Równanie Schrödingera z potencjałem pseudoharmonicznym

Transkrypt

1 Rówa Shödga z potjałm psudohamozym Paa dyplomowa Ŝysa Kzysztof Pawł Domagała pu: d hab. Ŝ. pof. PW Włodzmz Saljda Woław 9

2

3 Sdz dzęuj pofsoow Włodzmzow Saljdz za ooą pomo jaj m udzlł w ta psaa pay dyplomowj. Dzęuję ówŝ mg Kaolow Taowsmu za dysusj dotyzą sposobu gafzj pztaj tójwymaowyh fuj falowyh. 3

4 Sps tś. Wpowadz NajwaŜjsz zagada Fuja falowa Ψ Rówa Shödga Rówa Shödga dla atomu wodou Rówa Shödga z potjałm psudohamozym Wy oblzń umyzyh Atom wodou Wos dla atomu wodou Potjał psudohamozy Wpływ watoś paamtów potjału a wy umyz Cząstz tlu węgla wodou Podsumowa A. Mtody ozwązaa A.. Bzwymaowa postać ówaa Shödga dla atomu wodou A.. Bzwymaowa postać ówaa Shödga z potjałm psudohamozym A.3 Algbaz zagad włas A.4. Twdz Mata Daa A.5. Mtoda Mata Daa A.6. Algoytm Mata Daa A.7. Mtoda DWSZ A.8. Algoytm DWSZ... 4 B. Istuja obsług pogamu... 4 C. Kod źódłowy pogamu... 4 D. ps mtody otzymaa wysu gęstoś pawdopodobństwa Bblogafa Płyta CD

5 . Wpowadz dy pzz Shödga właśwyh ówań do opsu uhu ltoów w sal atomowj obdazyło as toą pozwalająą badać lośowo zjawsa atomow, doład z wszystm szzgółam [-]. Wyozystują ówa Shödga mamy moŝlwość zozuma wlu zjaws atomowyh z wyjątm tyh, tó wąŝą sę z magtyzmm lub ftam latywstyzym. Tłumazy oo pzyjmowa pzz atomy watoś staów gtyzyh oaz wązaa hmz. Z względu a omplaj atuy matmatyzj, ówa Shödga zostało aaltyz ozwąza tylo dla lu poblmów, tah ja a pzyład atom wodou lub ułady wodoopodob [, 3]. JdaŜ pzy pomoy óŝyh mtod pzyblŝoyh moŝa zozumć wl fatów dotyząyh wązań hmzyh w ząstzah badzj somplowayh atomów []. Lzba doład ozwązywalyh ówań Shödga w tzh wymaah jst ogazoa. Doład ozwązywalym są m.. potjały Hulta, Coulomba, Woodsa Saxoa, Katza, Mos a, sfyz symtyzj jamy [, 3]. Clm pay jst umyza aalza stajoago tójwymaowgo ówaa Shödga z potjałm psudohamozym. Potjał psudohamozy moŝ posłuŝyć do lośowj tptaj gtyzyh wdm molulayh uładów lowyh lowyh. Rozwąza ówaa Shödga z potjałm psudohamozym powadz do pozomów gtyzyh ówoodlgłyh. Jdą z zalt potjału psudohamozgo jst to, Ŝ moŝ być tatoway zaówo w tzh, ja w jdym wymaz. Potjał psudohamozy jst potjałm pośdm mędzy potjałm osylatoa hamozgo a potjałm ahamozym. Potjał psudohamozy ośla wzó [4, 5] V R A (.) A R ( ) V, gdz A jst wymaowym paamtm modlu, a V jst haatystyzą watośą g. W ozdzal. zajduj sę ops ajwaŝjszyh zagadń, z dzdzy mha watowj, zwązayh z tmatm pay. Rozdzał 3. zawa uzysa w wyu aalzy umyzj wy; dodatowo wy dla atomu wodou są poówa z wyam aaltyzym. Rozdzał 4. jst podsumowam pay. Dodat A zawa zbęd fomaj dotyzą aalzy umyzj wybaym mtodam oaz wypowadz posta bzwymaowyh badayh potjałów. W dodatu B umszzoa została stuja obsług pogamu opaowago w amah pay. Dodat C zawa ody źódłow ajwaŝjszyh podpogamów. 5

6 . NajwaŜjsz zagada.. Fuja falowa Ψ Hpotza d Bogl a załada, Ŝ dualzm opusulao-falowy jst tylo własośą fal ltomagtyzyh, al ówŝ ząst o sońzoj mas spozyowj. zaza to, Ŝ ząst powy mć własoś falow [-]. Własoś t, zgod z jdym z postulatów mha watowj, opsuj fuja falowa Ψ, ągła óŝzowala. Zawat są w j wszyst fomaj o uładz. Ss fzyzy fuj falowj s jj wadat modułu Ψ, azyway gęstośą pawdopodobństwa, tóy ośla pawdopodobństwo zalza ząst w hwl T w pwym pu pzstz [-]. Rys.. Kwadat modułu fuj falowj ząst pzmszzająj sę w uu os X []. Gęstość pawdopodobństwa a ys. ma ształt zywj dzwoowj, tóa z upływm zasu pzsuwa sę w uu os X (mtują uh ząst) jdozś ozmywa sę. Po dostatz długm os zasu ozmy to, dla ząst swobodj, jst ałowt, ta Ŝ gęstość pawdopodobństwa zalza ząst w dowolym mjsu pzstz jst stała []... Rówa Shödga Jd z postulatów mha watowj ośla woluję zasową fuj falowj Ψ ( R,T ): fuja falowa uładu (p. pojdyzj ząst) zalŝy od zasu zgod z ówam h Ψ( R, T ) Ηˆ Ψ( R, T ). (.) T Rówa to os azwę zalŝgo od zasu ówaa Shödga [3, 8]. pato Ηˆ jst opatom Hamltoa, zwaym hamltoam. Dla pojdyzj ząst o mas M V R jst day wzom w potjal ( ) ˆ P Η M h M ( R) V ( R). ˆ V (.) 6

7 Załadamy, Ŝ Ηˆ zalŝy od zasu, zyl Η ˆ Ηˆ ( R). (.3) Wyozystują mtodę ozdzla zmyh, moŝmy pzyjąć, Ŝ ozwąza ma postać ( R, T ) ( R) τ ( T ). Podstawają wyaŝ (.4) do ówaa (.) otzymujmy Ψ (.4) Ηˆ h τ. (.5) τ T Lwa stoa tgo ówaa jst fują tylo zmj T, a pawa tylo R. Zatm ob stoy muszą być ów tj samj stałj E ( R) E( R). Η ˆ (.6) Wzó (.6) dfuj zalŝ od zasu (lub azj stajoa) ówa Shödga; wlość E jst gą uładu azywaa taŝ watośą własą opatoa Ηˆ [-]..3. Rówa Shödga dla atomu wodou Atom wodou, jst ajpostszym uładm zwązaym występująym w pzyodz, słada sę z potou ltou. PzyblŜo ozwąza załada, Ŝ poto jst uhomy spozywa w śodu atomu []. Egę potjalą ltou pouszajągo sę w polu ltostatyzym potou opsuj wzó V q, (.7) 4πε R tógo watość w duŝyh odlgłośah od śoda atomu dąŝy do za. Stajoa ówa Shödga (.6) dla atomu wodou moŝa wę apsać w fom q h ( R) E( R). M 4πε R (.8) PowaŜ, ga potjala atomu wodou zalŝy tylo od odlgłoś, lpj będz pzjść od współzędyh atzjańsh do współzędyh sfyzyh [-], w tóyh opato Lapla a ma postać R R R R s sθ. θ θ θ s θ φ (.9) 7

8 Pzy załoŝu, Ŝ ga zalŝy od ątów θ φ, opato Lapla a zduuj sę do pwszgo złou (.) astęp po zastosowau podstaw a fuj włas R, (.) R R ( R) R ( R) Y ( θ,φ), (.) l gdz, l m są oljym lzbam watowym, otzymujmy postać zęś adalj ówaa Shödga dla atomu wodou lm h M R ( l ) h l MR 4πε q R R l ( R) E R ( R). l (.) PoŜj pzytazam za [3] posta tzh pwszy fuj adalyh R ( ) xp, 3/ R R R R (.3) R R ( ) xp, 3/ ( ) R R R R R (.4) R R ( ) xp, 3/ 3( ) R R R R R (.5) o gdz R jst pomm pwszj obty Boha R,5 Α. Pzbg fuj adalj R l atomu wodou dla wybayh lzb watowyh, um obty ltou, l, bzwzględa watość obtalgo momtu pędu, poazao a poŝszym ysuu. 8

9 Rys.. Część adala fuj falowyh dla atomu wodou (,,3) [6]. Wdać, Ŝ dla duŝgo poma R wszyst fuj wyładzo zmzają do za. Chaatyzują sę o poadto ośloą lzbą mjs zowyh ówą l. Wysy zalŝoś adalj gęstoś pawdopodobństwa P l zalza ltou od odlgłoś od jąda atomu pztuj ys. 3. Rys. 3. Część adala ozładów gęstoś pawdopodobństwa dla atomu wodou (,,3) [6]. 9

10 Z ówaa Shödga dla atomu wodou wya, Ŝ obtom bohowsm odpowadają masymal watoś gęstoś pawdopodobństwa zalza ltou dla staów podstawowyh [6]. Do oblzń umyzyh wyozystamy bzwymaową postać ówaa Shödga dla atomu wodou (A.), tój wypowadz zajduj sę w dodatu A...4. Rówa Shödga z potjałm psudohamozym Część adala stajoago ówaa Shödga (.6) z potjałm psudohamozym (.) pzyjmuj postać h M R ( l ) h l MR V R A A R R l ( R) E R ( R). l (.6) Ta ja dla atomu wodou do oblzń umyzyh wyozystao postać bzwymaową (.6). Wypowadz bzwymaowj posta ówaa Shödga z potjałm psudohamozym zajduj sę w dodatu A.. 3. Wy oblzń umyzyh Pzy pomoy mtody Mata Daa, opsaj w dodatah A.4 A.6 oaz mtody DWSZ, dodat A.7 A.8, opaoway został pogam umoŝlwająy wyzaz g własyh E, fuj adalyh R l, adalyh gęstoś pawdopodobństwa P l gęstość pawdopodobństw lm dla ówaa Shödga z potjałm Coulomba dla atomu wodou potjałm psudohamozym. Do zamplmtowaa pogamu został wyozystay języ Fota77 [7], od źódłowy ajwaŝjszyh podu został pzdstawoy w ozdzal C. W lu gafzgo pzdstawa gęstoś pawdopodobństwa apsay ót pogam w języu Matlab7. [8]. 3.. Atom wodou lm, został blza umyz dla atomu wodou zostały pzpowadzo tylo po to, Ŝby spawdzć popawość dzałaa apsago pogamu. W ozdzal tym zosta pzdstawoyh la wybayh wyów umyzyh oaz h poówa z watośam doładym. Podzas oblzń pzyjęlśmy, Ŝ haatystyza długość uładu R, zgod z ozdzałm A., jst ówa pomow Boha. Za haatystyza gę uładu V pzyjęlśmy gę stau podstawowgo atomu wodou. Lzba putów sat wyosła tysą. btaly momt pędu l. Szoość pzdzału ałowaa R / R była zmaa w lu uzysaa ja ajdoładjszyh wyów.

11 szoość pzdzału R/R watoś umyz E [V] doładość σ -5 doładość σ -6 doładość σ -9 Watoś aaltyz E [V] 5 3,7947 3,6 3,6555 3, , ,396 3,44 3, ,53844,5579,57, ,8594,8554,8593, ,54879,544554,54494,5448 Tab.. Pęć pwszyh g własyh atomu wodou uzysayh umyz, dla podayh doładoś; w ostatj olum pzytozoo watoś aaltyz. Jao maę doładoś -j g własj pzyjęlśmy pwość względą szoość pzdzału R/R umyz aaltyz E E %. aaltyz ( 3.) E doładość σ -5 [%] doładość σ -6 doładość σ -9 5,38939,565,37 5,779393,789,86 3 4,7664,556, ,3,3559, ,856,59888,63 Tab.. Npwoś względ otzymayh watoś g własyh uzysayh umyz, dla podayh doładoś. Na watoś g własyh wpływa pwość umyza V σ E ( 3.) s α δ

12 szoość pzdzału R/R doładość σ -5 δe [V] doładość σ -6 doładość σ -9 5,6593,6593,6 5,836,84, 3 4,859,85,9 4 6,3787,3787,4 5 9,683,683, Tab. 3. Npwoś umyz otzymayh watoś g własyh, dla podayh doładoś. Rys. 4. Poówa umyzj, dla podayh doładoś, oaz aaltyzj (.3) adalj fuj falowj R dla atomu wodou. Sala logaytmza a os X.

13 Rys. 5. Poówa umyzj, dla podayh doładoś, oaz aaltyzj (.4) adalj fuj falowj R dla atomu wodou. Sala logaytmza a os X. Rys. 6. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla atomu wodou, uzysaa dla duŝj doładoś. 3

14 Rys. 7. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla atomu wodou, uzysaa dla duŝj doładoś. 4

15 l m m Dołady ops mtody otzymaa wysów zajduj sę w dodatu D. m - m Tab. 4. Gęstość pawdopodobństwa lm m dla óŝyh staów atomu wodou. 5

16 3.. Wos dla atomu wodou. Uzysa watoś g własj (patz tab.), dla duŝyh doładoś (małyh σ), są w pł zgod z watośam aaltyzym daym wzom E 3.6V. ( 3.3) Zmjsza doładoś (zwęsza σ) algoytmu Mata Daa powoduj wzost błędów względyh (patz tab.) oaz umyzyh (patz tab.3). Wzost szooś pzdzału ałowaa (patz tab.3) pzy stałj lzb putów sat zmjsza błąd umyzy uzysayh watoś własyh. Radal fuj falow R l oblzo umyz, dla duŝyh doładoś, poywają sę doład z fujam zadaym wzoam (.3) (.4), o lustują ys. 4 ys.5. Kształt wysów gęstoś pawdopodobństwa lm jst zblŝoy do wysów zamszzoyh w podęzah [, 3] It [9]. Poówa wyów otzymayh umyz dla atomu wodou z watośam aaltyzym poazuj, Ŝ apsay pogam dzała daj popaw wy Potjał psudohamozy Zahowa ząst watowj w polu potjału psudohamozgo zbadamy a dwa sposoby. Na poząt oślmy wpływ wszysth paamtów pola psudohamozgo, a astęp zbadamy pol psudohamoz dla dwóh zzywstyh pzypadów, ząstz tlu węgla C ząstz wodou H Wpływ watoś paamtów potjału a wy umyz W lu doładgo spawdz wpływu aŝdgo z paamtów potjału psudohamozgo a otzymywa watoś wtoy włas, potjał day wzom l ( l ) a α, ( 3.4) a gdz α ośla wzó (A.3), zapszmy w posta zawająj zalŝ od sb paamty b a. ( 3.5) a Ta zapsay potjału zbadamy w lu szzgólyh pzypadah. Podzas oblzń pzyjęlśmy, Ŝ haatystyza długość uładu R jst ówa pomow Boha. Za haatystyza gę pzyjęlśmy V. V. Lzba putów sat wyos dzsęć tysęy. Szoość pzdzału ałowaa R. 6

17 Pzypad : b,, Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos δ E, V. E [V] a a 3 a 6 4,9948 7,746 3,783 69,79886,68, , ,637 8, ,394 5,5463 6, , , ,6495 Tab. 5. Pęć pwszyh g własyh ząst watowj w polu potjału psudohamozgo dla podayh watoś paamtu a b,,. E [V] a a 3 a 6 E -E 44,844 4,9338 7,4687 E 3 -E 44, ,9337 7,46697 E 4 -E 3 44, ,9359 7,46693 E 5 -E 4 44,7944 4,9359 7,46749 Tab. 6. RóŜ g pomędzy oljym pozomam. Aalza mmum potjału (3.5). Pohoda potjału jst ówa a V ( 3.6) a a a V ', ( 3.7) a a watość odpowadająa mmum potjału spła ówość a a 3. ( 3.8) tzymujmy zalŝość połoŝa mmum potjału od paamtu a, dla a, a 3, dla a 3, ( 3.9) 6, dla a 6, o lustuj ys. 8. 7

18 Rys. 8. Wysy potjału psudohamozgo dla podayh watoś paamtu a b,,. Sala logaytmza a osah X Y. Rys. 9. Fuja adala R dla podayh watoś paamtu a b,,. Sala logaytmza a os X. 8

19 Rys.. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla podayh watoś paamtu a b,,. Sala logaytmza a os X. Pzypad : a,, Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos δ E, V. Watoś paamtu b odpowadają w astępująy sposób obtalmu momtow pędu l : b l, b l, b 6 l. E [V] b b b 6 4, , , ,5955 9, , ,394 74, , ,8654 9,565 39,45888 Tab. 7. Pęć pwszyh g własyh ząst watowj w polu potjału psudohamozgo dla podayh watoś paamtu b a,,. 9

20 E [V] b b b 6 E -E 44, E 3 -E 44, , E 4 -E 3 44, , ,79664 E 5 -E 4 44, , ,7955 Tab. 8. RóŜ g pomędzy oljym pozomam. Ta ja popzdo moŝmy wyzazyć mmum potjału (3.5). Pohoda potjału jst ówa b V ( 3.) b V ', 3 ( 3.) watość odpowadająa mmum potjału spła ówość b 3 3. ( 3.) Potjał osąga mmum dla, dla b, 4 b,3, dla b, ( 3.3),63, dla b 6, o lustuj ys..

21 Rys.. Potjał psudohamozy dla podayh watoś paamtu b a,,. Sala logaytmza a osah X Y. Rys.. Fuj adal R 3, R 3 R 3 dla podayh watoś paamtu b a,,. Sala logaytmza a os X.

22 Rys. 3. Radal gęstoś pawdopodobństwa P 3, P 3 P 3 dla podayh watoś paamtu b a,,. Sala logaytmza a os X. Pzypad 3: a, b, Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos: dla, δ E, V, dla δ E, V, dla δ E, V. E [V], 8,998 4, , ,445 69, , ,385 4, , ,477 59, ,5 5 65, , ,4545 Tab. 9. Pęć pwszyh g własyh ząst watowj w polu potjału psudohamozgo dla podayh watoś paamtu a, b,.

23 E [V], E -E 4,463 44,844 4,6593 E 3 -E 4, , ,6467 E 4 -E 3 4, , ,6355 E 5 -E 4 4, ,7944 4,643 Tab.. RóŜ g pomędzy oljym pozomam. Dla tgo pzypadu ówŝ moŝa dooać aalzy mmum potjału (3.5). Pohoda potjału jst ówa V ( 3.4) V ', ( 3.5) watość odpowadająa mmum potjału spła ówość 3. ( 3.6) PołoŜ mmum potjału zalŝy od paamtu, ( 3.7) o lustuj ys. 4. 3

24 Rys. 4. Potjał psudohamozy dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a osah X Y. Rys. 5. Fuja adala R dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a os X. 4

25 Rys. 6. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a os X. Pzypad 4: a, b, Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos δ E, V. E [V] 3 4,9948 3,577 38, ,79886,369 43, ,5955 5,387 94, , , ,98 5 4, , ,376 Tab.. Pęć pwszyh g własyh ząst watowj w polu potjału psudohamozgo dla podayh watoś paamtu a, b,. E [V] 3 E -E 44,844 79,8594 4,9639 E 3 -E 44,79664,67 5,8884 E 4 -E 3 44, ,859 85,356 E 5 -E 4 44,7944 3,4 4,47 Tab.. RóŜ g pomędzy oljym pozomam. 5

26 Rys. 7. Potjał psudohamozy dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a osah X Y. Rys. 8. Fuja adala R dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a os X. 6

27 Rys. 9. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla podayh watoś paamtu a, b,. Sala logaytmza a os X Cząstz tlu węgla wodou Za paą [4] pzyjmmy, Ŝ V jst to gą dysojaj, a paamt A to śda odlgłość mędzy jądam dwóh atomów w ząstz. blza pzpowadzmy dla H w opau o watoś, paamtów występująyh ząstz tlu węgla C wodou w wzoz (3.3), zazpęt z źódła []. Podzas oblzń pzyjęlśmy, Ŝ haatystyza długość uładu R jst ówa pomow Boha. Lzba putów sat wyos dzsęć tysęy. Szoość pzdzału ałowaa R. Paamty dla tlu węgla: -9 V. V 7.9 J A.3 m Paamty α a, w opau o watoś V A, zostaą wylzo w pogam z wzoów (A.3) (A.). Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos δ E, 58V. Paamty dla wodou: -9 V 4.5 V 7. J A.75 m Paamty α a ta ja dla tlu węgla zostaą wylzo w pogam. Błąd umyzy (3.) watoś g własyh wyos δ E, 56V. 7

28 E [V] l l l l 3, ,599 5, ,44 8,73,6-4,9,535,9 4,37 5 3,4 4,34 5,76 7, Tab. 3. Pęć pwszyh g własyh dla potjału psudohamozgo z paamtam C dla podayh watoś obtalgo momtu pędu l. E [V] l l l l 3, ,87, ,97 3,44 3, ,985 4,59 5,58 5, ,64 5,598 6,37 6,676 Tab. 4. Pęć pwszyh g własyh dla potjału psudohamozgo z paamtam H dla podayh watoś obtalgo momtu pędu l. Rys.. Potjał psudohamozy z paamtam C H. Sala logaytmza a osah X Y. 8

29 Rys.. Fuj adal R dla potjału psudohamozgo z paamtam C H. Sala logaytmza a os X. Rys.. Fuj adal R dla potjału psudohamozgo z paamtam C H. Sala logaytmza a os X. 9

30 Rys. 3. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla potjału psudohamozgo z paamtam C H. Sala logaytmza a os X. Rys. 4. Radala gęstość pawdopodobństwa P dla potjału psudohamozgo z paamtam C H. Sala logaytmza a os X. 3

31 l m m Dołady ops mtody otzymaa wysów zajduj sę w dodatu D. m - m m Tab. 5. Gęstość pawdopodobństwa dla potjału psudohamozgo dla C. lm 3

32 l m m Dołady ops mtody otzymaa wysów zajduj sę w dodatu D. m - m m Tab. 6. Gęstość pawdopodobństwa lm dla potjału psudohamozgo dla H. 3

33 4. Podsumowa W pay ozpatzoo zagad watow, tóym było tójwymaow stajoa ówa Shödga dla ząst poddaj dzałau pola sły psudohamozj. Wymaow ówa Shödga (.6) dla fuj adalj spawdzoo dla posta bzwymaowj wygodj do aalzowaa za pomoą mtod umyzyh (dodat A. A.). Bzwymaow ówa Shödga dla fuj adalj pzształoo do posta algbazgo zagada własgo mazy tójdagoalj (dodat A.3). paowao pogamy omputow, tó pztstowao ozwązują zagad włas dla fuj adalj ząst pouszająj sę w polu potjału Coulomba. tzymao wy zgod z zultatam aaltyzym. Śwadzy to o popawoś zastosowayh podu (ozdzały 3. 3.), tó astęp uŝyto do aalzy podstawowgo poblmu pay. Wyzazoo podstawow tdj obswowayh zalŝoś watoś własyh fuj własyh ząst watowj w potjal psudohamozym pzy zma paamtów potjału W szzgóloś zaobswowao, Ŝ b a. (.) a - wzost paamtu a, pzy stałyh watośah b,, zmjsza watoś g własyh (patz tab. 5). Zmjsza watość masymalą adalj gęstoś pawdopodobństwa oaz spawa, Ŝ jst o óŝa od za a zaz węŝszym pzdzal (patz ys. 9). Zwęsza pomń występowaa mmum potjału, o potwdza wyzazoa aaltyz zalŝość (3.9) oaz wys potjału (ys. 8). - wzost paamtu b (odpowadająy wzostow obtalgo mmtu pędu l ), pzy stałyh watośah a,, zwęsza watoś g własyh (patz tab. 7) oaz zwęsza pomń występowaa mmum potjału, o potwdza ówŝ wyzazoa aaltyz zalŝość (3.3) oaz wys potjału (ys. ). - wzost paamtu pzy stałyh watośah a, b, zwęsza watoś g własyh (patz tab. 9). Zwęsza watość masymalą adalj gęstoś pawdopodobństwa oaz spawa, Ŝ jst o óŝa od za a zaz węŝszym pzdzal (patz ys. 6). N wpływa a mmum potjału, o poazuj zalŝość (3.7) wys potjału (ys. 4). - wzost paamtu, pzy stałyh watośah a, b, zwęsza watoś g własyh (patz tab. ). Zwęsza watość masymalą adalj gęstoś pawdopodobństwa oaz spawa, Ŝ jst o óŝa od za a zaz węŝszym pzdzal (patz ys. 9). N wpływa a mmum potjału (patz ys. 7). W ta aalzy wpływu poszzgólyh paamtów a otzymywa watoś oaz wtoy włas, zaobswowalśmy dodatowo, Ŝ pozomy gtyz są 33

34 ówoodlgł dla paamtu. Wzost paamtu spawa, Ŝ pozomy gtyz pzstają być ówoodlgł oaz zwęsza óŝę g mędzy m. Rozwązao ówŝ zagad dla potjału psudohamozgo dla ząstz tlu węgla C wodou H (ozdzał 3.3.). Dzę zmu moŝa stwdzć, Ŝ watoś włas dla tlu węgla są węsz Ŝ dla wodou oaz, Ŝ szybj osą dla oljyh powło. Z wysów adalj gęstoś pawdopodobństwa (ys ys.) moŝa zauwaŝyć, Ŝ masma tlu węglu są węsz Ŝ dla wodou. A. Mtody ozwązaa A.. Bzwymaowa postać ówaa Shödga dla atomu wodou Upośmy fomę ówaa Shödga dla atomu wodou h M R ( l ) h l MR 4πε q R R l ( R) E R ( R). l (A.) M Po pomoŝu obu sto ówaa (A.) pzz otzymujmy h R l ( l ) R M h 4πε q R R l M h ( R) E R ( R). l (A.) Wpowadzamy bzwymaowy pomń w posta R R m m [/], (A.3) gdz R jst to paamt o wymaz długoś, haatystyzy dla ozpatywago uładu []. Rówa (A.) będz taz mało postać R l R ( l ) M h 4πε q R R l M h ( R ) E R ( R ). l (A.4) Następ dfujmy bzwymaową fuję adalą o pozwala zapsać (A.4) jao ówość l ( ) R R ( R ), R (A.5) l R l R ( l ) M h 4πε q R R l M h ( ) E R ( ). l (A.6) 34

35 MoŜymy ówa (A.6) pzz R l ( l ) MR h 4πε q R l MR h ( ) E R ( ), l (A.7) wpowadzamy bzwymaową gę własą E J ε [/], (A.8) V J gdz V jst haatystyzą gą ozwaŝago poblmu []; uzysujmy bzwymaową postać ówaa (A.7) l ( l ) MR h 4πε q R l MR h ( ) ε V R ( ). l (A.9) 4Πε h Pzyjmują za watoś haatystyz R pomń Boha oaz za Mq 4 Mq Π ε V gę stau podstawowgo atomu wodou, otzymujmy ówa 3 h Shödga dla atomu wodou (A.9) w ajpostszj, bzwymaowj fom ( l ) l ( ) ( ). l R l R ε (A.) A.. Bzwymaowa postać ówaa Shödga z potjałm psudohamozym Uposzz posta ówaa Shödga z potjałm psudohamozym (.6) jst podob do wypowadza dla atomu wodou z popzdgo ozdzału. Dlatgo wypowadz bzwymaowj posta RS z potjałm psudohamozym pzdstawę w sóoj wsj. Wpowadzamy bzwymaowy pomń (A.3), fuję adala (A.5), gę własą (A.8), gdz V V haatystyza ga potjału psudohamozgo (.6); dodatowo alŝy zastosować bzwymaowy paamt potjału (bzwymaowa odlgłość) a A R m m [/]. (A.) tzymamy ówa Shödga w posta l ( l ) MR h V a a R l MR h ( ) V ε R ( ). l (A.) 35

36 Wpowadzmy taz bzwymaowy paamt α g m α J s MR α V, (A.3) h g m J J s N m J J J Uzysalśmy w t sposób bzwymaową postać ówaa Shödga z potjałm psudohamozym [/]. l ( l ) a α Rl ( ) αεrl ( ). (A.4) a A.3 Algbaz zagad włas Pzpowadzmy dystyzaję bzwymaowgo ówaa Shödga [] α v ( ) ( ) αε ( ) (A.5) pzyblŝają dugą pohodą fuj ( ) w putah,..., sat (,..., ) a s,( A.6) gdz bzwymaow współzęd ońów pzdzału ałowaa a b oaz bzwymaowy o s sat wyoszą odpowdo a A R, b B R, b a s, za pomoą fomuły tójputowj d d UŜyty tutaj symbol ( s ) ( s) ( ) ( s) doładośą do wyazów zędu jdoodyh [] gdz v v( ) x ( s ) Ο( s ). Ο s Ο ozaza, Ŝ aposymujmy dugą pohodą w putah sat z s s. W zulta otzymujmy uład ówań ( s α v ) s αε (,..., ), (A.7). Jśl dla uposzza zapsu zastosujmy ozaza 36

37 37 v s v s α αε ε, ).8 (A sozystamy z wauów bzgowyh ( ) ( ) b a, to otzymamy jdoody uład ówań ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v ε ε ε ε ε 3 M M w tóym wadomym są zaówo pzsalowaa ga ε, ja watoś fuj falowj a sat. Zapsują powyŝszy uład ówań w fom mazowj, v v v v ε M M.9) (A otzymujmy algbaz zagad włas dla dystgo opatoa g Η, ε Η ). (A tógo ozwązam są pay ( ) ε,, gdz ε pzyblŝ watoś własj zagada (A.5), a wto jst dystą aposymają fuj falowj ( ) x []. A.4. Twdz Mata-Daa Nh x R A będz symtyzą mazą bloowo tójdagoalą posta, m m T m T D E E E E D A.) (A gdz l x l R D są mazam symtyzym, a l x l R E ; ozmay lat spłają zalŝość m l. Nh ( ) X η ozaza lzbę ujmyh watoś własyh mazy. X Wtdy

38 gdz ( U ) jst ągm mazy posta m ( A z) η( ), η (A.) T U D z, U D z E U E (,..., m), l x l a R jst mazą jdostową o stosowym ozmaz []. U (A.3) A.5. Mtoda Mata Daa Zastosujmy twdz Mata Daa do mazy tójdagoalj. Z ówaa l ww z watoś własyh mazy (A.3) wya, Ŝ lzba ( ) T d d, (A.4) mjszyh od daj lzby z jst ówa lzb ujmyh wyazów w ągu lzbowym u d z, u d z (,..., ). u (A.5) Ja wdzmy, l ww ( z) wyos l ( z) ( T z) η( ). ww u gdz η ( A) ozaza lzbę ujmyh watoś własyh A []. η (A.6) A.6. Algoytm Mata Daa Sfomułujmy algoytm Mata Daa, wyozystująy ąg (A.5) do zajdowaa watoś własj ε tójdagoalj mazy symtyzj T z zadaą doładośą σ mtodą bsj []. j Algoytm A (Mata Daa) [] Podua Watość wł_md ( d,, j, z,, σ, z ε ): zajduję j-ą watość własą ε j mazy T td(, d, ) z doładośą σ ( z, z ) - wstęp oszaowa pzdzału zawajągo pojdyzą watość własą Powtazaj: z z : p z ; 38

39 39 Jśl ; : ε σ z z Ko; Jśl ( ) p p z z j z T : : η w pzwym az ; : p z z Ko. A.7. Mtoda DWSZ PowaŜ zaa jst uwsala mtoda wyzazaa wtoów własyh mazy (A.4), wę zastosujmy stosuowo uwsalą mtodę zapopoowaą pzz Dy, Wu, Spatla Zhga (DWSZ). ZałóŜmy, Ŝ wyzazylśmy z zadaą doładośą j-ą watość własą j ε algbazgo zagada własgo (A.9) mtodą Mata Daa. W dalszj zęś ozdzału dla uposzza zapsu pomęty zosta ds j. Zajmmy sę poblmm umyzgo oblza współzędyh wtoa własgo ( ) T,..., algbazgo zagada własgo pzdstawogo poŝj. d d ε ε M M.7) (A Zapszmy uład ówań (A.7) w astępująj posta, d d ε ε M M.8) (A ( ), d ε ).9 (A, M M d d ε ε.3) (A Zdfujmy ( ) lzb Θ Θ,..., oaz ( ) lzb Θ Θ,..., ( ) ( ) ( ),,...,, Θ Θ Θ d d ε ε ).3 (A ( ) ( ) ( ).,...,, Θ Θ Θ d d ε ε ).3 (A

40 Za pomoą ągów ( Θ ) bądź ( ) ówowaŝ sposoby Θ moŝmy zapsać ówaa (A.8) (A.3) a dwa Θ M M Θ Θ Θ M Θ M Θ Θ Θ (A.33) Rówaa w lwj olum wypowadzamy oljo od ostatgo do pwszgo, ozystają z ówań (A.8) (A.3) dfj Θ (A.3). Podob ówaa w pawj olum otzymujmy od pwszgo do ostatgo, ozystają z dfj Θ (A.3) []. A.8. Algoytm DWSZ Wzoy zajdują sę pod sa w (A.33) pozwalają sfomułować astępująy algoytm zajdowaa współzędyh wtoa własgo odpowadajągo wyzazoj wzśj watoś własj []. Algoytm A (DWSZ) [] Podua Wto_wł_DWSZ (,,, ε, σ, ) ( ) Θ / d ε ; d :,..., : Θ / d Θ Θ / ( d ε ); Dla,..., : Θ ( / d Θ ) Dla ( ) ε ; ε ; : Wybz _ put _ poz ; : : ; Ko. Dla,..., : Θ ; Dla,...,: Θ ; : / ; omowa wtoa d ε ( ) : ; Jśl > σ : : Wybz _ y _ put _ poz ; dź do ; 4

41 B. Istuja obsług pogamu Po uuhomu pogamu owa_shodga.x zostamy poposz o odpowdź a szg pytań, tó umoŝlwą wyba tsujągo as potjału oaz ustala watoś zbędyh paamtów. W wyu dzałaa pogamu, utwozo zostaą zty pl: - fuja_adala.dat zawajągo watoś adalj fuj falowj, - adala_gstos_pawdopodobstwa.dat zawajągo watoś adalj gęstoś pawdopodobństwa, - potjal.dat zawajągo watoś badago potjału, - paamty zawajągo watoś paamtów potzbyh do wzualzaj gęstoś pawdopodobństwa pzy pomoy pogamu wzualzaja_gstos_pawdopodobstwa.m. Do gafzgo pzdstawa watoś adalj fuj falowj, adalj gęstoś pawdopodobństwa lub potjału moŝa wyozystać damowy pogam guplot []. Po jgo uuhomu wybamy z mu pogamu Plot > Plot, a astęp Plot > Data flam.... Zostamy poposz o wsaza loalzaj plu fuja_adala.dat, adala_gstos_pawdopodobstwa.dat lub potjal.dat. Wybamy tsująy as pl potwdzmy jgo wyba pzysm twóz (p). JŜl wszysto zostało wyoa popaw to po aśęu lawsza ENTER pojaw sę ow oo z wysm. Aby uuhomć pogam wzualzaja_gstos_pawdopodobstwa.m potzby jst MATLAB7. [8]. Po uuhomu MATLABA wybamy z mu Fl > p..., wsazujmy śŝę dostępu do plu wzualzaja_gstos_pawdopodobstwa.m. Kdy to uzymy poaŝ sę am oo dyj odu pogamu. W mjsu zazazoym zwoym postoątm a ys. 5 Rys. 5. o dyj odu pogamu w MATLABIE. 4

42 wpowadzamy watość bzwymaowgo poma dla jago ma być aysowaa gęstość pawdopodobństwa. ptymalą watość poma moŝa odzytać z wysu adalj gęstoś pawdopodobństwa, jst to watość powyŝj tój wys pzyjmuj, stałą, blsą zu watość. Po wpowadzu watoś poma, asamy lawsz F5. Pzy pwszym uuhomu pojaw sę omuat w tóym wybamy opj Chag MATLAB ut dtoy, a astęp wsamy K. Na a motoa pojaw sę ow oo z gafzym pzdstawm gęstoś pawdopodobństwa. C. Kod źódłowy pogamu W ozdzal zostały zamszzo tylo ody źódłow ajwaŝjszyh podu pogamu zwązayh z mtodam umyzym Mata - Daa DWSZ (ozdzały A.4- A.8). tg futo lww(d,,z) * fuja lzy lzbę watoś własyh, mazy tojdagoalj, * mjszj od daj lzby Z stosują twdz Mata-Daa * d - wto dagoalj * - wyma mazy z - zadaa lzba mplt o tg doubl pso d(),z * zm loal tg,wu doubl pso u wu ud()-z f (u.lt..d) wu do, ud()-z-(/u) f (u.lt..d) wuwu ddo lwwwu tu d doubl pso futo watos_wlasa_md(d,,j,z_m,z_p) * fuja lzy watość własa mazy tojdagoalj * pzy pomoy algoytmu Mata-Daa * d - wto dagoalj * - wyma mazy j - um szuaj watos wlasj * (z_m,z_p> - wstp oszaoway pzdzal zawajay j-a * watos wlasa mplt o tg,j doubl pso d(),z_m,z_p * zm loal doubl pso z,zm,zp,sgma tg wu,lww xtal lww 4

43 sgma.d/(*) zmz_m zpz_p 3 otu z(zmzp)/.d f ((zp-zm).l.sgma) th watos_wlasa_mdz tu ls wulww(d,,z) f (wu.q.(j-)) th zmz ls zpz df goto 3 df d subout wto_wlasy_dwsz(d,,ww,wto) * podua lzy wto wlasy dla daj watos wlasj, * mtoda DWSZ d - wto dagoalj - wyma mazy * ww- watos wlasa wto- wto wlasy zwaay pzz aglow mplt o tg doubl pso d(),wto(),ww * zm loal doubl pso om(),op(),omawtoa,oma,,sgma,max xtal omawtoa tg,,j sgma.d/(*) om().d/(d()-ww) op().d/(d()-ww) do,- om().d/(d()-ww-om(-)) op(-).d/(d(-)-ww-op(-)) d do 3 otu * wt(*,*) wto() do, wto()op()*wto(-) d do do -,,- wto()om()*wto() d do omaomawtoa(wto,) max.d do, 43

44 wto()wto()/oma f (abs(wto()).gt.max) th maxabs(wto()) j df d do abs((-wto(-))((d()-ww)*wto())(-wto())) f(.g.sgma) th j goto 3 d f tu d D. ps mtody otzymaa wysu gęstoś pawdopodobństwa Gafzą lustaję gęstoś pawdopodobństwa lm otzymao w astępująy sposób: ) Pzdzał <, max > watoś poma podzloo a K ówyh zęś. ) Dla aŝdgo poma j j / K (j,, 3,, K), oblzoo watoś gęstoś pawdopodobństwa lm max w putah lŝąyh a półsfz o pomah j j / K dla dodath watoś atzjańsj współzędj pzstzj y; watoś gęstoś pawdopodobństwa odłoŝoo a sfah stosują oloową salę. 3) KaŜdą z ta otzymayh K półsf (j-ta półsfa zajduj sę wwątz (j) półsfy) zzutowao a płaszzyzę XZ. W t sposób a oloowyh ysuah (w tablah 4, 5 6) wdoz są watoś gęstoś pawdopodobństwa K współotyzyh dwuwymaowyh tousów; watoś j lm dla j < j lm max, tó twozą a sfz o pomu j odpowadają są wdoz, powaŝ są pzyyt (zasłoęt) zutam watoś gęstoś pawdopodobństwa pomah. lm odpowadająyh półsfom o mjszyh 44

45 Bblogafa [] R. P. Fyma, R. B. Lghto, M. Sads, Fymaa wyłady z fzy, Mha watowa, Tom 3, PWN, Waszawa 4 [] K. Sańs, J. Szatows, Fzya: Wzoy pawa z objaśam, Czść 3, fya Wydawza Spta, Woław 996 [3] R. L. Lboff, Wstęp do mha watowj, PWN, Waszawa 987 [4] R. Shaa, Mhaa watowa, PWN, Waszawa 6 [5] S. Szpows, Podstawy mha watowj, Wydawtwo Uwsyttu Ma Cu- Słodowsj, Lubl 6 [6] L. Adamowz, Mhaa watowa: fomalzm zastosowaa, fya Wydawza Polth Woławsj 5 [7] N. W. Ashoft, N. D. Mm, Fzya ała stałgo, PWN, Waszawa 978 [8] C. L. Tag, Fudamtals of quatum mhas, Fo sold stat ltos ad opts, Cambdg Uvsty Pss, 5 [9] L. E. Ballt, Quatum mhas, A mod dvlopmt, Wold Stf Publshg, Sgapo 998 [] W. G, Quatum mhas, A toduto, Spg-Vlag, Bl 993 [] Ch. Kttl, Wstęp do fzy ała stałgo, PWN, Waszawa 998 [] S. Flugg, Patal quatum mhas, Spg, Bl 999 [3] J. Boja, Zbó zadań z mha watowj, PWN, Waszawa 978 [4] C. Tza, M. Atas,. Ysltas, Exat soluto of Shödg quato fo Psudohamo pottal, Coll Uvsty Lbay, 7 [5] S. M. Ihda, R. Sv, Exat solutos of th Shödg quato D-dmsos fo th psudohamo pottal plus g-shapd pottal, Coll Uvsty Lbay, 7 [6] J. Ropa, B. Wóbl, Notat do wyładu z Fzy Kwatowj, Rówa Shödga dla atomu wodou, [7] Stoa dotyząa języa Fota77, [8] Stoa domowa pogamu Matlab, [9] ps fuj falowj w języu aglsm, [] Aglsojęzyza stoa zawająa sps g dysojaj odlgłoś mędzy atomam dla óŝyh ząstz, [] W. Saljda, M.H. Ty, M. Just, Algbaz mtody ozwązywaa ówaa Shödga, PWN, Waszawa [] Stoa domowa pogamu guplot, 45