Mechanika teoretyczna. Wykład 9

Transkrypt

1 Mechni teoetyczn Wyłd 9

2 Bą symetyczny ciężi Zcznijmy od zbdni wunu owdzącego do egulnej ecesji bą, tóego śode ciężości leży n osi symetii w odległości d od untu unieuchomieni odci b N d Mg M g

3 b b b J ˆ b J 3 b b J b

4 b Bą szybi duże b -młe. Dominuje iewszy człon. Pecesj możliw zy żdym wybnym ącie. Bą ulisty. Niezleżnie od ędości ozostje iewszy człon. b 4

5 b b b 5

6 Obót woół osi ionowej bą odchylonego. b Dl bą ulistego jest to niemożliwe! bdl cił wydłużonego tyowego whdł fizycznego > jest to możliwe dl ątów więszych od 9, zgodnie z intuicją cdl tlez z obciążniiem śode ciężości musi być wyżej niż unt odci. Sm się wczoj zdziwiłem! 6

7 mh < MR / 4 M R h m Niemożliwe! Możliwe! 7

8 Ruchy inne niż ecesj użyjemy. Lgnge x x m m m mv T j i j i ij δ 8 w w J x x m j i ij j i j i ij δ ˆ

9 ˆ w w T 9

10 ˆ w w T

11 L V Dl bą ciężiego: V Dwie wsółzędne cyliczne. Dwie cłi iewsze: L L

12 w J nteetcj tych cłe z J Rzut n ieune z wynosi: J J z Moment siły ostodły i do. Stłość zutu n oś zułdu inecjlnego jest oczywist. Stłość zutu n oś z wymg zyomnieni ównni Eule do i ' ' ' ' ' ' d d, d d z x x y x z z z N t J N t J

13 Znjomość cłe iewszych ozwl w tzeciej cłce iewszej enegii, wyeliminowć ędości i, co owdzi do ównni iewszego zędu, o ozdzielonych zmiennych, n funcję t. O ile nwet cł nie jest elementn, dysusj wyniu jest w ełni możliw. Dl młych odchyleń od uchu ecesyjnego tzn. jeśli zmin t odbyw się w wąsim zedzile możliwe jest suteczne zybliżenie. E, Po omnożeniu stonmi zez mmy: E 3

14 Wielomin 3-go stoni o wej stonie, będący wtością wdtu ędości mnożonej zez moment bezwłdności, m szeeg chteystycznych włsności. Poz szczególnymi dwom zydmi:, iedy dl w ston stje się zeem, zwsze jest ± ± on dl tych sjnych wtości inus ujemn.gdzieś wzedzilemusi być chociż nieujemn, w niesończoności dąży do o stonie wej i do - o lewej. Jej wyes wygląd więc, zyłdowo, t: - Gnice zedziłu dodtnich wtości funcji mogą uczyć się do ojedynczego untu. To ozncz ecesję ze stłą wtością ąt. Łtwo odć wune lgebiczny, by wielomin nsz mił ti odwójny iewiste. Łtwo też ozwinąć funcję woół msimum, uzysując ozwiąznie hmoniczne dl. 4

15 Równnie owyższe ozwl dwć odowiedzi n óżne ytni dotyczące uchu bą. Zbdjmy, n zyłd, oblem stbilności wiowni bą woół osi ionowej n głowie. Stłe cłowni, w idelnym zydu zęceni woół osi są: E E E / 5

16 Pzebieg funcji decydującej o ewolucji zmiennej zleży istotnie tylo od jednego metu jim jest stosune enegii inetycznej u góy do enegii otencjlnej w tym ołożeniu, miezonej od untu odci. / Gdy stosune ten zecz i wynosi ε, decydując część wynosi: ε ε 8ε8.,4<<

17 W obszze {-,} jedyną wtością ndjącą się n wtość, jest w uncie. Pzyjzyjmy się w owięszeniu otoczeniu tego untu: 8ε8.,4<< Jeśli wyobzić sobie, że nie byliśmy zbyt stnni i wtości oczątowe óżnią się niezncznie od tych idelnych, wyesy tochę się zesuną, czy zdefomują. Bą szybi, o stomym msimum, może wygeneowć niewieli zedził woół. Dl bą sełnijącego somnie wune stbilności, zedził flutucji ąt będzie dużo więszy. 7

18 Gdy bą jest nwdę owolny, tj. dl: > /, czyli dl > ε -, zebieg funcji wyznczjącej wdt ędości, uleg zminie, gdyż tez funcj mnożąc jest dodtni w otoczeniu 8ε8.,<<

19 Sójzmy n ten wyes zez luę : 8ε8.,<< Aczolwie unt jest ozwiązniem zówno dl bą leniwego j i cłiem niewiującego, tj. dl whdł fizycznego ównń uchu, to njdobniejsze złócenie wyzwl uch w sończonym zedzile w owyższym zyłdzie bą odchyl się od ionu o c.9 5.4, o czym wc w oolice wiezchoł. 9

20 Ruch jest wyjątowo szywy, gdyż fomlnie, oes oscylcji jest niesończony t d - d - d ε ε Bą zeczywisty, wsute, minimlnego choćby, tci w olejnym cylu oddni i owotu zmieni stłe cłowni niezncznie, le odstęstwod wtości idelnych zmieniją się ocentowo zncznie.

21 Zbdjmy weszcie sytucję, j owstje, gdy ozęcony woół swojej osi bą uwolnimy od więzów odtzymujących tę oś w tcie ozęcni. Wuni oczątowe są: E / E

22 / Tójmin wdtowy w nwisie możn, oczywiście ozłożyć n iloczyn czynniów w sosób ścisły. Cł z iewist wdtowego wielominu tzeciego stoni jest nie elementn. Chcąc mieć jsne wniosi dotyczące zchowni bą wyonującego młe nutcje, wystczy tójmin wdtowy zybliżyć. Pzy nszych wunch oczątowych ozncz to, że bą musi być szybi. Osttni człon w nwisie sowoduje zninie tójminu już dl niewieliej zminy. Wolno zmienny czynni. możemy zstąić jego wtością oczątową. / / / /

23 / / / 3 Jest to ównnie oscylto hmonicznego! Zmienn zmieni się w zedzile: / Częstością nutcji jest, mlitudą: nut

24 t t t 4 t t

25 t t t t Uśednijąc o wielu oesch nutcji, widzimy systemtyczny wzost wtości zymutu jz ędością śednią < > Jedn w czsie ótim, mmy t t t t 3 t Oś symetii od oczątowo ionowo! 5

26 t Z olei co ozncz, iż do oczątowej ędości ątowej dochodzi słdow n ieunu linii węzłów. Koniec weto ędości ątowej usz w dogę o ównoleżniu od zu ze sończoną ędością. Oś symetii zostje w tyle, ędość ątow jej ucie. Nstjące oddlenie owoduje iż biegun były zczyn uczestniczyć w uchu. W iewszym etie w ieunu ionowym, stoniowo, im jest niżej, tym bdziej nst słdow oziom. 6

27 i A j zchowują się wetoy ędości ątowej i momentu ędu? Mmy wszystie niezbędne elementy, by to zbdć. Z ysunu definiującego ąty Eule odczytujemy mciez zejści od ułdu były do ułdu inecjlnego: Cos@D Cos@D Cos@θD Sin@D Sin@D Cos@θD Cos@D Sin@D Cos@D Sin@D Sin@θD Sin@D y Cos@D Sin@D Cos@θD Cos@D Sin@D Cos@θD Cos@D Cos@D Sin@D Sin@D Cos@D Sin@θD Sin@θD Sin@D Cos@D Sin@θD Cos@θD { Wyowdzliśmy tże wzoy n ędości ątowe w ułdzie były: x' θ Cos@D Sin@θD Sin@D; y' θ Sin@D Sin@θD Cos@D; z' Cos@θD; 7

28 Zbiemy wzoy n ąty Eule i ich ochodne: t t t t Cos@θ D i B»» CosA te y B»» t B T { t i Cos@θ D B»» y { B T Cos@θ D B»» t t SinA B»» B T 8 te

29 Tez już tylo omnożyć mciezowo, z weto momentu ędu: t x' dugi z weto ędości ątowej i ozwinąć względem młego metu: 9CosA dtmg B ESin@θ DB, SinA dtmg B ESin@θ DB, Cos@θ DB Weto momentu ędu w tym zybliżeniu wyonuje ecesję!!! Pędość ątow już nie, le w iewszej chwili, też zczyn uch względem ównoleżni. 9CosA dtmg B ESin@θ D { B, Bty ', Bz '} dt Mg dmgcosa ECos@θ t B dt Mg DSinA E SinA ESinA t B EMSin@θ DHB B t L B Bt B Bt, B SinA dtmg B ESin@θ D dmgcos@θ DSinA dt Mg ESinA t B B Bt E dt Mg CosA ESinA t B EMSin@θ DHB B t L B Bt, B Cos@θ D dmgsina t B Bt E Sin@θ D HB B t L B Soo wiemy gdzie jest moment ędu i gdzie oś symetii, to ędość chwilow musi być n tym smym ołudniu. tn α B t B * tn α J,, 9