Przykład 1 ceny mieszkań

Transkrypt

1 Przykład ceny mieszkań

2 Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie mieszkań 5 metrowych

3 Krok I. Cel badań. Pośrednik biura nieruchomości Twój Dom z siedzibą we Wrocławiu codziennie przyjmuje oferty mieszkań do sprzedaŝy. Klienci pytają: za jaką cenę mogą wystawić swoje mieszkanie na sprzedaŝ. Naszym celem jest zbudowanie modelu ekonometrycznego opisującego zaleŝność ceny mieszkań od metraŝu, który pomoŝe odpowiedzieć na powyŝsze pytanie.

4 Krok II. Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych. Biuro posiada system komputerowy, w którym ewidencjonowane są aktualnie zgłoszone oferty. Niecodziennie jednak w ofercie dnia moŝna znaleźć mieszkanie, o które pytają klienci. Kierownik biura polecił więc zgromadzić informacje o innych ofertach sprzedaŝy mieszkań we Wrocławiu.

5 MetraŜ [ m ] Cena [tys.zł] Ilość pokoi MetraŜ [ m ] Cena [tys.zł] Ilość pokoi

6

7 Krok III. Wybór klasy modelu. Cena mieszkań rośnie oczywiście wraz z metraŝem. Analizując wykres zaleŝności ceny mieszkania od metraŝu wysunięto przypuszczenie, Ŝe ceny mieszkań o małej powierzchni są mniej zróŝnicowane niŝ ceny mieszkań o duŝej powierzchni. Gdyby to przypuszczenie okazało się prawdziwe, oznaczałoby to, Ŝe model liniowy nie jest w tym przypadku modelem właściwym. Aby sprawdzić to przypuszczenie naleŝy sporządzić wykres zaleŝności cen mieszkań od liczby pokoi.

8 Analizując powyŝszy wykres wysunięto przypuszczenie, Ŝe ceny mieszkań i pokojowych są mniej zróŝnicowane niŝ ceny mieszkań 4 pokojowych, co w konsekwencji przenosi się na brak homoskedastyczności składników losowych modelu liniowego dla całej populacji. Weryfikację tej hipotezy przeprowadzimy w oparciu o test Goldfelda-Quandta (test 5). W teście tym wymagana jest jedynie znajomość postaci analitycznej modelu ekonometrycznego, nie jest natomiast konieczna znajomość parametrów strukturalnych modelu dla pełnego zbioru danych. Bazuje on na parametrach modeli ekonometrycznych podgrup podejrzanych o zróŝnicowane wariancje. Zbudowano zatem dwa modele regresji liniowej zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu

9 ) model ekonometryczny dla mieszkań i pokojowych cena = 7,9879 +,97599 metraz & Statystyki regresji Wielokrotność R 0,9808 R kwadrat 0,8338 Dopasowany R kwadrat 0,85637 Błąd standardowy 9, Obserwacje 4 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 0563,4 0563,4 09,9089 5,08E-0 Resztkowy 4,43 96,049 Razem 3 677,83 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 7,9879 7,43737,4850 0,04308, ,447 metraŝ, , , ,08E-0,54685,30893

10 ) model ekonometryczny dla mieszkań 4 pokojowych: cena 4 = 3, ,9007 metraz & Statystyki regresji Wielokrotność R 0,88397 R kwadrat 0,78407 Dopasowany R kwadrat 0,75079 Błąd standardowy 0,4754 Obserwacje 9 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 058,48 058,48 5,097 0,0056 Resztkowy 7 869, ,967 Razem 8 38, Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie -3,764 64, ,0338 0, ,96,433 metraŝ 3,9007 0, ,0096 0,0056, ,7737

11 Dla wyróŝnionych podprób o liczebnościach odpowiednio n = 4, n = 9 stawiamy hipotezę zerową: H δ = δ wobec hipotezy alternatywnej: o : e e H δ : δ e < e Hipotezę weryfikujemy w oparciu o statystykę o rozkładzie F-Snedecora o 7 stopniach swobody licznika i o stopniach swobody mianownika. Obliczona z próby wartość statystyki F = 4,65536, wartość krytyczna wynosi F α =,46. Zatem odrzucamy hipotezę H o na korzyść H. Wniosek. Odrzucamy hipotezę o równości wariancji składników losowych modeli liniowych w obu podpróbach (mieszkań i pokojowych oraz mieszkań 4 pokojowych).

12 W celu wyrównania wariancji dokonamy transformacji danych przyjmując za zmienną objaśnianą Wydaje odwrotność się zatem, ceny Ŝe mieszkań: model y =, = cena α 0 + α + ε a za zmienną objaśniającą odwrotność metraŝu. cena metraŝ x = metraŝ będzie właściwym odwzorowaniem rzeczywistości. ' '

13 Krok IV. Estymacja parametrów strukturalnych. Statystyki regresji Wielokrotność R 0,95546 R kwadrat 0, Dopasowany R kwadrat 0,90549 Błąd standardowy 0,00067 Obserwacje 5 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 0, , ,634,75E-7 Resztkowy 50 5,69E-05,4E-06 Razem 5 0,00064 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 0,008 0, ,5475 0, , ,0097 /metraŝ 0, ,0673,768,75E-7 0, , cena = 0, , metraŝ cena metraŝ = 0, , metraŝ krzywa Tırquista

14 Krok V. Weryfikacja modelu. Dopasowanie modelu do danych empirycznych. Współczynnik determinacji modelu wynosi R = 0,90549, a współczynnik zbieŝności ϕ =9,5%. Model wyjaśnia 90,5% zmienności badanej cechy. Dla modeli nieliniowych naleŝy zbadać wskaźnik średniego względnego dopasowania modelu: n Ε t Ψ= ) = y gdzie Ε i oznaczają reszty modelu nieliniowego. n t t

15 MetraŜ [ m ] Cena [tys.zł] Ilość pokoi Prognoza ceny [tys.zł] Reszty modelu nieliniowego ( Ε i ) MetraŜ [ m ] Cena [tys.zł] Ilość pokoi Prognoza ceny [tys.zł] Reszty modelu nieliniowego ,83, ,44 3, ,3779-4, ,469-3, , , ,9546 0, ,09468, ,6 0, , , ,4509 6, ,4308 -, ,8439 3, , , ,469 -, ,8306-7, ,7 84, ,9975 8, ,3468, , , , , ,0055 5, ,967-35, , , ,9546, ,348-6, ,450-4, ,76 6, ,3469-5, ,4509 5, ,450 45, ,348 8, ,59 6, ,76 6, ,450-4, ,46 4, ,8356 9, ,3468 -, ,469 46, ,450-9, ,54-0, ,504 -, ,967-5, ,3933-0, ,86 60, ,83-9, ,33-5, ,4509-4, ,384-8, ,77-9, ,7-5, ,0547-4, ,54 0,78464 ( Ε i ) W naszym modelu Ψ = 0,4 %. Wniosek. Świadczy to o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

16 Istotność układu współczynników regresji. Stawiamy hipotezę H0 o braku zaleŝności liniowej odwrotności ceny mieszkań od odwrotności metraŝu., wobec hipotezy alternatywnej, Ŝe zaleŝność ta występuje (test ). Zweryfikujemy ją w oparciu o statystykę F R n k =, która przy prawdziwości R k hipotezy zerowej ma rozkład F-Snedecora o stopniu swobody licznika i 50 stopniach swobody mianownika. Wartość empiryczna statystyki F = 489,634. Odpowiadający jej krytyczny poziom istotności (istotność F) wynosi,74e-7 i jest mniejszy od przyjętego poziomu istotności α = 0,05. Zatem odrzucamy hipotezę H 0 na korzyść H. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zaleŝności odwrotności ceny mieszkań od odwrotności metraŝu.

17 Istotność poszczególnych współczynników regresji. Dla kaŝdego współczynnika modelu regresji (j=0,) stawiamy hipotezy (test ): H 0 : α j = 0 wobec hipotezy alternatywnej, H : α 0. j Hipotezę tą weryfikujemy w oparciu o statystykę t-studenta o 50 stopniach swobody. Empiryczne wartości statystyk t-studenta wynoszą: t ( α 0 ) = 3,5475, t ( α ) =,768 Odpowiadające im wartości krytycznego poziomu istotności (wartość-p) 0,00039 i,75e-7 są mniejsze od przyjętego poziomu istotności α = 0, 05 Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe oba współczynniki modelu są istotnie róŝne od zera.

18 wartości reszt modelu regresji uporządkowane według rosnących wartości metraŝu mieszkania Analiza składników losowych modelu. Przewidywane /cena Składniki resztowe Std. składniki resztowe MetraŜ Obserwacja 9 7 0, , , , , , , , , , , , , ,00400, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,005838, , , , , , , , , , , ,89388E-05 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,007504, , , , , , , , , , , ,3565E-05 0, , , , , , , , , , , ,004307, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

19 Normalność. Hipotezę o normalności zweryfikujemy testem Stawiamy hipotezę 0 : χ (test 3). H składnik losowy ma rozkład N ( 0; S ε = 0,00067 ). Zweryfikujemy ją w oparciu o statystykę: r ( n i n p i ) χ = i = n p i gdzie: r = 4 - liczba klas, n -ilość obserwacji w i-tej klasie, i p i - prawdopodobieństwo hipotetyczne wartości błędu losowego w i-tej klasie. Statystyka ta przy prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład χ o stopniach swobody.

20 Klasa : od do n i i p n p i ( n n p ) ( ) -0, ,9075 0,9075 5,089 0, , , ,599 0, ,7473 0, ,5448, , ,546 3,67 0,0966,05788 ( + ) 7 0, , ,0499 0,35009 SUMA= 0,366 i n p i i Empiryczna wartość statystyki χ = 0, 366 wynosi, a wartość krytyczna χ α = 5, 99. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności składników losowych. Wniosek. Nie podstaw do odrzucenia hipotezy, składniki losowe mają rozkład normalny N (0 ; 0,00067).

21 Autokorelacja. Stawiamy hipotezę zerową (test 7): H ρ 0 wobec hipotezy alternatywnej 0 : = : ρ < H 0, gdzie ρ jest współczynnikiem autokorelacji składników losowych rzędu pierwszego. Wyznaczamy empiryczną wartość statystyki Durbina-Watsona dla reszt modelu uporządkowanych względem rosnących wartości odwrotności metraŝu mieszkań. Empiryczna wartość statystyki wynosi d =, 37. Wartości krytyczne d L =, 50 oraz d =,59. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy 0 U H 0 : ρ = o braku autokorelacji składników losowych. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji składników losowych rzędu pierwszego.

22 Symetria. Stawiamy hipotezę H 0 o jednakowej frakcji dodatnich i ujemnych błędów modelu (test ). Weryfikujemy ją przy pomocy statystyki t-studenta o 5 stopniach swobody. Empiryczna wartość statystyki wynosi -0,7487. Wartość krytyczna,0. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe rozkład składników losowych jest symetryczny

23 Losowość. Stawiamy hipotezę zerową H 0 : Reszty modelu są losowe. Zweryfikujemy tę hipotezę testem serii (test 3) zliczając ilość serii L tych samych znaków reszt w modelu. Empiryczna liczba serii wynosi L =5. Wartości krytyczne testu serii dla 5 reszt dodatnich i 7 reszt ujemnych, na przyjętym poziomie istotności α = 0,05 aproksymujemy rozkładem normalnym N(6,96; 3,56), obliczając granice obszaru dopuszczalnego: -.96*3,56+6,96=,08,96*3,36+6,96=33,96 34 Empiryczna wartość statystyki nie wpada w obszar krytyczny, bowiem < L = 5 < 34. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt modelu.

24 Homoskedastyczność. Równość wariancji składników losowych dla modelu liniowego przeprowadzimy w oparciu o Goldfelda-Quandta (test 5). W tym celu podobnie jak poprzednio zbudujemy modele regresji liniowej zaleŝności odwrotności ceny mieszkań od odwrotności metraŝu. Pierwszy model ekonometryczny dla mieszkań i pokojowych: cena = 0, ,348 metraŝ Statystyki regresji Wielokrotność R 0,95894 R kwadrat 0,9060 Dopasowany R kwadrat 0,90833 Błąd standardowy 0, Obserwacje 4 ANALIZA WARIANCJI Df SS MS F Istotność F Regresja 0,000 0,000,956 8,8E-3 Resztkowy,9E-05 9,97E-07 Razem 3 0,00034 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 0,0043 0, , ,003 0, , /metraŝ 0,348 0,033 4, ,8E-3 0,7658 0,36838

25 Drugi model ekonometryczny dla mieszkań 4 pokojowych: cena 4 = 0, ,73554 metraŝ Statystyki regresji Wielokrotność R 0, R kwadrat 0,8073 Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 0, Obserwacje 9 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 7,43E-06 7,43E-06 9,3779 0,00099 Resztkowy 7,77E-06,53E-07 Razem 8 9,E-06 Współczynnik i Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie -0, ,0065 -, , , , /metraŝ 0, , ,4554 0, ,4076,039485

26 Dla wyróŝnionych podprób o liczebnościach odpowiednio n = 4, n = 9 stawiamy hipotezę zerową: H δ = δ wobec hipotezy alternatywnej o : e e H δ : δ e > e Hipotezę weryfikujemy w oparciu o statystykę: S e F = S e gdzie: S e - wariancja reszt modelu regresji dla podpróby o większej wariancji (mieszkania i pokojowe), S e -wariancja reszt modelu regresji dla podpróby o mniejszej wariancji (mieszkania 4 pokojowe). Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka F ma rozkład F-Snedecora o stopniach swobody licznika i o 7 stopniach swobody mianownika. Obliczona z próby wartość statystyki wynosi F =,9839, wartość krytyczna wynosi α = 3,43 H o homoskedastyczności F. Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0 składników losowych. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji składników losowych w badanych podgrupach mieszkań.

27 NieobciąŜoność. Skonstruowany model ekonometryczny jest nieliniowy, zatem naleŝy zbadać nieobciąŝoność składników losowych modelu: cena = metraŝ metraŝ 0, , W tym celu wyznaczamy reszty modelu nieliniowego Ε i. Stawiamy hipotezę H ( ~ 0 : E ε ) = 0 wobec hipotezy alternatywnej H : E ( ~ ε ) 0. Hipotezę tą weryfikujemy w oparciu o statystykę t E = n S Statystyka t przy prawdziwości hipotezy H 0 ma rozkład t-studenta o 5stopniach swobody. Obliczona z próby wartość statystyki t =,5793 E 4, a wartość krytyczna 008 ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. ε, t =,. Nie Wniosek. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy o nieobciąŝoności reszt modelu nieliniowego

28 Wniosek końcowy. MoŜemy zatem uznać model ekonometryczny za poprawny cena metraŝ = 0, , metraŝ

29 Krok VI. Wnioskowanie na podstawie modelu. Spróbujmy teraz wyznaczyć cenę, za jaką wystawiane są na sprzedaŝ mieszkania 5 metrowe. Ocena punktowa ceny mieszkań o powierzchni 5 m wynosi: 5 cena = = 345 zł, 0, , a przedział ufności dla ceny 5 metrowych (na poziomie ufności 0,95) to: 97 4 zł; 68 46zł. W ofercie biura Twój Dom znajdowały się 3 mieszkania 5 metrowe za 09000zł, 9000zł oraz 30000zł. Wyznaczony przedział ufności obejmuje wszystkie trzy ceny.