%*$*+ Wydawnictwa AGH, Kraków 2001 ISSN

Transkrypt

1 %*$*

2 6 pozycj wydwnictw dydktycznych kdemii Góniczo-Hutniczej im Stnisw Stszic w Kkowie Wydwnictw GH Kków ISSN 9-64 edkto Nczeny Uczeninych Wydwnictw Nukowo-Dydktycznych: pof d hb in ndzej Wichu Z-c edkto Nczenego: mg et szczewsk-wojd ecenzent: pof d hb in Zbigniew Enge Pojekt okdki i stony tytuowej: et szczewsk-wojd Opcownie edytoskie: zespó edkcyjny UWND Koekt: Dnut Hnik %*$* Skd komputeowy: nde te 4-- edkcj Uczeninych Wydwnictw Nukowo-Dydktycznych Mickiewicz -59 Kków te te/fx

3 Spis teci Pzedmow 5 Wstp 7 Sttyk 9 Uwgi metodyczne dotyczce ozwizywni zd ze sttyki 9 Pski odkowy ukd si Pzestzenny odkowy ukd si 4 Pski dowony ukd si 9 5 Pski ukd si ównoegych 7 6 Pzestzenny dowony ukd si 4 7 Pzestzenny ukd si ównoegych 5 8 Tcie 55 9 odki cikoci 6 Kinemtyk 7 Uwgi metodyczne dotyczce ozwizywni zd z kinemtyki 7 Kinemtyk punktu 7 Wyzncznie ówn uchu pdkoci pzyspiesze oz tou 7 Kinemtyk byy 88 uch postpowy i obotowy 88 uch pski 9 uch kuisty 6 4 uch zoony punktu 8 5 Skdnie uchów postpowych i obotowych 46 Dynmik 5 Uwgi metodyczne dotyczce ozwizywni zd z dynmiki 5 Dynmik punktu mteinego 5 óniczkowe ównni uchu wyzncznie si 5 óniczkowe ównni uchu wyzncznie ówn skoczonych uchu 57 Pd kt zsd ównowtoci enegii kinetycznej i pcy zsd zchowni enegii 68 4 Dynmik punktu w uchu wzgdnym 8 5 Dynmik punktu o zmiennej msie 97 %*$*

4 4 STTYK Dynmik ukdu punktów mteinych 7 4 Dynmik byy 5 4 uch postpowy obotowy i pski 5 4 ekcje dynmiczne w uchu obotowym 74 4 uch kuisty pzybion teoi yoskopów 8 5 Dobó mocy npdu w wybnych ukdch mechnicznych 9 6 Eementy mechniki nitycznej zsd pc pzygotownych 6 7 Podstwy teoii zdeze 4 Litetu 5 %*$*

5 5 Pzedmow Skypt Zbió zd z mechniki Metodyk ozwiz skd si z tzech czci: sttyki kinemtyki i dynmiki Zwty w nim mtei jest uzupenieniem skyptu [] oz zbioów zd [7 8] i pzeznczony jest d studentów wydziów mechnicznych wyszych uczeni technicznych Ze skyptu mog ównie kozyst studenci innych wydziów W skypcie ozwizno 7 zd z uwzgdnieniem metodyki postpowni Ukd skyptu wynik z zoonego pzez utoów ceu tzn pokzni ónych metod ozwizywni tego smego pobemu utozy bd wdziczni z uwgi kytyczne dotyczce zkesu i sposobu pzedstwieni pobemów zwtych w skypcie utozy %*$*

6 %*$*

7 Wstp Mechnik jest dziem fizyki zjmujcym si postsz fom uchu mteii tj pzemieszczenimi jednych ci ub ich czstek wzgdem dugich oz pzyczynmi powstwni tych zjwisk Mechnik ogón nzywmy wszystkie te dziy mechniki w któych mj zstosownie pw Newton w wszym znczeniu zbió zgdnie z mechniki ci sztywnych i ich punktowych modei (punktów mteinych) pzystosownych do potzeb techniki Punktem mteinym nzywmy punkt geometyczny któy m pewn skoczon ms Ciem sztywnym nzywmy tkie cio mteine w któym wzjemne odegoci czstek nie uegj zminie Jest to cio nieodksztcne W zeczywistoci wszystkie ci s odksztcne jeei jednk odksztceni s me mon je pzy bdniu wciwoci uchowych ci pomin i tktow tkie cio jk sztywne Sztywne cio mteine nzywmy by Pzez stn uchowy byy ozumiemy uch tj zmin pooeni jednej byy wzgdem innych by ub spoczynek Zmin stnu uchowego byy czyi pzejcie ze spoczynku w uch ub z uchu w spoczynek oz zmin sposobu pouszni si byy mog nstpi pzez oddziywnie n by innymi bymi Tego odzju oddziywnie jednej byy n dug nzywmy si; n pzykd ci- ci jest si z jk n to cio oddziywuje ku ziemsk Si jest ównie oddziywnie mgnesu n kwek sti ub pzewodnik w któym pynie pd Pzy oddziywniu wzjemnym wicej ni dwóch by bdziemy ozptywi ukd si Pzeksztcniem oz ównowg ukdów si zjmuje si dzi mechniki zwny sttyk Dugim dziem mechniki jest kinemtyk Kinemtyk zjmuje si bdniem uchu ci niezenie od pzyczyn któe go wywouj Pzy uchu ci wzgdem siebie odegoci midzy punktmi tych ci zmienij si Zminy te oke si w stosunku do pewnego ukdu odniesieni (ukdu wspózdnych) któy podczs bdni uchu zstpuje jedno z ci Jeei wybny ukd wspózdnych pzyjmuje si umownie z nieuchomy to uch pozostych w stosunku do tego ukdu odniesieni nzywmy uchem bezwzgdnym (bsoutnym) %*$*

8 8 STTYK Kinemtyk odóni si od geometii pzede wszystkim tym e pzy ozptywniu pzemieszcze ci (ub odpowidjcych im geometycznych modei: punktu by- y) biezemy pod uwg ównie czs pzemieszczeni Dtego kinemtyk nzywn jest czsto geometi czteech wymiów ; nzw czwty wymi dotyczy czsu W mechnice ksycznej czs uwny jest z ten sm d dowonych ukdów odniesieni co jest wystczjcym dokdnym pzybieniem w stosunku do zeczywistoci wtedy gdy pdkoci ozptywnych uchów s me w poównniu z pdkoci wit Z jednostk czsu pzyjmuje si sekund Chwii pocztkowej któ moemy obie dowonie pzypisujemy wto ówn zeu kdej nstpnej iczb t któej bezwzgdn wto ówn jest iczbie sekund jkie upyny pomidzy tymi dwiem chwimi Kde cio któego uch bdmy moe by uwne z ukd punktów mteinych W kinemtyce punkt mteiny tktujemy jko punkt w pojciu geometycznym któemu pzypisujemy pewn skoczon ms Jeei odegoci pomidzy punktmi ukdu nie zmienij si to tki ukd punktów mteinych nzywmy by ub ciem sztywnym uch dowonego ukdu punktów wzgdem zdnego ukdu odniesieni bdzie okeony jei bdziemy zn uch kdego punktu wzgdem tego ukdu odniesieni dnie uchu ukdu punktów musi by popzedzone bdniem uchu punktu Dtego kinemtyk dzieimy ze wzgdów dydktycznych n kinemtyk punktu i kinemtyk byy Tzeci dzi mechniki obejmuje niz uchu pod wpywem dzini si i nzyw si dynmik %*$*

9 9 Sttyk Uwgi metodyczne dotyczce ozwizywni zd ze sttyki W sttyce wyóni mon dwie zsdnicze gupy zd: ) zdni zwizne ze stnem ównowgi ukdów si ) zdni zwizne z edukcj ukdów si W gupie piewszej wyzncz si siy njczciej nieznne siy ekcji ub inne wiekoci np pmety geometyczne W gupie dugiej zd poszukuje si njpostszych ukdów si zstpujcych zdne ukdy si wykozystujc w tym ceu metody edukcji Zówno w gupie piewszej jk i w gupie dugiej stosuje si metody nityczne i gficzne pzy czym metody gficzne wykozystuje si njczciej do ozwizywni pskich ukdów ptowych typu ktownic Ze wzgdu n szeoki zkes zstosow oz dokdno obicze powszechnie wykozystuje si nityczne metody ozwizywni ukdów si W pzypdku ozwizywni zd zwiznych ze stnem ównowgi si ney kieow si nstpujcym tokiem postpowni: okei czy bdny ukd jest ukdem postym (jedn by) czy zoonym (kik by poczonych ze sob); w pzypdku ukdu zoonego ney myowo ozdziei cy ukd n ukdy poste (jest to metod stosown njczciej) pmitjc o pzyoeniu do nich w miejscu ozdzieeni si wzjemnego oddziywni (dwójki zeowe); pzyoy wszystkie siy czynne; pzyoy wszystkie siy ekcji w zenoci od odzju wizów wystpujcych w bdnym ukdzie; zkwifikow otzymny ukd bo ukdy si do odpowiedniej gupy (pski pzestzenny odkowy ównoegy); pzyj ukd odniesieni (ukd wspózdnych) njwygodniej d dnego pzypdku kieujc si zsd otzymni njpostszego ukdu ówn ównowgi; kozystjc z odpowiedniego wunku ównowgi si uoy ównni ównowgi wszystkich si czynnych i ekcji; %*$*

10 STTYK ozwiz ównni ównowgi i obiczy szukne wiekoci spwdzi wymiy wyznczonych wiekoci pzepowdzi dyskusj nd ozwiznym zdniem Szczegóowe uwgi metodyczne podno pzy ozwiznich poszczegónych zd Pski odkowy ukd si ZDNIE Skzyni o cize Q podnoszon jest dwiem inmi CD i C (ys ) Lin C pzyczepion jest w punkcie do nieuchomej ciny in CD pzezucon jest pzez kek pzy czym obie iny pzymocowne s w punkcie C do ciu Q Lin C twozy z poziomem kt 6 o ntomist cz C iny CD kt α Wyznczy kt α pzy któym si S w inie CD bdzie njmniejsz oz stosunek si w inch d wyznczonego kt α %*$* ys ozwiznie Pzyómy wszystkie siy dzijce n ozwny ukd tzn siy czynne (w tym pzypdku jest to si cikoci Q skzyni) oz siy ekcji (biene) pochodzce od wizów Ze wzgdu n to e wizmi s iny (wizy typu cigien) siy ekcji dzij wzdu wizów Siy te pzyoono w punkcie C pzez któy pzechodzi ównie si Q (ys ) Si S w czci C iny CD m t sm wto co si S poniew kek zmieni jedynie kieunek siy nie jej wto Uwonienie od wizów poeg w tym pzypdku n wykonniu myowych pzekojów pzez iny C i C i pzyoeniu dwójek zeowych odpowiednio do kdej z in (ys ) ozwni spowdzone zosty w ten sposób do bdni si Q F S' twozcych ukd odkowy pski (ys b) Szukny kt α oz stosunek si S F wyznczono metod nityczn wykozystujc w tym ceu nityczny wunek ównowgi ukdu pskiego odkowego si

11 Pski odkowy ukd si ys ys b Pzyjmujc ukd odniesieni z pocztkiem n pzykd w punkcie C otzymuje si nstpujce ównni ównowgi: n n P ix i P iy i pzy czym S' S F cos 6 F sin 6 o o S cos α S sin α Q %*$* W ceu obiczeni kt α pzy któym S S min wyznczono z ówn ównowgi si S jko funkcj α Po postych pzeksztcenich otzymuje si: S Q cos α sin α ds Q( sin α cos α) Obiczjc pochodn dα ( cos α sin α) i pzyównujc j do ze wyznczono α o d któej to wtoci S S min D tej wtoci kt α z ówn ównowgi wyznczy ney obecnie stosunek si S Z piewszego ównni otzymuje o F S cos 6 si D α o S F cos α F

12 STTYK D zdnego kt pochyeni iny C kt α oz stosunek S nie zey od wiekoci podnoszonego ciu Q Od wiekoci tego ciu ze oczywicie wtoci F si S i F i w tym pzypdku wynosz one: S Q F Q ZDNIE Gdki wec o pomieniu m i cize Q N opie si o gdkie nieuchome podpoy w punktch i (ys ) ozstw podpó 4 m ónic wysokoci midzy podpomi h m Obiczy wto si ekcji i podpó ys ys ozwiznie Wec bdzie opty o podpoy (nie wpdnie pomidzy podpoy) jeei speniony bdzie wunek: odego < W tym pzypdku %*$* h 446 m < 6 m Pzy zoeniu e podpoy s gdkie ekcje i mj kieunek postopdy do stycznych w punktch i i musz pzechodzi pzez odek O wc (ys ) Ukd si Q jest wic ukdem odkowym pskim Szukne ekcje wyznczy mon metod gficzn ub nityczn Metod gficzn poeg n wykozystniu geometycznego wunku ównowgi ukdu odkowego si tzn spowdz si do nysowni w pzyjtej ski si zmknitego wieoboku si Pzyjmujc sk si np cm n [N] ozpoczyn si budow wieoboku si od siy Q (znn jest post dzini i wto) (ys b)

13 Pski odkowy ukd si [N] ysb ys c Do nysownej siy Q dodno wektoowo n pzykd si ysujc jedynie jej kieunek pzez koniec siy Q Wiedzc e wieobok si musi by zmknity tzn koniec siy musi zne si w pocztku siy Q pzez pocztek siy Q popowdzono kieunek siy Kieunki si i pzecinj si w punkcie K Mon tez zznczy zwoty wektoów i bioc pod uwg e wieobok si musi by zmknity (zgodny obieg zwotów wszystkich si) Miezc dugoci otzymnych si i oz uwzgdnijc pzyjt sk si otzymuje si poszukiwne wtoci ekcji W ceu nitycznego wyznczeni szuknych ekcji wykozystno nityczny wunek ównowgi ukdu pskiego odkowego si Pzyjmujc ukd odniesieni jk n ysunku c otzymno nstpujce ównni ównowgi si: n n P ix i P iy i %*$* cos α sin α cosβ Qsin γ sin β Q cos γ W ównnich tych poz nieznnymi ekcjmi i wystpuj ównie nieznne kty α β γ któe ney wyznczy dodtkowo Tójkt O jest tójk- tem ównomiennym i α β oz cos α cosβ sin α sin β gdzie h Z C obiczy mon kt γ minowicie cos γ h sin γ

14 4 STTYK Uwzgdnijc odpowiednie funkcje któw α β γ w ównnich ównowgi i ozwizujc te ównni otzymno nstpujce wyeni n szukne wtoci si ekcji: Q h ( h h 4 ( h ) ) 4 ( h ) Q h ( h h 4 ( h ) ) 4 ( h ) Zenoci powysze wi szukne ekcje z pmetmi geometycznymi bdnego ukdu (wymimi) i simi czynnymi (si Q ) Z powyszych zwizków wynik e ekcje bd miy sens fizyczny gdy 4 ( h ) > tzn gdy < ( h ) wic jei speniony zostnie wunek okeony n pocztku ozwizywni zdni w opciu o niz geometycznych wymiów ukdu Pzy zdnych wymich geometycznych czsto wygodnie jest posugiw si zenoci pomidzy szuknymi ekcjmi simi czynnymi W tym pzypdku zwizki te mj post: 69 Q 969 Q Uwzgdnijc ci wc Q N osttecznie otzymno: 69 N 969 N %*$* ZDNIE y M o cize Q 5 N opt jest w punkcie C o gdk nieuchom podpo M i w punkcie o gdk niewk pionow bek o dugoci b m pzy czym b (ys ) ek zmocown jest w pzegubie niepzesuwnym i utzymywn poziom in KL Obiczy wto si ekcji w punktch i C oz wto siy S w inie KL ozwiznie Ukd fizyczny znjdujcy si w ównowdze skd si z dwóch by Wizmi d tego ukdu s: podpo nieuchom M in KL i niepzesuwny pzegub ekcj w punkcie C dzi n kieunku postopdym do powiezchni byy M ekcj w punkcie K dzi n kieunku iny (cign) ntomist w punkcie post dzini ekcji jest nieznn ze wzgdu n to e jest to podpo niepzesuwn Nie znjc kieunku wszystkich si dzijcych n ukd nie mon uoy ówn ównowgi

15 Pski odkowy ukd si 5 d tkiego ukdu dny ukd jest ukdem zoonym z byy M i beki Ukd zoony jest w ównowdze wówczs gdy jego eementy skdowe s ównie w ównowdze ozwmy wic niezenie ównowg byy M i beki W tym ceu ney cy ukd podziei n czci (eementy skdowe) pzykdjc do kdej z nich wzjemne ich oddziywni tzn do beki ney pzyoy si pochodzc od by- y M do byy M si oddziywni beki Zgodnie z III pwem Newton siy te twoz dwójk zeow i w tym pzypdku ich kieunek jest postopdy w punkcie do powiezchni byy M N ysunku pokzno siy ekcji wizów (z wyjtkiem pzegubu ) oz siy wzjemnego oddziywni pomidzy by M bek ozdzieonymi ini Post dzini ekcji mon wyznczy zuwjc e n bek dzij tyko tzy siy tj S i o szuknej postej Z twiedzeni o tzech sich wynik e tki ukd jest w ównowdze jeei poste dzini si pzecinj si w jednym punkcie Mon wyznczy wic punkt M pzecici si si S i %*$* ys ys Pzez ten punkt musi pzechodzi post dzini siy z dugiej stony musi on pzej pzez punkt (podpo) Powdzc pzez te dw punkty post wyzncz si post dzini siy (ys b) Mjc wyznczone kieunki wszystkich si ekcji ney je pzyoy odpowiednio do byy M i beki i npis ównni ównowgi niezenie d obu by Obcienie obu by pokzno n ysunku c

16 6 STTYK ys b %*$* ys c

17 Pski odkowy ukd si 7 D pzyjtego ukdu odniesieni ównni ównowgi mj post: d byy M n P ix i α cos C α cos () n P iy i α sin Q C α sin () d beki n P ix i n P iy i α cos S α sin C cosβ sin β W ównnich ównowgi wystpuje 5 niewidomych ( C S i kt β) i do ich wyznczeni konieczne jest pite ównnie Z MK i MK wyznczono MK ctg α oz MK bctgβ nstpnie po poównniu stonmi otzymno α ctg β ctg b Po ozwizniu ukdu ówn () (5) z uwzgdnieniem wtoci iczbowych otzymuje si osttecznie wtoci szuknych ekcji: 8 N; C 5 N; S N ZDNIE 4 %*$* m pzegubow z pzegubem C (ys 4) zmocown do podo dwom niepzesuwnymi pzegubmi i obcion jest pionow si P 5 N Wyznczy wtoci ekcji podpó i jeei ich ozstw 4 m wysoko my h m oz odego od pzegubu do kieunku dzini siy P wynosi m Ci my pomin () (4) (5) ozwiznie Ze wzgdu n to e pzeguby i s niepzesuwne nieznne s kieunki ekcji tych podpó Kieunki ekcji mon wyznczy ozdziejc w pzegubie C m n dwie niezene czci i ozptujc ównowg kdej z nich z osobn (ys 4) Pzy ozczeniu obu czci w punkcie C ney pmit o pzyoeniu do kdej z nich si wzjemnego oddziywni (n podstwie III pw Newton) Punkt C spe-

18 8 STTYK ni d kdej czci o pzegubu niepzesuwnego (punkt C nie m moiwoci pzemieszczni si) i w zwizku z tym nie jest znny kieunek si wzjemnego oddziywni w tym punkcie N ew cz my dzij siy: P o znnym kieunku i znnej wtoci i C o nieznnych kieunkch Nie znjc dwóch kieunków si nie mon wykozyst twiedzeni o tzech sich do wyznczeni szuknych kieunków nie mon bowiem wyznczy punktu pzecici si kieunków si ys 4 ys 4 N pw cz my dzij dwie siy: i C o nieznnych kieunkch Mon jednk w tym pzypdku wyznczy te kieunki wiedzc e w pooeniu ównowgi dwie siy twoz dwójk zeow wic musz ee n jednej postej musz mie te sme wtoci i pzeciwne zwoty Si musi pzechodzi pzez punkt si C pzez punkt C i w zwizku z tym kieunkiem obu tych si jest kieunek C (ys 4b) %*$* ys 4b

19 Pski odkowy ukd si 9 Znjc kieunek siy C nnosi si go n ew cz my i kozystjc z twiedzeni o tzech sich znjduje si punkt K pzecici si kieunków si C i P nstpnie wyzncz si kieunek ekcji powdzc post pzez punkty i K Wtoci iczbowe szuknych ekcji wyznczono metod gficzn i nityczn Metod gficzn poeg n zbudowniu zmknitego wieoboku si udow wieoboku si ozpoczyn si od siy P (znmy kieunek i wto) nstpnie pzez jej koniec powdzi si kieunek np siy Wieobok si zmknito powdzc pzez pocztek siy P kieunek siy C (ys 4c) ys 4c %*$* Wyznczone siy pzyoono do ewej czci my ozkd si dzijcych n pw cz pokzno n ysunku 4d Mjc obiczon si C znmy ównie wto siy wiedzc e obie siy twoz dwójk zeow W ceu nitycznego wyznczeni wtoci szuknych si wykozystno ozkd si pzedstwiony n ysunku 4e Ukd si P i jest ukdem pskim odkowym Siy wzjemnego oddzi- ywni w punkcie C twoz jk widomo dwójk zeow i nie bd uwzgdnine w wunku ównowgi W pzyjtym ukdzie odniesieni otzymuje si nstpujce ównni ównowgi: n P ix i n P iy i cos α sin α P cosβ [N] sin β () ()

20 STTYK Z ówn tych wyznczy mon wto si i jeei znne bd kty α i β Dodtkowe ównni uoy mon z zenoci geometycznych (ys 4e) Z CC wynik h tg β () Poównujc wysoko KK w KK i KK otzymuje si h tg α (4) ys 4d %*$* ys 4e Z ówn () (4) po ich ozwizniu otzymno wtoci szuknych ekcji w postci ogónej: P ( ) h h h P h Wtoci iczbowe wynosz: 9P 45 N 56P 8 N

21 Pzestzenny odkowy ukd si Pzestzenny odkowy ukd si ZDNIE Tzy niewkie pty poczone pzegubem D zmocowne s do poziomej powiezchni pzegubmi i C (ys ) Ukd obciony jest ciem Q zmocownym n inie pzezuconej pzez kek K Pt nchyony jest do poziomu pod ktem α pty i pod ktmi β ntomist pszczyzn CD pod ktem γ Obiczy wtoci si ekcji C jeei α o β 6 o γ 45 o Q N ozwiznie Niewkie pty zmocowne pzegubowo pcuj jk cign i w zwizku z tym pzenosz jedynie siy dzijce wzdu osi ptów Uwnijc ukd od wizów znmy kieunki wszystkich si ekcji pzegubów i C (ys ) Si Q pzyoon w punkcie D ówn jest co do wtoci sie cikoci Q ci Q ze wzgdu n to e in zmieni jedynie kieunek dzini siy nie jej wto Siy C pzyoone w punkcie D s simi ekcji tzn oddziywni pzegubów n punkt D ys %*$* ys

22 STTYK Po dugiej stonie myowych pzekojów mon pzyoy n podstwie III pw Newton siy oddziywni punktu D n podpoy Ukd tk pzyoonych si twozy odpowiednio n kieunkch ptów dwójki zeowe Do ozptzeni ównowgi punktu D bieze si pod uwg jedynie siy dzijce n ten punkt po odzuceniu wizów tzn C Q twozce pzestzenny odkowy ukd si Kozystjc z nitycznego wunku ównowgi d tkiego ukdu npisno ównni ównowgi w pzyjtym ukdzie odniesieni: n P ix i n iy i n P P iz i C Q cos β cos α sin βsin γ cos β C sin βcos γ sin βsin γ sin βcos γ sin α gdzie Q' Q zuty si i C n osie y i z otzymuje si zutujc te siy njpiew n kieunku OD nstpnie otzymne skdowe n tym kieunku zutuje si n odpowiednie osie; np zut siy n o y otzymuje si w sposób pokzny n ysunku b %*$* β C ys b ozwizujc ukd ówn ównowgi otzymno: sin γ Q sin ( α γ) C sin α Q sin β sin ( α γ) D dnych iczbowych 74Q 74 N C Q N

23 Pzestzenny odkowy ukd si ZDNIE Ci Q podwieszony jest n dwóch inch K i 'K zmocownych do pionowych msztów i '' (ys ) Mszty utzymywne s w pooeniu pionowym ptmi C D 'C' i 'D' Obiczy wtoci si w inch K i 'K oz w ptch C D 'C' 'D' i '' w pooeniu ównowgi ukdu pzyjmujc e Q kn α 6 o β 45 o γ o δ 45 o oz zkdjc e wszystkie pty zmocowne s do podo z pomoc pzegubów niepzesuwnych jk ównie e pty w punktch i ' poczone s pzegubowo ys ozwiznie Pty C D '' 'C' i 'D' podobnie jk w pzykdzie pzenosz jedynie siy dzijce wzdu osi tych ptów Odzucjc wizy tj podpoy C D ' C' D' i pzykdjc w ich miejsce odpowiednie siy ekcji otzymuje si ukd si jk n ysunku W miejsce ciu Q pzyoono si cikoci Q dzijc wzdu iny n któej zwieszony jest ten ci Mjc do dyspozycji tzy ównni ównowgi d ukdu odkowego pzestzennego nie mon wyiczy szeciu niewidomych S S 6 %*$* ys

24 4 STTYK Wydziejc jednk z cego ukdu zoonego (ys ) tzy ukdy poste I II III z wzmi w punktch K ' otzymuje si ównni ównowgi w ioci odpowidjcej iczbie niewidomych si ozkd si d poszczegónych podukdów pzedstwiono n ysunku b ys b Ukdy I i III s ukdmi odkowymi pzestzennymi ntomist ukd II jest ukdem odkowym pskim Opisujc ukdy I i III tzem ównnimi ównowgi oz ukd II dwom ównnimi ównowgi otzymuje si osiem ówn do wyznczeni omiu niewidomych W pzyjtym jk n ysunku b ukdzie odniesieni ównni mj ponisz post Ukd I n i n i n i P P P ix iy iz S S S %*$* cos β S sin β cos α S sin β cos α S cos β sin β cos α S sin βsin α S 7 cos γ S 7 sin γ Ukd II n i n i P P ix iy S S 7 7 cos γ S sin γ S 8 8 cos δ sin δ Q

25 Pzestzenny odkowy ukd si 5 Ukd III n i n i P P ix iy S S 5 5 cos β S 6 sin β cos α S cos β 6 sin β cos α S 8 cos δ n i P iz S 5 sin βsin α S 6 sin βsin α S sin δ %*$* 4 S ozwizujc powyszy ukd ówn otzymuje si: S S S S S S cos γ Q sin β sin ( α γ) sin α cos γ Q sin ( ) ctg tg α γ γ δ cos γ (sin δ cos δ tg α) Q sin ( γ δ) S 6 cos γ cos δ Q cos α sin β sin ( γ δ) Q sin γ cos γ tg δ 8 S 8 Q cos γ sin ( γ δ) po podstwieniu dnych iczbowych wtoci szuknych si: S S 6 kn S kn S 4 74 kn S 5 S 6 S 8 9 kn S 7 7 kn Uwg zuty si S S S5 S6 n osi y i z pzyjtego ukdu odniesieni wyznczy mon kieujc si wskzówkmi z zdni

26 6 STTYK ZDNIE N by K dzi ukd si P P P P4 pzecinjcych si w punkcie (ys ) Zstpi ten ukd jedn si ównown zdnemu ukdowi Dne: O h P P P P 4 P %*$* ys ozwiznie Ukd si dzijcych n by K jest ukdem odkowym pzestzennym o kieunkch pzecinjcych si w punkcie Zstpienie ukdu si jedn si ównown mu spowdz si do wyznczeni wypdkowej tego ukdu pzy czym wypdkow t

27 Pzestzenny odkowy ukd si 7 musi pzechodzi pzez punkt Ze wzgdu n to e si wypdkow jest ówn geometycznej sumie wszystkich si ukdu jej zut n dn o jest ówny sumie zutów n t o wszystkich si tego ukdu Otzymuje si wic: W x n i P ix P cos α P cos α W y n i P iy P 4 cos α P cos α W z n i P iz P sin α P Uwzgdnijc dne obiczono oz W x W y W z 4P sin α x y z sin α P W W W W 4Psin α sin α P sin α W tym pzypdku wto wypdkowej ówn jest wtoci W z co mon byo stwiedzi po obiczeniu zutów wypdkowej N podstwie obiczonych zutów mon ównie stwiedzi e kieunek wypdkowej pokyw si z kieunkiem osi z i zwot jej jest zgodny ze zwotem osi z Kieunek wypdkowej mon ównie okei obiczjc kty jkie zwie on z kieunkmi poszczegónych osi ukdu odniesieni Oznczjc odpowiednio pzez α α α kty zwte pomidzy kieunkiem wypdkowej z osimi x y z otzymuje si: %*$* 4 cos α cos α cos α Wx W W W y Wz W α α α π π

28 8 STTYK Jk wid wypdkow ey n kieunku osi z i m zgodny z ni zwot Tk wic zmist si P P P P4 mon pzyoy do byy K jedn si W jk n ysunku Wto siy wypdkowej obiczy mon po wyznczeniu kt α Z O (ys ) wynik: sin α O h h i W 4h %*$* h P ys Uwzgdnijc dne otzymno W P 8 Uwg Poponuje si wykon obiczeni d dnych P P P P P 4 P

29 Pski dowony ukd si 9 4 Pski dowony ukd si ZDNIE 4 Poziom bek jednoodn o cize Q (ys 4) zmocown jest w punkcie pzegubowo (pzegub niepzesuwny) w punkcie C z pomoc pzegubu pzesuwnego pod ktem α do poziomu ek obcion jest w punkcie si P o wtoci P Q twozc z kieunkiem pionowym kt β Wyznczy wto ekcji podpó w pooeniu ównowgi jeei: o C i C α 6 β o 4 4 ozwiznie N bek dzij siy czynne P i Q oz siy ekcji w punkcie i C w punkcie C Ze wzgdu n to e pzegub jest pzegubem niepzesuwnym nieznn jest post dzini ekcji ntomist w punkcie C post dzini ekcji C jest postopd do kieunku moiwego pzesunici %*$* ys 4 ekcj wyznczy mon obiczjc dwie jej skdowe wzjemnie postopde zgodnie z pzyjtym ukdem odniesieni ek po uwonieniu od wizów pzedstwiono n ysunku 4

30 STTYK ys 4 Siy czynne i ekcje dzijce n bek twoz ukd pski dowony si d któego nityczny wunek ównowgi dje tzy ównni ównowgi: n ix i n P P iy i n i y x C Q sin α Psin β C cos α Pcosβ M i( ) Q C cos α Pcosβ iegun wzgdem któego obiczn jest gebiczn sum momentów wszystkich si pzyj mon dowonie ecz ze wzgdów obiczeniowych wygodnie jest ob go w punkcie pzecici si njwikszej iczby nieznnych si tzn w tym pzypdku w punkcie ub C ozwizujc ukd ówn ównowgi otzymuje si %*$* 9 x Q y Q C Q Znk pzy y ozncz e bdnie zoono zwot siy y i e w zeczywisto- ci dzi on zwócon pzeciwnie do zwotu osi y pzyjtego ukdu odniesieni Ckowit wto ekcji obiczy mon z zenoci x y kieunek x okejc kt jki twozy on z osi x z zenoci cos ( x) ZDNIE 4 Ktownic C spoczyw n dwóch podpoch: pzegubie niepzesuwnym i pzegubie pzesuwnym (ys 4) Ci ktownicy wynosi Q N Ston C

31 Pski dowony ukd si ktownicy non jest n ównomienie ozoone i postopde do C obcienie wynikjce z pci witu Wypdkow tego obcieni m wto P 8 N Obiczy wto ekcji podpó w pooeniu ównowgi jeei C C 6 m α o ys 4 ozwiznie Po odzuceniu wizów (pzeguby i ) n ktownic dzij siy: P Q x y i (ys 4) D tego ukdu si wunek nityczny ównowgi dje tzy ównni ównowgi: n P ix i n iy i n i P x y Psin α P cos α Q M i( ) P Qcos α cos α ozwizujc ukd ówn otzymuje si: x 4 N y N 5 N i osttecznie N %*$* C α ys 4

32 STTYK Uwg Do obiczni wtoci si w ptch ktownicy wystcz ozwy ównowg kdego wz (pzegubu czcego pty) ktownicy stosujc d poszczegónych wzów wunki ównowgi ukdu odkowego pskiego si Pzedtem ney jednk wyznczy siy ekcji podpó i ZDNIE 4 czny podnonik stcjonny skd si z dwóch beek i CD poczonych pzegubem C Obie beki zmocowne s w pzegubch niepzesuwnych odpowiednio i D (ys 4) W punkcie uoyskowny jest kek inowy pzez któy pzezucon jest in obcion ciem Q Dugi koniec iny nwinity jest n zbokowny bben K Obiczy wto ekcji podpó i D w pooeniu ównowgi mjc dugo i kt α Tcie n kku inowym oz wymiy tego kk i bbn K pomin %*$* ys 4 ys 4 ozwiznie Jko mode obiczeniowy pzyj mon zstpczy schemt podnonik z pzyo- onymi simi ekcji po odzuceniu podpó i D (ys 4) Ukd si dzijcych n podnonik zwie cztey niewidome ( x y Dx Dy) któych nie wyznczy si dysponujc tzem ównnimi ównowgi d ukdu pskiego dowonego si

33 Pski dowony ukd si Ceem wyznczeni szuknych niewidomych ozptzono ównowg beki i beki CD osobno pzy czym ozdziejc ukd n dw podukdy I i II pzyoono siy wzjemnego oddziywni w miejscu w któym obie beki s poczone (punkt C spenijcy o pzegubu niepzesuwnego) oz oddziywni iny w punkcie K n bek CD i w punkcie n bek (ys 4b) %*$* ys 4b

34 4 STTYK Utwozenie dwóch podukdów I i II zwikszyo iczb niewidomych do szeciu ( x y Dx Dy Cx Cy) e mon obecnie uoy po tzy ównni ównowgi odpowiednio d beki (podukd I) i CD (podukd II) co dje sze ówn do wyznczeni szeciu niewidomych Podukd I n ix i n iy i n i P P Podukd II n n n i x y Cx Qcos α Cy Qsin α Q M i( ) x Cx P ix i P iy i Cx Cy Qcos α Qsin α Dx Dy M i( K ) Cx Dx Po ozwizniu powyszego ukdu ówn otzymuje si: x Dx Q cos α Q cos α %*$* y Dy Q Q ( sin α) ( sin α) x y Dx Dy oz D ZDNIE 44 N by o bokch dzij siy P P P i P4 o wtocich ównych P i kieunkch pokywjcych si z odpowiednimi bokmi byy (ys 44) Jkim postszym ukdem si mon zstpi zdny ukd si

35 Pski dowony ukd si 5 P P P P P 4 ys 44 ys 44 ozwiznie Poszukiwnie ukdu zstpujcego zdny ukd si poeg n pzepowdzeniu edukcji ukdu zdnego w wyniku czego otzymuje si ównowny zdnemu ukd si ecz w zncznie postszej postci edukcj ukdu si poeg n wyznczeniu wekto gównego W g i wekto momentu gównego M g w pzyjtym ukdzie odniesieni w wyniku czego stwiedzi mon do jkiego pzypdku edukcji spowdzony zost zdny ukd si Obiejc ukd odniesieni jk n ysunku 44 obiczono wspózdne wekto gównego W g oz wto momentu gównego M g pzyjmujc biegun edukcji w punkcie : W W W M gx gy g g n i n i W n i P P gx ix iy P P P W gy W cos ( Wg x) W gx g M i() P P %*$* P 4 P P P α < ) ( W g π x) 4 Otzymno W g P i M g wic wystpi pzypdek gdy ukd si mon zstpi si wypdkow W W g któej post dzini pzechodzi pzez biegun edukcji Tk wic zdny ukd si P P P P4 zstpi mon si wypdkow o wtoci W g P któej post dzini pzechodzi pzez punkt i jest nchyon pod ktem 45 o do osi x (ys 44b)

36 6 STTYK Identyczny ezutt otzymuje si obiejc biegun edukcji w dowonym innym punkcie np w punkcie (ys 44) Poniew wekto W g nie zey od obiou biegun edukcji ogniczono si do wyznczeni momentu gównego wzgdem punktu M g n i M i( ) P P P Wynik obicze: W g P i M g P odpowid pzypdkowi edukcji gdy ukd si zstpi mon si wypdkow o wtoci W W g pzesunit wzgdem Mg biegun edukcji o odego d tk by jej moment wzgdem biegun edukcji Wg ówny by momentowi gównemu co do wtoci i co do znku D tego pzypdku d co odpowid poowie dugoci pzektnej kwdtu (ys 44c) Post dzini wypdkowej mon ównie wyznczy kozystjc z ównni tej postej w postci W x x ) W ( y y ) M gy ( gx g gdzie: x y wspózdne pzyjtego biegun edukcji W pzypdku pzyjci biegun edukcji w punkcie otzymuje si P x Py w pzypdku pzyjci biegun edukcji w punkcie ( x ) Py P P co dje d obu pooe biegun edukcji to smo ównnie postej dzini wypdkowej y x i co pokyw si z wyznczonym kieunkiem postej dzini wypdkowej popzednimi sposobmi (ys 44b i 44c) %*$* ys 44b ys 44c

37 Pski ukd si ównoegych 7 5 Pski ukd si ównoegych ZDNIE 5 Jednoodny pt C zkzywiony pod ktem postym w punkcie zwieszony jest n inie pionowej zmocownej do powiezchni nieuchomej w punkcie D Znjc: γ ci jednostki dugoci pt b C ( > b) wyznczy kt α w poo- eniu ównowgi (ys 5) ozwiznie Po uwonieniu od wizów (in D) otzymuje si ukd obciony jk n ysunku 5 gdzie: Q bγ Q γ wtoci si cikoci odcinków pt i C S si w inie D ys 5 %*$* ys 5 C Siy czynne i ekcje twoz w tym pzypdku ukd si ównoegych d któego w pzyjtym ukdzie odniesieni ównni ównowgi mj post n i P i ( y) Mi ( ) n i Ze wzgdu n to e wyznczy ney tyko kt α wystczy wykozyst jedynie dugie z ówn ównowgi otzymujc n i Mi ( ) Q bsin α Q h

38 8 STTYK Podstwijc Q bγ Q γ h cos α b sin α otzymuje si skd ( b b) sin α α ctg b b cos α ZDNIE 5 ek obcion jest simi P 6 N P 4 N oz dwiem pmi si dzijcych w pszczynie si P i P o momentch M 4 Nm i M Nm (ys 5) Pomijjc ci beki wyznczy w pooeniu ównowgi ekcje podpó i C wiedzc e m b m c 5 m ozwiznie Siy zewntzne dzijce n bek twoz ukd si ównoegych ekcj C podpoy C (pzegub pzesuwny) ey n kieunku postopdym do kieunku moiwego uchu i jest ównoeg do postych dzini si P i P Podpo jest pzegubem niepzesuwnym jednke w tym pzypdku znny jest kieunek dzini ekcji poniew wszystkie pozoste siy (czynne i ekcj C ) s do siebie ównoege wic i ekcj musi by do nich ównoeg (ys 5) %*$* ys 5 ys 5

39 Pski ukd si ównoegych 9 W pzyjtym ukdzie odniesieni kozystjc z nitycznego wunku ównowgi d ukdu pskiego si ównoegych otzymuje si nstpujce ównni ównowgi: n iy i n i P M P P ( ) M P b C P ( c) M i C ozwizujc powyszy ukd ówn po uwzgdnieniu dnych iczbowych otzymno 4 N C 4 N ZDNIE 5 Most skd si z ktownicy gównej i dwóch ktownic bocznych C i D (ys 5) Ci jednostki dugoci d czci wynosi q 5 N/m d czci C i D q N/m Obiczy ekcje podpó C E F D w pooeniu ównowgi d pzypdku gdy pzso FD obcione jest pojzdmi wywoujcymi obcienie p N/m Wymiy mostu wynosz: C D m E F b 5 m EF 5 m ys 5 ozwiznie Zstpczy schemt obiczeniowy mostu z uwzgdnieniem obcie cigych poszczegónych jego czci z pzyoonymi ekcjmi podpó C E F D pokzno n ysunku 5 %*$* ys 5 Obcienie cige q q i p oz siy C E F i D twoz ukd si ównoegych d któego mon npis dw ównni ównowgi któe nie wystczj do ob-

40 %*$* 4 STTYK iczeni czteech niewidomych si ekcji podpó Jednke most skd si z tzech czci C i D poczonych pzegubmi w punktch i mon wic ozptzy ównowg kdej z tych czci niezenie pzykdjc w miejscch czeni (punkty i ) odpowiednie siy wzjemnego oddziywni Otzymuje si w ten sposób tzy ukdy I II III z pzyoonymi w odpowiednich punktch szeciom nieznnymi ekcjmi D F E C (ys 5b) D kdego z ukdów mon uoy po dw ównni ównowgi otzymujc ukd szeciu ówn z szeciom niewidomymi ównni ównowgi mj ponisz post Ukd I ( ) q M q P n i C i n i C iy Ukd II ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b p q b b q b b b M b p q b q P n i F E i n i F E iy Ukd III ( ) ( ) ( ) p q M p q P n i D i n i D iy Z powyszego ukdu ówn po jego ozwizniu otzymuje si: C N E 54 5 N F 67 5 N D 4 N ys 5b

41 Pzestzenny dowony ukd si 4 6 Pzestzenny dowony ukd si ZDNIE 6 Wek zmocowny w oyskch i (ys 6) obciono simi P [N] i F [N] dzijcymi w pszczyznch postopdych do osi wu Wyznczy wtoci ekcji oysk i oz wto siy F w pooeniu ównowgi jeei znmy: [m] dugo dwigni wu [m] ozstw pomidzy dwignimi i oyskmi α o β 6 o ys 6 %*$* ys 6

42 4 STTYK ozwiznie Kieunki ekcji i e w tym pzypdku w pszczyznch postopdych do osi pzy czym nieznne s ich poste dzini ekcje obiczy mon wyznczjc ich skdowe wzjemnie postopde zgodnie z pzyjtym ukdem odniesieni Schemt obiczeniowy wu z pzyoonymi ekcjmi podpó (oysk i ) pokzno n ysunku 6 Z nitycznego wunku ównowgi d ukdu dowonego pzestzennego si otzymuje si nstpujce ównni ównowgi: n i n i n i n i n i n i Pix x P cos β F cos β x P iy P sin sin iz z P β F β z I M ix P sin β F sin β 4 z M sin β cos α cos βsin α sin β iy P P F M cos β cos β 4 iz P F x %*$* Powysze ównni w szczegónoci ównnie momentów si wzgdem osi x y z ukd si twiej w opciu o ysunki pomocnicze 6b c d pzedstwijce w od stony stzek poszczegónych osi ukdu odniesieni ys 6b

43 Pzestzenny dowony ukd si 4 gebiczn sum momentów si wzgdem osi y mon poiczy dwom sposobmi: jko sum momentów skdowych si P i F otzymujc ównnie jk w ukdzie I ub jko sum momentów si uwzgdnijc mion d i d si P i F (ys 6c) Otzymuje si wówczs ównnie n i M iy P d F d gdzie: d sin(β α) d sin β ównowne odpowiedniemu ównniu w ukdzie I ys 6c %*$* ys 6d

44 44 STTYK ozwizujc ukd ówn I otzymuje si: oz: F P x z x z P 8 P 8 P 8 P 8 P 4 P 4 [N] ( ) [N] [N] ( ) [ N] ( 8 ) 4 [N] [N] [N] Ujemn wto ekcji x nie zmieni wtoci ekcji widczy jedynie o pzeciwnym zwocie tej skdowej w stosunku do pzyjtego n ysunku 6 ukdu odniesieni ZDNIE 6 Jednoodn pyt o cize G zmocown jest w oysku kuistym punkt oysku pzesuwnym punkt i utzymn w pooeniu poziomym in CD (ys 6) Post dzini siy F zczepionej w punkcie E jest ównoeg do osi y Obiczy ekcje oysk oz si w inie w pooeniu ównowgi jeei F 9G [N] α 45 o Wymiy jk n ysunku %*$* ozwiznie Uwnijc pyt od wizów pzyoono w punkcie tzy skdowe ekcji ckowitej tj x y i z w punkcie dwie skdowe x i z oz w miejsce iny CD w punkcie C si S o postej dzini pokywjcej si z kieunkiem iny Pyt z pzy- oonymi simi czynnymi i ekcjmi pzedstwiono n ysunku 6 Do obiczeni niewidomych si ekcji wykozystno nityczny wunek ównowgi ukdu dowonego pzestzennego zuty siy S n osi x y z otzymno zutujc je njpiew n pszczyzn xy (skdow S ) i n kieunek pionowy (ównoegy do osi z) nstpnie zutujc skdow poziom S n kieunek ównoegy do osi x i y ysunek 6b (s 46) W pzyjtym ukdzie odniesieni moment siy S wzgdem osi z jest ówny zeu poniew post dzini tej siy pzecin o z w punkcie D (ys 6)

45 Pzestzenny dowony ukd si 45 ys 6 %*$* ys 6

46 %*$* 46 STTYK ys 6b ównni ównowgi si mj nstpujc post: I 4 9 sin sin sin cos cos sin cos α α α β α β α n i x iz n i iy n i z ix n i z z iz n i y iy n i x x ix F M S G M F S G M G S P S F P S P

47 Pzestzenny dowony ukd si 47 Nieznny kt β w ównnich I obiczy mon z CM (ys 6) pzy czym ze wzgdów obiczeniowych wygodnie jest wyznczy funkcje sinβ i cosβ Mmy wic: sin β cos β M C M C II 5 ozwizujc ukd ówn I z uwzgdnieniem zwizków II otzymuje si: ( 4 5) G [ N ] ( 45 5) G [ N ] G [ N] x y z x 4 G z S [ N ] G [ N ] [ N] Ckowite wtoci ekcji oysk i oz ich kieunki okeono ze znnych zwizków: x y z cos ( x 5 cos ( y %*$* cos ( z ) ) ) x y z x z cos ( x ) x ZDNIE 6 Gnistosup obciono simi jk n ysunku 6 pzy czym: P 4 N P P 5 N P 5 N P 4 5 N b cm α o Jkim postym ukdem si mon zstpi zdny ukd si?

48 48 STTYK ys 6 ozwiznie Poszukiwnie postego ukdu si zstpujcego ukd zdny poeg n pzepowdzeniu edukcji zdnego ukdu si w pzyjtym ukdzie odniesieni Poszukuje si ukdu zoonego z jednej siy i jednej py si nstpnie w wyniku obicze otzymuje si ukd si ównowny zdnemu i odpowidjcy jednemu ze znnych pzypdków edukcji Obiejc ukd odniesieni jk n ysunku 6 obiczono wspózdne wekto gównego W g i momentu gównego M g pzyjmujc biegun edukcji w punkcie : W W W gx gy gz P ix i P iy i P iz i P %*$* P cos α P 4 P 5 P N I P sin α g gx gy gz Wto wekto gównego W W W W N

49 Pzestzenny ukd si ównoegych 49 M M M gx gy gz 5 i 5 i 5 i M M M ix iy iz P b cos α P b P 4 N cm II g gx gy gz Wto momentu gównego M M M M N Kt pomidzy wektomi W i M obiczono z zenoci Mgx Wgx Mgy Wgy Mgz Wgz cos δ M W g g g g π skd δ Wzjemn postopdo wektoów Wg i M g mon byo w tym pzypdku stwiedzi nizujc ich wspózdne obiczone z ówn (I) i (II) W wyniku edukcji otzymno ukd si zoony z siy ównej W g i py si o momencie ównym M g odpowidjcy pzypdkowi gdy W δ π g Mg (ys 6) %*$* ys 6 ys 6b

50 5 STTYK D tkiego pzypdku edukcji ukd zdny si mon zstpi si wypdkow W ówn co do wtoci sie W g i pzesunit wzgdem pzyjtego biegun edukcji o odego d Obiczjc d cm otzymno osttecznie ukd ówno- M g Wg wny zdnemu zoony z jednej siy W ( W Wg ) zczepionej w punkcie E (ys 6b) i ównoegej do osi y Post dzini siy W mon okei w inny sposób ni podny powyej minowicie wykozystujc ównni postej centnej w postci M gx W M gz gz ( y y) W W W gx gy ( x gy ( z x) W W gz z) M gx ( y gy y) W ( z z) W ( x %*$* gx W gy gz x) gdzie: x y z s wspózdnymi biegun edukcji w pzyjtym ukdzie odniesieni Podstwijc do ównni postej centnej obiczone wspózdne wektoów Wg i Mg oz x y z (biegun edukcji pzyjto w punkcie ) otzymno ównni postej dzini siy W w postci: x z cm co odpowid wynikowi edukcji pzedstwionemu n ysunku 6b 7 Pzestzenny ukd si ównoegych ZDNIE 7 Obiczy siy ncisku kó jezdnych dwigu n szyny w pzypdku podnoszeni ci- u Q kn w pszczynie pionowej ównoegej do osi szyn Ci dwigu wz z pzeciwciem P wynosi G kn i jest pzyoony w punkcie S (ys 7) Dwig wz z podnoszonym ciem znjduje si w pooeniu ównowgi D D CM m CD 5 m 4 m 5 m ozwiznie Ze wzgdu n odzj wizów dzijcych n dwig ekcje w punktch i C e n postych postopdych w tych punktch do wizów szyn jezdnych Ukd si z pzyoonymi simi ekcji oz simi czynnymi pokzno n ysunku 7

51 Pzestzenny ukd si ównoegych 5 ys 7 ys 7 Siy dzijce n dwig twoz ukd pzestzenny o postych ównoegych d któych z wunku nitycznego ównowgi otzymuje si tzy ównni: n i n i n i P iz M M iy ix G MD %*$* G C C G Q D D Q CD Q MD Podstwijc wtoci iczbowe i ozwizujc powyszy ukd ówn otzymno wtoci si ekcji: 8 kn 78 kn 4 C kn Siy ncisku kó jezdnych n szyny s ówne co do wtoci obiczonym wto- ciom ekcji w punkch i C i mj w stosunku do nich pzeciwne zwoty

52 5 STTYK ZDNIE 7 Obiczy siy dzijce w ptch podpiejcych pyt w ksztcie póko o ci- ze Q Si cikoci Q pzyoon jest w osi symetii w punkcie S w odegoci 4 Pty stojce n gdkim podou zmocowne s postopde do pyty pzy π czym pooenie pt oke kt α (ys 7) ys 7 %*$* ys 7 ozwiznie Siy ekcji w punktch C gdkiego podo dzij wzdu osi ptów i ówne s siom wystpujcym w ptch Po pzyoeniu do ptów si ekcji oz si czynnych otzymuje si pzestzenny ukd si ównoegych (ys 7) d któych uoy mon tzy ównni ównowgi:

53 Pzestzenny ukd si ównoegych 5 n P iz i n i n i M M ix iy C Q sin α Q C cos α ozwizujc powyszy ukd ówn otzymuje si wtoci si dzijcych w poszczegónych ptch cos α cos α Q Q 4Q Q C Q Q π sin α πsin α πsin α ZDNIE 7 W któym miejscu my CD o cize G 5 N ney ustwi wcigk obcion ciem Q 5 N by pty utzymujce m w pooeniu poziomym ównowgi byy ozcigne i obcione simi o jednkowych wtocich W punkcie E my podwieszony jest dodtkowo ci G N (ys 7) Obiczy pondto wtoci si dzijcych w ptch %*$* ys 7

54 54 STTYK ozwiznie Wcigk z jej ukdem jezdnym i m tktuje si jko jedn co (by) z wizmi typu cigien w postci ptów CC Uwnijc ten ukd od wizów pzyoono do my w punktch i C siy ekcji o postych dzinich zgodnych z osimi ptów (ys 7) Ukd si czynnych i ekcji jest pzestzennym ukdem si ównoegych d któego mon uoy tzy ównni ównowgi Do wyznczeni jest pi niewidomych: wto tzech ekcji C oz pooenie punktu podwieszeni siy Q okeone dwiem wspózdnymi x i y ys 7 Dodtkowe dw ównni konieczne do obiczeni piciu niewidomych otzymuje si wykozystujc wunek ównoci si w ptch Odpowiednie ównni mj post: n iz i n i n i P M M ix %*$* G Q y iy G G Q G G Q x C C C Z powyszego ukdu ówn otzymuje si C N x y Poponuje si w mch smodzienego ozwizni wyznczenie innego pooeni wcigki np pzy zoeniu e pt jest ciskny pty i CC ozcigne wtoci si w ptch s jednkowe

55 Tcie 55 8 Tcie ZDNIE 8 Pomidzy dwiem pytmi O i O poczonymi pzegubowo umieszczony jest jednoodny wec o cize Q i pomieniu (ys 8) W punktch i pzyoone s poziome siy o jednkowych wtocich P i zwotch pzeciwnych Wspóczynnik tci wc o pyty wynosi µ Obiczy wto si P w pooeniu ównowgi ukdu jeei odego i kt O α ys 8 %*$* ozwiznie Jeei ukd nie bdzie w ównowdze to istnieje moiwo pzemieszczeni si wc w dwóch kieunkch Pzy z mych wtocich si P wec moe si zsun w kieunku pzegubu O ntomist pzy z duych wtocich tych si moe on zost wypchnity w kieunku do góy W zwizku z tym ównowg wc moiw jest pzy sich któych wtoci zmienij si od pewnej wtoci minimnej P min do pewnej wtoci mksymnej P mx Wyznczenie szuknych wtoci si P spowdz si wic do obiczeni wtoci gnicznych P min i P mx co jest ównoznczne z wyznczeniem obszu zmiennoci wtoci si P odpowidjcemu pooeniu ównowgi ukdu Ze wzgdu n to e ozptywny ukd by jest ukdem zoonym ozdziei mon go n poszczegóne czci (byy) i ozwy ównowg kdej z nich z osobn

56 56 STTYK Obiczeni pzepowdzono d dwóch pzypdków gnicznych ównowgi: ) w punktch i dzij siy o wtocich P min ) w punktch i dzij siy o wtocich P mx d ) N ysunku 8 pokzno ukd by po ich ozdzieeniu z pzyoonymi simi czynnymi ekcjmi i simi wzjemnego oddziywni pomidzy bymi ys 8 %*$* Ze wzgdu n symeti ukdu (siy tci T T' oz siy nomne N N') wystczy ozptzy ównowg by I i II Ukd si dzijcych n by I jest ukdem dowonym pskim d któego mon uoy tzy ównni ównowgi W dnym pzypdku nie inteesuje ns ekcj w pzegubie i dtego wykozystno z ówn ównowgi d tej byy jedynie ównnie momentów pzyjmujc biegun w punkcie Z ówn ównowgi d byy II wykozystno tyko ównnie zutów si n o y W zwizku z powyszym otzymno ównni: n i n i M P P d Nd (d byy I) i min iy Q T cos α N sin α (d byy II)

57 Tcie 57 Tzecie ównnie otzym mon z zenoci pomidzy si tci T i ekcj nomn N tj T µn Odegoci d i d (mion si o ysunek 8 Pmin i N wzgdem punktu ) obiczono w opciu d ctg α d ctg α ozwizujc powyszy ukd ówn otzymno P min Q sin α µ cos α d ) Ukd si pzyoonych do by w tym pzypdku pokzno n ysunku 8b %*$* ys 8b

58 58 STTYK ozumujc nogicznie jk w pzypdku popzednim otzymuje si: n i n i M P P d N d (d byy I) i mx iy Q T cos α N sin α (d byy II) T µ N d d ctg α ctg α ozwizujc ten ukd ówn wyznczono: P mx Q sin α µ cos α Obiczone gniczne wtoci si P wyznczj zkes zmiennoci wtoci tych si pzy któych ukd by pozostje w ównowdze tj Q Q P sin α µ cos α sin α µ cos α ZDNIE 8 %*$* Obiczy minimn ednic D min wców wcki pzy któej moiwe jest jeszcze uchwycenie wcownego mteiu jeei wspóczynnik tci midzy wcmi mteiem wcownym wynosi µ wcowny pt posid pzekój postoktny o pocztkowej wysokoci h i wysokoci po wcowniu h (ys 8) ozwiznie Siy wzjemnego oddziywni pomidzy wcmi mteiem wcownym pokzno n ysunku 8 gdzie N s simi (nomnymi) docisku T simi tci Wcowny pt bdzie wcigny pomidzy wce jeei sum zutów si dzijcych n pt n kieunku wcowni (kieunek osi x) bdzie wiksz od ze ub w pzypdku gnicznym ówn zeu tzn n i P ix T cos α N sin α ()

59 Tcie 59 Z ównni tego po podstwieniu T µn otzymuje si µ tg α wzgdnie ρ α gdzie ρ c tg µ jest ktem tci Poniew α > z nieównoci () wynik tzw wunek chwytu wców ρ α > Minimn ednic D min obiczy mon z zenoci geometycznych cos α D ( h D h) h D gdzie h h h jest tzw gniotem bezwzgdnym Uwzgdnijc zeno () otzymuje si µ D h µ i osttecznie minimn ednic wców µ Dmin ( h h) (4) µ Mjc zdn ednic wców D wspóczynnik tci µ oz dny wymi h pt po wcowniu z nieównoci () obiczy mon mksymn gubo h pt któy pzy zdnych pmetch moe by uchwycony pzez wce %*$* () () ys 8 ys 8

60 6 STTYK ZDNIE 8 Wyznczy wto siy P potzebnej do zhmowni obcionego momentem M ko o pomieniu dwustonnym hmucem pzedstwionym n ysunku 8 jeei: 5 m µ M 6 N m ys 8 %*$* ys 8

61 Tcie 6 ozwiznie Ukd hmucowy pzedstwiony n ysunku 8 jest ukdem zoonym ozptzono stn ównowgi tego ukdu bdjc ównowg jego czci skdowych Poszczegóne eementy (byy) wz z pzyoonymi do nich simi wzjemnego oddziywni i obcieniem simi czynnymi pokzno n ysunku 8 pzy czym czniki C i DE tktuje si jko cign Pondto ekcje i nie s simi oddziywni pomidzy dwignimi O i O F ecz oddziywniem zmocowni tych dwigni do podo Ze wzgdu n to e nie inteesuj ns wtoci ekcji i z ówn ównowgi wykozyst mon jedynie ównni momentów si dzijcych n poszczegóne byy odpowiednio wzgdem punktów O O O i oz ównnie zutów si n o x d beki CD Otzymujemy: d beki O n i M d beki O n i M d beki CD n i M N S cos α i( O ) N i( O ) x S bcos α S () %*$* i( ) n Pix x i S cos α (4) () () d beki O F n i M S Pb i( O ) (5) d ko n i M M T T (6) i( O)

62 6 STTYK W ównnich () (6) wystpuje dziewi niewidomych tj N T N T S S x P α kujce ównni otzymno piszc zwizki pomidzy simi tci simi nomnymi oz z zenoci geometycznych w opciu o ysunek 8: T µ N T µ N (7) cos α (8) b M ozwizujc ukd ówn () (8) wyznczono P µ Otzymny wynik widczy o tym e pzy tk nzuconych wymich i b wto siy P zey jedynie od wtoci momentu M wspóczynnik tci µ i pomieni nie zey ntomist od wymiów i b Podstwijc dne iczbowe do wzou () otzymuje si osttecznie P N ZDNIE 84 Obiczy wto siy P potzebnej do zhmowni bbn hmucem tmowym (ys 84) jeei znmy: M Nm 5 m µ 5 O O %*$* ys 84 ozwiznie ozwono w pooeniu ównowgi dw podukdy tzn bben z tm hmucow i bek O Ob podukdy z pzyoonymi simi bienymi i czynnymi pokzne s n ysunku 84 Podobnie jk w zdniu popzednim uoono odpowiednie ównni ównowgi momentów wzgdem punktów O i O otzymujc: d bbn n i M M S S i( O ) ()

63 odki cikoci 6 d beki O n i M ( ) S S P( ) () i O ys 84 W ównnich powyszych wystpuj tzy niewidome tj S S P do wyznczeni któych wykozystno dodtkowo wzó Eue n tcie cigien µα S Se () gdzie µ jest wspóczynnikiem tci pomidzy tm bbnem α jest ktem opsni bbn W tym pzypdku α π ozwizujc ukd ówn () () otzymuje si µα M e P µα ( e )( ) po uwzgdnieniu dnych iczbowych P N 9 odki cikoci %*$* ZDNIE 9 Wyznczy odek cikoci ktownicy pskiej zbudownej z jednoodnych ptów o jednkowych i stych pzekojch popzecznych (ys 9) ys 9

64 %*$* 64 STTYK ozwiznie Pty ktownicy oznczono pzez oz pzyjto ukd odniesieni jk n ysunku 9 gdzie pzez x i y i oznczono wspózdne odk cikoci S i i-tego pt ktownicy (i ) ys 9 Wspózdne odk cikoci wyznczono ze wzoów: i i i i S i i i i i S y y x x () gdzie i jest dugoci i-tego pt ktownicy Dugo poszczegónych ptów oz ich odki cikoci w pzyjtym ukdzie odniesieni wynosz: x x x x x x x x x x x x x

65 %*$* y y y y y y y y y y y y y Podstwijc powysze wtoci do wzoów () otzymuje si: y x S S Pooenie odk cikoci o wspózdnych y x S S mon byo w tym pzypdku pzewidzie uwnie nizujc konstukcj ktownicy tj ozoenie jej ptów ZDNIE 9 Obiczy wspózdne odk cikoci po pzekoju zoonego z dwóch jednkowych ktowników (ys 9) o wymich mm ys 9 ozwiznie Ze wzgdu n symeti pzekoju pzyjto ukd odniesieni jk n ysunku 9 i w zwizku z tym wspózdn x s odk cikoci wynosi: x s Wspózdn y obiczono ze wzou n i i n i i i S y y () gdzie i jest i-tym poem figuy o znnej wspózdnej y i jego odk cikoci odki cikoci

66 66 STTYK W zwizku z tym dokon ney podziu pzekoju n poszczegóne powiezchnie o egunych kszttch i znnych poch oz wspózdnych odków cikoci Pzyjto tzy skdowe powiezchnie cego pzekoju (ys 9) d któych: mm 4 8 mm y y mm y mm Kozystjc ze wzou () obiczono y s ys mm odek cikoci pzekoju ey w punkcie S o wspózdnych: x s y s 4 mm %*$* ZDNIE 9 Obiczy wspózdne odk cikoci figuy pskiej pokznej n ysunku 9 W figuze wycite s dw otwoy: koowy o pomieniu 5 cm i kwdtowy o boku cm ozwiznie Zdnie mon ozwiz stosujc metod podziu cego po n po eementne podobnie jk w zdniu 9 Wycite otwoy uwzgdni si odejmujc ioczyny ich pó i odków cikoci oz powiezchnie otwoów we wzoch n wspózdne odk cikoci Pzyjto podzi n po eementne oz ukd odniesieni jk n ysunku 9 Powiezchnie pó eementnych oz wspózdne ich odków cikoci wynosz odpowiednio: 6 4 mm 6 4 mm S

67 odki cikoci 67 4 π mm mm x mm y mm x mm y 5 5 mm x mm y 5 4 mm x mm y 4 mm ys 9 %*$* ys 9

68 68 STTYK Wspózdne odk cikoci obiczono ze wzoów: x S 4 i i 4 x i i i y S 4 i i 4 y i Podstwijc odpowiednie wtoci do wzoów () otzymno: i i () x y s s ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) Pooenie odk cikoci pokzne jest n ysunku mm 78 mm ZDNIE 94 Wyznczy wspózdne odk cikoci jednoodnego pt wygitego w ksztcie uku o pomieniu i kcie odkowym α (ys 94) ys 94 %*$* ozwiznie W odónieniu od popzednich zd w tym pzypdku nie mon zstosow metody podziu n eementne odcinki (jk w zdniu 9) i wykozyst wzoy sumcyjne n wspózdne odk cikoci Wykozystno wzoy ckowe dotyczce inii pskich w postci: x s xd d y s yd d 4 4 gdzie d jest dugoci eementnego uku wydzieonego z uku Ze wzgdu n to e uk jest w ksztcie wycink okgu wygodnie jest uzeni wspózdne x i y oz d od kt ϕ W pzyjtym ukdzie odniesieni jk n ysunku 94 ze wzgdu n symeti wzgdem osi y x s

69 odki cikoci 69 Uwzgdnijc oznczeni jk n ysunku 94 otzymuje si: x sin ϕ y cos ϕ d d ϕ Otzymuje si ztem: x y s α α s ys 94 cos ϕ d ϕ sin ϕ α α ϕ d ϕ α α α α sin α α ys 94b %*$* Wzó n wspózdn y s mon wykozyst do wyznczeni pooeni odk cikoci wycink koowego o pomieniu i kcie α (ys 94b) Wydziejc eementny wycinek o kcie dϕ mon tktow go jk tójkt w któym odek cikoci ey w odegoci od odk ko (punkt ) odki cikoci wszystkich skdowych eementnych wycinków bd wic ee n uku o pomieniu Wspózdne odk cikoci wycink koowego wynosz x s y s sin α α

70 7 STTYK ZDNIE 95 Obiczy odek cikoci jednoodnej figuy pskiej ogniczonej hipebo xy i postymi x y (ys 95) 4 ys 95 ys 95 ozwiznie Do wyznczeni odk cikoci wykozystno wzoy ckowe d figu pskich: x s xdxdy dxdy y s ydxdy dxdy %*$* Figu posid o symetii o (ys 95) wic x s y x wystczy wic obiczy tyko jedn wspózdn np x s Obiczjc cki: xdxdy 4 xdx 4x dy 4 x dx 4 9 dxdy 4 dx 4x dy 4 4 x dx ( n 4) 4 9 nstpnie x s otzymuje si x s y x 697 8( n 4)

71 7 Kinemtyk Uwgi metodyczne dotyczce ozwizywni zd z kinemtyki Kinemtyk jest dziem mechniki któy zjmuje si bdniem uchu ci bez uwzgdnieni pzyczyn wywoujcych uch uch jest pojciem wzgdnym i dtego bdjc go ney zwsze okei ukd odniesieni wzgdem któego uch jest ozptywny Wyóni si dw zsdnicze ukdy odniesieni: wzgdny (uchomy) i bezwzgdny tktowny w dnym pzypdku jko nieuchomy Jeei wybny ukd odniesieni pzyjmuje si umownie z nieuchomy to uch wzgdem tkiego ukdu nzyw si uchem bezwzgdnym W pzeciwnym pzypdku uch nzyw si wzgdnym Podstwowym ceem kinemtyki jest opisnie uchu by tzn tkie podnie opisu by mon byo n tej podstwie okei to pdko i pzyspieszenie dowonego punktu by W kinemtyce wykozystuje si dwie gupy metod: metody nityczne i metody gficzne pzy czym metody gficzne stosowne s do wyznczni pmetów uchu w okeonych chwiowych pooenich ukdów mteinych y tktown jest jko zbió punktów mteinych i w zwizku z tym bdnie uchu by popzedzone jest bdniem uchu punktu Kinemtyk ze wzgdów dydktycznych dzieimy n kinemtyk punktu i kinemtyk byy Do opisni uchu punktu wykozystuje si w pzyjtym ukdzie odniesieni okeone wspózdne podjc je w zenoci od czsu Otzymuje si w ten sposób kinemtyczne ównni uchu punktu bdce podstw do wyznczeni tjektoii pdkoci i pzyspieszeni punktu W pzypdkch szczegónych tj w uchu jednostjnym i jednostjnie zmiennym mon kozyst ze znnych wzoów n pzemieszczenie i pdko punktu W innych pzypdkch wykozystuje si w tym ceu chunek óniczkowy i ckowy Opis uchu by zey od odzju uchu by W zenoci od nzuconych wizów wyóni si uchy poste np uch postpowy i uchy zoone np uch pski Kdy z uchów by opisuje si odpowiednimi d dnego pzypdku kinemtycznymi ównnimi uchu odpowidjcymi iczbie stopni swobody byy Kinemtyczne ównni uchu byy pozwj n wyznczenie w pzyjtym ukdzie odniesieni ówn uchu dowonego punktu byy ztem tou pdkoci i pzyspieszeni tego punktu %*$*

72 7 KINEMTYK Ceem wyznczeni pmetów kinemtycznych dowonego punktu byy mon wic pzyj nstpujcy tok postpowni: ozpozn uch byy pzyj ukd odniesieni wykozyst kinemtyczne ównni uchu byy do zpisni ówn uchu wybnego punktu wyznczy szukne pmety uchu W pzypdku zstosowni metod gficznych wykozystuje si pzede wszystkim wektoowe ównni pdkoci i pzyspiesze wciwe d dnego odzju uchu byy nstpnie wyzncz si pmety kinemtyczne w chwiowym pooeniu byy niz uchu pod wpywem dzini si omówion jest w czci dotyczcej dynmiki uchu Kinemtyk punktu Wyzncznie ówn uchu pdkoci pzyspiesze oz tou ZDNIE uch punktu K opisny jest wektoem wodzcym ( t) i ( t ) j; i j wesoy pskiego ktezjskiego ukdu odniesieni w [m] t w [s] Wyznczy ównnie tou pdko i pzyspieszenie oz pwo uchu po toze ozwiznie Pdko punktu jest ówn d i j dt %*$* Wspózdne wekto pdkoci wynosz: x m/s y m/s wto pdkoci x m/s y Pzyspieszenie punktu jest ówne d dt d dt D wyznczeni ównni tou wykozyst mon wspózdne wekto tj x t [m] y t [m] (ównni skoczone uchu) ugujc z powyszych ówn pmet t (czs) otzymuje si: y x czyi ównnie postej w ukdzie Oxy pzy czym toem jest pópost d t (ys )