OGÓLNE SFORMUŁOWANIE ZADANIA IDENTYFIKACJI NIELINIOWEGO MODELU DYNAMICZNEGO

Transkrypt

1 acta mechaca et automatca, vol.3 o.2 (2009) OGÓLNE SFORMUŁOWANIE ZADANIA IDENTYFIKACJI NIELINIOWEGO MODELU DYNAMICZNEGO Zbgew DĄBROWSKI * Wydzał Samochodów Maszy Roboczych, Istytut Podstaw Budowy Maszy, Poltechka Warszawska, Gmach Samochodów Cągków, ul. L. Narbutta 84, Warszawa zdabrow@smr.pw.edu.pl Streszczee: W pracy przedyskutowao tezę, że elowy model dyamczy może być zdetyfkoway z ależytą dokładoścą przy wykorzystau koherecyjej techk pomaru elowego zaburzea. W efekce zapropoowao metodykę postępowaa.. WSTĘP Zadae detyfkacj modelu dyamczego zostało sformułowae w sposób formaly mej węcej w tym samym czase, gdy formułowao zadae optymalzacj było traktowae jako waruek adrzędy by model mógł staowć podstawę poszukwaa rozwązań optymalych. W czasach gdy rozwązae układu klku rówań różczkowych staowło stoty problem oblczeowy, co powodowało w aturaly sposób dążość do przyjmowaa model o jak ajbardzej uproszczoej strukturze, potrzeba dopasowywaa model do rzeczywstośc wydawała sę oczywsta. Ogromy rozwój metod oblczeowych co za tym dze łatwość rozwązywaa złożoych zadań oraz techk modelowaa, w których e wdać w sposób jawy rówań ruchu, spowodowały zjawsko wtórego aalfabetyzmu w tej dzedze. W welu kręgach pauje przekoae, że rozbudowae modelu dyamczego do setek czy tysęcy stop swobody gwaratuje a tyle dużą dokładość, że komputer mus wygeerować poprawe rozwązae jeśl tylko sam proces modelowaa późejszych symulacj przeprowadzoo z ależytą staraoścą. Tymczasem c bardzej błędego. Sama łatwość rozbudowaa modelu do ggatyczych rozmarów e zapewa jeszcze dokładośc wyjąwszy pewe proste, welokrote sprawdzoe przypadk, każdy model dyamczy we być ajperw dopasoway do rzeczywstośc zam stae sę podstawą do woskowaa. Z drugej stroy rozwój techk oblczeowych metod obserwacj (aalzy sygałów) pozwala próbować rozwązać zadaa, które w ujęcu klasyczym traktowao jako erozwązywale (tak zwae odwrote zadae detyfkacj strukturalej). Aby jaso pokazać problem wróćmy do podstaw. Sam term detyfkacja, czyl wg słowka utożsamee stał sę ostato a tyle mody często używay w opracowaach aukowo-techczych, że wymaga powtórego zowaa. W potoczym rozumeu tego słowa detyfkować moża wszystko. Mówmy często o detyfkacj zjawsk, procesów czy obektów, rozumejąc po tym pojęcem przypsywae przedmotow detyfkacj dostateczego zboru cech, by został jedozacze wyróżoy. Zdetyfkować moża róweż pojęca abstrakcyje, p. zdetyfkować problem, trudośc, tp. Często, choć mej precyzyje używa sę róweż określea detyfkacja jako syom słowa rozpozae. Chcąc uścślć pojęce zauważmy, że w każdym z wymeoych przypadków chodz o zakwalfkowae pewego elemetu lub podzboru elemetów zboru A do klasy a jake te zbór podzeloo. W dalszym cągu będzemy używać pojęca detyfkacja w rozumeu termu detyfkacja modelu matematyczego, które to pojęce w sposób opsowy moża zować astępująco (Baek, 990; Gergel Uhl, 990): Idetyfkacją modelu matematyczego azywamy wszelke dzałaa, w wyku których propooway model matematyczy odpowada rzeczywstośc (obserwacj) w sese jakoścowym loścowym zgode z przyjętym kryteram, zachowuje tę odpowedość przy przewdywaym zakrese dopuszczalych zma, to zaczy pozwala a woskowae o aktuale obserwowaym fragmece rzeczywstośc z zadaą dokładoścą. Rys.. Proces detyfkacj modelu dyamczego Idetyfkacja modelu może być przeprowadzoa wg pewych procedur formalych. Może róweż ograczyć sę do sprawdzea (porówaa) rezultatów oblczeń modelowych z wykam obserwacj określee a tej podstawe przedzałów warygodośc modelu. 3

2 Zbgew Dąbrowsk Ogóle sformułowae zadaa detyfkacj elowego modelu dyamczego Isteje dużo model, które zostały zdetyfkowae przez welolete badaa przyjmowae są jako bezdyskusyje poprawe. Nadajemy m ragę praw lub zasad fzyczych. W modelowau układów złożoych staową oe ezmek w przyjętych formalzmach detyfkacyjych. Poglądową lustrację procesu detyfkacj modelu dyamczego przedstawa rysuek. Spróbujmy obece zadae detyfkacj sformułować ścślej (Baek, 990; Dąbrowsk, 992). Bez względu a to, czy celem ostateczym jest dopasowae modelu do rzeczywstośc, czy ocea zakresów zgodośc, podstawą wszelkch formalzmów jest relacja sygał model. 2. RELACJA SYGNAŁ MODEL Załóżmy, że model day jest układem rówań różczkowych zwyczajych II rzędu: ( t x : Mx + Cx + Kx= P( t) + N( x, x )), () gdze ozaczoo odpowedo: x wektor rozwązań układu rówań różczkowych (przy założeu, że rozwązaa te steją), M, C, K macerze bezwładośc, tłumea sztywośc, P macerz wymuszeń, N macerz elowych zaburzeń sztywośc tłumea. Obserwoway a obekce rzeczywstym sygał jest w ogólośc procesem losowym, często z wyraźe wdoczym składowym zdetermowaym. Na ogół przyjmuje sę, że proces te zależy od dwu zmeych czasowych t czasu obserwacj θ czasu życa maszyy oraz egzemplarza, co uwdoczamy zmeą puktu przyłożea perceptora (przetworka pomarowego), które to położee opsujemy współrzędą (wektorem współrzędych) r. Poeważ zależy am z reguły a detyfkacj pewych własośc modelu, a e dokładośc dealej e berzemy całego sygału, lecz jego wyekstrahowaą (wyselekcjoowaą) część, co możemy formale uwdoczć ując operator selekcj S t otrzymując tym samym zależość: y = S { y( t, θ,, r)}, (2) t gdze odpowedo ozaczoo: {y} obserwoway welowymarowy proces losowy formale z ałożoym jedye warukem ograczoośc; t czas obserwacj (czas dyamczy) względem czasu obserwacj ajczęścej stawamy waruek stacjoarośc co za tym dze ergodyczośc. Ne jest o jedak koeczy. Coraz wększą popularość zdobywają sobe skutecze metody aalzy procesów estacjoarych ewątplwe ad wyraz użytecze w zadaach dagostyczych; θ czas życa (czas ewolucyjy) prawo do ezależego traktowaa dwu zmeych czasowych daje am założeeθ t. Rzędy welkośc θ t są a tyle róże, że zmay procesu opsae w fukcj zmeej ewolucyjej są eobserwowale w czase t. Założee o ezależośc obu zmeych pozwala a pomęce w opse ewolucj zadaa drgań parametryczych. Na ogół zakłada sę, że w fukcj θ proces staow słabą regresję (lową lub elową); r wektor współrzędych (umowe współrzęda) puktu, w którym dokoujemy obserwacj. Ze względu a subektywy wybór puktów pomarowych stawa sę postulat, by dla każdej zmeej r stał przedzał (otoczee puktu pomarowego), w którym proces jest słabozmey (m słabej tym lepej) ze względu a powtarzalość obserwacj; zmea ozaczająca wyróżk (umer) badaego egzemplarza z populacj kostrukcj uzaych za tożsame. Rozkład prawdopodobeństwa względem tej zmeej jest stotym parametrem warygodośc dagozy, gdy opracowujemy wspóly test dla grupy urządzeń. Oczywśce zmea ta e występuje, gdy dagozujemy obekt pojedyczy dyspoując zdetyfkowaym modelem. W ogólośc aalza zachowaa sę procesu w fukcj zmeej pozwala a dopasowae ( dostrojee ) uwersalego systemu motorującego (dagozującego) do aktuale testowaego egzemplarza; S t operator selekcj w dzedze czasu, zawerający w sobe operator ekstrakcj, czasem predykcj, ajczęścej róweż uśredaa welu ych zabegów zmerzających do wydobyca z sygału użyteczej formacj. Dzałae tego operatora bywa często azywae preprocessgem ; y wyselekcjoowaa część sygału {y( )}. Tak wyselekcjooway sygał chcemy obece porówać z modelem matematyczym. Na wstępe występują dwe zasadcze trudośc. Po perwsze wyjścem modelu dyamczego rzadko kedy bywa proces w pukce obserwacj. Wektor współrzędych uogóloych x dotyczy pewych mej lub bardzej abstrakcyjych przemeszczeń wybraych puktów układu (p. środków mas). Obserwujemy zaś a ogół część maszyy możlwą do obserwacj spełającą założea opsae przy podawau założeń dotyczących rejestrowaego procesu. Musmy, węc przebeg odpowadający obserwowaemu ajzwyczajej polczyć. Druga trudość polega a koeczośc porówaa procesu, który zawsze jest co ajmej zakłócoy losowo z rozwązaem modelu, który może być zdetermoway. Możlwe są dwe drog. Albo uwzględć ależy w modelu proces losowy, albo welkość obserwowaą sprowadzć do odpowedej zdetermowaej charakterystyk. Najproścej wyrazć to zależoścą: S t{ y (...)} = T x, (3) gdze T ozacza operator trasformacj rozwązań modelu x do postac umożlwającej porówae. Nezależe od tego czy operator T zawera zakłócea losowe wyków modelu zdetermowaego, czy operator St sprowadza obserwoway sygał do uśredoej charakterystyk, powśmy wprowadzć jeszcze do rówaa zmee Ψ, ozaczające zawsze występujący szum pomarowy oraz dopuszczaly błąd modelu, który ozaczymy δ. Żade model bowem e opsuje rzeczywstośc w sposób dealy. Poadto aby w ogóle było możlwe porówae, wyselekcjoowae częśc sygałów trasformowae rezultaty oblczeń modelowych muszą tworzyć przestrzeń metryczą (lub chocaż uormowaą, by możlwa była jakaś forma herarchzacj). Gdy waruek te e jest spełoy ależy posługwać sę ym techkam owaa blskośc. Przyjmjmy założee możlwośc zowaa metryk, co sprowadza rówae (3) do postac: 4

3 acta mechaca et automatca, vol.3 o.2 (2009) S { y(...)} = T x + ψ + δ t ρ( yx ; ) = ρ( xx ; ) = ρ( yy ; ) = ρ(; ). Jeżel model jest lowy, zależość (4) możemy przedstawć w wygodejszej forme, wykorzystującej zasadę superpozycj (Dla prostoty zapsu pomęte dalej operator T włączając go do owaego S ): S { y(...)} = x= p h( t τ, m, k, c ) + ψ + δ t ρ = ρ(;) całość sprowadzć do dzedzy częstotlwośc poddając obustroej trasformace Fourera: SωFS { y(...)} = P( ω) H ( ω, m, k, c ) +Ψ+Δ t ρ = ρ(;) gdze ozaczoo: S ω operator fltracj (selekcj w dzedze częstotlwośc) zawerający obece w raze potrzeby procedurę uśredaa; H(ω) trasmtacja wdmowa w zależośc od szczegółowego zowaa zadaa może ozaczać współczyk wzmocea H 2 ; P(ω) wdmo wymuszea (lub gęstość wdmowa mocy, ewetuale wdmo fazowe); Ψ; Δ odpowede trasformaty Fourera (lub gęstośc wdmowe) szumu pomarowego dopuszczalego błędu modelu. Gdy model jest elowy, take proste przekształcee e jest możlwe. Model zależy od + k parametrów, gdze ozacza lczbę stop swobody, a k parametryzacje wymuszeń. Przy wymuszeach harmoczych są to mary ampltud, przy ych zbór lczb ujących charakterystykę modelowego wymuszea p. ampltuda czas trwaa mpulsu prostokątego tp. W ajprostszym przypadku k ozacza zbór ampltud wszystkch składowych fourerowskch wszystkch wymuszeń (Jest w tym stwerdzeu zawarte uproszczee techcze. W praktyce e są to ścśle rzecz borąc ampltudy szeregu Fourera tylko efekt dyskretyzacj cągłej trasformaty Fourera, to zaczy zależa od rozdzelczośc aalzy lczba prążków (pasm) (Batko, 2008)). Na ogół wszystke parametry modelu powstają jako odwzorowae rzeczywstośc z mejszym lub wększym błędem wykającym z ograczoych możlwośc pomarowych, lub uśredaa daych z welu pomarów (tak zwae potocze dae tablcowe ). Należy jedak wyraźe zdawać sobe sprawę, że awet maksymala mmalzacja tych błędów e staow gwaracj uzyskaa dealego modelu. Błąd struktury steje zawsze. W końcu każda maszya w opse makro jest układem cągłym. Tym samym odchyłk parametrów od wartośc rzeczywstych a ogół są ezbęde by model fukcjoował poprawe. Nekedy muszą być oe zresztą zmeae w dosyć szerokch gracach przyjąć pewe wartośc abstrakcyje co ajwyżej jedozacze odwzorowywale w rzeczywste. Mówmy wtedy o trasformacj rzeczywstych daych obserwowaych. Wróćmy jedak do zadaa. (4) (5) (6) Rówaa (5) (6) są rówoważe zawerają te same parametry. Wybór dzedzy, w której będzemy przeprowadzal procedurę detyfkacj zależy po perwsze od rodzaju ruchu. W staach eustaloych zmusze jesteśmy ograczyć sę do dzedzy czasu, lub trasformatę Fourera zastąpć ym przekształceem (p. trasformatą falkową). Z drugej jedak stroy prawa algebry są eukoe. Musmy dyspoować taką samą lczbą waruków, jak lczba parametrów doberaych (zmeaych) z procese detyfkacj. W dzedze czasu wymaga to wykoaa dokłade tylu ezależych obserwacj. W dzedze częstośc atomast możemy zażądać jedocześe zgodośc każdej składowej wdmowej, co (oczywśce za ceę pewych ograczeń) pozwala uzyskać aprawdę wele ezależych rówań z aalzy rejestracj w jedym pukce pomarowym. Nc węc dzwego, że powszeche detyfkuje sę model w dzedze częstotlwośc. Wyberzmy zatem spośród parametrów modelu pewą ch lczbę, którą potraktujemy jako zbór zmeych decyzyje z(z...z ) określając jedocześe dopuszczaly zakres możlwych zma. Przeważe rob to sę tak, by e aruszyć fzyczej realośc, lecz e jest to waruek koeczy. Ozaczając dopuszczaly błąd detyfkacj w myśl przyjętej metryk przez δ w dzedze czasu Δ w dzedze częstotlwośc, a lewą stroę rówaa przez Y, otrzymamy układ rówań zbudoway wg reguły: ω ω = Y P H ( m, k, c, z... z ) <Δ Ψ z... z Rówań tych jest tyle, le stotych składowych wdmowych używamy do detyfkacj ( le zowalśmy zmeych decyzyjych). Warukem rozwązywalośc jest spełee rówośc: Δ >Ψ (8) co jest raczej oczywste. Ne możemy żądać wększej zgodośc modelu z sygałem ż zakłócea szumowe. W detyczy sposób moża zapsać zależośc dla dzedzy czasu: y p ( t) h ( m, k, c, z... z ) < δ ψ z... z gdze tym razem wskaźk ozacza współrzędą a keruku której dokoao obserwacj. Tak zoway problem będzemy azywać detyfkacją parametryczą. Zwróćmy uwagę a podobeństwo zadaa detyfkacj parametryczej do klasyczego zadaa optymalzacj. W jedym drugm przypadku wprowadzamy oblgatoryje pewa lczbę zmeych decyzyjych mogących sę zmeać w obszarze ścśle ograczoym obszarowo lub fukcjoale. To druge określee ozacza wzajeme zwązk mędzy zmeym. W jedym drugm przypadku ujemy metrykę w sposób właścwy dla fzyk zadaa oraz w obu przypadkach modyfkujemy model. Różca polega a samym kryterum porówawczym. W zadau (7) (9) 5

4 Zbgew Dąbrowsk Ogóle sformułowae zadaa detyfkacj elowego modelu dyamczego optymalzacj poszukujemy mmum pewej zależośc fukcyjej (fukcjoalej) pomędzy rozwązaam, zwaej fukcją celu lub fukcjoałem jakośc. W zadau detyfkacj parametryczej żądamy, by każde z rozwązań ależało do blskego otoczea zewętrzego wzorca jakm jest welkość obserwowaa. Pod względem rachukowym detyfkacja jest o tyle prostsza, że zadae automatycze sę dekompouje. W przypadku optymalzacj dekompozycja e zawsze jest możlwa. Oba zadaa są jedak ze sobą tak ścśle zwązae, że dość łatwo o popełee błędów. Typowym z ch jest użyce tych samych zmeych decyzyjych w obu zadaach. Tymczasem zmee dobrae w trakce detyfkacj jak juz wspomao wcześej korygują wszystke błędy modelu, a co za tym dze mogą przyjmować a ogół przyjmują pewe wartośc abstrakcyje w ajlepszym raze trasformowale a rzeczywste, przy czym trasformacja taka jest a ogół e zaa. Pytae w jakm zakrese dopuszczalych zma owych zmeych decyzyjych model będze zachowywał zdetyfkowaą adekwatość jest ajtrudejszym do rozwązaa problemem ajczęścej wymagającym praktyczej weryfkacj lub żmudego badaa cągłośc stateczośc rozwązań rówań różczkowych w fukcj zma parametrów. 3. IDENTYFIKACJA STRUKTURALNA Okazać sę jedak może, że detyfkacja parametrycza jest ewykoala awet przy rozszerzeu przedzałów dopuszczalośc zmeych decyzyjych, czyl że złożoa struktura e pozwala awet a zbudowae modelu typu czara skrzyka, co występuje stosukowo często w przypadku model lowych. Załóżmy wobec tego, że mamy model częścowo zdetyfkoway parametrycze w zakrese zma parametrów e aruszających fzyczej realośc. Określee częścowo może ozaczać spełee pewej lczby waruków przy odległośc ρ wększej ż założoo. Typowym przykładem jest uzyskae zgodośc podstawowych częstotlwośc drgań własych obektu modelu bez możlwośc dostrojea ampltud. W takej sytuacj zadae, z formalego puktu wdzea, sprowadza sę do zalezea ewadomych fukcj φ(φ ) uzupełających relację () w myśl zależośc: ( ) Y PH + Φ < Δ ψ ( Φ) ΦΦ (0) gdze wektor ewadomych fukcj Φ ozacza błąd strukturaly modelu. Zadae to os azwę detyfkacj strukturalej estety a ogół jest rozwązywale jedye częścowo. Zbór fukcj Φ (lub φ w dzedze czasu) ma ses wektora poprawek, czyl wektora korekcyjego, który mus być doday do wektora rozwązań by te odpowadał z zadaą dokładoścą wykow obserwacj. W tym pukce kończy sę możlwość dalszej algorytmzacj zadaa. Przełożee wektora Φ a zmaę układu rówań różczkowych jest erozwązywale w ogólym przypadku, gdyż eskończee wele układów rówań różczkowych może posadać te same rozwązaa. Szczególe zadae odwzorowaa obserwacja model azywamy odwrotym zadaem detyfkacj. Mmo braku ogólego algorytmu awet dla zagadea lowego (porówaj rozdzał) stosuje sę wele metod czy też raczej sposobów wykających bardzej z dośwadczea zajomośc obektu przez modelującego ż ogólej teor by zadae rozwązać. Najprostszą jest zwększae dokładośc opsu tych fragmetów modelu, które były zbudowae z dużym uproszczeem próba mmalzacj wektora Φ. I tu dochodzmy do seda trudośc. Poczyoe założee lowośc opsu (5) (6) może e pozwolć a uzyskae zadowalających rezultatów awet za ceę rozbudowy modelu do ggatyczych rozmarów. Jakoścowo róży efekt oblczeń modelowych wyków obserwacj często wymaga zmay modelu z lowego w elowy. Załóżmy zatem, że obserwoway układ jest elowy fukcje Φ * staową wektor różc pomędzy rozwązaem zlearyzowaym rzeczywstym. Na podstawe aalzy ogólych postac rozwązań elowych rówań różczkowych zwyczajych uzyskaych metodam przyblżoym (Batko, 2008; Dąbrowsk, 2007) moża wykazać, że możlwe jest uwzględee różc w sposób formale detyczy z zapsem (5) (6) to zaczy w postac: * t{ Y(...)} P H SFS ω +Φ < Δ Ψ ρ = ρ(.;.) 4. MOŻLIWOŚĆ POMIARU NIELINIOWEGO ZABURZENIA () Uzyskae rozwązaa względe poprawego fzycze byłoby możlwe gdyby elowe zaburzee (wektor fukcj Φ) udałoby sę zmerzyć, a tym samym oddzelć detyfkację parametryczą ograczoą w tym przypadku do częśc lowej od strukturalej zowaej jako poszukwae elowego zaburzea. Propozycją w tym względze może być zapropooway przez autora model koherecyjy (Batko, 2008; Dąbrowsk, 992; Dąbrowsk, 2007). Rys. 2. Model prostego układu z jedym wejścem jedym wyjścem Rozpatrzmy model prostego układu z jedym wejścem jedym wyjścem (rysuek 2), gdze przez x(t) y(t) oza- 6

5 acta mechaca et automatca, vol.3 o.2 (2009) czoo odpowedo sygały rejestrowae a wejścu wyjścu a przez G xx G yy gęstośc wdmowe mocy tych sygałów. Jak wadomo dla takego układu moża określć trasmtację (fukcję zespoloą) zależoścą: Y ( ω) H ( ω) = (2) X ( ω) gdze Y(ω) X(ω) są zespoloym trasformatam sygałów wyjścowego wejścowego, lub a jede z dwóch sposobów: Gxy ( f) H( f) = G ( f) (3) xx Gyy ( f ) H2( f ) = G ( f ) (4) yx gdze G xy G yx są wzajemym gęstoścam wdmowym mocy (sprzężoym ze sobą). Obe te fukcje są sobe rówe jedye dla ezakłócoego układu lowego. W każdym ym przypadku ch stosuek zway fukcją koherecj zwyczajej jest mejszy od jedośc: H ( f) Gxy ( f) γ ( ) = = < (5) H ( f) G G 2 xy f 2 xx yy W klasyczej aalze częstotlwoścowej podaje sę dosyć proste reguły jak a podstawe wartośc fukcj koherecj odseparować zakłócea a wejścu lub wyjścu układu pod warukem, że wadomo z góry, który rodzaj zakłócea występuje. Ne ma atomast ogólych recept jak terpretować ske wartośc fukcj koherecj zwyczajej, gdy układ jest elowy. Spróbujmy, zatem zgode z tezą zawartą m.. w pracy Batko ych (2005) oraz Dąbrowskego ych (2007), potraktować układ elowy jako układ, w którym występują jedocześe skorelowae zakłócea a wejścu wyjścu (Założee, że zakłócee jest eskorelowae z sygałem wejścowym lub wyjścowym jest rówozacze ze stwerdzeem, że zakłócee to jest z tym sygałam ekoherete. Zatem odpowede fukcje koherecj muszą być rówe 0. Przy takm założeu bardzo upraszcza sę zadae odseparowaa zaburzea wejśca lub wyjśca układu, lecz byłoby to ewdete sprzecze z próbą opsu elowośc jako łączego zakłócea a wejścu wyjścu.). Model blokowy takego układu został przedstawoy a rysuku 3. a(t) G aa x(t) G xx u(t) G uu 2 h(t) H y(t) G yy b(t) G bb v(t) G vv Rys. 3. Układ z zakłóceam a wejścu wyjścu jako model układu elowego Na rysuku ozaczoo odpowedo: G aa uśredoe wdmo mocy sygału wejścowego, G bb uśredoe wdmo mocy sygału wyjścowego, G ab uśredoe wdmo wzajeme mocy pomędzy sygałam wejścowego a wyjścowym (sprzężoe do G ba ), G ba uśredoe wdmo wzajeme mocy pomędzy sygałam wyjścowego a wejścowym (sprzężoe do G ab ), G uu uśredoe wdmo mocy zakłóceń a wejścu układu, G vv uśredoe wdmo mocy zakłóceń a wyjścu układu, G xx uśredoe wdmo mocy ezakłócoego sygału a wejścu układu, G yy uśredoe wdmo mocy ezakłócoego sygału a wyjścu układu. Dla takego układu moża uzyskać zależość: 2 2 ab γxy uu aa γ ( f ) = ( f)/[( + G ( f)/ G ( f) + Gvv ( f)/ Gbb ( f) + G ( f)/ G G ( f)/( f) G ( f)] uu aa vv bb (6) skąd po skomplkowaych przekształceach dochodz sę do rówaa: 2xy 2 xy 2 H ( ) ab( f) γ f γ ab ( f ) = = = H2ab ( f) + Δ( f) Hxy ( f) H ( f) + Δ( f) (7) Przekształcee zależośc (6) do postac (7) dowodz twerdzea, że moża uzyskać fukcję koherecj zwyczajej układu zakłócoego elowym zaburzeem możąc fukcję koherecj układu ezakłócoego przez prosty możk będący jedye fukcją częstotlwośc, oczywśce róży dla różych zakłóceń, czyl różych rodzajów elowośc. Porówae tych możków, a dokładej wydzeloej fukcj Δ f pozwala zatem a oceę elowego zaburzea, poeważ jak pokazao w pracy Batko ych (2008) zachodz relacja: * Δ Φ (8) f Propoowaa terpretacja wyków obserwacj pozwala a podstawe zajomośc możków Δ f określoych dla każdej współrzędej a zalezee ezaych fukcj Φ, a tym samym a rozwązau zadaa detyfkacj strukturalej modelu matematyczego. 5. PODSUMOWANIE Propoowaa słą rzeczy, ze względu a objętość artykułu, w skróce metodyka postępowaa jest jedym (obok p. aalzy modalej) ze sposobów detyfkacj elowych model dyamczych. I chocaż z puktu wdzea teor zadae odwrote detyfkacj strukturalej pozostaje w ogólośc erozwązywale, steje duża klasa układów mechaczych, dla której wyodrębee pomar elowego zaburzea umożlwa uzyskae wysokej zgodośc modelu z wykam obserwacj emożlwej do uzyskaa ym metodam. 7

6 Zbgew Dąbrowsk Ogóle sformułowae zadaa detyfkacj elowego modelu dyamczego LITERATURA. Baek T. (990), Optymala Fltracja predykcja sygałów opsywaych stochastyczym rówaam różczkowym, Wyd. Uwersytetu M. Cure-Skłodowskej, Lubl. 2. Batko W., Dąbrowsk Z., Egel Z., Kcńsk J., Weya S. (2005), Nowoczese metody badaa procesów wbroakustyczych część I, Wydawctwo Istytutu Techolog Eksploatacj PIB, Radom. 3. Batko W., Dąbrowsk Z., Kcńsk J. (2008), Nolear Effects Techcal Dagostcs, Polsh Academy of Scece, Warszawa. 4. Dąbrowsk Z., Dzurdź, Skórsk W. W. (2007), Drgaa masztów kompozytowych, Wydawctwo Istytutu Techolog Eksploatacj PIB, Warszawa-Radom. 5. Dąbrowsk Z. (992), The evaluato of the vbroacoustc actvty for the eeds of costructg ad use of maches, Mache Dyamc Problems, Vol Gergel J., Uhl T. (990), Idetyfkacja układów mechaczych, PWN, Warszawa. GENERAL FORMULATION OF THE TASK OF THE NONLINEAR MODEL IDENTIFICATION Abstract: I the paper t was cosdered the thess that olear dyamc model ca be detfed wth suffcet accuracy usg coherece techque of olear dsturbace measure. Fally the methodologcal proposal s gve. 8