducd to Si crystal. Such an atom has thr valnc lctrons, which mans that on lctron is missing to comlt th bonds and with ach atom, a wakly bondd hol will b associatd. Atoms that introduc hol into crystal ar calld acctors. An illustration of a donor and acctor atoms in Si crystal is rsntd in Figur. Imuritis that rovid fr carrirs ar calld doants. Doants introduc additional nrgy lvls into th smiconductor bandga a donor lvl will b clos to th conduction band and th acctor lvl clos to th valnc band (Figur 6). Th nrgy distanc of a doant lvl and corrsonding band is th ionization nrgy. For a donor th ionization nrgy is th nrgy rquird to tak away th wakly bondd lctron from an atom and is usually in th ordr of 0 mv. It is much lowr than a bandga nrgy (in cas of Si g=.v). Bcaus of that, nrgy lvls introducd by doants ar calld shallow lvls. lctron transition btwn doant lvl and a corrsonding band rquir th lowr nrgy than th transition btwn valnc and conduction band and will occur at much lowr tmraturs.

23 3 Figur 7. Schmatic band diagram of a smiconductor containing donor and acctor lvls with D and A nrgis. At room tmratur, a smiconductor dod with donors will hav fr lctrons in a conduction band. This is a n-ty smiconductor. Analogous, a smiconductor dod with acctors will contain fr hols in a valnc band and it is a -ty smiconductor. To calculat carrir concntration of a dod smiconductor, lt us assum n-ty matrial with donor concntration of N D. In a tmratur rang whn lctron transitions from donor lvl to conduction band dominat numbr of lctrons in a conduction band is qual to numbr of ionizd donors (N + D ): n=n () This quation is also a manifstation of charg nutrality of whol smiconductor (numbr of ngativly chargd lctrons is qual to th numbr of ositivly chargd donors). On th othr hand, th numbr of unionizd donors is dscribd by th Frmi function (4): N =N f()= N k (3) (Donor ionization nrgy is calculatd as an nrgy distanc from th conduction band and C =0 is assumd). Th numbr of ionizd donors is thn: N =N N = N k (4) Combining (6 ) and () on can gt: N = N k T (5) To obtain xact solution on carrir concntration, F should b calculatd from (5) and insrtd into (6). If w rstrict ourslvs to low tmraturs whr D /k B T >> thn a unity in (5) can b skid and: = N (6) N Thn: n=n = N N (7)

24 4 In a tmratur rang dominatd by th doant conductivity its activation nrgy is qual to D /. Analogous argumntation can b mad for a -ty smiconductor rlacing n, N D and D with, N A and A. In a smiconductor with on ty of doants, ac conductivity will dnd on /T as rsntd in Figur 8. At low tmraturs ionization of donors or acctors with activation nrgy D / or A / dominats. Th conductivity rmains constant whn all doants ar ionizd. With incrasing tmratur lctrons will start to b xcitd from valnc band to conduction band with activation nrgy g/. Th tmratur rang for ach of th arts of th conductivity curv dnds on ionization nrgis of doants as wll as on th bandga nrgy of smiconductor. Figur 8. Schmatic Arrhnius lot for a dod smiconductor. Rviw qustions. xlain diffrncs in th conductivity of solid-stat matrials.. What kinds of charg carrirs ar in a smiconductor? 3. What is th activation dndnc and how it rlats to th conductivity of smiconductor? 4. How do th shallow doants affct conductivity? 5. xlain ln(σ) vrsus (/T) dndnc in a dod smiconductor 6. Can w dtrmin th ty of th conductivity basd on th conductivity masurmnts? Tasks to b comltd. Masur rsistivity of th saml at diffrnt tmraturs. Your tutor will dtrmin th tmratur rang and th tmratur st.. Calculat conductivity of th saml basd on rsistivity. 3. Mak an Arrhnius lot of ln(/r) vrsus /T (notic that activation nrgy dos not dnd whthr σ or /R is lottd). 4. Calculat th activation nrgy of conductivity basing on th slo of th Arrhnius lot. stimat th rror basing on accuracy of linar aroximation of xrimntal data and on accuracy of tmratur masurmnt. Assuming th n-ty matrial with ffctiv dnsity of stats N c =0 9 cm -3 calculat concntration of fr lctrons at 300 K. 5. Assuming that th masurd saml is shad as a cylindr with following aramtrs : ara A= mm and lngth l= mm stimat th valu of mobility at 300 K.