Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
|
|
- Damian Orzechowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /15
2 WARIACJE Liczba wariacji, czyli różnych ciągów k-elementowych o wyrazach ze zbioru n-elementowego, wynosi n k. Ciąg k-elementowy, którego wyrazy nie powtarzają się, nazywa się k-wyrazową wariacją bez powtórzeń. Zamiast mówić o ciągach bez powtórzeń można mówić o funkcjach różnowartościowych. Weźmy więc zbiór k elementowy X i zbiór n elementowy Y oraz wszystkie różnowartościowe funkcje z X do Y. Mamy wtedy: jeśli k>n, to nie ma takich funkcji, jeśli n k to mamy n (n-1) (n-k+1) takich funkcji, czyli n k.
3 Zadania Na ile sposobów można wyciągnąć 5 kart z talii 52 kart, jeśli za każdym razem wylosowaną kartę zwracamy do talii? Czy kolejność kart ma znaczenie? Rozwiń to zagadnienie. Na ile sposobów możemy pokolorować graf o p ponumerowanych wierzchołkach farbami w r kolorach? Ile jest różnych n-cyfrowych liczb naturalnych? Jaka jest liczba słów co najwyżej 20 literowych nad alfabetem 24 literowym?
4 Przykład W zawodach punktuje się 6 pierwszych miejsc. Startuje 21 drużyn, w tym drużyna polska. Ile może być wyników zawodów? A ile wyników, gdy Polska zajmuje jedno z punktowanych miejsc? Wynik może być reprezentowany 6-cio elementowym ciągiem nazw drużyn zajmujących miejsca od pierwszego do szóstego. W przypadku pierwszego pytania, takich ciągów może być p 1 = W przypadku drugiego pytania, przyjmujemy, że jedno z sześciu miejsc punktowanych jest już zajęte przez drużynę polską. Na pierwsze wolne miejsce w tym ciągu możemy wstawić jedną z 20 pozostałych drużyn, na drugie wolne jedną z 19 pozostałych drużyn, itd. Zatem liczba możliwych wyników p 2 =
5 Zapytajmy teraz, jakie jest prawdopodobieństwo, że drużyna polska będzie na punktowanym miejscu? Prosta odpowiedź brzmi, że jest to iloraz p 2 przez p 1, czyli p 3 =1/21. Komentarz Tak będzie jednak tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, tzn. gdy wszystkie drużyny grają na tym samym poziomie. Tak się jednak nigdy nie zdarza. Zatem dla policzenie tego prawdopodobieństwo trzeba by wziąć pod uwagę rozmaite zależności, i byłoby to dość skomplikowane
6 ROZMIESZCZENIA UPORZĄDKOWANE Ile jest różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych k elementów w n pudełkach? Pierwszy element możemy umieścić na n sposobów. Drugi albo w pustym pudełku, których jest n-1, albo w pudelku z pierwszym elementem na dwa sposoby (przed nim lub po nim); czyli łącznie na n+1 sposobów. Jak już umieściliśmy w pudełkach i-1 elementów, to w kolejnych pudełkach znajduje się i 1, i 2, i n elementów oraz i 1 + i i n = i 1. Element i-ty możemy włożyć do pierwszego pudełka na i 1 +1 sposobów, do drugiego na i 2 +1 sposobów, itd. Łącznie na (i 1 +1)+(i 2 +1)+ +(i n +1) = n+i 1 sposobów. Liczba rozmieszczeń uporządkowanych k elementów w n pudełkach wynosi n (n+1) (n +2) (n+k 1) = k n.
7 Zadanie W sali banku są czynne 3 okienka. Na ile sposobów 23 klientów może ustawić się w kolejach do tych okienek? 3 23 = 3 4 (3+23-1) = 25!/2 Zadanie Czego jest więcej: rozmieszczeń uporządkowanych 2 elementów w 3 pudełkach czy 3 elementów w 2 pudełkach?
8 ZADANIA Z KARTAMI: POKER Talia kart składa się z 4 kolorów zwanych trefl, karo, kier i pik. Każdy kolor składa się z 13 kart: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, W, D, K, A. Układ kart w ręce (figura) jest zbiorem 5 kart z talii 52 kart. Kolejność wyboru kart nie jest istotna. Rodzaje figur: poker królewski to 10,W,D,K,A w jednym kolorze poker to sekwens w jednym kolorze nie będący pokerem królewskim (sekwens to 5 kolejnych kart, przy czym as może stać przed dwójką lub za królem) czwórka to układ zawierający 4 karty tej samej wysokości, np. DDDD ful to 3 karty tej samej wysokości i 2 karty tej samej wysokości
9 kolor to 5 kart w jednym kolorze nie tworzących ani pokera królewskiego, ani pokera strit to sekwens nie będący ani pokerem, ani pokerem królewskim trójka to 3 karty tej samej wysokości, czwarta innej i piąta jeszcze innej dwie pary to 2 karty tej samej wysokości, 2 karty innej, lecz między sobą tej samej wysokości, i piąta karta jeszcze innej wysokości para to 2 karty tej samej wysokości, pozostałe dowolne ale łącznie nie tworzące żadnego z wymienionych wyżej rodzajów układów zerówka to układ, który nie jest żadnego z powyższych rodzajów. Powyższa kolejność jest odwrotna do szansy otrzymania figury danego rodzaju.
10 1. Ile jest układów kart w pokerze? Pokaż, że jest to Ile układów, to fule? Trochę wcześniej wprowadziliśmy pojęcie typ 4 4 fula. I pokazaliśmy, że jest tych układów dla jednego typu oraz różnych typów. Zatem = 3744 możliwości. Zakładając, że każdy układ jest jednakowo prawdopodobny i przyjmując, że prawdopodobieństwo zdarzenia to iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo wyciągnięcia fula to 3744/ = czyli około 1,5 promila. Policz prawdopodobieństwa pozostałych rodzajów figur w pokerze!
11 Współczynniki dwumianowe Jak już wiemy z wykładu 8 (temat: zliczanie podzbiorów), współczynnik dwumianowy to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, tzn.. Nazwa "współczynniki dwumianowe" bierze się stąd, że pojawiają się one w rozwinięciu dwumianu. Twierdzenie o liczbie podzbiorów Gdyby była istotna kolejność elementów w podzbiorach, to mielibyśmy do czynienia z k-elementowymi wariacjami, więc byłoby ich n k. Jednak każdy k-elementowy podzbiór można uporządkować na k! sposobów, zatem mamy k n n n( n 1) ( n k + 1) n! = = =. k k! k! ( n k)! k!
12 Dla n k 0 zachodzi: Dowody, dla,, dla,, dla (reguła symetrii). Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że dowolny zbiór n-elementowy ma tylko jeden 0-elementowy podzbiór podzbiór pusty i tylko jeden podzbiór n-elementowy cały zbiór.
13 Drugi punkt jest oczywisty, jako że zbiór n-elementowy nie może mieć podzbiorów o k elementach, gdy k>n. Dla dowodu trzeciego punktu, zauważmy jedynie, że podzbiorów jednoelementowych jest dokładnie tyle ile elementów w zbiorze. Wreszcie dla dowodu ostatniego punktu załóżmy, że. Wtedy funkcja jest bijekcją. Innymi słowy, zamiast wybierać k elementów ze zbioru X można odrzucić n k elementów. REGUŁA DODAWANIA Reguła ta stanowi fundament dla rekurencyjnej procedury obliczania współczynników dwumianowych: dla mamy
14 Dowód (interpretacja kombinatoryczna) Załóżmy, że. Wtedy, po usunięciu ze zbioru Z elementu dostajemy (n 1)-elementowy zbiór Z. Oczywiście wszystkie k-elementowe podzbiory zbioru Z można podzielić na dwa typy: albo mają w sobie element a, albo go nie mają. Każdy podzbiór pierwszego typu, czyli takie, że jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje pozostałe (k 1)-elementów ze zbioru Z. Takich możliwości jest n 1 k 1 W drugim przypadku są to k-elementowe podzbiory (n 1)-elementowego zbioru. Jest więc ich dokładnie. A zatem.
15 Trójkąt Pascala bazuje na własności i ustawia liczby w następujący sposób: wiersze trójkąta numerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi 0, 1, 2, w każdym z wierszy trójkąta występuje dokładnie liczb. Są to kolejno. Przesunięcie w wierszach, pozwala wyliczyć jako sumę dwu liczb stojących bezpośrednio nad.
16 Reguła sumowania po górnym indeksie (sumowanie po przekątnej trójkąta Pascala) Dla mamy
17 Dowód Ustalmy -elementowy zbiór. Rozważając jego -elementowe podzbiory zwracamy uwagę na element tego podzbioru, który ma największy indeks. Oczywiście jest, gdyż nie ma -elementowych podzbiorów. Równie łatwo jest zauważyć, że jest dokładnie jeden podzbiór -elementowy w którym jest elementem o najwyższym indeksie, jest to zbiór {x 0, x 1 x k }. Policzmy teraz podzbiory zbioru X, w których x i jest elementem o największym indeksie, przy czym. Oprócz elementu x i każdy taki zbiór ma dokładnie k elementów wybranych z -elementowego zbioru. Wyboru tych elementów można dokonać na sposobów.
18 Zatem podzbiorów zbioru X, w których x i jest elementem o największym indeksie jest dokładnie. Sumując po wszystkich możliwych, czyli otrzymujemy: Oczywiście i = 0 k dla i<k.
19 Reguła sumowania równoległego (sumowanie po drugiej przekątnej) Dla mamy: Dowód Tożsamość tę udowodnimy wykorzystując dwukrotnie regułę symetrii oraz regułę sumowania po górnym indeksie:
20 Tożsamość Cauchy'ego, splot Vandermonde'a Dla liczb naturalnych mamy: Dowód Policzymy liczbę wszystkich wyborów k osób z grona m mężczyzn i n kobiet, czyli liczbę na inny sposób: wybieramy najpierw i mężczyzn na sposobów, a potem k i kobiet na sposobów. Pozostaje teraz zsumować po wszystkich możliwych wartościach parametru i.
21 Twierdzenie o dwumianie (wyjaśnia pochodzenie tajemniczej nazwy "współczynniki dwumianowe") Dla i mamy Dowód Przedstawmy najpierw potęgę w rozwiniętej formie iloczynu: Korzystając z rozdzielności mnożenia, wyrażenie to staje się sumą składników. Każdy taki składnik to iloczyn pewnej liczby x-ów i pewnej liczby y-ów, przy czym łącznie iloczyn taki ma n czynników.
22 Każdy składnik ma postać. Powstaje on poprzez wybór k spośród n czynników w iloczynie, z których do składnika postaci wchodzi x (a tym samym składników, z których wchodzi y). Tym samym składników postaci jest tyle, ile - elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, czyli pojawi się w sumie -krotnie. Twierdzenie o dwumianie można też udowodnić za pomocą indukcji. Przykłady
23 Lemat 1 Dla dowolnego n 0 mamy. Lemat 2 Dla dowolnego n 0 mamy. Lemat 3 Dla dowolnego n 0 mamy. (Uwaga: )
24 Dowody Wszystkie lematy wynikają trywialnie z twierdzenia o dwumianie. Pierwszy jest oczywisty. Dla dwu pozostałych zauważmy jedynie, że,. Jednak drugi i trzeci punkt mają ładną interpretację kombinatoryczną. Istotnie, liczba podzbiorów zbioru n elementowego to. Z drugiej strony licząc te podzbiory, możemy kolejno zliczać podzbiory 0, 1, 2, elementtowe - jest ich. Nieco dłuższy jest argument kombinatoryczny dla naprzemiennej sumy. Dla n=0 jest to oczywiste. Natomiast dla n>0 jest to równoważne stwierdzeniu, że dla n-elementowego zbioru X liczba podzbiorów zbioru X o parzystej liczbie elementów jest równa liczbie podzbiorów X o nieparzystej liczbie elementów.
25 Załóżmy najpierw, że n jest nieparzyste. Wtedy każdy podzbiór zbioru X o parzystej liczbie elementów ma dopełnienie o nieparzystej liczbie elementów, a każdy podzbiór zbioru X o nieparzystej liczbie elementów ma dopełnienie o parzystej liczbie elementów. Ta bijektywna odpowiedniość dowodzi, że w istocie jest ich tyle samo. Załóżmy zatem, że n jest parzyste i ustalmy f: P(X) P(X), kładąc. Zdefiniujmy funkcję Zauważmy, że f jest permutacją P(X).
26 Rzeczywiście, dla różnych podzbiorów mamy: jeśli i to jeśli i to jeśli i to i, zatem. To dowodzi, że f jest injekcją. Dla dowodu surjektywności weźmy dowolne. Jeśli to, jeśli zaś to. Zatem f jest permutacją zbioru. Co więcej łatwo zauważyć, że dla Y o parzystej (nieparzystej) liczbie elementów f(y) ma nieparzystą (parzystą) liczbę elementów. To dowodzi, że dla parzystego n podzbiorów X o parzystej liczbie elementów jest tyle samo co podzbiorów X o nieparzystej liczbie elementów.
27 Zadania 1. Policz 11 4 wykorzystując współczynniki dwumianowe. 2. Niech n>0, 0 k n. Dla jakich k wartość jest największa? 3. Udowodnij własność sześciokąta ( k1) n1 ( n k+ 1) ( n+ 1 k ) = ( n1 k ) ( n+ 1 k+ 1) ( k1) n
28 Uogólniony współczynnik dwumianowy Umiemy już policzyć wartość sumy całego wiersza w trójkącie Pascala i wartość naprzemiennej sumy całego wiersza. W praktyce często pojawia się konieczność (naprzemiennego) sumowania tylko pewnego fragmentu takiego wiersza. Do tego pomocne mogłyby być sumy postaci: dla, gdyby miały postać zwartą! Niestety nie jest znana żadna zwarta postać. Zaskakująca jest natomiast zwarta postać modyfikacji tej sumy polegającej na wymnożeniu każdego składnika przez jego odległość od środka trójkąta.
29 Dla zachodzi + + = = ) 2 ( 0 m n m i n i n m i Np. dla n=6 i m=4 mamy: ) ( = + + = oraz = = + Druga suma, czyli naprzemienna częściowa suma wiersza trójkąta Pascala ma postać zwartą. Wyprowadzenie takiej postaci odwołuje się do uogólnienia współczynnika dwumianowego na dowolne rzeczywiste indeksy górne, i dowolne całkowite indeksy dolne.
30 Uogólniony współczynnik dwumianowy dla i to: Zauważmy, że dla wartości pozostają niezmienione oraz interpretacja jako liczby k-elementowych podzbiorów zbioru r- elementowego pozostaje w mocy. Nie jest natomiast znana sensowna kombinatoryczna interpretacja uogólnionego współczynnika dwumianowego dla pozostałych rzeczywistych wartości r. Odnotujmy tylko, że jest wielomianem k-tego stopnia zmiennej r.
31 Sporo własności współczynnika dwumianowego przenosi się na wersję uogólnioną, np. dla i mamy:,,,, a także, dla. Reguła symetrii nie jest ogólnie prawdziwa (nawet dla całkowitego indeksu górnego), np.
32 Dowód (**) Dla ujemnych wartości k wszystkie współczynniki równe są 0 i tożsamość trywialnie zachodzi. Niech teraz i. Oczywiście różnica jest wielomianem co najwyżej k. Może więc, o ile nie jest wielomianem stale równym zero, mieć co najwyżej k miejsc zerowych. Z drugiej strony wiemy już, że ta różnica zeruje się dla wszystkich liczb naturalnych r, więc musi być zawsze równa 0. Wniosek Uogólniona reguła dodawania pozwala rozszerzyć trójkąt Pascala na współczynniki o ujemnych wartościach górnego indeksu. Kolejne wartości "ujemnej części" możemy wyliczać w następującej kolejności:
33 Przyjrzyjmy się wartościom dla ustalonego k i całkowitych wartości n. Zauważalny jest pewien rodzaj symetrii między tymi wartościami. W istocie zachodzi on dla wszystkich rzeczywistych wartości górnego indeksu. Reguła negacji górnego indeksu Dla, mamy Dowód Policzymy wartość obu stron po uprzednim wymnożeniu przez wspólny mianownik k:
34 Znaną nam już regułę równoległego sumowania możemy uogólnić: dla, zachodzi Zauważmy, że rozważana suma jest tylko pozornie nieskończona, gdyż dla wszystkich ujemnych wartości i odpowiednie składniki zerują się. W dalszych ciągu będziemy również rozważać podobne sumy "nieskończone", ale zawsze przy założeniu, że tylko skończenie wiele składników jest niezerowych. Wyposażeni w regułę negacji górnego indeksu wracamy teraz do naprzemiennej, częściowej sumy wierszy w trójkącie Pascala, czyli do : dla, zachodzi
35 Dowód z uogólnionej reguły sumowania Przedstawimy teraz tożsamość, której później użyjemy do zliczenia pewnych, szczególnych permutacji. Zaczniemy od pomocniczej obserwacji, zwanej przestawieniem trójmianowym: Dla, zachodzi
36 Dowód Zauważmy, że dla obie strony równości się zerują. Także dla teza jest trywialna. Zatem możemy założyć, że. Wtedy:
37 Reguła odwracania Dla funkcji f, g: Z R zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Dowód Z uwagi na symetrię założeń wystarczy udowodnić tylko jedną implikację. Zakładamy zatem, że by dostać:
38 gdzie druga równość wynika ze zmiany kolejności sumowania, trzecia z przestawienia trójmianowego, a ostatnia przez podstawienie.
39 Wiemy już, że suma jest niezerowa (i wynosi 1) tylko dla. Zatem kontynuując:
40 Przykłady 1 2 2) 1)( ( 2! 1) ( = = =, =, ! = = = Zadania Obliczyć n 1 dla dowolnej liczby naturalnej n. Obliczyć 0 1) ( k k k n. Wykazać, że = n n k n k 2 2.
41 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów stałych". Podsilnia liczby n, w skrócie!n, to liczba nieporządków zbioru n-elementowego. Przyjmujemy, że!0=1, jako że jedyna permutacja zbioru pustego - funkcja pusta - w oczywisty sposób nie ma punktów stałych. Liczba nieporządków.
42 Przykład Zbiór ma permutacje, ale tylko 9 z nich to nieporządki, bo!4 = 4! [1/0! 1/1!+1/2! 1/3!+1/4!] = /2 24 1/6+24 1/24 = = 9. Oto ich lista:
43 Dowód Zauważmy najpierw, że liczba permutacji α zbioru n-elementowego takich, że dla dokładnie i elementów, wynosi. Stąd: Stosując teraz regułę odwracania, dostajemy:
44 Zadania 1. W kolejce stoi n studentów. Wchodzą oni na egzamin w k niepustych grupach. Na ile sposobów można utworzyć te grupy? 2. Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie x 1 +x 2 + +x k =n? 3. Na ile sposobów można ustawić n osób w kolejkach do k ponumerowanych okienek pocztowych, przy czym dopuszczamy puste kolejki (zamknięte okienka). 4. Ile jest rosnących funkcji odwzorowujących zbiór {1,2 k} w zbiór {1,2 n}? A ile jest takich funkcji niemalejących? 5. Na ile sposobów można rozmieścić 6 przedmiotów w trzech róznych pojemnikach tak, by w każdym były dokładnie dwa przedmioty?
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8a/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3a/15 Indukcja matematyczna Zasada Minimum Dowolny niepusty podzbiór S zbioru liczb naturalnych ma w sobie liczbę najmniejszą. Zasada
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR
I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoLV Olimpiada Matematyczna
LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoDzień pierwszy- grupa młodsza
Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoMaria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 5/14 Rekurencja Weźmy dla przykładu wzór (przepis) na liczenie silni: n! to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n oraz 0!=1.
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowo