DWUKRYTERIALNY ROZMYTY MODEL ŁAŃCUCHA KRYTYCZNEGO W PROJEKCIE PODSTAWY TEORETYCZNE

Transkrypt

1 Pawł łaszczy Uwsytt Śląs Tomasz łaszczy Uwsytt Eoomczy w Katowcach Maa. Kaa-łaszczy Uwsytt Śląs DWUKRYTERILNY ROZMYTY MODEL ŁŃCUCH KRYTYCZNEGO W PROJEKCIE PODSTWY TEORETYCZNE Wpowadz alza czasowo-osztowa, pozwalająca a ustal tago plau pojtu, tóy spła oczwaa dcydtów co do ja ajwczśjszj daty zaończa pojtu z ja ajższym budżtm, jst jdym z podstawowych zagadń ozpatywaych podczas plaowaa pojtu w ujęcu wloytalym. Wy pwszych badań w tym zas, powadzoych pzz Fulsoa [96] Klly a [96], zostały opublowa w latach 60. XX w. Szczgółowy pzgląd wyów pac powadzoych w obszaz aalz czasowo-osztowych został opacoway m.. pzz üca t al. [999]. Clm opsago w dalszj częśc pacy badaa jst ozpatz możlwośc wyozystaa podjśca łańcucha ytyczgo (CCPM Ctcal Cha Pojct Maagmt), wpowadzogo pzz Goldatta [997] w aspc wloytalośc poblmów dcyzyjych w pocsach zaządzaa pojtam, w szczgólośc podczas plaowaa zasobów, budżtu hamoogamu. Pwoty ops mtody CCPM opato aczj a języu wbalym ż fomalym. Podjśc watyfując czasy wyoaa czyośc, łańcuch ytyczy bufoy pojtu zostały wpowadzo pzz oljych autoów. Jda z szczgółowych popozycj została fomal opsaa pzz Tul t al. [006]. Mtody bufoowaa ych ż czas alzacj chaatysty pojtów zostały zapopoowa pzz Lach a [003], Gozalza t al. [009] oaz łaszczya Nowaa [008]. Ogól ozuma podjśc łańcucha ytyczgo jst wol od wad, co jst dysutowa w szom go au-

2 0 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy toów pac badawczych (p. Hol Lus [009], Rogalsa t al. [008], Va d Vod t al. [005]). Z względu a lcz dając jdozacz ocy dysusj ad założam mtody, ja ówż stosuowo młody os, w tóym mtoda CCPM jst zaa ba populaych azędz fomatyczych pozwalających a jj patycz zastosowa, jst oa sploatowaa ta często ja dobz za szoj gup użytowów mtody ścż ytyczj (CPM) PERT. W odóżu jda od czysto loścowj mtody CPM załadającj losową zmość oszacowań czasu mtody PERT, CCPM wpowadza do pocdu hamoogamowaa wstę wpływu czya ludzgo, co jst ważym tudym do pomęca w patyczych zastosowaach asptm wpływającym a jaość oszacowań zdolość zspołu do alzacj pojtu zgod z hamoogamm. Posadając fomację o wpływ czya ludzgo a mzal cchy pojtu, jstśmy w sta wyozystać j do popawy tychż, stosując odpowd mchazmy motywacyj. Pzyład tago ozwązaa, załadającgo ostucję wyozysta adzwyczajgo fuduszu pmowgo, został opsay pzz łaszczya Nowaa [008]. Dalsza część jszgo atyułu staow otyuację badań ad możlwoścą bufoowaa ych cch pojtu. Dla potzb zapopoowaj pocduy pzyjęto, ż podawa pzz pzyszłych wyoawców zadań paamty tmow osztow dla ostucj budżtu oaz hamoogamu pojtu zawają w sob addat bzpczństwa (pzszacowaa) a pozom oszacowań aładów pacy. W opacowau wpowadzoo ozmyt may aładów pacy w clu opsu pwośc oszacowań. Kocpcja wyozystaa podjśca ozmytgo w modlowau łańcucha ytyczgo była już ozważaa pzz Cha t al. [00], Loga ad Ohsato [008], Sh Goga [00]. W odóżu od powyższych pac, popooway modl załada możlwość motywowaa wyoawców zadań czyośc w pojc do patycypacj w yzyu opóźa oaz pzocza budżtu w zama za pawdopodob ozyśc, możlw do osągęca w pzypadu szybszj tańszj alzacj.. Pwszy modl matmatyczy bufoy czasu osztu Pod pojęcm czyów alży ozumć w dalszj częśc pacy wszlgo odzaju zasoby, sły oaz oolczośc, tóych oddzaływa a day lmt pojtu moż mć wpływ a watośc aalzowaych chaatysty pojtu lub sładających sę a go czyośc. W pzypadu węszośc pojtów alzowaych w patyc gospodaczj czyam tam są p. zasoby ludz, wyspcyfowa pod względm posadaj wdzy dośwadcza, zóżcowaych umjętośc czy ftywośc pacy. Iym pzyładm czyów w ozważaj ocpcj mogą być zasoby, p. matałow o zóżcowaych właścwoścach fzyczych chmczych, tó wpływają a tmpo

3 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc alzacj pac (pzypad często występujący w pojatch o chaatz żysm), mtody tch alzacj poszczgólych zadań czy węcz ogól pzyjmowa dla daych pojtów tcholog. W pwj lczb pojtów stotą olę mogą ówż odgywać czy lmatycz mmal lub masymal dopuszczal tmpatuy, opady, sła u watu tóych pzocz (lub zabzpcz pzd ch pożądaym wystąpm) taż moż gować wydłuż pac lub dodatowy oszt dla pojtu. Pzyjęta tutaj ogóla właścwość czyów, sutująca ch wpływm a stot dla ocającgo chaatysty (w tym czasu osztu) pojtu sładających sę a go czyośc, pozwala a powadz ozważań a wysom pozom ogólośc, ogaczając możlwośc ch zawężaa dla sotyzowaych ( ualoych) zastosowań. Rozważmy zatm modl pojtu sładającgo sę z czyośc ozaczoych K,. Każda z czyośc jst opsaa pzz paamt czasu osztu jj alzacj. Załóżmy, ż jdy q czyów moż wywać jaolw wpływ a czas bzpośd oszt alzacj całgo pojtu. Zalżośc t zapszmy w maczy czyów: X K q M O M =. () K q Elmty występując w maczy X są zmym baym, co ozacza, ż wyaz j pzyjmuj watość wtdy, gdy czy j posada wpływ a czyość. Nch: K = [ j ] =, ; j= K, q K () będz maczą osztów, oślającą oszt udzału poszczgólych czyów q w alzacj oljych czyośc. Poadto, ch: m m m W [ w, K, w ] (3) = będz wtom mmalych aładów pacy a wyoa czyośc, K,. Na podstaw maczy X oaz wtoa m W możmy wylczyć całowty aład pacy w jao:

4 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy m w f (, K,, w ), (4) = w q gdz f w jst fucją pzydzału pacy. Załóżmy ówż, ż stj wto R : R [, K, ], (5) = q opsujący ogacza dostępośc czyów q dla całgo pojtu. Nch: T = [ t j ] =, ; j= K, q K (6) będz maczą aładów (dla zasobów odawalych aładów pacy) dla ażdgo czya w ażdj z czyośc. Wyozystując macz X, T oaz K możmy oblczyć oszt oaz czas alzacj ażdj z czyośc popzz: = f ( K, q, t K, tq, K, q ) (7) oaz t = f ( K, q, t K, tq ), (8) t gdz f oaz f są pwym fucjam, zdfowaym pzz dcydta. W aj- t postszym pzypadu będą to fucj low. Fucj t będzmy azywać odpowdo fucjam czasu osztu. Na ch podstaw całowty oszt bzpośd oaz czas alzacj pojtu moża oblczyć w sposób astępujący: K K K (9) K = = f (,,, t,, t,,, ) c q q q = = oaz c = K, ( ES t ) T = ma +, (0) gdz ES jst ajwczśjszym momtm ozpoczęca czyośc. Na podstaw pzyjętych założń mmalzujmy całowty oszt bzpośd pojtu. Jżl fucj osztu f oaz czasu f są fucjam lowym, to ta t

5 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 3 sfomułoway poblm moża ozwązać za pomocą mtod pogamowaa lowgo. W typowym pzypadu modl pogamowaa lowgo zapsujmy w astępującj postac: c + K + c = c ma () a+ K + a b () 0, (3) gdz c = [ c c ], = [ ], = a, b = [ b b ] j j =... m, j=..., m K K K są odpowdo: wtom współczyów fucj clu, wtom zmych dcyzyjych, maczą współczyów ogaczń oaz wtom wyazów wolych w ogaczach. W aszym pzypadu mamy do czya z astępującym modlm lowym: = f ( K, q, t K, tq, K, q ) = = m (4) { } X, j T, j Rj dla j K, q (5) { } X, T, = W dla K, (6) t 0, (7) gdz X, j, X ozaczają odpowdo j-tą olumę maczy X, -ty wsz, maczy X, T, j, T ozaczają odpowdo j-tą olumę maczy T, -ty, wsz maczy T atomast R oaz j W ozaczają j-ty llmt odpowdo j wtoa R oaz W. Rozwąza optymal powyższgo modlu powo wyzaczyć optymaly ozdzał pacy a czy dla poszczgólych czyośc. W pzypadu uzysaa zbou altatywych ozwązań optymalych wybamy to, dla tógo całowty czas alzacj pojtu jst ajótszy. W t sposób otzymujmy ozwąza optymal dla pzypadu oszacowań bzpczych (zawających addat bzpczństwa) aładów pacy. Uwzględ oszacowań bzpczych powadz do pzszacowaa osztu czasu alzacj czyośc, a w oswcj całowtgo osztu bzpośdgo czasu twaa całgo pojtu. Ozacza to, ż:

6 4 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy = + (8) oaz t = t + t, (9) gdz oaz t są uzasadoym (alym) watoścam osztu oaz czasu alzacj czyośc oaz t są odpowdo addatam bzpczństwa dla oszacowań osztu czasu czyośc. Ta węc całowty oszt bzpośd oaz całowty czas alzacj pojtu możmy zapsać jao: K + c = K K (0) oaz T + c = T T, () gdz K, T są uzasadoym (alym) watoścam osztu oaz czasu alzacj całgo pojtu. alogcz K, T są odpowdo addatam bzpczństwa dla oszacowań osztu czasu dla całgo pojtu. W clu ustala watośc K, T musmy oszacować ajbadzj pawdopodob ałady pacy a czyośc. Następ oblczymy watośc w dla ażdj czyośc. W t * sposób otzymujmy ową macz czyów X oaz owy wto oszacowań W. Uuchamając w dalszj oljośc tę samą pocduę dla ajbadzj * pawdopodobych aładów pacy, lcz z dodatowym waum t dla * j t j * * =, ; j = K, q T = t j jst maczą aładów pacy dla ażdj czyośc, oblczoą dla owych daych. Z względu a s pawdopodobństwo jdoczsgo wystąpa wszystch czyów yzya osumujących założo zapasy czasu możmy zduować pojmośc bufoów pojtu ozystając z współczyów duujących α, β [0,] : K, gdz [ ] K = αk () oaz: T = βt. (3)

7 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 5 Ostatcz dla całgo pojtu możmy pzyjąć, ż: P K K + = K (4) oaz P T T + = T. (5) Wyozystując czść zaoszczędzoych śodów, możmy utwozyć spcjaly fudusz pmowy, tóy zosta ozdyspooway pomędzy czy q (w szczgólośc zasoby ludz) w pzypadu sosumowaa całośc bufoów. W clu dooaa spawdlwgo motywującgo podzału fuduszu, oślmy stotość poszczgólych zadań/czyośc: S [ ] K, (6) = s =, gdz s [0,]. ] oaz zdfujmy fucję ozdzału ozyśc, uwzględającą stotość czyośc, jj ytyczość, zaoszczędzoy aład pacy oaz oszczędośc w osumpcj bufoów czasu osztów. W ogólym pzypadu czy (zasób) j pow otzymać pmę w wysoośc b j : W K T b = f ( s, D, c, D, D ). (7) j b j Pzyładowa fucja ozdzału ozyśc moż pzyjąć astępującą postać: b j s D s D = s D s D W j j W j j γ γ jżl zajduj sę a ścżc ytyczj w pozostałych pzypadach, (8) gdz γ > γ, γ = + γ, s jst sumayczą stotoścą czyośc ytyczych, s W jst sumayczą stotoścą czyośc ytyczych, D J jst całowtym zaoszczędzoym aładm pacy, D jst sumayczym zaoszczędzo- ym aładm pacy czyośc ytyczych, zaś D aalogcz dla czyośc ytyczych.

8 6 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy. Dug modl matmatyczy bufoy aładu pacy W tj scj zosta zapztoway y modl matmatyczy dla pojtu pzdstawogo powyżj. Modl t został opsay w pacy łaszczya t al. [009]. Podob ja w pwszym modlu, załadamy, ż daa jst macz m czyów X, macz osztów K, wto mmalgo aładu pacy W, wto R opsujący ogacza dostępośc zasobów oaz macz aładów pacy T opsująca aład pacy zasobów w oljych zadaach po. ()-(3), (5),(6). Na podstaw maczy X, T, K oblczamy oszt czas twaa ażdgo zadaa ozystając z wzoów (7) oaz (8), a astęp ozystając z wzoów (9) oaz (0) oblczamy całowty oszt czas twaa pojtu. Podob ja w pwszym modlu, mmalzujmy całowty oszt pojtu. Zauważmy, ż jśl fucj f oaz f są low, to wówczas t poblm optymalzacyjy t moż być ozwązay za pomocą mtod pogamowaa lowgo (LP). Z zbou alttywych ozwązań optymalych wybamy to, dla tógo całowty czas twaa pojtu jst ajmjszy. Dla zadaa aład pacy moż być wyażoy wzom: m w f (, K,, w ) = w + w., (9) = w stąd całowty aład pacy w pojc day jst wzom: q W = W + W, (30) c gdz W jst uzasadoym aładm pacy pojtu, atomast W jst uytym bufom aładu pacy. W clu wyzacza watośc uytgo bufoa W musmy ajpw oszacować ajbadzj pawdopodoby aład pacy oaz wyozystać fucję w dla ażdgo zadaa w pojc. W t sposób * dostajmy ową macz czyów, tóą będzmy ozaczać X oaz owy * wto aładów pacy W. Npawdopodobym wydaj sę zajśc wszystch ozystych zdazń podczas alzacj pojtu, dlatgo możmy zduować bufo aładu pacy zgod z astpującym wzom: W = [ α, K, α ] W, (3) gdz α [0,] dla { K, } są współczyam zmjszającym wlość bufoa aładu pacy odpowdo dla zadań, K,. Stąd całowty aład pacy pojtu jst day wzom:

9 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 7 P W = W + W. (3) Pzszacowa aładów pacy powadz do pzszacowaa spodzwaych osztów czasów alzacj zadań w pojc, a w oswcj osztu czasu twaa całgo pojtu. W zwązu z tym, ż zmł sę aład pacy, zma sę ówż czas twaa oszt pojtu, stąd możmy zapsać całowty oszt czas twaa pojtu zgod z wzoam (0) oaz (). Podob ja w pwszym modlu część zaoszczędzoych pędzy moż zostać pzzaczoa a utwoz fuduszu pmowgo podzloa pomędzy zasoby boąc udzał w pojc. Wto stotośc zadań S jst day wzom (6). Udzał zasobu j jst oblczay zgod z wzom (7). Pzyładowo, podob ja w popzdm modlu, do podzału fuduszu pmowgo możmy wyozystać fucję (8). 3. Podjśc ozmyt Zwyl watośc dtmstycz w lasyczym modlu pogamowaa lowgo odpowadają zczywstym pwym wauom mogącym zajść podczas alzacj pojtu. W clu ozwązaa tgo poblmu popoujmy ozszz popzdgo modlu. Popooway modl będz wyozystywać tapzow lczby ozmyt (TFN). Najpw wpowadzmy la podstawowych dfcj z to lczb ozmytych wyozystywaych w owym modlu. Dfcja. Nch będz podzbom pwj pzstz X. Zbom ozmytym w X azywamy zbó upoządowaych pa: gdz { ; ( )) : X } ( μ, (33) μ X R (34) : jst fucją pzyalżośc do zbou. Dla ażdgo, fucja μ ( ) ośla stopń pzyalżośc do zbou ozmytgo. W clu uposzcza zapsu do ozaczaa fucj pzyalżośc zbou ozmytgo w ltatuz często stosuj sę ówoważ ozacz (). W clu zdfowaa lczb ozmytych wpowadzmy ajpw la podstawowych pojęć.

10 8 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy Dfcja. Zbó azywamy omalym, jśl h( ) = sup μ ( ) =. X (35) Dfcja 3. Zbó azywamy ośm zbou ozmytgo. supp( ) = { X : μ ( ) > 0} (36) Dfcja 4. Nch γ [0,]. Zbó γ = { X : μ () γ}dla ażażd γ [0,] (37) azywamy wastwą a pozom γ. Dfcja 5. Nch X = R oaz ch F (R) ozacza odzę wszystch podzboów ozmytych zbou R. Lczbą ozmytą azywamy zbó ozmyty F(R) spłający wau:. jst zbom omalym,. γ jst domęt dla ażdgo γ [0,], 3. supp () jst ogaczoy. Dfcja 6. Tapzową lczbą ozmytą TFN ( a, b, c, d) poówaj ys. azywamy lczbę ozmytą, tój fucja pzyalżośc jst daa wzom ( a)/( b a) dla [ a, b] dla [ b, c] μ ( ) =. (38) ( d )/( d c) dla [ c, d] 0 dla / [ a, d]

11 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 9 Rys.. Pzyład tapzowj lczby ozmytj (TFN) Postać fucj pzyalżośc μ będz zalżć od dcyzj spta a podstaw fomacj o dostępych tchologach, pacowach, matałach td. Dfcja 7. Nch R ε [0,] będą dowol mał. Tapzową lczbą ozmytą blsą lczb zczywstj azywamy lczbę ozmytą daą wzom: = ( ε,,, + ε ). (39) W dalszj częśc tgo atyułu tapzową lczbę ozmytą blsą lczb zczywstj będzmy ozaczać jao. Pszmy, ż ( a, b, c, d) δ, gdz δ jst pwą lczbą zczywstą, jśl a δ. Poadto > δ, jśl a > δ, atomast δ dla d δ < δ dla d < δ. Jśl, są dwoma podzboam ozmytym pzstz X, wówczas ozacza, ż μ ( ) μ ( ) dla ażdgo X, lub jst podzbom, wau < zachodz, jśl: μ ( ) < μ ( ) dla ażdgo X. Dfcja 8. Dla dowolych dwóch lczb ozmytych podstawow czty opacj aytmtycz da są wzoam μ ( y) = sup m{ μ ( ), μ ( )} (40) =, X, y= + μ (( y) = sup m{ μ ( ), μ ( )} =, X, y= (4)

12 0 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy μ (( y) = sup m{ μ ( ), μ ( )} =, X, y= (4) μ (( y) = sup m{ μ ( ), μ ( )}. (43) =, X, y= / W wszystch powyższych pzypadach wym dzałaa ówż jst lczba ozmyta, al ocz jst oa tapzową lczbą ozmytą. W pzypadu dy zaówo fucja clu, ja ogacza są sfomułowa za pomocą lczb ozmytych możmy wyozystać mtodę Rozmytgo Pogamowaa Lowgo (FLP) dago wzom: c m (44) b (45) 0, (46) gdz c,, b są odpowdo wtom ozmytych współczyów fucj clu, maczą ozmytych współczyów ogaczń oaz wtoam lczb ozmytych. Twdz. Nch c j, a są lczbam ozmytym. Zboy ozmyt j c c +K + a a +K + zdfowa za pomocą guły ozszzaa poow są lczbam ozmytym. Szczgółow fomacj a tmat ozwązywaa poblmów ozmytgo pogamowaa lowgo moża zalźć w: [ucy t al. 00; Jamso Lodwc 00; Ram 006]. 4. Tzc modl matmatyczy ozmyty aład pacy ozmyt bufoy W tj scj zosta pzdstawoy tzc modl dla pojtu ozważago powyżj. Podob ja w popzdch dwóch modlach, załadamy, ż daa jst macz czyów X, macz osztów K, wto mmalgo aładu pacy W, wto R opsujący ogacza dostępośc zasobów oaz m macz

13 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc aładów pacy T opsująca aład pacy zasobów w oljych zadaach po. ()-(3), (5),(6). Na podstaw maczy X, T, K oblczamy oszt czas twaa ażdgo zadaa, ozystając z wzoów (7) oaz (8), a astęp ozystając z wzoów (9) oaz (0) oblczamy całowty oszt czas twaa pojtu. Podob ja w popzdm modlu mmalzujmy całowty oszt pojtu. Zauważmy, ż jśl fucj f oaz f są low, to wówczas t poblm optymalzacyjy moż być ozwązay za pomocą mtod pogamowaa lowgo (LP). Z zbou altatywych ozwązań optymalych wybamy t, dla tógo całowty czas twaa pojtu jst ajmjszy. Podob ja w dugm modlu aład pacy dla zadaa, moż być oblczoy za pomocą wzou (9). Stąd całowty aład pacy w pojc day jst wzom (30). W clu wyzacza watośc uytgo bufoa W musmy w pwszj oljośc oszacować ajbadzj pawdopodoby aład pacy. W pwych pzypadach oszacowa aładu pacy dla zadaa moż oazać sę tud, a pzypsa watośc dtmstyczj węcz możlw. W zwązu z tym w clu ozwązaa tago poblmu wpowadzamy tapzow lczby ozmyt opsa w wzoz (38). Dla oszacowań bzpczych watość aładu pacy dla zadaa daa jst lczbą zczywstą. Pzd pzystąpm do szacowaa uzasadoj watośc aładu pacy dla zadaa musmy zapsać tę lczbę zczywstą za pomocą lczby ozmytj blsj lczb zczywstj zgod z dfcją 7 wzom (39). Naład pacy moż być wówczas zapsay za pomocą wzou: gdz t ŵ = w + w, (47) ŵ jst lczbą ozmytą blsą lczb zczywstj w, w jst lczbą ozmytą opsującą uzasao oszacowa aładu pacy dla zadaa oaz W jst uytym bufom aładu pacy dla zadaa. Stąd całowty aład pacy w pojc możmy zapsać jao: W W W c = +, (48) gdz W jst uzasadoym aładm pacy w pojc, atomast W jst uytym bufom aładu pacy.

14 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy Na podstaw powyższych założń mmalzujmy całowty oszt pojtu. Jżl fucj f oaz f są fucjam lowym, to w clu ozwązaa t powyższgo zadaa optymalzacyjgo możmy wyozystać mtodę ozmytgo pogamowaa lowgo FLP. Z zbou altatywych ozwązań dopuszczalych wybamy to, dla tógo całowty czas twaa pojtu jst ajmjszy. adzo mało pawdopodobym wydaj sę jdoczs wystąp wszystch ozystych zdazń podczas alzacj pojtu, dlatgo możmy zduować bufo aładu pacy zgod z astępującym wzom: W = [ α, K, α ] W, (49) gdz α [0,] dla { K, } są współczyam duującym wlość aładu pacy dla zadań,, K. Wlość bufoa W jst ustalaa pzz spta a podstaw dostępośc czyów maczy X. Stąd tż całowty aład pacy w pojc jst day wzom: P W = W + W. (50) Pzszacowa aładów pacy powadz do pzszacowaa spodzwaych osztów czasów alzacj zadań w pojc, a w oswcj osztu czasu twaa całgo pojtu. Zmł sę aład pacy, dlatgo zma sę ówż czas twaa oszt pojtu. Stąd możmy wyzaczyć całowty oszt czas twaa pojtu w sposób astępujący: K + c = K K (5) T = T + T, (5) c gdz K, T jst odpowdo uzasadoym osztm czasm twaa pojtu, atomast K, T odpowdo bufoam osztu czasu twaa pojtu. Poadto T oaz T są lczbam ozmytym. Podob ja w pwszym modlu część zaoszczędzoych śodów moż zostać pzzaczoa a utwoz fuduszu pmowgo podzloa po-

15 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 3 mędzy zasoby boąc udzał w pojc. Wto stotośc zadań S jst day wzom (6). Udzał zasobu j jst oblczay zgod z wzom (7). Pzyładowo, podob ja w popzdm modlu do podzału fuduszu pmowgo możmy wyozystać fucję (8). Podsumowa Zdam autoów, dla potzb optymalzacj hamoogamu budżtu pojtu możlw jst wyodęb dywdualych bufoów bzpczństwa addatów uytych w oszacowaach czasu podawaych pzz pzyszłych (potcjalych) wyoawców zadań w pojc zastąp ch jdym bufom dla całgo pojtu. Wy wczśjszych pac wsazują, ż mchazm wydzlaa bufoów jst pzydaty ówż w pzypadu ostuowaa budżtu pojtu. Pozwala am to założyć, ż ówż w pzypadu gdy pzszacowa dotyczy tyl wycy zadaa, co oszacowaa zbędj do wyoaa w jgo zas pacy mchazm t właścw spł swoją olę. Zapztowa w pacy ozważaa totycz są zgod z zapopoowaym pzz łaszczya Nowaa [008] mchazmm wymaowaa bufoa aładu osztów oaz ozdzału wtualych osztów ozyśc. W pacy pzdstawoo ówż ozszz wczśjszych modl o lmt maczy wpływów opsujący możlwy wpływ plaowaych zasobów a poszczgól lmty czaso- osztotwócz. Wpowadz ozmytych ma pozwolło z ol a popawę waygodośc oszacowań wymagaych aładów pacy. Nalży jda podślć, ż zapztowaa pocdua ma chaat czysto totyczy jst możlw jj pł zwyfowa, szczgól w aspc bhawoalym, bz pzpowadza badań mpyczych w wauach, ja zachodzą w pacach ad zczywstym pojtam. Zamzm autoów jst otyuacja badań ad pzdstawoym poblmm, z szczgólym założm oczośc tjż wyfacj. Ltatua łaszczy T., Nowa. (008): Pojct Costs Estmato o th ass of Ctcal Cha ppoach ( Polsh). W: Modlowa Pfcj a Ryzyo 08. Rd. T. Tzasal. adma Eoomcza, Katowc. łaszczy P., łaszczy T., Kaa M.. (0): Th -ctal ppoach to Pojct Cost ad Schdul uffs Szg. Lctu Nots Ecoomcs ad Mathmatcal Systms. Nw stat of MCDM th st ctuy. Spg.

16 4 Pawł łaszczy, Tomasz łaszczy, Maa. Kaa-łaszczy łaszczy P., łaszczy T., Kaa M.. (009): Tas Duato uffs o Wo mout uffs. Th Fst Ead Valu alyss Cofc fo th Cottal Euop (pocdgs), Vol.. uc P., Dl., Möhg R., Numa K., Psch E. (999): Rsouc-costad Pojct Schdulg: Notato, Classfcato, Modls ad Mthods. Euopa Joual of Opatoal Rsach, Vol.. ucy J.J., Eslam E., Fug T. (00): Fuzzy Mathmatcs Ecoomy ad Egg. Spg. Ch L., Lag F., Xaoa S., Dg Y., Wag H. (00): Fuzzy-Safty-uff ppoach fo Pojct uff Szg Cosdg th Rqumts fom Pojct Maags ad Customs. Ifomato Maagmt ad Egg (ICIME), 00 Th d IEEE Itatoal Cofc. Fulso D.R. (96): Ntwo Flow Computato fo Pojct Cost Cuvs. Maagmt Scc, Vol. 7. Goldatt E. (997): Ctcal Cha. Noth Rv Pss. Gozalz V., laco L.F., Molaa K. (009): Multobjctv Dsg of Wo-I-Pocss uff fo Schdulg Rpttv Pojcts. utomato Costucto, Vol. 8. Hol W., Lus R. (009): O th Mts ad Ptfalls of Ctcal Cha Schdulg. Joual of Opatos Maagmt, Vol. 9. Jamso K.D., Lodwc W.. (00): Fuzzy La Pogammg Usg a Palty Mthod. Fuzzy Sts ad Systms, Vol. 9. Klly J.E. (96): Ctcal-path Plag ad Schdulg: Mathmatcal ass. Opatos Rsach, Vol. 9. Lach L. (003): Schdul ad Cost uff Szg: How ccout fo th as tw Pojct Pfomac ad You Modl. Pojct Maagmt Joual, Vol. 34. Log L.D., Ohsato. (008): Fuzzy Ctcal Mthod fo Pojct Schdullg ud Rsouc Costats ad Uctaty. Itatoal Joual of Pojct Maagmt, Vol. 6. Ram J. (006): Dualty Fuzzy La Pogammg wth Possblty ad Ncssty Rlatos. Fuzzy Sts ad Systms 57. Rogalsa M., ozjo W., Hjduc Z. (008): Tm/cost Optmzato Usg Hybd Evolutoay lgothm Costucto Pojct Schdulg. utomato Costucto, Vol. 8. Sh Q., Gog T. (00): Impovd Pojct uff Szg ppoach to Ctcal Cha Maagmt Ud Rsoucs Costats ad Fuzzy Uctaty. tfcal Itllgc ad Computatoal Itllgc, 009. ICI 09. Itatoal Cofc o. Tul O.I., Rom W.O., Esoglu S.D. (006): Ivstgato of uff Szg Tchqus Ctcal Cha Schdulg. Euopa Joual of Opatoal Rsach, Vol. 7.

17 Dwuytaly ozmyty modl łańcucha ytyczgo w pojc 5 Va d Vod S., Dmulmst E., Hol W., Lus R. (005): Th Us of uffs Pojct Maagmt: Th Tad-off tw Stablty ad Maspa. Itatoal Joual of Poducto Ecoomcs, Vol. 97. THE I-CRITERIL FUZZY PROJECT CRITICL CHIN MODEL THEORETICL PRINCIPLES Summay Th am of ths sach wo was to dvlop a optmzato modl fo th poblm of tm-cost tad-off, tag to accout th mpact of th plad tass o actvts of cotactos o th pojct. s a mthodologcal bass fo th poposd modl th cocpt of ctcal cha E. Goldatt, whch toducs th bhavoal aspct of stmatg th tm stps th pojct, but dos ot dcat th spcfc mthods of quatfcato stmatos. Th pstd modl assums th possblty of quatfyg th woload of th pojct compots a st of fuzzy umbs ad th ablty to tact fom ths stmats asoabl ad accptabl lvl of s of o-complac ad scuty allowacs, admstd oly to cas th safty assssmt. Th mchasm opats o optmzato of dcso vaabls pstg th amout of wo assgd to ach souc od to mmz th cto fucto summazg th dct costs of th actvts th pojct th costs of acclato (o dlays).