Wykład 1. Reprezentacja układów dynamicznych w przestrzeni zmiennych stanu

Transkrypt

1 Wykład 1. Reprezentacja układów dynamicznych w przestrzeni zmiennych stanu 1 Reprezentacja układów sterowania w przestrzeni zmiennych stanu ma fundamentalne znaczenie w teorii sterowania. Opis układów wykorzystujący to podejście jest zaliczany do nowoczesnej teorii sterowania, a jego zastosowania aplikacyjne są szeroko stosowane. Wśród zalet tego opisu można wymienić: wygodną reprezentację złożonych układów wielowymiarowych, wysoką użyteczność w obliczeniach numerycznych na gruncie, np. algebry liniowej, możliwość określenia warunków kontrolowalności i obserwowalności układów sterowanych, rozwijające się techniki kontroli. Model w przestrzeni zmiennych stanu opisujący w sposób matematyczny liniowy (ciągły w czasie ) układ dynamiczny przedstawia się za pomocą układu liniowych równań różniczkowych w postaci macierzowej:,, (1.1), (1.2) 2,, są odpowiednio wektorami: stanu układu, wejścia sterującego układem oraz wyjścia (odpowiedzi) układu. Macierz opisuje wewnętrzny stan układu, natomiast macierze, oraz oznaczają odpowiednio macierze wejścia, wyjścia oraz macierz transmisyjną (stanowią połączenie układu z otoczeniem). Jeśli sygnał wchodzący do układu nie jest połączony bezpośrednio do wyjścia układu, to macierz transmisyjna wynosi zero. Ponadto, współczynniki macierzy są stałe w czasie. Rysunek 1. Schemat blokowy modelu układu dynamicznego równoważny układowi równań różniczkowych (1.1)-(1.2). 3 Układ dynamiczny (1.1)-(1.2) w przestrzeni czasu dyskretnego (wartości wektorów stanu układu są znane tylko w określonych chwilach czasu) przyjmuje postać: 1,, (1.3). (1.4) Wymiary macierzy i znaczenie poszczególnych symboli pozostają bez zmian Reprezentacje modeli w przestrzeni stanu Reprezentacje modeli w przestrzeni stanu można przedstawić w dziedzinie czasu ciągłego za pomocą równań różniczkowych lub funkcji przejścia. Wyróżnimy tutaj często stosowane postacie: zmiennej fazowej, obserwatora stanu, modalną oraz Jordana Równania różniczkowe Ogólny -wymiarowy model układu dynamicznego opisany równaniem rzędu :! $% " &( ) & ' %! $% ( ) ( $% ) " $% (, (1.5) 4 przy czym, wszystkie warunki początkowe, tj.,,, " są równe zero. Aby przejść od równania różniczkowego rzędu (1.5) do układu równań pierwszego rzędu stanowiącego docelową reprezentację układu w przestrzeni stanu, posłużymy się uproszczoną postacią tego równania. Mianowicie, przyjmujemy +, - pomijając wszystkie pochodne wektora wejścia do układu., jak następuje! $% " &! $%!. (1.6) Następnie wprowadzamy nowe zmienne zgodnie ze schematem:, /, x 2 t 45$% $%. (1.7) Różniczkując obie strony układu równań (1.7) względem czasu mamy 8 % /,

2 8 9 8 ; 8 / 9 9 :, : ; ; <, 5 =! =! =! 9 / =&=! $% 9 " $% =! =! / =! / : =&=! ". (1.8) Reprezentacja układu równań (1.8) w przestrzeni stanu dana jest w konsekwencji następującym układem równań macierzowych (porównaj z równaniami / " > 1 & (1.9) 1 " > =! =! =! / =! " A> A > 1A / D1 & E " > A Równania (1.9)-(1.1) określane są jako postać kanoniczna zmiennej fazowej. (1.1) Rozszerzamy powyższe na przypadek ogólny (1.5) zawierający pochodne wektora wejścia.. Na podstawie (1.6) zapisujemy następujące równanie pomocnicze:! $% " &! $%! G, (1.11) w którym wyróżnimy następującą zmianę zmiennych: G, /, : 9 9, $% $%. (1.12) 7 W kolejnym kroku do równań (1.5) i (1.11) stosujemy zasadę superpozycji. Jeśli HI stanowi trajektorię odpowiedzi układu (1.11) w funkcji czasu, to z właściwości superpozycji rozwiązanie układu (1.5) dane jest wzorem: ( G( ( 9 / &( 9. (1.13) Równania (1.12) stanowią adekwatną do (1.9) reprezentację w przestrzeni stanu. Poszukiwanie równania wyjścia poprzedzamy eliminacją J K HI/JI K z (1.13), mając przy tym na uwadze równanie (1.11) i zamianę zmiennych (1.12): =! " =&=! / =!. Otrzymujemy poszukiwane równanie wyjścia w postaci: D( =! ( ( =! ( ( " =! " ( EM / N(. (1.14) Przeważnie funkcja prawej strony równania (1.5) nie zawiera pochodnych funkcji wejścia.i, a jeśli takie istnieją, to ich rząd jest mniejszy od rzędu pochodnych wektora stanu układu. Dlatego przyjmuje się współczynnik + K,, a stąd 8 D( ( ( " EM / N. (1.15) Wniosek. Dla danego układu dynamicznego opisanego równaniem (1.5) można podać jego równoważną reprezentację w przestrzeni stanu daną wzorami (1.9) i (1.15), przy czym współczynniki macierzy i identyfikuje się na podstawie współczynników O P i + P, P,,-,,K=-. Przykład 1.1. Dla układu dynamicznego opisywanego następującym równaniem różniczkowym R S ITR U I=R - IURI. - IU.I, w którym R P I oznacza pochodną funkcji RI rzędu P, zapisuje się na podstawie (1.9) i (1.14) następującą reprezentację danego układu w przestrzeni stanu: 1 V =2 1 1 Y, V Y, D2 1 1 E,. =6 1

3 Zamiana funkcji przejścia na reprezentację (modelu układu) w przestrzeni stanu dla układów jednowymiarowych Zamianę tego typu wykonuje się stosując bezpośrednie i równoległe techniki programowania. Powstała w rezultacie reprezentacja modelu w przestrzeni stanu może zawierać wszystkie lub tylko niektóre mody odpowiedzi funkcji przejścia. Należy zaznaczyć, że modami (związane z postacią składowej odpowiedzi układu) funkcji przejścia są jej bieguny, ale przed tym, zanim nastąpi redukcja zer i biegunów tej transmitancji. Jeśli część zer i biegunów funkcji przejścia ruguje się, to powstała reprezentacja modelu w przestrzeni stanu ma zredukowany rząd a odpowiadające liczbie zredukowanych stopni swobody mody nie pojawiają się w powstałej reprezentacji modelu. Aby otrzymać reprezentacje postaci kanonicznych sterownika i obserwatora w przestrzeni stanu zastosujemy technikę programowania bezpośredniego. Technikę programowania równoległego stosuje się do identyfikacji reprezentacji postaci: modalnej kanonicznej i kanonicznej Jordana w przestrzeni stanu. Postać kanoniczna sterownika jest wygodna do wykonania przejścia pomiędzy reprezentacjami w sytuacji, gdy dana funkcja przejścia obiektu nie jest przedstawiona w postaci iloczynu dwumianów określonego stopnia: Z[ 1 ] [ ^] $% [ $%^&^] % [^] _ \[ [ ^' $% [ $%^&^'. (1.16) % [^' _ Wprowadzamy zmienną pomocniczą `a jak następuje: b[ \[ Z[ b[ [ ^' $% [ $%^&^' % [^' _, (1.17a) ( a ( " a " &( a(, (1.17b) po czym można narysować schemat blokowy pokazany na rysunku 1.2 odpowiadający reprezentacji (1.17). Rysunek 1.2 Schemat blokowy odpowiadający reprezentacji (1.17). Wzór (1.17a) ma taką samą strukturę jak równanie (1.6), tzn. JK RI JI K J O K$- RI JRI K"- &O JI K$- - JI O, RI.I po zastosowaniu transformaty Laplace a, a stąd podobnie jak poprzednio wynika równanie układu (1.9) w przestrzeni sta- 11 nu. Pozostają do znalezienia macierze dla równania wyjścia (1.2). Przepisujemy równanie (1.17b): ca ( a `a( " a "`a&( a`a( `a. (1.18) Należy zauważyć, że RI jest funkcją di i jej pochodnych, ponieważ rozważając równanie (3.17) w postaci operatorowej, gdzie e f J/JI i warunki początkowe są zerowe, ge,he,ie przechodzą odpowiednio w di,ri,.i. Procedura otrzymywania modeli w przestrzeni stanu z funkcji przejścia odbywa się z zastosowaniem diagramów symulacyjnych. W przypadku układów w dziedzinie czasu ciągłego diagramy te składają się z podstawowych elementów analogowych stosowanych do rozwiązywania równań różniczkowych opisujących dynamikę układu. W tym przypadku do budowy integratorów, sumatorów, elementów różnicowych i mnożących używa się wzmacniaczy operacyjnych. Generatory funkcji używane są do generowania sygnałów wejściowych. Liczba integratorów na diagramie symulacyjnym równa jest rzędowi układu równań różniczkowych. 12 Rysunek 1.3. Schemat symulacyjny postaci kanonicznej sterownika w technice programowania bezpośredniego. Zasada postępowania przy konstruowaniu schematu pokazanego na rysunku 1.3 polega na przyjęciu K integratorów (ilości równej rzędowi układu równań stanu), połączeniu ich szeregowo i oznaczeniu wejść jako kolejnych pochodnych sygnału di, tzn. J K di/ji K d K I, d K"- I,,d - I,dI. Stosując zależność (1.18) konstruuje się sygnał RI mnożąc wejścia integratorów przez odpowiednie współczynniki + P, by następnie zsumować je w integratorze znajdującym się za współczynnikiem +, mnożącym z kolei sygnał di. Wzór (1.17a) zapisujemy w postaci

4 13 j =! " j " =&=! j =! j, którą realizujemy (patrz rysunek 1.3, tutaj w dolnej części schematu) podobnie jak w powyżej. Wyjścia integratorów są zmiennymi stanu, schemat na rysunku 1.3 jest reprezentacją daną równaniami macierzowymi (1.9) i (1.14), które stanowią poszukiwaną postać kanoniczną sterownika. Ta postać jest bardzo ważna w teorii sterowania, ponieważ przedstawia układ kontrolowalny, a kontrolowalność układu sterowania jest jednym z podstawowych założeń nowoczesnej teorii sterowania. Postać kanoniczna obserwatora charakteryzuje się prostą reprezentacją, pozwala na przedstawienie modelu dynamicznego w postaci układu obserwowanego i na określenie innego pojęcia teorii sterowania, obserwowalności układu sterowania. Postać kanoniczną obserwatora można otrzymać stosując bezpośrednią technikę programowania. Postać kanoniczną obserwatora wyprowadza się według następującego schematu. Zapisujemy równanie (1.16) w postaci caa! " a " &! a! ka( a ( " a " &( a(, (1.21) Po kolejnym przekształceniu 14 ca = l 5! "a " &! a! ca [ ka( a ( " a " +(1a+(, (1.22) zapisujemy postać, którą można wykorzystać do skonstruowania odpowiedniego diagramu symulacyjnego: ca =! l "ca= [ 9! "/ca=&= [ $%! ca= [! ca+ ( ka+ ( [ "ka+ [ 9( "/ka+&+ [ $%( ka+ [ ( ka. (1.23) Diagram symulacyjny będzie składał się z n integratorów połączonych szeregowo (połączenie na linii toru głównego jest nazywane czasami połączeniem kaskadowym), przy czym kolejne całki sygnału + P"- ie=o P"- he, dla P - K wyprowadza się do sumatorów umieszczonych za odpowiednim integratorem. 15 Rysunek 1.4. Diagram symulacyjny dla postaci kanonicznej obserwatora. Podobnie jak poprzednio, wyjścia integratorów są zmiennymi stanu układu, natomiast analizując rys. 1.4 od prawej strony zapisujemy +(, (1.24) =! ( =! ( =! (, / =! ( =! ( =! (, : =! /( / / / =! / ( / =! / (, =! "( " " " =! " ( " =! " (. (1.25) 1 1 > 1 & 16 =! ( =! ( ( =! ( =! / n ( / =! / ( (1.26) =! "/ 1 =! " A > ( " =! " ( A D & 1En( (1.27) Przykład 1.2. Dla układu dynamicznego opisywanego następującą funkcją przejścia oe es ",.-e p "Ue U^e"p, zapisać postać kanoniczną obserwatora. 1 =3 1 nt 1 =4 n =2, 1 =3 1 =2 > 1 =1A =.1 =1 > A D 1En.

5 17 Postać kanoniczna obserwatora jest bardzo użyteczna podczas prowadzenia symulacji komputerowych liniowych układów dynamicznych, ponieważ pozwala uwzględnić w rozwiązaniu układu niezerowe warunki początkowe nałożone na RI. Jeśli tak, to reprezentuje pewien układ obserwowalny, co oznacza, że wszystkie zmienne stanu n P mają wpływ na sygnał R wychodzący z układu i na odwrót. Efektem tego jest to, że z równania wyjścia i równań stanu można zrekonstruować wszystkie zmienne stanu w dowolnej chwili czasowej. Wlicza się w to również wewnętrzny stan początkowy układu n -,,n U,,,n K,, który można wyrazić za pomocą warunków początkowych nałożonych na R,, JR,,, JK$- R,. JI JI K$- Modalną postać kanoniczną można otrzymać stosując technikę programowania równoległego. Opis tej postaci pominiemy, ale należy zaznaczyć, że dla wielu pierwiastków rzeczywistych mianownika funkcji przejścia układu dynamicznego przechodzi ona w postać kanoniczną Jordana, która jest użyteczna podczas określania stabilności wielowymiarowych układów liniowych.