Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 3 (Materiały)
|
|
- Beata Wrona
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metoda analityczna Przed przystąpieniem do rozwiązania programu liniowego metodą analityczną, należy sprowadzić program do postaci KANONICZNEJ. Model o postaci kanonicznej to taki, w którym wszystkie warunki ograniczające mają postać RÓWNOŚCI. Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: Nierówność typu: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 można zastąpić następującym równaniem: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x n+1 = b 1 x 1, x 2,, x n, x n+1 0 Zmienna X n+1 to zmienna swobodna (dodatkowa, uzupełniająca). Zmienna swobodna wyraża różnicę pomiędzy prawą i lewą stroną nierówności. Innymi słowy mierzy wielkość niewykorzystanych wyrazów wolnych warunków ograniczających. Standardowe zadanie MAKSYMALIZACJI programu liniowego: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a r2 x a mn x n b m x 1, x 2,, x n 0 Artur Piątkowski WZ UW Strona 1
2 F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX można sprowadzić do postaci KANONICZNEJ: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n + x n+2 = b 2... a m1 x 1 + a r2 x a mn x n + x n+m = b m x 1, x 2,, x n, x n+1, x n+2,, x n+m 0 F(x 1, x 2,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n + 0x n+1 + 0x n x n+m MAX Zmienne swobodne dodajemy również do funkcji celu, jednak nie wpływają one na jej wartość, ponieważ są dodawane ze współczynnikiem zero. Układ w postaci kanonicznej można również przedstawić w postaci macierzowej: Ax = b x 0 cx MAX ZADANIE 1 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje się w ziemniaki u dwóch dostawców Pana Andersona oraz Pana Lee. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Andersona można wyprodukować 0,2 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Z jednej tony ziemniaków zakupionych u Pana Lee można wyprodukować 0,3 t frytek Golden Longs oraz 0,6 t frytek My Fries Classic. Ze względu na ograniczenia technologiczne nie można produkować więcej, niż 18 ton miesięcznie frytek Golden Longs oraz nie więcej, niż 48 ton miesięcznie frytek My Fries Classic. Przy zakupie ziemniaków od Pana Andersona zysk względny wynosi 5 USD, natomiast od Pana Lee 6 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 2
3 Ile ton ziemniaków należy zakupić od Pana Andersona oraz Pana Lee, żeby zmaksymalizować zysk. Do rozwiązania zadania wykorzystać metodę analityczną. Dostawca ziemniaków Rodzaj frytek Pan Anderson Pan Lee Golden Longs 0,2 0,3 My Fries Classic 0,6 0,6 Zmienne decyzyjne x 1 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Andersona x 2 ilość ziemniaków zakupiona u Pana Lee Warunki ograniczające 0, 2x 1 + 0, 3x , 6x 1 + 0, 6x 2 48 x 1, x 2 0 Funkcja celu F(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 6x 2 MAX Postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 5x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX X 3,X 4 zmienne swobodne (niewykorzystane moce produkcyjne przy produkcji frytek Golden Longs oraz My Fries Classic). Artur Piątkowski WZ UW Strona 3
4 Bazowa postać KANONICZNA: 0, 2x 1 + 0, 3x 2 + x 3 + 0x 4 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 + 0x 3 + x 4 = 48 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Tworzymy macierz A, która jest macierzą współczynników stojących po lewej równań: 0, 2 0, A = [ 0, 6 0, ] Powstała macierz o dwóch rzędach m=2 oraz czterech kolumnach n=4.wykorzystując symbol Newtona, który jest funkcją dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, można określić wszystkie kombinacje dwuelementowe (m=2) ze zbioru czteroelementowego (n=4). W takim wypadku mamy co najwyżej: ( n m ) = n! m! (n m)! = (4 2 ) = 4! = 6 rozwiązań bazowych 2! 2! Jeżeli n>m, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale skończoną liczbę rozwiązań bazowych. Jeżeli zadanie programowania liniowego ma rozwiązanie optymalne, to ma także rozwiązanie optymalne bazowe. Rozwiązania optymalnego należy szukać wśród rozwiązań bazowych, których liczba jest skończona. Rozwiązania bazowe: x 1, x 2, x 1, x 3, x 1, x 4, x 2, x 3, x 2, x 4, x 3, x 4 Jeżeli baza wynosi x 1, x 2, to w takim wypadku pozostałe zmienne decyzyjne x 3, x 4 są NIEBAZOWE i równają się zero (X n =0). Oznaczmy bazę x 1, x 2 za pomocą macierzy B, która jest częścią macierzy A. 0, 2 0, 3 B = [ 0, 6 0, 6 ] W takim wypadku pozostała część macierzy A to zmienne niebazowe, które równają się zero (zaznaczone na kolor czerwony). 0, 2 0, A = [ 0, 6 0, ] Artur Piątkowski WZ UW Strona 4
5 Pierwsze rozwiązanie bazowe (x 1, x 2 ): 0, 2x 1 + 0, 3x 2 = 18 0, 6x 1 + 0, 6x 2 = 48 x 1 = 60, x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) =420 Drugie rozwiązanie bazowe (x 1, x 3 ): 0, 2x 1 + x 3 = 18 0, 6x 1 = 48 x 1 = 80, x 3 = 2 F(x 1, x 3 ) =400 Trzecie rozwiązanie bazowe (x 1, x 4 ): 0, 2x 1 = 18 0, 6x 1 + x 4 = 48 x 1 = 90, x 4 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Czwarte rozwiązanie bazowe (x 2, x 3 ): 0, 3x 2 + x 3 = 18 0, 6x 2 = 48 x 2 = 80, x 3 = 6 Rozwiązanie sprzeczne Piąte rozwiązanie bazowe (x 2, x 4 ): 0, 3x 2 = 18 Artur Piątkowski WZ UW Strona 5
6 0, 6x 2 + x 4 = 48 x 2 = 60, x 4 = 12 F(x 2, x 4 ) =360 Szóste rozwiązanie bazowe (x 3, x 4 ): x 3 = 18 x 4 = 48 F(x 3, x 4 ) =0 Zmienne Zmienne bazowe decyzyjne X 1, X 2 X 1, X 3 X 1, X 4 X 2, X 3 X 2, X 4 X 3, X 4 X X X X Wartość funkcji celu 420 MAX 400 Rozwiązanie sprzeczne Rozwiązanie sprzeczne { x 1 = 60 x 2 = 20 F(x 1, x 2 ) = 420 Odp.: W celu maksymalizacji zysku należy zakupić 60 ton ziemniaków od Pana Andersona oraz 20 ton ziemniaków od Pana Lee. Taka kombinacja dostaw zapewni zysk na poziomie 420. Algorytm Simpleks Spośród wielu metod służących do rozwiązywania zadań programowania liniowego do najbardziej rozpowszechnionej należy algorytm simpleks, który został opracowany przez Georgea Danzinga. Algorytm simpleks jest wykorzystywany do rozwiązywania dowolnego Artur Piątkowski WZ UW Strona 6
7 typu zagadnień programowania liniowego. Istota algorytmu simpleks, podobnie jak metody analitycznej, polega na badaniu kolejnych rozwiązań bazowych programu liniowego w postaci kanonicznej, w taki sposób, że: 1. Należy znaleźć (dowolne) rozwiązanie bazowe programu. 2. Należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie jest optymalne. 3. Jeżeli dane rozwiązanie nie jest optymalne, należy przejść do następnego, lepszego rozwiązania bazowego. 4. Postępowanie kończy się w momencie odnalezienia rozwiązania optymalnego (nie można go już poprawić). Algorytm simpleks jest procedurą interacyjną (etapową). Wyniki poszczególnych etapów zestawia się w kolejnych tablicach simpleks. Przechodzenie do kolejnych, lepszych rozwiązań bazowych, jest równoznaczne ze zmianą wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Algorytm simpleks jest powszechnie wykorzystywany przez pakiety komputerowe, które służą do rozwiązywania modeli programowania liniowego. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem MS Excel 2010 Do rozwiązywania programów liniowych można wykorzystać dodatek Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel Dodatek jest domyślnie wyłączony. W celu jego aktywacji należy otworzyć arkusz kalkulacyjny MS Excel 2010, następnie wybrać zakładkę Plik i przejść do Opcji. Artur Piątkowski WZ UW Strona 7
8 W opcjach programu Excel należy wybrać Dodatki. Wyświetlą się aktywne i nieaktywne dodatki aplikacji. Dodatek Solver jest domyślnie nieaktywny. Należy zaznaczyć go i wybrać opcję Przejdź. Pojawi się okienko Dodatki. Należy zaznaczyć w nim dodatek Solver i wybrać opcję OK. Artur Piątkowski WZ UW Strona 8
9 Od tego momentu dodatek Solver będzie dostępny w zakładce Dane. Artur Piątkowski WZ UW Strona 9
10 ZADANIE 2 Farmer z Teksasu prowadzi hodowlę bydła. Racjonalna hodowla wymaga dostarczenia rocznie każdej sztuce bydła trzech składników odżywczych: białka ogólnego, włókien surowych, oraz tłuszczów surowych. Składników odżywczych należy dostarczyć następujące ilości: białko ogólne co najmniej 1000 jednostek, włókno surowe co najmniej 800 jednostek, tłuszcz surowy co najmniej 1150 jednostek, lecz nie więcej niż 1700 jednostek. Składniki te są zawarte w czterech paszach. W poniższej tablicy podano zawartość każdego ze składników w jednym kwintalu pasz oraz ceny zakupu poszczególnych pasz. Tabela 1. Zawartość składników odżywczych w paszach. Rodzaj paszy Zawartość składników odżywczych w paszach Cena zakupu Białko ogólne Włókna surowe Tłuszcze surowe paszy Lactoma HP USD Unipro XP USD Topsan USD Sanolac Rot USD Jakie ilości poszczególnych pasz należy zakupić, aby roczne koszty wyżywienia bydła były możliwie najniższe. Należy wziąć również pod uwagę, że paszy Unipro XP bydło powinno otrzymać rocznie nie mniej niż 20 q, natomiast paszy Lactoma HP 1,5 raza więcej niż paszy Topsan. Ponadto z analizy lokalnego rynku wiadomo, że nie będzie można otrzymać więcej niż 30 q paszy Sanolac Rot. Rozwiązać model z wykorzystaniem dodatku Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel Czy został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot? 2. Jak zmieni się rozwiązanie optymalne, jeżeli pasza Lactoma HP podrożeje o 120 USD, pasza Unipro XP podrożeje o 30 USD, pasza Topsan potanieje o 90 USD, natomiast pasza Sanolac Rot potanieje o 100 USD? Czy zmiana cen jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? 3. Czy optymalne ilości zakupu poszczególnych pasz ulegną zmianie (w stosunku do modelu pierwotnego), jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP? Jeżeli tak, to czy ta zmiana jest korzystna z ekonomicznego punktu widzenia? Artur Piątkowski WZ UW Strona 10
11 Pierwszym etapem jest zapisanie powyższego problemu decyzyjnego za pomocą programu liniowego: Zmienne decyzyjne x 1 wielkość zakupu paszy Lactoma HP x 2 wielkość zakupu paszy Unipro XP x 3 wielkość zakupu paszy Topsan x 4 wielkość zakupu paszy Sanolac Rot Warunki ograniczające 50x x x x x x x x x x x x x x x 2 20 x 1 = 1, 5 x 3 x 4 30 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Funkcja celu F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 180x x x x 4 MIN Następnie należy zaimplementować powyższy program do arkusza kalkulacyjnego MS Excel Należy przenieść do arkusza poszczególne części programu: zmienne decyzyjne, warunki ograniczające oraz funkcję celu. Najpierw należy wydzielić komórki na szukane zmienne decyzyjne są to komórki B2 : B5. Zostały one zaznaczone na różny odcień koloru pomarańczowego. Artur Piątkowski WZ UW Strona 11
12 Następnie należy zaimplementować warunki ograniczające. Każdy warunek ograniczający składa się z dwóch stron: lewej i prawej strony. Lewą stronę warunków ograniczających należy umieścić w jednej kolumnie arkusza kalkulacyjnego, wyrazy wolne prawej strony w sąsiedniej kolumnie. Za pomocą formuły należy zapisać wzór ograniczenia, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zapisaniu wszystkich warunków ograniczających lewa strona ograniczeń wynosi zero, ponieważ zmienne decyzyjne początkowo nie przyjmują żądnej wartości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 12
13 Ostatnim krokiem jest zapisanie wzoru funkcji celu, wykorzystując komórki zmiennych decyzyjnych. Po zaimplementowaniu modelu do arkusza kalkulacyjnego, należy go rozwiązać z wykorzystaniem dodatku Solver. Artur Piątkowski WZ UW Strona 13
14 W oknie dodatku Solver należy ustawić cel (komórkę funkcji celu), kryterium funkcji celu (w tym przypadku MIN) oraz zmienne decyzyjne (komórki czterech zmiennych decyzyjnych, które wyrażają wielkości zakupu poszczególnych rodzajów pasz). Następnie należy dodać oddzielnie wszystkie 7 warunków ograniczających. Żeby to zrobić, należy kliknąć w pole dodaj. Następnie należy dodać prawą i lewą stroną warunku ograniczającego oraz zaznaczyć zwrot nierówności. W przypadku równania należy wybrać symbol równości. Artur Piątkowski WZ UW Strona 14
15 Po dodaniu wszystkich warunków ograniczających powinno pojawić się siedem ograniczeń. Następnie należy zaznaczyć pole Ustaw wartości nieujemne dla zmiennych bez ograniczeń odpowiada ono za warunek trywialny/brzegowy (o nieujemności zmiennych decyzyjnych) oraz wybrać metodą rozwiązania modelu Algorytm Simpleks. Ostatnim krokiem jest wybranie pola ROZWIĄŻ. Artur Piątkowski WZ UW Strona 15
16 Po rozwiązaniu modelu z wykorzystaniem dodatku Solver zostały wyświetlone wartości zmiennych decyzyjnych (wielkości zakupu poszczególnych pasz), które gwarantują optymalną (minimalną) wielkość funkcji celu. Odp1.: Należy zakupić 21 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 14 jednostek paszy Topsan oraz 10 jednostek paszy Sanolac Rot, aby roczny koszt wyżywienia bydła był najniższy i wynosił USD. W celu znaleznienia odpowiedzi na drugie pytanie należy przenanalizowac ostatni warunek ograniczający. Wynika z niego, że nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Rot. Artur Piątkowski WZ UW Strona 16
17 Odp2.: Nie został wykorzystany cały limit paszy Sanolac Roc istnieje jeszcze 20 jednostek zapasu tej paszy, które można wykorzystać. W celu zbadania zmian rozwiązania optymalnego, pod wpływem zmiany cen poszczególnych pasz, należy zbudować nową funkcje celu F. Funkcja celu F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 300x x x x 4 MIN Następnie nową funkcję celu należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz ustawić nowy cel (nową funkcję celu) w dodatku Solver i rozwiązać model. Odp3.: Zmiana cen pasz spowoduje, że zmienią się ich optymalne wielkości zakupu. Nowa kombinacja optymalnych wielkości zakupu wynosi: 15 jednostek paszy Lactoma HP, 20 jednostek paszy Unipro XP, 10 jednostek paszy Topsan oraz 30 jednostek paszy Sanolac Rot. Przy takich wielkościach zakupu roczny koszt wyżywienia bydła wyniesie USD. Jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zmniejszy się o 100 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 17
18 W celu uzyskania odpowiedzi na ostanie pytanie należy dodać ósmy warunek ograniczający, który uwzględnia zależności pomiędzy ilością paszy Unipro XP oraz paszy Lactoma HP. x 2 x 1 Nowy warunek ograniczający należy zaimplementować do arkusza kalkulacyjnego oraz do dodatku Solver. Należy pamiętać, że badamy zależności w stosunku do modelu wyjściowego (w tym celu należy zmienić cel w dodatku Solver z F na F). Po rozwiązaniu modelu uzyskujemy nową wartość funkcji celu oraz nowie wielkości zakupu poszczególnych pasz. Odp4.: Jeżeli paszy Unipro XP trzeba będzie dostarczyć nie mniej niż paszy Lactoma HP, to zmienią się optymalne wielkości zakupu poszczególnych pasz. Będą one wynosiły: 22,5 jednostki paszy Lactoma HP, 22,5 jednostki paszy Unipro XP, 15 jednostek paszy Topsan oraz 5 jednostek paszy Sanolac Rot. Taka kombinacja zakupów zapewni optymalną wielkość funkcji celu na poziomie USD. Nie jest to korzystne z ekonomicznego punktu widzenia, ponieważ funkcja celu zwiększy się o 200 USD. Artur Piątkowski WZ UW Strona 18
19 Literatura 1. Guzik B. (2009). Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań. 2. Kukuła K. (1999). Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa. 3. Lipiec-Zajchowska M. Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III. Badania Operacyjne, Wyd. C.H. Beck, Warszawa Radzikowski W. (1994). Badania operacyjne w zarządzaniu. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa. 5. Sikora W. (2008). Badania operacyjne. PWE, Warszawa. Artur Piątkowski WZ UW Strona 19
Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)
Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)
Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie programów matematycznych
Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoBarbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb
I. Ćwiczenia 2 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoPrzykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego
Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoZagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:
Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoExcel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowo=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)
Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowo4. PROGRAMOWANIE LINIOWE
4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoAnaliza danych przy uz yciu Solvera
Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoDualność w programowaniu liniowym
2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoOptymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego
Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoPrzykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:
Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.
Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania nieliniowego Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych
Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoRysunek 8. Rysunek 9.
Ad 2. Dodatek Excel Add-Ins for Operations Management/Industral Engineering został opracowany przez Paul A. Jensen na uniwersytecie w Teksasie. Dodatek można pobrać ze strony http://www.ormm.net. Po rozpakowaniu
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017
Badania operacyjne Ćwiczenia 1 Wprowadzenie Plan zajęć Sprawy organizacyjne (zaliczenie, nieobecności) Literatura przedmiotu Proces podejmowania decyzji Problemy decyzyjne w zarządzaniu Badania operacyjne
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Bardziej szczegółowo2. Tworzenie tabeli przestawnej. W pierwszym oknie dialogowym kreatora określamy źródło danych, które mamy zamiar analizować.
1. Tabele przestawne Tabele przestawne pozwalają zestawiać dane zawarte w bazach danych przechowywanych w skoroszytach lub plikach zewnętrznych. Tabela przestawna jest dynamicznym zestawieniem danych zawartych
Bardziej szczegółowoPrzykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu
Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny Excel
Arkusz kalkulacyjny Excel Ćwiczenie 1. Sumy pośrednie (częściowe). POMOC DO ĆWICZENIA Dzięki funkcji sum pośrednich (częściowych) nie jest konieczne ręczne wprowadzanie odpowiednich formuł. Dzięki nim
Bardziej szczegółowo