Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,2,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x

Transkrypt

1 Pojęcie zbioru i podzbioru. Równość zbiorów. Działania na zbiorach: suma, iloczyn, różnica zbiorów. Dopełnienie zbioru. Podstawowe prawa rachunku zbiorów. Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi, których nie definiuje się. Zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez wszystkie swoje elementy. Pojęcie zbioru pustego, Zbiór pusty jest to zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Zbiór pusty oznaczamy symbolem Ø. Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x : x N x 5. Przykład: x : x N x 5 B oznacza, że zbiór B składa się z takich liczb x, że te liczby należą do zbioru liczb naturalnych i są mniejsze od 5. Fakt, że pewien obiekt a jest elementem zbioru A zapisujemy, jako a A. Inaczej możemy powiedzieć, że element a należy do zbioru A. Gdy obiekt a nie jest elementem zbioru A, to piszemy a A. Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory. Zbiory, których elementami są zbiory, nazywamy najczęściej rodzinami zbiorów. Dla mało licznych zbiorów skończonych, możemy podać wszystkie elementy zbioru wypisując je. Gdy x 1, x,..., xn są wszystkimi elementami zbioru A, to piszemy: A x 1, x,..., x n Podzbiór danego zbioru. Def. Zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A zawiera się w B), gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co zapisujemy symbolicznie A B x A x B.

2 Równość zbiorów Def. Za równe uważamy zbiory, mające te same elementy. Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, co zapisujemy A = B. Inkluzja zbiorów Między zbiorami może zachodzić relacja zawierania się (inkluzja). Def. Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B co oznaczamy symbolicznie A B. Przykłady zbiorów nieskończonych: zbiór licz rzeczywistych dodatnich, zbiór liczb naturalnych parzystych, zbiór wszystkich punktów prostej, zbiór wszystkich prostokątów. Przykłady zbiorów skończonych: zbiór liczb naturalnych mniejszych od 4, zbiór liczb całkowitych ujemnych większych od 1000, zbiór wierzchołków siedmiokąta, zbiór punktów przecięcia stu prostych. Własności równości i inkluzji zbiorów

3 Tw. Niech A,B,C, dowolne zbiory, wtedy: A A (zwrotność) A B B A A B B C (symetria) A C (przechodniość) Tw. Niech A,B,C, dowolne zbiory, wtedy: Ø A A B B C A C A B B A A B

4 Działania na zbiorach 1) Suma zbiorów Suma zbiorów oznaczana jest jako: A B. Def. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do zbioru A i B co oznaczamy A B. Wynikiem tego działania są wszystkie elementy, które znajdują się w zbiorze A lub w zbiorze B. By utworzyć sumę zbiorów, należy przepisać wszystkie elementy ze zbioru A oraz wszystkie elementy ze zbioru B pilnując, żeby żaden element się nie powtórzył. Sumę zbiorów A B można przedstawić graficznie, jako obszar zacieniowany: Własności sumy zbiorów: A B B A A ( B C) ( A B) C 0 A A A A A Przykład :

5 1,,3,5, B 1,,3,5,8 1,,3,4.5,8 A A B

6 ) Iloczyn zbiorów Iloczyn dwóch zbiorów oznaczany jest jako: A B. Def. Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów, które należą do jednocześnie zbioru A i B. Iloczyn zbiorów A B można przedstawić graficznie, jako obszar zacieniowany: Własności iloczynu zbiorów A B B A A ( B C) ( A B) C 0 A 0 A A A Przykład: A B 1,,3,5, 1,4,5,8 A B (1,5)

7 3) Różnica zbiorów Różnica zbiorów, oznaczana jest A\B. Def. Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Z definicji różnicy zbiorów wynika, że x A \ B wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem zbioru A i nie jest elementem zbioru B. Różnicę zbiorów A\B można przedstawić graficznie, jako obszar zacieniowany: Dopełnienie zbioru Def. Niech U oznacza przestrzeń oraz A U. Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni nazywamy zbiór U\A, co oznacza A. Interpretacja graficzna dopełnienia zbioru

8

9 Prawa rachunku zbiorów Niech A, B, C, oznaczają dowolne podzbiory przestrzeni U. Zachodzą następujące prawa rachunku zbiorów: AB =BA - prawo przemienności mnożenia, AB =BA - prawo przemienności dodawania, (AB)C =A(BC) - prawo łączności mnożenia, (AB)C =A(BC) - prawo łączności dodawania, A(BC)=(AB)(AC) - prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania, A(BC)=(AB)(AC) - prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia.

10 Działania arytmetyczne. Prawa działań. Kolejność działań arytmetycznych. Potęgowanie. Działania na potęgach. Pierwiastkowanie. Działania na pierwiastkach. Wyrażenia algebraiczne. Wzory skróconego mnożenia. Działania arytmetyczne. Działania arytmetyczne, są to następujące cztery działania dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania : x y r r y x Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia: x : y q q y x 1 1 Liczbę x 0nazywamy odwrotnością liczby x : x 1 x x Dzielenie przez zero jest niewykonalne. Liczba 0 jest elementem neutralnym ( modułem) dodawania: x+0=x Liczba 1 jest elementem neutralnym (modułem) mnożenia x 1 x Działania arytmetyczne podlegają następującym prawom: prawo łączności dodawania - x y z x y z prawo przemienności dodawania - x y y x prawo łączności mnożenia - x y z x y z prawo przemienności mnożenia - x y y z prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania - x y z x y x z

11 Kolejność działań arytmetycznych 1) Przy obliczaniu wartości wyrażeń, które nie zawierają nawiasów najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania, a następnie dodawanie i odejmowanie w kolejności ich występowania. ) Przy obliczaniu wartości wyrażeń zawierających nawiasy wykonujemy najpierw działania w tych nawiasach, wewnątrz, których nie ma innych nawiasów. Potęgowanie Potęgowanie oznacza wykonanie wielokrotnego mnożenia przez tę samą liczbę. Operację tę n zapisujemy, jako a, gdzie a jest podstawą potęgi (liczbą którą mnożymy), a n jest wykładnikiem potęgi. Zapis ten czytamy jako a do potęgi n. n a a a a... n Przykłady: x x x x x x Działania na potęgach: a) a n m nm a a iloczyn potęg o tych samych podstawach b) n a iloraz potęg o tych samych podstawach nm a, a 0 m a c) n 1 potęga o wykładniku całkowitym a, a 0 n a d) n m nm ( a ) a potęga potęgi e) n n n ( a b) a b potęga iloczynu n a a potęga ilorazu n f) ( ), b 0 n b b

12 m n n m g) a a, n 0 potęga o wykładniku wymiernym

13 Przykłady: a) b) c) d) e) f)

14 Pierwiastkowanie Obliczanie pierwiastka z danej liczby jest związane z potęgowaniem, jest to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek stopnia n liczby nieujemnej a, to liczba nieujemna b, spełniająca b n a. Zapisujemy symbolicznie n a i czytamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby a. n a b a - liczba podpierwiastkowa, b - pierwiastek n-tego stopnia z a, czyli wynik pierwiastkowania, n - stopień pierwiastka. Pierwiastek stopnia nazywa się pierwiastkiem kwadratowym ( x ), zaś stopnia 3 pierwiastkiem sześciennym ( 3 x ). Pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. pierwiastek piątego stopnia ( 5 x ). Jeżeli x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n,m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to: n n xy n x n y x n x dla y 0 n y y

15 Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liter oraz liczb, które są połączone ze sobą znakami działań ( np.: + ; - ) oraz nawiasami. Za pomocą wyrażeń algebraicznych zapisujemy zwroty matematyczne, wzory, twierdzenia, a także równania i nierówności. Litery występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi. Wyrażenie, które jest iloczynami liczb i liter lub pojedynczą literą bądź liczbą nazywamy jednomianem. Suma dwóch jednomianów to dwumian. Suma więcej niż dwóch jednomianów to wielomian.

16 Wzory skróconego mnożenia Przy przekształceniach wielomianów bardzo użyteczne są wzory redukcyjne zwane również wzorami skróconego mnożenia: Kwadrat sumy a b a ab b Kwadrat różnicy a b a ab b Różnica kwadratów a b ( a b)( a b) Sześcian sumy a b a 3a b 3ab b Sześcian różnicy a b a 3a b 3ab b Przykłady: a) (+x)² = 4+4x+x² b) (5-t)² = 5-0t+t² c) (a+4d)² = a²+8ad+16d² d) (3y+1)² = 9y²+6y+1 e) (x-)(x+) = x²-4 f) (x+5)(x-5) =4x²-5

17 Zbiór liczb rzeczywistych, podzbiory Przez zbiór elementów mających pewną własność W rozumiemy zbiór wszystkich i tylko takich elementów, które mają tę własność. Zbiór elementów x mających własność W oznaczamy symbolem {x: W(x)}. 1) Zbiór liczb naturalnych to zbiór { 1,,3,4,5,...}. Oznaczamy go przez N. Zbiór N jest nieskończony. Posiada on liczbę najmniejszą, jest to liczba 1, lecz nie istnieje liczba największa. ) Zbiór liczb całkowitych to zbiór złożony z liczb naturalnych, liczby 0 i liczb przeciwnych do liczb naturalnych, czyli zbiór {...,, 1,0,1,,...}. Oznaczamy go przez C. W zbiorze C nie ma ani liczby najmniejszej ani liczby największej. Def. Liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b b 0 (liczba b jest dzielnikiem liczby a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba k C, że a b k. Zbiór liczb całkowitych parzystych: zbiór liczb podzielnych przez :x : x k k C. Zbiór liczb całkowitych nieparzystych: zbiór liczb postaci x : x k 1 k C 3) Liczbę postaci b a, gdzie a oznacza liczbę całkowitą, zaś b liczbę naturalną (b0) nazywamy liczbą wymierną (ułamkiem). Liczbę a nazywamy licznikiem ułamka, zaś liczbę b mianownikiem tego ułamka. Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy przez W. a Liczba wymierna (ułamek) liczba postaci, gdzie b 0. b Liczbę a nazywamy licznikiem ułamka, zaś liczbę b mianownikiem tego ułamka Liczba wymierna może być zapisana w różnej postaci, np. 4, a Zbiór liczb wymiernych: W x : x : a C, b C b 4) Zbiór liczb niewymiernych to zbiór tych liczb, które nie dadzą się zapisać w postaci ułamka a. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy przez IW. b Określenie liczby niewymiernej można podać w oparciu o ciągi przybliżeń dziesiętnych.

18 Przykłady liczb niewymiernych:, 4 3,,. 5 Liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieokresowe np. 1,

19 Liczby rzeczywiste. Podzbiory liczbowe zbioru R. Oś liczbowa. Współrzędna punktu na osi. Przedziały liczbowe. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. Procenty. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Zbiór liczb rzeczywistych R to zbiór będący sumą zbiorów liczb wymiernych W i niewymiernych R\W. Podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R są zbiory: N - zbiór liczb naturalnych C - zbiór liczb całkowitych W - zbiór liczb wymiernych IW - zbiór liczb niewymiernych Zbiór liczb naturalnych N jest podzbiorem liczb całkowitych C, co zapisujemy N C. Zbiór liczb całkowitych C jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych W, co zapisujemy C W. Zatem N C W R; IW R; W IW R Każda liczba rzeczywista x ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne skończone lub okresowe, gdy x W i nieokresowe, gdy x IW. Podzbiory liczb rzeczywistych R można przedstawić za pomocą rysunku:

20

21 Oś liczbowa Def. Oś liczbowa to prosta, na której wyznaczono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę. Współrzędna punktu na osi. Każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej np. -, 3, 1000.Taka liczba nosi nazwę współrzędnej. Tw. Każdej liczbie rzeczywistej jest przyporządkowany dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót: każdemu punktowi osi liczbowej jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba rzeczywista.

22 Przedziały liczbowe W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżniamy szczególne podzbiory tzw. przedziały liczbowe. Przedziały liczbowe: ograniczone i nieograniczone. Przedziały ograniczone: 1. Przedział obustronnie otwarty (a;b) Def. Niech a, b R oraz a b. Zbiór liczb rzeczywistych większych od liczby a i jednocześnie mniejszych od liczby b nazywamy przedziałem otwartym o końcach a i b Oznaczmy go symbolem (a ; b).przedział obustronnie domknięty Zbiór liczb rzeczywistych większych od a lub równych a i jednocześnie mniejszych od b lub równych b nazywamy przedziałem domkniętym o końcach a i b. Oznaczamy go symbolem <a ; b> 3. Przedział prawostronnie domknięty lub lewostronnie otwarty Oznaczamy go symbolem: (a ; b>

23 4.Przedział lewostronnie domknięty lub prawostronnie otwarty Oznaczamy go symbolem: <a ; b) Przedziały nieograniczone Na osi liczbowej zaznaczono zbiór liczb rzeczywistych większych od a. Taki zbiór nazywamy przedziałem nieograniczonym. Oznaczmy symbolem: (a; )

24 Wartość bezwzględna Def. Wartością bezwzględną liczby i określamy: x dla x x dla x 0 x 0 Przykład: x R oznaczamy symbolem x 3 3 Wartość bezwzględna oznacza odległość danej liczby od 0 na osi liczbowej. Wartość bezwzględna jest zawsze większa lub równa zero. Jej interpretacja w układzie kartezjańskim przedstawia się następująco: Równania z wartością bezwzględną Równanie x a b ma dwa rozwiązania: x a b x a b Oba te rozwiązania są oddalone od punktu a na osi o długości b, ale leżą po obu stronach punktu a, co przedstawia rysunek:

25 a a b b a b b a b a b Graficznie a b przedstawić można na osi liczbowej Graficznie a b przedstawić można na osi liczbowej:

26 Procenty Jeden procent (1%) to setna część całości. Znak % po łacinie czyta się pro centum i oznacza na sto. 1 1% 0, % = 1 Jeden procent pewnej liczby a, to setna część tej liczby. 1 % a a Procent to inny zapis ułamka. Procenty można zamieniać na ułamki zwykłe lub dziesiętne. 1 Należy w tym celu liczbę procentową pomnożyć przez lub podzielić przez Zamieniając procent na ułamek, przedstawiamy ten procent, jako ułamek o mianowniku100. Przykład: 7 7% 0, % 0, % 1, Ułamek zwykły można zamienić na procent, rozszerzając lub redukując do mianownika 100. Przykład: % Ułamek można także zamienić na procent mnożąc go przez 100%.

27 % 100% 5% 4 4 Aby zamienić ułamek dziesiętny na procent należy pomnożyć ułamek przez 100%. Przykład: 0,47 100% 47% 1,7 100% 170% Aby obliczyć procent danej liczby, należy procent przedstawić w postaci ułamka i otrzymany ułamek pomnożyć przez daną liczbę. Przykład: 60 60% liczby lub 60% liczby 40 0,

28 Zadanie 1 Dane są zbiory: A B C,3,5,7,11 1,3,5,15, 1,0,1, Określ: a) A B, b) A B C, c) A \ B d) B \ C

29 Zadanie A - jest zbiorem trójkątów równobocznych B - jest zbiorem trójkątów równoramiennych C - jest zbiorem trójkątów prostokątnych Wyznacz zbiory: a) A B b) A B c) A \ C d) A C e) B C f) A \ B

30 Zadanie 3 Wyznacz zbiory: a) N R \ W b) C R \ W c) N W d) N \ W e) W C f) R R

31 Zadanie 4 Wyznacz zbiory a) A= <-3,> B=(0,4) b) A=<-3,> B=(3,6) A B, A B i A \ B jeżeli

32 Zadanie 5 Oblicz: : 1 1 : 9 :

33 Zadanie 6 Oblicz: a) x x x : x 3 b) x

34 Zadanie 7 Oblicz: a) b) 8 4 c) :

35 Zadanie 8 Wykonaj działania: a) a b c ( ab c d) b) 3 xy 3x y z : 3x yz

36 Zadanie 9 Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, "zwiń" poniższe wyrażenia algebraiczne zapisując je w postaci iloczynowej lub potęgowej: a) 4x 1x 9 b) x x 1 c) t 6t 9

37 Zadanie 10 Uprość poniższe wyrażenia algebraiczne: 6a 6b a) 6a 1ab 6b 5ab 3b b) a b ab

38 Zadanie 11 Wykorzystując wzory skróconego mnożenia rozwiń poniższe wyrażenia algebraiczne: a) 7 x7 x 1 b) 3a b

39 Zadanie 1 Jeśli 4 6 a, b oblicz 5 5 a b b

40 Zadanie 13 Znajdź na osi OX wszystkie takie punkty, że ich odległość od punktu 5 jest mniejsza od 7 i większa od.

41 Zadanie 14 Rozwiąż równanie: x 10 x 4 x 7

42 Zadanie 15 Wyznacz liczbę której 1% stanowi 75.

43 Liczby i ich zbiory -rozwiązania: Rozwiązanie zadania nr 1 a) A B 1,,3,5,7,11,15 b) A B C Ø c) A \ B,7,11 d) B \ C 3,5,15

44 Rozwiązanie zadania nr a) A B B - zbiór trójkątów równoramiennych b) A B A - zbiór trójkątów równobocznych A \ C A- zbiór trójkątów równobocznych c) AC Ø - zbiór pusty d) B C = zbiór trójkątów, które są prostokątne i jednocześnie równoramienne e) A \ B Ø - zbiór pusty

45 Rozwiązanie zadania nr 3 a) N R \ W Ø b) C R \ W Ø c) N W W d) N \ W Ø e) W C W f) R R Ø

46 Rozwiązanie zadania nr 4 a) A B (0, A B 3,4) A \ B 3, 0 b) A B Ø A B 3, 3,6 A \ B 3,

47 Rozwiązanie zadania nr : : 8 : : :

48 Rozwiązanie zadania nr 6 a) b) x x x 10 x : x 6 16 x x x x 6 x x 10 6 x 10

49 Rozwiązanie zadania nr 7 a) 3 8 bo 3 8 b) bo c) 686 : 686 : bo =343

50 Rozwiązanie zadania nr a) a b c ( ab c d) a b c a b c d a b c d b) xy 3x y z : 3x yz 4x y ( 7x y z ) : 7x y z 4x x y z 4x y z y 7x 6 y 3 z 3 y 3 z 3 4x y z

51 Rozwiązanie zadania 9 a) 4x 1x 9 x 1x 3 b) x x 1 x x 1 x 1 c) t 6t 9 t 6t 3 t 3

52 Rozwiązanie zadania 10 a) b a b a b a b a b a b ab a b a b a b ab a b a b ab a b a b) b b a b a b a ab b ab a ab b ab a a b a ab b a ab b a b ab ) (

53 Rozwiązanie zadania 11 a) x x x x b) b ab a b b a a b a

54 Rozwiązanie zadania

55 Rozwiązanie zadania 13 Odległość punktu o współrzędnej x=a od punktu o współrzędnej x=5 wynosi a 5 zadania wynika, że ta odległość ma być mniejsza od 7 i większa od.. Z a 5 7 a 5 a 5 7 a 5 7) a 5 a 5 ) ( a 1 a ) ( a 7 a 3) a ;1 a ;3 7; Odpowiedź: Punkty na osi OX których odległość od punktu 7 jest mniejsza od 5 i większa od należą do przedziału ;3 7;1.

56 Rozwiązanie zadania 14 x 10 x 4 x 7 x 10 0 x 4 0 x 10 x 4 x 5 1. x, 5 x 10 x 4 x 7 5x x 5 x D. x 5, 4 x 10 x 4 x 7 x x 7 14 x 7 x 7 x D 3. x 4, x 10 x 4 x 7 3x x 13 x 13

57 x D Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest x 13.

58 Rozwiązanie zadania 15 Oznaczamy: x szukana liczba 1%liczby x jest równe 57 co zapisujemy x 57, 100 x 57, 1 czyli x 475 Odpowiedź: Szukana liczba to 475

59 Układ współrzędnych. Oznaczenia. Właściwości funkcji. Pojęcie funkcji. Sposoby określania funkcji. Funkcja rosnąca. Funkcja malejąca. Funkcje monotoniczne. Funkcja parzysta. Funkcja nieparzysta. Funkcja okresowa. Funkcja stała. Układ współrzędnych. Def. Układem współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie nazywamy parę osi liczbowych wzajemnie prostopadłych, przy czym punkt przecięcia tych osi zwany początkiem układu jest punktem zerowym każdej z nich, co oznaczamy XOY. Układ współrzędnych XOY dzieli płaszczyznę na cztery ćwiartki. Liczby x (odcięta) i y (rzędna) nazywamy współrzędnymi punktu A, co zapisujemy: x y A,. Oś poziomą oznaczamy OX i nazywamy osią odciętych. Oś pionową oznaczamy OY i nazywamy osią rzędnych. Właściwości funkcji. Niech D f - dziedzina funkcji f, Pojęcie funkcji. Dg - dziedzina funkcji g. Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru Y.

60 Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji, a jego elementy wartościami funkcji.

61 Sposoby określania funkcji. Funkcje można określić za pomocą: opisu słownego np. każdemu uczniowi w klasie przyporządkowany jest dokładnie jeden numer w dzienniku; tabelki: x y wzoru: y=x+ grafu: wykresu:

62

63 Rodzaje funkcji. 1) Funkcja jest rosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy do góry: ) Funkcja jest malejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy na dół: 3) Funkcja jest niemalejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się lub pozostajemy na tym samym poziomie:

64

65 4) Funkcja jest nierosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym poziomie. 5) Funkcja jest parzysta, gdy oś OY jest osią symetrii jej wykresu. 6) Funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.

66 7) Funkcja jest okresowa, gdy wartości powtarzają się cyklicznie w stałych odstępach.

67 8) Funkcja jest stała, gdy przyjmuje tę samą wartość niezależnie od argumentu

68 Miejsce zerowe. Proporcjonalność prosta i odwrotna. Podstawowe zasady przekształcania wykresów. Przekształcenia wzdłuż osi OX. Przekształcenia wzdłuż osi OY. Podstawowe zasady przekształcania wykresów funkcji. Miejsce zerowe funkcji. Def. Miejscem zerowym funkcji f nazywamy każdą taką wartość argumentu x funkcji f, dla której funkcja przyjmuje wartość zero, tzn. f ( x) 0. Proporcjonalność prosta. Def. Funkcja y k x k 0 zaś x R wyraża zależność zmiennej y od zmiennej x, zwaną proporcjonalnością prostą., gdzie Proporcjonalność prostą dla k 1przedstawia rysunek: Proporcjonalność odwrotna. k Def. Funkcja y, gdzie k 0 zaś x R \ 0, wyraża zależność x zmiennej y od zmiennej x zwaną proporcjonalnością odwrotną.

69 Funkcja część całkowita.

70 Przekształcenia wykresów funkcji. 1) Przekształcenia wzdłuż osi OX Mając wykres funkcji f x : sporządzić wykres funkcji g ( x) f ( x ) :

71 ) Przekształcenia wzdłuż osi OY Mając wykres funkcji f x : sporządzić wykres funkcji g ( x) f ( x) :

72 FUNKCJA LINIOWA, JEJ WYKRES I WŁASNOŚCI Funkcja liniowa. Wykres. Monotoniczność funkcji liniowej. Miejsce zerowe funkcji f ( x) ax b Funkcja liniowa. Def. Funkcję f określoną wzorem f ( x) ax b dla x R, gdzie a, b R nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b - wyrazem wolnym. Wykres funkcji liniowej. Def. Wykresem funkcji liniowej f określonej wzorem f ( x) ax b dla x R jest linia prosta nachylona do osi OX pod kątem α, gdzie a = tgα i przecinająca oś OY w punkcie [0, b]. Def. Kątem nachylenia prostej do osi OX nazywamy kąt skierowany dodatni między osią OX i daną prostą.

73 Monotoniczność funkcji liniowej. Monotoniczność funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego prostej a. Jeżeli: a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca, a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca, a = 0, to funkcja liniowa jest stała. Miejsce zerowe funkcji. Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego dana funkcja przyjmuje wartość 0. Interpretacją geometryczną miejsca zerowego jest odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina albo styka się z osią OX w prostokątnym układzie współrzędnych. Jeżeli funkcja f ( x) ax b nie jest funkcją stałą to posiada ona dokładnie jedno miejsce b zerowe określone wzorem: x. a Jeżeli funkcja f jest funkcją stałą, to albo nie posiada miejsc zerowych (dla b 0), albo wszystkie jej argumenty są miejscami zerowymi (dla b = 0).

74 Równanie stopnia pierwszego. Pierwiastek równania. Nierówność liniowa. Równanie i nierówność pierwszego stopnia. Równania i nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Równanie stopnia pierwszego. Def. Równaniem ax b 0, w którym x jest niewiadomą zaś a, b są to liczby dane, nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą x. Jeżeli a 0, to równanie ax b 0 nazywamy równaniem stopnia pierwszego. Def. Pierwiastkiem równania stopnia pierwszego nazywamy miejsce zerowe funkcji f ( x) ax b. Niech dane jest równanie ax b 0, x R. b Jeżeli a 0, to istnieje dokładnie jedna liczba x0 spełniająca to równanie. a Jeżeli a b 0, to każda liczba x R spełnia równanie ax b 0. Równanie jest w tym przypadku tożsamościowe. Jeżeli a 0 i b 0, to żadna liczba nie spełnia równania ax b 0. Równanie jest więc sprzeczne. Nierówność liniowa. Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy każdą z nierówności w postaci: ax b 0; ax b 0; ax b 0; ax b 0, gdzie a, b R. Zbiór rozwiązań tej nierówności zależy od współczynników a i b. Równania i nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Def. Równanie ax by c 0, w którym a, b, c, oznaczają liczby dane, przy czym co najmniej jedna z liczb a ib jest różna od 0, zaś x i y oznaczają zmienne, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y.

75 Wykresem równania ax by c 0 jest w tym przypadku prosta.

76 Nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Def. Jeżeli w równaniu pierwszego stopnia ax by c 0, zastąpimy znak równości znakiem nierówności, to dostaniemy nierówność, którą nazywamy nierównością pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Wykresem nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna otwarta, ograniczona prostą w równaniu ax by c 0. Przykład: Wykresem nierówności x y 1 0 jest półpłaszczyzna otwarta ograniczona prostą o równaniu x y 1 0, w której leży początek układu współrzędnych.

77 Układ równań pierwszego stopnia. Rozwiązanie układów równań i metody ich rozwiązywania. Układ równań pierwszego stopnia Niech dany będzie układ dwóch równań * ax by c a1x b1 y c 1 W którym a, b, c, oraz a1, b1, c1 oznaczają liczby dane, zaś x, y są niewiadomymi, które należy obliczyć. * jest równaniem pierwszego stopnia, czyli a lubb Zakładamy, że każde z równań układu i a1 lub b1 są różne od zera. Układ * w tym przypadku jest układem równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Def. Każdą parę liczb x, y, która jest jednocześnie rozwiązaniem obu * nazywamy rozwiązaniem tego układu. równań układu Zbiór rozwiązań układu równań jest iloczynem zbiorów rozwiązań poszczególnych równań tego układu. Rozwiązać układ równań to znaczy znaleźć wszystkie rozwiązania tego układu albo wykazać, że zbiór rozwiązań jest pusty. ax by c Wykresem każdego z równań układu * jest prosta. a1x b1 y c1 Metody rozwiązywania układów równań Układy równań pierwszego stopnia można rozwiązać graficznie i algebraicznie. Rozwiązanie graficzne układu równań polega na wykreśleniu obu prostych w układzie * i wyznaczeniu punktu ich przecięcia, który jest szukanym rozwiązaniem. Metody rozwiązywania układu równań podstawiania

78 przeciwnych współczynników, wyznaczników.

79 Przykład: 4 1 y x y x Rozwiązanie metodą przeciwnych współczynników: y y x y Odpowiedź: Rozwiązaniem układu jest para liczb 3 5 x oraz 3 y x x y x y x

80 Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX. Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY. Przesunięcie równoległe o wektor c p, q Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX Przesunięcie równoległe wykresu funkcji y f x o wektor a p,0 : Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY. Przesunięcie równoległe wykresu funkcji y f x o wektor b 0,q :

81

82 Przesunięcie równoległe o wektor c p, q

83 Zadania Zadanie 1 Dana jest funkcja f x 4x 9 x x 4 a) wyznacz dziedzinę podanej funkcji f 5, f 10. b) oblicz Zadanie Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej f x. a) znajdź wzór tej funkcji liniowej b) oblicz dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość (-8) c) sprawdź rachunkiem, czy punkt A(-7,-4) należy do wykresu tej funkcji. Zadanie 3 Rozwiąż nierówność nierówność. Zadanie x 3 x x. Podaj dwie liczby niewymierne, które spełniają tę Dana jest funkcja liniowa f x 5x 4 a) sprawdź, czy punkty A, 6, B 9, 1, C 0,;3 należą do wykresu funkcji.

84 b) Dla jakich argumentów f x 6 c) Podaj zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne. Zadanie 5 Dana jest funkcja y x 4, x R : 3 a) oblicz miejsce zerowe funkcji b) oblicz dla jakiego argumentu funkcja osiąga wartość (-5) c) sprawdź rachunkiem, czy punkt A 6,4 należy do wykresu tej funkcji, d) napisz równanie prostej prostopadłej do danej, do której należy punkt P 3; 8. Zadania do samodzielnego rozwiązania. Zadanie 1. Dana jest funkcja f x x 1 dla dla x 1 x 1 a) wykonaj wykres funkcji f x b) podaj zbiór wartości funkcji f x c) przedział, w którym funkcja x f x 3 d) odczytaj z wykresu miejsce zerowe funkcji g x f x Zadanie Dana jest funkcja h przyjmuje wartości dodatnie f : R R określona worem f x ax 4. a) wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji f x jest liczba (-1). b) wyznacz wartości a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f x jest nachylona o do osi OX pod kątem 60. c) wyznacz wartość a, dla której równanie ax 4 a 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zadanie 3 Dana jest funkcja y x 3x. 1 a) sprawdź rachunkowo, czy miejsce zerowe funkcji y(x) jest mniejsze od.

85 b) do wykresu funkcji x Zadanie 4 A i wykres ten jest prostopadły do wykresu funkcji y(x). Wyznacz wzór funkcji h należy punkt 1, h x. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 350. Dzieląc zaś pierwszą z nich przez drugą otrzymujemy wynik 8 resztę 8. Znajdź te liczby. Zadanie 5 W dwóch zbiornikach jest pewna ilość oleju opałowego. Jeżeli z pierwszego zbiornika przelejemy 0% jego zawartości do drugiego zbiornika, to w obu zbiornikach będzie taka sama ilość oleju opałowego. Jeżeli natomiast z drugiego zbiornika przelejemy do pierwszego 0 litrów oleju opałowego, to pierwszy zbiornik będzie zawierał 3 razy więcej oleju opałowego niż drugi. Ile oleju opałowego jest w każdym zbiorniku.

86 Funkcja liniowa- test Rozwiąż test. Każde pytanie ma tylko jedno rozwiązanie. 1. Rysunek 1 przedstawia wykres funkcji liniowej. Rysunek 1 Jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentu? a) 1 b) - c) 0 d) 3. Dla jakiego argumentu wartość funkcji przedstawionej na rysunku 1 wynosi? a) -3 b) c) 1 d) 3 3. Która z podanych liczb jest miejscem zerowym funkcji przedstawionej na rysunku 1? a) -1 b) 1 c) -3 d) 0

87 4. Która z podanych liczb jest miejscem zerowym funkcji y=x+3? a) -3 b) - c) 0 d) 6 5. Który punkt należy do wykresu funkcji przedstawionej na rysunku 1? a) (-;-3) b) (0;1) c) (3,1) d) (-;4) 6. Dla jakiego argumentu wartości funkcji y=x+5 wynosi 1? e) - a) -1 b) 0 5 c) 7. Który wzór przedstawia funkcję rosnącą? a) y=-x+4 b) y=x+1 c) y=-5x d) y=3 8. Który z podanych punktów należy do wykresu funkcji y=x+3? a) (-3,9) b) (-,8) c) (-1,-4) d) (1,5) 9. Która z podanych liczb jest wartością funkcji y=x+1 dla argumentu 1? a) 3 b) -1 c) 3 d) 5

88 10. Dana jest funkcja y=4x+1. Wzór funkcji, której wykres jest równoległy do danej funkcji to: a) y= -3x+1 b) y=x-1 c) y=-x+7 d) y=4x- 11. Funkcja, która każdej liczbie rzeczywistej x różnej od zera przyporządkowuje jej liczbę przeciwną, określona jest wzorem: a) y=x-1 b) y=-1-x c) y=-x d) y=x+5 1. Dla jakich wartości x funkcja y=x+5 przyjmuje wartości dodatnie? a) x>0 b) x>1 c) x<- d) x> Dla jakich wartości x funkcja y=-x+7 przyjmuje wartości ujemne? a) x< b) x>7 c) 7 x d) x>0. Rozwiązanie zadań Rozwiązanie zadania 1 4x f x 9 x x 4 a) 9 x 0 x 9 x 9 x 4 0 x 4

89 4 9 : x x x D b) 1, nie istnieje ponieważ brak rozwiązania f f Rozwiązanie zadania x x x x f a)rozwiązujemy układ równań b a b a / 0 a a b a b a b a b a dodajemy stronami b b a b Odpowiedź: Wzór funkcji : x y

90 b) x x x x x x x x y Odpowiedź: Dla x=18 wartość funkcji jest równa -8 c) ,4 A Odpowiedź: Punk A nie należy do wykresu funkcji. Rozwiązanie zadania 3

91 / x x x x x x x x x x x Odpowiedź: Liczby niewymierne, które spełniają tę nierówność to np.,. 5

92 Rozwiązanie zadania 4 f x 5x 4 a) A, punkt A nie należy do wykresu funkcji B 9, C 3 5 ( 0,) ,;3 punkt B nie należy do wykresu funkcji punkt C nie należy do wykresu funkcji b) f x 5x 4 6 5x 10 x 6 c) 5x 4 0 5x 4 x 4 5 Rozwiązanie zadania 5

93 y x 4 3 a) miejsce zerowe funkcji x x x 4 1 x x 6 b) f x 5 5 x 4 3 x x x 9 7 x c) A 6, Punkt A nie należy do wykresu funkcji Odpowiedzi do testu

94 1. d) 3. d) 3 3. b)1 4. a) a) (0;1) 6. a) - 7. b) y=x+1 8. d) (1,5). 9. d) d) y=4x- 11. c) y=-x 1. d) x> c) x

95 Badanie zmienności jednomianu kwadratowego. Jednomian kwadratowy. Wykres jednomianu kwadratowego. Postać ogólna i kanoniczna trójmianu kwadratowego. Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu kwadratowego. Badanie trójmianu kwadratowego. Jednomian kwadratowy Def. Jednomianem drugiego stopnia nazywamy funkcję y ax x R natomiast a jest stałą liczbą rzeczywistą różną od zera., gdzie Wykres jednomianu kwadratowego. Wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa zwana parabolą: jeśli a 0, to ramiona paraboli skierowane są do góry. jeśli a 0, to ramiona paraboli skierowane są w dół.

96

97 Badanie zmienności jednomianu kwadratowego y ax Funkcja y ax jest parzysta (oś OY jest osią symetrii). Wierzchołek paraboli Dla a 0 funkcja Dla x 0 funkcja Jeżeli a 0, to funkcja 0,. y ax jest w punkcie W(0,0). y ax jest malejąca w przedziale,0 y ax przyjmuje wartość najmniejszą (minimum). y ax jest rosnąca w przedziale,0, a rosnąca w przedziale, 0., a malejąca w przedziale Postać ogólna i kanoniczna trójmianu kwadratowego Def. Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y=ax²+bx+c, gdzie a, b, i c są danymi liczbami rzeczywistymi i a0, nazywamy funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) postaci ogólnej. Przykład y=x²+6x+7, gdzie a=1,b=6,c=7 Def. Funkcję kwadratową zapisaną wzorem y a( x p) q, a 0, x R nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Tw. Wykresem funkcji y a( x p) q jest parabola o wierzchołkach w punkcie W = (p,q) przystająca do paraboli będącej wykresem funkcji y ax, innymi słowy: wykres funkcji y a( x p) q otrzymujemy v p, q paraboli o równaniu poprzez przesunięcie równoległe o wektor y ax. Wierzchołek paraboli możemy wyznaczyć ze wzorów : b p q gdzie b 4ac a 4a Tw. Funkcję kwadratową w postaci ogólnej y ax bx c, gdzie a, b, c R oraz a 0 można przedstawić w postaci kanonicznej

98 y a( x p) q, gdzie: b p q. a 4a Dla funkcji kwadratowej y ax bx c, 0 a liczbę b 4ac oznaczamy symbolem i nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego, co zapisujemy b 4ac.

99 Wniosek Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y ax bx c, a 0, x R, ma współrzędne : x w b yw. a 4a

100 Miejsce zerowe i postać iloczynowa trójmianu kwadratowego Tw. Funkcję kwadratową w postaci ogólnej y ax bx c, gdzie a, b, c R oraz a 0 można przedstawić w postaci kanonicznej y a( x p) q, gdzie: b p q. a 4a Tw. Trójmian kwadratowy y ax bx c a 0, x R : 1) nie ma miejsc zerowych 0; ) ma tylko jedno miejsce zerowe 0; 3) ma dwa różne miejsca zerowe 0. Tw. Dany jest trójmian kwadratowy y ax bx c a 0, x R gdy trójmian kwadratowy można przedstawić w postaci b iloczynowej y a x x1 x x, a 0, gdzie x1. a Liczby x1, x są miejscami zerowymi trójmianu.. 0 gdy trójmian kwadratowy można przedstawić w postaci b iloczynowej y a x x0, a 0, gdzie x0. Liczba x 0 jest a miejscem zerowym trójmianu gdy trójmian kwadratowy można przedstawić w postaci iloczynowej. Trójmian nie ma miejsc zerowych.

101 Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego. Aby otrzymać postać iloczynową trójmianu kwadratowego wystarczy postać kanoniczną sprowadzić do wzoru skróconego mnożenia ) )( ( B A B A B A. Czynnik A został podkreślony w postaci kanonicznej trójmianu. Brakuje czynnika B. 4 ) ( 4 ) ( a a b x a a a b x a y Przy założeniu, że 0 można napisać, że 4, a B a B. Otrzymaliśmy więc czynnik B (we wzorze został on podkreślony). a a b x a y Korzystając z w/w wzoru skróconego mnożenia otrzymamy wzór: ) )( ( 1 x x x x a y Gdy 0, 0 i powyższy wzór przyjmuje postać: x x a a b x a a b x a b x a y Badanie trójmianu kwadratowego Aby narysować wykres funkcji kwadratowej wystarczy znać 1) współrzędne wierzchołka paraboli, ) miejsca zerowe funkcji, 3) współrzędne punktu, w którym wykres przecina oś OY. Def. Ekstremum funkcji ƒ nazywamy maksimum lub minimum funkcji ƒ.

102 Równanie kwadratowe. Def. 1) Jeżeli 0, to równanie y ax bx c 0 ma dwa pierwiastki: b b x1, x. a a ) Jeżeli 0, to równanie y ax bx c 0 ma jeden b pierwiastek: x0. a 3) Jeżeli 0, to równanie y ax bx c 0 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Równanie dwukwadratowe. Równanie y ax bx c 0 gdzie a, b, c 0, nazywamy równaniem dwukwadratowym. Równanie dwukwadratowe sprowadza się do równania kwadratowego y ax bx c 0 za pomocą podstawienia z t.

103 Nierówności kwadratowe. Nierówność kwadratowa ma jedną z czterech postaci (dla a różnego od 0): ax. ax. ax. ax. bx c 0 bx c 0 bx c 0 bx c 0 Najłatwiejszym sposobem na rozwiązanie nierówności kwadratowej jest metoda graficzna. W metodzie tej w pierwszej kolejności wyznaczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie nierówności a następnie szkicujemy wykres funkcji kwadratowej. Przykład rozwiązywania nierówności kwadratowej 3x 3x 0 Obliczamy miejsca zerowe tej funkcji i szkicujemy jej wykres 3x 3x 3x 3x 0 3x 0 x 1 0 x 0 lub x 1 0 x 1

104 Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności x ( ;0 1; )

105 Funkcja kwadratowa - zadania Zadanie1. Przedstaw funkcję kwadratową f ( x) 3x 18x 5 w postaci kanonicznej. Zadanie. Oblicz miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x) x 6x 9. Zadanie 3 Oblicz dla jakich wartości min funkcje kwadratowe f i g są równe, gdy x 1 x f ( x) i g( x) x mx n Zadanie 4 Wyznacz dziedzinę funkcji a) y 9 x, 1 b) y. x 4 Funkcja kwadratowa - rozwiązanie zadań Rozwiązanie zadania 1 Obliczamy b 4ac x 9 6 x 9 6 1

106 W p, q b p a 18 p 6 p 3 q q q 4a Odpowiedź: Postać kanoniczna: f ( x) 3x Rozwiązanie zadania f ( x) x 6x 9 Obliczamy x 1 b 6 x 1 3 a Odpowiedź: Miejsce zerowe x 3 1 Rozwiązanie zadania 3 x 1 x f ( x) g( x) x mx n

107 3 4 ) ( 1 ) ( x x x f x x x x f x x x f x g x f m mx x n mx x x x x f n n Rozwiązanie zadania 4 a) 9 x y x x x 3;3 x Odpowiedź: - 3;3 x x : D

108 b) y x 1 4 x x x 4 0 4,, Odpowiedź: D x : x,, Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Napisz wzór funkcji f w postaci gdy: a) f ( x) 4x 1 7 b) ( x) x 3 4 f. f ( x) ax bx c i podaj wartość współczynników a, b, c, Zadanie Podaj największą (najmniejszą) wartość funkcji f oraz jej miejsce zerowe, gdy: a) f ( x) x 1, b) f ( x) x 3, 1 f ( x) x, f ( x) 0,3 x 1. c) d) Zadanie 3 Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej f, gdy : a) f ( x) 0,5x, 5, b) f ( x) 3x.

109 Odczytaj z wykresu współrzędne wykresu, monotoniczność, największą (najmniejszą) wartość funkcji. Zadanie 4 Oblicz dla jakich wartości min funkcje kwadratowe f i g są równe, gdy: x x n f ( x) 3 i g( x) x x m.

110 Zadanie 5 Funkcja f określona jest wzorem: f ( x) x x 1 6x a) oblicz miejsca zerowe i napisz wzór w postaci iloczynowej; b) napisz wzór funkcji w postaci kanonicznej; c) podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej; d) naszkicuj wykres funkcji; e) wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f f) wyznacz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne. g) wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale <-;>. Zadanie 6 Wyznacz dziedzinę funkcji y 3x 3 3x 5x Zadanie 7 Rozwiąż algebraicznie i wykonaj ilustrację graficzną układu równań: x y 0 a) x y 3 y x x b). y x Zadanie 8 Znajdź liczby, które spełniają jednocześnie nierówności : 1 a) x 3x 10 0 i x 1 0 b) x 9x 14 0 i x x 15.

111 Rozwiąż test. Każde pytanie ma tylko jedno rozwiązanie. 1. Wykres funkcji f ( x) x bx c ma wierzchołek w punkcie (1,0). Funkcja f: a) jest niemalejąca w przedziale ( 1, ) b) jest malejąca w przedziale ( 1, ) c) jest stała w przedziale ( 1, ) d) jest rosnąca w przedziale ( 1, ).. Funkcja kwadratowa f ( x) x 3x a) nie ma miejsc zerowych b) ma 1 miejsce zerowe c) ma 3 miejsca zerowe d) ma miejsca zerowe 3. Wykresem funkcji kwadratowej jest: a) hiperbola b) prosta c) parabola d) paraboloida 4. Wierzchołkiem paraboli danej równaniem f ( x) x 4x 5 jest: a) (-,-1) b) (,-1) c) (, 1) d) ( -1, 0) Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego dla a=3, x 1 1, x to: a) y = 3(x-1)(x+) b) y = 3(x+1)(x+) c) y = 3(x-1)(x-) d) y = 3(x+1)(x-) Inną postacią trójmianu kwadratowego y x 8x 15 jest a) y = -(x-3)(x-5) b) y = (x-3)(x-5) c) y = -(x+4)(x+1) d) y = (x-4)+1 7. Rozwiązanie równania 3x 18x 0 jest:

112 a) x 1 6 ; x b) x 1 0 ; x 6 c) x 1 6 ; x d) x 6; x Rozwiązaniem nierówności x 1 0 jest: a) x 1,1 b) x 1, 1 c) x (, 1 d) x 1, )

113 9. Zbiorem rozwiązań nierówności x x 1 0jest: a) zbiór pusty b) R \ 1 c) R \ 1 d) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. 10. Które wyrażenie przedstawia postać kanoniczną trójmianu kwadratowego? a) (x-1)(x+1) b) x 3x 1 c) ( x 1) 3 d) x x Funkcja kwadratowa y x 5x 3 a) nie ma pierwiastków b) ma dokładnie jeden pierwiastek c) ma dokładnie dwa pierwiastki d) ma więcej niż dwa pierwiastki. 1. Trójmian kwadratowy y ax bx c Postać iloczynowa tego trójmianu to: a) (x+3)(x-1) b) (x+1)(x-3) c) x(x-3)-1 d) (x-1)(x+3). ma dwa miejsca zerowe x 1, x 3. 1

114 Test rozwiązanie 1. b) jest malejąca w przedziale ( 1, ). d) ma miejsca zerowe 3. c) parabola 4. c) (, 1) 5. a) y = 3(x-1)(x+) 6. c) y = -(x+4)(x+1) 7. b) x 1 0 ; x 6 8. a) x 1,1 R \ 1 9. c) 10. c) ( x 1) b) ma dokładnie dwa pierwiastki 1. b) (x+1)(x-3)

115 Jednomian jednej zmiennej rzeczywistej. Stopień jednomianu. Jednomiany podobne. Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej. Stopień wielomianu. Równość wielomianów. Działania arytmetyczne na wielomianach. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie wielomianów. Jednomian jednej zmiennej rzeczywistej. Def. Jednomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję n określoną wzorem f x a x, gdzie n N, a R. Stopień jednomianu. n Def. Liczbę naturalną n nazywamy stopniem jednomianu f x a x, dla a 0. Przyjmuje się, że funkcja stała f x a, gdzie a 0, jest jednomianem stopnia zero. Funkcja stała przyjmująca wartość zero jest jednomianem zerowym, który nie ma określonego stopnia. Oznacza się ją: f x 0. Jednomiany podobne. Def. Jednomiany tego samego stopnia nazywamy jednomianami podobnymi. Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej. Def. Wielomianem stopnia n n N jednej zmiennej rzeczywistej x n n1 n nazywamy funkcję Wx a x a x a x a x a x, gdzie a, a,..., 1 a R, a 0. 0 n n, a1 an n n 1 n a Liczby a 0,..., nazywamy współczynnikami wielomianu. Stopień wielomianu.

116 Def. Liczbę naturalną n nazywamy stopniem wielomianu n n1 n Wx anx an 1 x anx... ax a1x a0 dla a n 0. Stopień wielomianu oznaczamy: st. W x. Równość wielomianów. Tw. Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

117 Działania arytmetyczne na wielomianach. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej x możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Działania na wielomianach podlegają znanym prawom. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie wielomianów są łączne i przemienne. Zachodzi również prawo rozdzielności mnożenia wielomianów względem ich dodawania. Zmieniając znaki wszystkich jednomianów tworzących wielomian na przeciwne otrzymujemy wielomian do niego przeciwny. Dla każdego wielomianu W(x) wielomian -W(x) = (-1) W(x) jest przeciwny do W(x). Suma W(x) + (-W(x)) jest wielomianem zerowym. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie wielomianów. dodawanie wielomianów Aby dodać wielomiany W x i P (x) tej samej zmiennej rzeczywistej x, należy dodać ich wyrazy podobne, a następnie uporządkować otrzymany wielomian. Przykład (x 3x 1) (5x 4x 7) x 3x 1 5x 4x 7 7x x 6 odejmowanie wielomianów Aby odjąć od wielomianu W x wielomian (x) W x dodać wielomian, którego współczynniki są liczbami przeciwnymi do odpowiednich współczynników wielomianu P (x), a następnie uporządkować otrzymany wielomian. Różnicę wielomianów możemy zapisać w postaci : W( x) P( x) W( x) ( P( x)). Przykład (x 3x 1) (5x 4x 7) x 3x 1 5x P należy do wielomianu 4x 7 3x 7x 8 mnożenie wielomianów Mnożenie wielomianów jest oparte na prawie rozdzielności mnożenia względem dodawania. Przykład

118 (x 10x 3x 1)(5x 4 7x 3 1x 4x 7) 10x 5x 7 4 8x 3 14x 15x 3 1x 1x 5x 4x 7

119 dzielenie wielomianów x Niech W i P (x) będą danymi wielomianami. Jeżeli istnieje dokładnie jeden taki wielomian Q (x), że spełniona jest równość Wx Q( x) P( x), to wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W x przez wielomian P (x). Wielomian P (x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W x. Dla wielomianów, podobnie jak dla liczb całkowitych, określa się dzielenie z resztą. x Jeżeli W i P(x) są wielomianami oraz P ( x) 0, to istnieją takie dwa wielomiany i Q(x) i R (x), żewx Q( x) P( x) R( x) przy czym albo wielomian R( x) 0 albo stopień wielomianu R (x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P (x). Wielomian (x) W x przez wielomian P (x). R nazywamy resztą z dzielenia wielomianu R jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W x Jeśli reszta (x) podzielny przez wielomian P (x). Wielomian W x jest podzielny przez wielomian P (x) nie będący wielomianem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian Q (x) taki, że Wx Q( x) P( x). jest

120 Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bézouta. Pierwiastek wielokrotny. Krotność pierwiastka. Pierwiastek wielomianu. Def. Pierwiastkiem wielomianu n n1 n W x anx an 1 x anx... ax a1x a nazywamy jego miejsce zerowe. 0 Mówimy, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W ( x) W( a) 0. Twierdzenie Bézouta Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu dwumian x a. W(x) gdy wielomian W x jest podzielny przez Tw. Jeżeli wielomian n n1 n Wx anx an 1 x anx... ax a1x a0, a n 0 i a 0 0, o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0, natomiast mianownik-dzielnikiem współczynnika a przy najwyższej potędze zmiennej x. n Przykład Sprawdzić, która z liczb zbioru 1 1,1, jest pierwiastkiem wielomianu: 4 3 W x x x 5x x. Obliczamy: W 1 W ( 1) 5( 1) ( 1) 0 1 W =0. Odpowiedź:: Liczby -1, 1 są pierwiastkami danego wielomianu.

121 Pierwiastek wielokrotny. Def. Liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu gdy wielomian 1 przez ( x a) k. W x jest podzielny przez Wx k ( x a), ale nie jest podzielny Krotność pierwiastka. Def. Liczbę k nazywamy krotnością pierwiastka. Twierdzenia o rozkładaniu wielomianu na czynniki. Podstawowe metody rozkładania wielomianów na czynniki. Twierdzenia o rozkładaniu wielomianu na czynniki. Rozłożyć na czynniki, to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów stopnia różnego od zera. Tw. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia drugiego o współczynnikach rzeczywistych. Tw. Rozkład wielomianu niezerowego o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych jest jednoznaczny. Wniosek: Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty. Tw. Wielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Podstawowe metody rozkładania wielomianów na czynniki. Wielomiany można rozkładać na czynniki stosując: a) wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias, b) wzory skróconego mnożenia,

122 c) grupując wyrazy, d) metodę prób. Przykład Zbadać krotność pierwiastka 1 Należy sprawdzić, czy liczba 1 Z twierdzenia Bézouta wielomian 3 Mamy W x ( x 1) ( x 3x ). a wielomianu W x x 4 x 3 3x 5x. a jest pierwiastkiem wielomianu W x : W(1) 0. W x jest podzielny przez dwumian x 1. F sprawdzamy czy liczba a 1 jest pierwiastkiem wielomianu Oznaczając x ( x 3 3x ) F x ( x 3 3x ). 3 Na mocy twierdzenia Bézouta otrzymujemy F x ( x 3x ) ( x 1) ( x x ). Oznaczamy G x ( x x ) liniowe G x ( x x ) ( x 1) ( x ). 4 3 Ostatecznie W x x x 3x 5x Odpowiedź:: Liczba 1, otrzymany trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x ) ( x 1) a jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu x W. 3 ( x ).

123 Równania wielomianowe. Algorytm rozwiązywania równania wielomianowego. Równania wielomianowe. Tw. Równanie W x 0, gdzie n n1 n Wx anx an 1 x anx... ax a1x a0, a n 0, nazywamy równaniem wielomianowym. Rozwiązać równanie wielomianowe W x 0, to znaczy wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W x lub wykazać, że wielomian nie ma pierwiastków. Algorytm rozwiązywania równania wielomianowego. W na czynniki możliwe najniższego stopnia, a następnie skorzystać z własności iloczynu (iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem). Aby rozwiązać równanie wielomianowe W x 0, należy rozłożyć wielomian x Przykład Rozwiązać równanie ( x x) 1 0. Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki korzystając ze wzorów skróconego mnożenia ( x x) 1 0 ( x x 1) ( x x 1) 0 ( x x 1) ( x 1) 0 ( x x 1) 0 ( x 1) 0 x 1 x 1 Równanie ma trzy pierwiastki: x 1 x 1 x 1 x 1.

124 Nierówność wielomianowa. Algorytm rozwiązywania nierówności wielomianowej. Reguły szkicowania wykresu wielomianu. Nierówność wielomianowa. Tw. Nierównością wielomianową (algebraiczną) stopnia n nazywamy nierówność zapisaną w postaci W x 0 albo Wx 0 albo W x 0 albo n n1 n W x 0, gdzie Wx anx an 1 x anx... ax a1x a0 a 0. n, Algorytm rozwiązywania nierówności wielomianowej. Rozwiązać nierówność np. W x 0 x wielomian W x przyjmuje wartości niedodatnie?, to odpowiedzieć na pytanie: dla jakich argumentów Rozwiązując nierówności wielomianowe, należy postępować podobnie jak przy rozwiązywaniu równań czyli rozłożyć wielomian na czynniki możliwie stopnia. Znak iloczynu zależy od znaków poszczególnych czynników. Reguły szkicowania wykresu wielomianu. Rozwiązanie nierówności wielomianowych sprowadza się do szkicowania wykresu wielomianu, gdy dane są jego miejsca zerowe. Szkic wykresu wielomianu musi określać bezbłędnie, gdzie wielomian przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Szkicowanie wykresu wielomianu musi określać bezbłędnie, gdzie wielomian przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne. Przykład n n1 n Szkicowanie wykresu funkcji Wx anx an 1 x anx... ax a1x a0 a 0. n, gdy 1) Na osi OX zaznaczyć należy miejsca zerowe wielomianu. ) Posuwając się w kierunku od prawej strony do lewej rysujemy dowolną linię ciągłą spełniającą następujące warunki :

125 jej początek leży nad osią OX, w miejscach zerowych o krotności nieparzystej przecina oś OX, w miejscach zerowych o krotności parzystej styka się z osią OX. Szkicując wykres od prawej do lewej strony unikamy osobnego rozpatrywania wielomianów stopnia parzystego i nieparzystego.

126 Funkcja wymierna. Dziedzina funkcji. Ułamek algebraiczny. Skracanie ułamków algebraicznych. Rozszerzanie ułamków algebraicznych. Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych. Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych. Funkcja wymierna. Def. Funkcję x, W1 f ( x) gdzie W 1( x), W ( x) są wielomianami W ( x) i W ( x) 0, nazywamy funkcją wymierną. Dziedzina funkcji. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych liczb x, które są miejscami zerowymi wielomianu W ( ) czyli R \ x : W ( x) 0. W przypadku, gdy W ( ) jest stałą różną od zera, funkcja wymierna jest wielomianem. Przykład x f ( x) x 3, D f R jest funkcją wymierną. Ułamek algebraiczny. Def. Wyrażenie W W 1 x ( x D f, zapisane we wzorze funkcji wymiernej nazywamy x) ułamkiem algebraicznym, którego licznikiem jest wielomian W 1( x), a mianownikiem wielomian W ( ). x Ułamki algebraiczne można skracać, rozszerzać, dodawać odejmować, mnożyć i dzielić. Skracanie ułamków algebraicznych. Skrócić ułamek algebraiczny, to znaczy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez to samo wyrażenie, różne od zera.

127 Przykład ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( x x x x x x x x x x x x Rozszerzanie ułamków algebraicznych. Rozszerzyć ułamek algebraiczny, to znaczy pomnożyć jego licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, różne od zera. Przykład ) 4)( ( 1) 1)( ( 4 1 x x x x x x x x x x x x x

128 Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych. Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych powinno być także wyrażenie wymierne. Kiedy obydwa mają równe mianowniki, postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków: Przykład wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian, dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku. x 3x x 5 x 4 x 4 x 3x x 5 x 4 x x 5 x 4 W momencie, gdy wielomiany w mianowniku nie są równe należy sprowadzić wyrażenia wymierne do jednego mianownika. Przykład x x 5 ( x )( x 3) ( x 1)( x 5) ( x )( x 3) ( x 1)( x 5) x 1 x 3 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x x 3x 6 x x 5x 5 x 9x 1 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych. Aby pomnożyć dwa ułamki algebraiczne, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a następnie skrócić otrzymany ułamek. Przykład (mnożenie ułamków algebraicznych) x x x y xyx y xx y xy xy x y xy x x xy x( x y ) yx xy x x x y Przykład (dzielenie ułamków algebraicznych)

129 a 5 a 5a ( a 5)( a 5) ( a 3)( a 3) ( a 5)( a 3) : a 3a a 9 a( a 3) a( a 5) a

130 Funkcja homograficzna. Dziedzina funkcji homograficznej. Wykres funkcji homograficznej. Funkcja homograficzna. a Funkcja, a 0, x R \ x funkcji homograficznych. y gdzie 0 zwaną proporcjonalnością odwrotną należy do zbioru ax b Def. Funkcję wymierną postaci: f ( x), gdzie c 0 i ad bc 0 cx d nazywamy funkcją homograficzną. Dziedzina funkcji homograficznej. d Dziedzina funkcji homograficznej jest zbiór R \. c Wykres funkcji homograficznej. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola, która powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu proporcjonalności odwrotnej o odpowiedni wektor. Przykład ( x) x 4 f D R \ 4

131

132 Równanie wymierne. Dziedzina równania wymiernego. Algorytm rozwiązywania równania wymiernego. Nierówność wymierna. Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych. Reguły sprowadzania równania i nierówności wymiernych do układów równań i nierówności wielomianowych. Równanie wymierne. Def. Równanie, które można zapisać w postaci W W 1 x x 0, gdzie W ( ) oraz W ( x) są wielomianami nazywamy równaniem wymiernym z niewiadomą x. 1 x Dziedzina równania wymiernego Dziedziną równania wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem W x) : D R \ x : W ( x) 0. ( tych, które są miejscami zerowymi wielomianu Algorytm rozwiązywania równania wymiernego. Aby rozwiązać równanie wymierne należy: a) określić dziedzinę równania, b) rozłożyć mianownik na czynniki c) pomnożyć obie strony równania przez takie wyrażenie, które pozwoli pozbyć się mianowników, d) uwzględniając dziedzinę, wyznaczyć zbiór rozwiązań. Nierówność wymierna. Def. Każdą z nierówności W1 x W1 x W 0 albo 0 albo W x W x W 1 x x W 0 albo W 1 x x 0, gdzie W1 ( x) oraz W ( x) są wielomianami, nazywamy nierównością wymierną z jedną niewiadomą x. D R \ x : W ( x) 0. Dziedziną nierówności wymiernej jest zbiór

133 Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych. Aby rozwiązać nierówność wymierną należy: a) wyznaczyć dziedzinę b) nierówność doprowadzić do postaci, w której po jednej stronie jest zero, c) rozłożyć mianowniki na czynniki i doprowadzić wyrażenie do postaci ilorazu W1 x dwóch ułamków W x, d) pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika Jeżeli istnieje W (x) x D i W ( x) 0 to wystarczy pomnożyć obie strony nierówności przez W ( x), a nie przez W (x), e) rozwiązać otrzymaną nierówność tak jak nierówność wielomianową, f) wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności wymiernej uwzględniając jej dziedzinę.

134 Test 1. Wielomian W(x)=x-1 jest różnicą wielomianów: a) x x 1oraz x b) x x 1oraz x c) x x 1oraz x. Sumą jednomianów W(x)=x-x+1 oraz Z(x)=x-1 jest a) wielomian zerowy b) dwumian kwadratowy c) jednomian kwadratowy 3. Stopień sumy wielomianów a) niezerowych jest co najwyżej taki sam jak najwyższy stopień składników sumy b) jest taki sam jak stopień składników sumy wielomianów c) jest równy sumie stopni składników wielomianów 4. Wielomian W(x)=3x 3-3x można przedstawić w postaci iloczynowej: a) W(x)=3x (x-1)(x+1) b) W(x)=3x(x +1) c) żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna 5. Dzielimy wielomian 4x 5 -x 3 +5 przez -x 3 -x+. Jednomian w najwyższym stopniu ilorazu będzie równy a) x b) -x 8 c) -x 6. Wielomian W(x) ma dwa pierwiastki: 1 i. Przez co należy podzielić wielomian W(x), aby rozłożyć go na czynniki? a) żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna b) x -3x+ c) x +3x+ 7. Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników a) co najwyżej drugiego stopnia

135 b) liniowych c) nie każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynowej 8. Pewien wielomian trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki: 0,1 i 3. Jego postać iloczynowa to: a) W(x)=x(x-1)(x-3) b) żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa c) W(x)=ax(x-1)(x-3) TEST-ODPOWIEDZI 1. c) x x 1oraz x. c) jednomian kwadratowy 3. a) niezerowych jest co najwyżej taki sam jak najwyższy stopień składników sumy 4. c) żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna 5. c) -x 6. b) x -3x+ 7. a) co najwyżej drugiego stopnia 8. c) W(x)=ax(x-1)(x-3)

136 ZADNIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 1. Określ stopień wielomianu W, gdy: 3 a) W ( x) ( x 4) b) W( x) x (x x )(3 x )...Wykonaj dzielenie 3 a) 6x x 7 : x 1 b) x 3 x x 3: x Sprawdź, która z liczb: -1,,3 jest pierwiastkiem wielomianu W, gdy: 4 a) W ( x) x 8x 15x 8 3 b) W ( x) x 4x 3x Podaj pierwiastki wielomianu W, gdy a) W ( x) x( x 3)( x 1)( x ) b) W 3 4 ( x) 5x ( x 3) ( x ) 3 5. Stosując wzory skróconego mnożenia, rozłóż wielomian W na czynniki: 3 a) W( x) 1 16x b) W( x) x (4x 1) Wiedząc, że liczba r jest pierwiastkiem wielomianu, rozłóż go na czynniki: a) 3 W ( x) x 4x 5x r 1 b) 3 W ( x) x x 5x 6 r 1 c) 3 W ( x) x x 13x 6 r 7. Rozkładając lewą stronę równania na czynniki, rozwiąż równanie: a) 3 x x 6x 6 0 b) 3 3x 15x 4x 0 0 c) 4 3 3x 10x 10x Rozwiąż równanie: a) x 3 3x 4x 1 0 b) 3 3x x 48x 16 0 c) x 4 6x 3 x 6 0.

137 Odległość- metryka. Odcinek. Kąt. Rodzaje kątów. Okrąg. Koło. Figury ograniczone. Otoczenie kołowe punktu. Punkt brzegowy figury. Punkt zewnętrzny figury. Punkt wewnętrzny figury. Figura wypukła. Prosta na płaszczyźnie. Proste równoległe. Relacja równoległości prostych. Kierunek prostej. Odległość prostych równoległych. Współliniowość punktów. Pęk prostych. Łamana. Wielokąt. Wzajemne położenie dwóch okręgów. Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą. Twierdzenie o kącie środkowym i kątach wpisanych. Twierdzenie o siecznych okręgu. Odległość- metryka Def. Odległością (metryką) nazywamy funkcję d, która każdej parze punktów przyporządkowuje nieujemną liczbę rzeczywistą oraz spełnia warunki: d( A, B) 0 A B, d( A, B) d( B, A), d( A, B) d( A, C) d( C, B), nierówność trójkąta. Odcinek Def. Odcinkiem nazywamy zbiór wszystkich punktów leżących pomiędzy punktami A i B oraz punkty A i B. Def. Długością odcinka AB nazywamy odległość jego końców i oznaczamy AB lub (AB). Def. Punkt O należący do prostej k dzieli tę prostą na dwie części zwane półprostymi. Kąt Def. Kątem nazywamy dwie półproste o wspólnym początku.

138 Def. Kątem nazywamy część płaszczyzny wyciętą przez dwie półproste o wspólnym początku. Rodzaje kątów Kąt zerowy ramiona kąta pokrywają się. Kąt półpełny ramiona kąta uzupełniają się do prostej. Kąty wierzchołkowe: Kąty dopełniające:

139 Kąty odpowiadające: Kąty naprzemianległe: Kąty jednostronne zewnętrzne:

140 Kąty jednostronne wewnętrzne: Okrąg Def. Okręgiem o środku O i promieniu r 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r. o( O, r) P : d( O, P) r.

141 Koło Def. Kołem o środku O i r 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest nie większa niż r. k( O, r) P : d( O, P) r Figury ograniczone Figura ograniczona zawiera się w pewnym kole. Figura nieograniczona nie zawiera się w żadnym kole. Odcinek jest figurą ograniczoną:

142 Kąt jest figurą nieograniczoną:

143 Otoczenie kołowe punktu Def. Otoczeniem kołowym punktu A o promieniu r nazywamy zbiór P : d( A, P). r Punkt brzegowy figury Def. Punktem brzegowym figury F nazywamy punkt taki, że w każdym jego otoczeniu kołowym znajdują się zarówno punkty należące i nie należące do niej. Zbiór wszystkich punktów figury nazywamy otoczeniem brzegowym figury Proste równoległe Def. Mówimy, że proste k i l są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych.

144 Relacja równoległości prostych Tw. Relacja równoległości prostych jest zwrotna a a, symetryczna a b b a, przechodnia ( a b b c) ( a c). Odległość prostych równoległych Def. Odległością między dwiema prostymi równoległymi nazywamy długość odcinka prostopadłego do tych prostych, przy czym jeden koniec tego odcinka leży na jednej prostej równoległej, a drugi koniec leży na drugiej prostej równoległej. Kierunek prostej Def. Rodzinę wszystkich prostych równoległych do prostej k nazywamy kierunkiem prostej k. Współliniowość punktów Def. Punkty leżące na jednej prostej nazywamy współliniowymi.

145 Pęk prostych Def. Pękiem prostych o wierzchołku A nazywamy rodzinę wszystkich prostych przechodzących przez punkt A.

146 Łamana Def. Niech dane będą punkty A, A,..., A. 1 n Sumę odcinków A1 A A n 1 An nazywamy łamaną, przy czym każde dwa odcinki albo są rozłączne, albo mają dokładnie jeden punkt wspólny. Przykład Def. Łamaną nazywamy zwyczajną, jeśli: dwa kolejne odcinki nie zawierają się w jednej prostej, każde dwa odcinki nie mające wspólnego końca są rozłączne, każdy wierzchołek łamanej jest wspólnym końcem co najwyżej dwóch odcinków. Def. Łamaną nazywamy zamkniętą, jeżeli A A. 1 n Wielokątem nazywamy figurę płaską będącą sumą łamanej zwyczajnej zamkniętej i obszaru ograniczonego wyciętego z płaszczyzny przez tę łamaną. Wielokąt o n bokach nazywamy również n-kątem.

147 Najczęściej spotykanymi wielokątami są trójkąty i czworokąty. Wielokątem nazywamy część płaszczyzny ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną. Odcinki, tworzące wielokąt, nazywamy jego bokami, a punkty ich przecięcia wierzchołkami wielokąta. Sumę wszystkich boków nazywamy obwodem wielokąta. Linię łamaną ABCDEA ograniczającą wielokąt nazywamy brzegiem wielokąta. Brzeg wielokąta dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden jest ograniczony, nazywamy go wewnętrznym, drugi jest nieograniczony i nazywamy go obszarem zewnętrznym. Okręgi są wzajemnie zewnętrzne, gdy: AB > a + b, tzn. każdy z nich leży na zewnątrz drugiego. Okręgi są zewnętrznie styczne, gdy: AB = a + b, tzn. mają jeden punkt wspólny, a pozostałe punkty każdego z tych okręgów leżą na zewnątrz drugiego okręgu.

148 Okręgi przecinają się. gdy: a - b < AB < a + b, tzn. mają dokładnie dwa punkty wspólne

149 Okręgi są wewnętrznie styczne, gdy: AB = a - b, tzn. mają jeden punkt wspólny przy czym każdy punkt jednego z tych okręgów należy do koła ograniczonego drugim okręgiem. Jeden okrąg leży wewnątrz koła ograniczonego drugim okręgiem, gdy: AB < a b Okręgi są współśrodkowe - mają wspólny środek gdy: AB = 0

150

151 Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą. Def. Kąt ostry między cięciwą i styczną do okręgu przechodzącą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego cięciwie. Twierdzenie o kącie środkowym i kątach wpisanych Tw. Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równe miedzy sobą i równe połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wniosek Każdy kąt oparty na średnicy jest prosty.

152

153 Twierdzenie o siecznych okręgu Jeżeli sieczne okręgu przecinają się w punkcie M to iloczyn długości odcinków każdej siecznej zawartych między tym punktem i punktami przecięcia z okręgiem jest stały.

154 Równoległobok. Prostokąt. Romb. Kwadrat. Trapez. Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany na okręgu. Pole wielokąta. Tw. Suma kątów wewnętrznych w czworokącie wynosi o 360. Równoległobok Def. Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe. Własności: przeciwległe boki są równoległe przeciwległe boki są tej samej długości przekątne dzielą się na połowy przeciwległe kąty są równe suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180 przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty

155 Ob = a + b P = a h = a b sinα

156 Prostokąt Def. Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste. Ob = a + b P = a b d a b Własności: przeciwległe boki są równe i równoległe sąsiednie boki są prostopadłe każdy z kątów jest kątem prostym przekątne są równe i dzielą się na połowy punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne

157 Romb Def. Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe. Jest to szczególny przypadek równoległoboku. Ob = 4a P = a h = a sinα Własności: wszystkie boki są równe przeciwległe boki są równoległe suma miar dwóch kątów sąsiednich wynosi 180 przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym punkt przecięcia przekątnych rombu wyznacza środek okręgu wpisanego w romb przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii rombu

158 Kwadrat Def. Kwadratem nazywamy prostokąt mający dwa kolejne boki równe. Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem, a zatem posiada własności obu tych figur. Def. Wielokąt nazywamy foremnym, jeżeli ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Kwadrat jest czworokątem foremnym.

159 Trapez Def. Trapezem nazywamy czworokąt, którego dwa boki są równoległe, a dwa pozostałe boki nie są równoległe. Trapez równoramienny Trapez prostokątny

160 Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany na okręgu Tw. Na to, aby na czworokącie można było opisać okrąg potrzeba, aby kąty o przeciwległe uzupełniały się do 180. Czworokąt wpisany w okrąg Czworokąt opisany na okręgu Tw. Wielokąt nazywamy wypukłym, jeżeli odcinek AB łączący dwa jego punkty A i B jest w nim zawarty. Każdy trójkąt jest wypukły. Tw. Na to, aby w czworokąt wypukły można było wpisać okrąg potrzeba i wystarcza, aby sumy boków przeciwległych były równe.

161 Pole wielokąta Def. Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli istnieje takie koło, w którym ona jest całkowicie zawarta. Każda łamana i każdy wielokąt są figurami ograniczonymi. Półprosta, kat, półpłaszczyzna i płaszczyzna są figurami nieograniczonymi. Pola czworokątów Tw. Pole prostokąta P równa się iloczynowi długości jego boków: P a b. Tw. Pole równoległoboku równa się iloczynowi długości jego podstawy przez wysokość: P a h. Tw. Pole trójkąta równa się połowie iloczynu podstawy przez wysokość: a h P. Tw. Pole trapezu równa się iloczynowi średniej arytmetycznej podstaw ( a b) h przez wysokość: P.

162 Pojęcie przekształcenia geometrycznego. Translacja o wektor a. Symetria osiowa. Oś symetrii figury. Figura osiowo-symetryczna. Symetria środkowa. Środek symetrii figury. Figura środkowo-symetryczna. Obrót. Obrót w układzie współrzędnych. Jednokładność. Własności jednokładności. Pojęcie przekształcenia geometrycznego Def. Przekształceniem geometrycznym nazywamy funkcję przekształcającą zbiór punktów płaszczyzny α, na zbiór punktów płaszczyzny α. f :. Def. Przekształcenie geometryczne jest funkcją przyporządkowującą ' ' każdemu punktowi A dokładnie jeden punkt A. Punkt A ' nazywamy obrazem punktu A w przekształceniu f ( A) A. Def. Przekształceniem tożsamościowym nazywamy przekształcenie przyporządkowane każdemu punktowi A ten sam punkt. A, f ( A) A. Translacja o wektor a. Translacją czyli przesunięciem równoległym o wektor geometryczne przyporządkowujące, każdemu punktowi że AA ' a. a nazywamy przekształcenie ' A taki punkt A, Symetria osiowa Def. Symetrią osiową nazywamy przekształcenie geometryczne ' przyporządkowujące, każdemu punktowi P punkt P leżący na prostej prostopadłej do k przechodzącej przez punkt P w tej samej odległości od prostej k co punkt P lecz po przeciwnej stronie. Piszemy: S K ( P) P '

163

164 Symetria środkowa Def. Symetrią środkową nazywamy przekształcenie przyporządkowujące każdemu punktowi P punkt P ', leżący na prostej OP, po przeciwnej stronie niż punkt P. Piszemy: ' S ( P). 0 P Środek symetrii figury Jeśli S ( F), to punkt O nazywamy środkiem symetrii figury. 0 F Def. Obrotem dookoła punktu O o kąt skierowany nazywamy przekształcenie płaszczyzny przyporządkowujące punktowi O punkt O oraz każdemu punktowi X O, taki punkt X ', że: OX' OX i XOX ' co zapisujemy X X '. Punkt O nazywamy środkiem obrotu, a kąt kątem obrotu. O O

165 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: Zadanie 1 Pole trapezu równoramiennego jest równe 36cm, a jego podstawy mają długości 6 cm i 1cm. Oblicz tg kąta ostrego tego trapezu. Rozwiązanie: Dane : a= 1 cm, b = 6cm, P=36 cm, Podstawiamy do wzoru na pole trapezu: 1 6 h h 36 9h 36 h 4 Z własności trapezu wiadomo: x=a-b x=1-6 x=6 X=3 Ostatecznie otrzymujemy: h 4 tg. x 3

166 4 Odpowiedź: tg. 3

167 Zadanie Figura złożona z kwadratów o boku 1 i 3 ma takie same pole, jak figura złożona z dwóch przystających kwadratów o boku x. Oblicz x. Rozwiązanie: P pole figury złożonej z dwóch kwadratów o bokach długości 1 i 3. 1 P pole figury złożonej z dwóch kwadratów o bokach długości x. P P x x x Z treści zadania wiadomo, że obie figury mają równe pola, skąd otrzymujemy: x 10 x 5 x 5 Odpowiedź: x 5.

168 Zadanie 3 Oblicz pole i obwód koła przedstawionego na rysunku Rozwiązanie: x -długość średnicy koła x x x x 10 r- promień koła 1 r x 5 Obliczamy pole koła : P r 5 Obliczamy obwód koła: O r 10 Odpowiedź: Pole koła wynosi 5, a obwód koła wynosi 10.

169

170 Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 1 o W trapez równoramienny o kącie rozwartym równym 10 wpisano okrąg o promieniu równym r. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. Zadanie Z trójkąta o bokach długości 6, 8 10 wycięto koło styczne do wszystkich jego boków. Oblicz pole pozostałej części trójkąta. Zadanie 3 Znajdź liczbę boków wielokąta, wiedząc, że ma on 35 przekątnych. Zadanie 4 W trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB oraz ramionach AC i BC wpisano okrąg jak na rysunku: Oblicz miarę kąta CAB, wiedząc, że stosunek pola trójkąta COD do pola koła wpisanego w 1 trójkąt równoramienny wynosi.

171

172 Test 1. Długość ramienia BC trapezu prostokątnego jest dwa razy większa od różnicy długości jego podstaw. Kąt ABC ma miarę: o a) 30 o b) 60 o c) 75 o d) 45. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku B wynosi 60. Dwusieczna tego kąta wyznacza na przyprostokątnej AC punkt D tak, że BD = b(cm). Obwód trójkąta ABC wynosi: a) 3 3b cm b) 3 3 cm 3 c) b 3 1cm d) 3 3 b 1cm 3. Obwody dwóch trójkątów podobnych są równe 1 cm i 36 cm, a suma pól tych trójkątów - 60 cm. Pola tych trójkątów wynoszą: a) 54 cm i 6 cm b) 4 cm i 36 cm c) 0 cm i 40 cm d) 30 cm i 30 cm 4. W prostokącie stosunek długości boków wynosi, a przekątna ma długość 5 cm. Pole prostokąta wynosi: a) 5 cm b) 10 cm c) 5 cm d) 5 cm 5. W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 6 cm i 4 cm, a jego pole powierzchni 5 cm. Odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy wynosi: a) 3 cm b) cm c) 5 cm

173 d) 4 cm 6. Okręgi o promieniach 6 i 8 są styczne. Jaka jest odległość między środkami tych okręgów? a) 3 lub 4 b) lub 8 c) 6 lub 8 d) lub W kwadrat wpisujemy mniejszy kwadrat w następujący sposób: łączymy środki jego boków. Jaki jest stosunek pól kwadratu większego do pola kwadratu mniejszego: a) 1 b) c) 3 d) 4 8. Długość ćwiartki okręgu wynosi, to pole całego koła wynosi: a) 3 b), c) d) 9. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o obwodzie równym 3, wynosi: a) 3 3 b) 3 c) 3 6 d) 3 Test-odpowiedzi 1. b) o 60

174 3. c) b 3 1cm 3. a) 54 cm i 6 cm 4. d) 5 cm 5. a) 3 cm 6. d) lub b) 8. d) 9. c) 3 6

175 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. Miara łukowa kąta. Radian. Kąt skierowany. Promień wodzący. Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego. Wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta. Wzory redukcyjne. Wykresy funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Def. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ABC nazywamy stosunek przyprostokątnej (BC) leżącej naprzeciw kąta do BC przeciwprostokątnej (BA) zapisujemy: sin BA Def. Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ABC nazywamy stosunek przyprostokątnej (AC) leżącej przy kącie do AC przeciwprostokątnej (BA) zapisujemy: cos BA Def. Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ABC nazywamy stosunek przyprostokątnej (BC) leżącej naprzeciw kąta do BC przyprostokątnej leżącej przy kącie (AC) zapisujemy: tg AC

176 Def. Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ABC nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie (AC) do przyprostokątnej (BC) leżącej naprzeciw kąta zapisujemy: AC ctg BC

177 Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych o 30 o 45 o 60 sin cos tg ctg Miara łukowa kąta Def. Miarą łukową kąta nazywamy liczbę będącą stosunkiem długości l łuku okręgu o środku w O, zawartego wewnątrz kata, do promienia okręgu r. Radian Jednostka miary łukowej jest radian (rad) będący miara kąta, którego długość łuku okręgu l jest równa promieniowi okręgu. 1 rad = 57 o 17'44,8' '

178 Kąt skierowany Def. Kąt, którego jedno ramie p wyróżniamy jako początkowe, a drugie q jako końcowe nazywamy katem skierowanym. Kat skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej wychodzącej z ustalonego punktu O. Jeżeli kierunek obrotu jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, to przyjmujemy, ze kat ma miarę dodatnią, a jeżeli kierunek jest zgodny z ruchem wskazówek zegara, to kat ma miarę ujemną. Promień wodzący Niech będzie dowolnym kątem skierowanym w układzie współrzędnych OXY takim, że wierzchołek kąta leży w początku układu współrzędnych O(0,0) oraz ramię początkowe pokrywa się z dodatnią półosią OX.

179 Niech punkt P( x, y) O(0,0) leży na końcowym ramieniu kąta. Niech r OP x y oznacza odległość punktu P( x, y) od początku układu współrzędnych O (0,0). Odcinek r OP x y nazywamy promieniem wodzącym.

180 Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego Def. Niech będzie dowolnym kątem skierowanym. W prostokątnym układzie współrzędnych XOY obieramy tak punkt O, aby był wierzchołkiem kąta oraz początkowe ramie kąta zawierało się w dodatniej półosi osi OX. Na końcowym ramieniu kąta wybierzmy dowolny punkt P=(x,y) różny od punktu O, a odległość punktu P od punktu O oznaczmy przez r. Liczbę r nazywamy promieniem wodzącym punktu P. Funkcje trygonometryczne kąta określamy w sposób następujący: Sinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. sin y r Cosinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. cos x r Tangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do odciętej tego punktu.

181 y tg gdy x 0 x Cotangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do rzędnej tego punktu. x ctg gdy y 0 y

182 Wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach Dla łatwiejszego zapamiętania znaków funkcji, należy wiedzieć, że: w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus I ćw II ćw III ćw IV ćw. sin cos tg ctg Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą następujące związki: sin cos 1 - tzw. Jedynka trygonometryczna sin o o tg, dla 90 k 180, gdzie k C cos cos ctg, sin dla k 180 o, gdzie k C tg ctg 1, o dla k 90, gdzie k C

183 NIE ISTNIEJE NIE ISTNIEJE NIE ISTNIEJE NIE ISTNIEJE NIE ISTNIEJE Centrum matura bez barier w szkołach i placówkach prowadzących kształcenie zawodowe Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów: o 15 o 30 o 45 o 60 o 90 o 10 o 135 o 150 o 180 o 5 o 70 o 360 o sin α cos tg ctg

184 Wzory redukcyjne Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta α możemy wyrazić za pomocą odpowiedniej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, korzystając z tzw. wzorów redukcyjnych. Jeśli argument zmienia się nieparzystą wielokrotność kąta, to funkcja przechodzi w kofunkcję (sinus w cosinus, cosinus w sinus, tangens w cotangens, cotangens w tangens). Ponieważ wszystkie cztery funkcje trygonometryczne kąta ostrego są dodatnie, więc należy je poprzedzić odpowiednim znakiem, pisząc prawą stronę wzoru. Znak piszemy taki, jaki odpowiada funkcji trygonometrycznej kąta α występującej z lewej strony wzoru. I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka φ 90 - α 90 + α α α 70 - α 70 + α α sinφ cosα cosα sinα - sinα - cosα - cosα - sinα cosφ sinα - sinα - cosα - cosα - sinα sinα cosα tgφ ctgα - ctgα - tgα tgα ctgα - ctgα - tgα ctgφ tgα - tgα - ctgα ctgα tgα - tgα - ctgα

185 Koło trygonometryczne W celu rozszerzenia dziedziny funkcji trygonometrycznych poza zakres przedziału należy posłużyć się kołem trygonometrycznym. 0;, sin BC OC BC r OB OB cos OC r tg ctg AD OA EF OE Ponieważ zazwyczaj przyjmuje się koło trygonometryczne jako koło jednostkowe ( r = 1 ), więc powyższe wzory otrzymają prostszą postać: AD r sin BC cos OB tg AD ctg EF EF r

186

187 Parzystość funkcji trygonometrycznych Funkcja parzysta: cos( ) cos Funkcje nieparzyste: sin( ) sin tg( ) tg ctg ( ) ctg Okresowość funkcji trygonometrycznych okresem funkcji y sin x i y cos x jest liczba okresem funkcji y tgx i y ctgx jest liczba

188 Wykresy funkcji trygonometrycznych Wykres funkcji y sin x Własności (funkcji y sin x ): dziedzina : D=R zbiór wartości jest przedziałem f(d)=<-1,1> funkcja sinus jest okresowa, w okresie podstawowym T miejsca zerowe funkcji mają postać k, k C funkcja sinus jest nieparzysta funkcja jest przedziałami monotoniczna: o rosnąca w przedziałach postaci k, k, k C 3 o malejąca w przedziałach postaci k, k, k C funkcja przyjmuje wartości dodatnie w przedziałach k, k, k C k, k, k C funkcja przyjmuje wartości ujemne w przedziałach Wykres funkcji: y cos x

189 Własności (funkcji y cos x ): D=R zbiór wartości jest przedziałem f(d)=<-1,1> funkcja cosinus jest okresowa T miejsca zerowe funkcji mają postać: k, k C funkcja cosinus jest parzysta funkcja jest przedziałami monotoniczna: o rosnąca w przedziałach postaci k, k o malejąca w przedziałach postaci k, k Wykres funkcji: y tgx

190 Własności (funkcji y tgx ): D=R f(d)=, funkcja tangens jest okresowa T miejsca zerowe funkcji mają postać k, k C funkcja tangens jest nieparzysta, k, k funkcja jest rosnąca w przedziałach postaci Wykres funkcji: y ctgx Własności (funkcji y ctgx ): D=R f(d)=, funkcja cotangens jest okresowa T miejsca zerowe funkcji mają postać k, k C funkcja tangens jest nieparzysta funkcja jest malejąca w przedziałach postaci ( k, k )

191 Przykładowe zadania z rozwiązaniami: Zadanie 1 Punkt P=(,5) Oblicz wartość sinusa i cosinusa dla zaznaczonego kąta. Rozwiązanie: Należy obliczyć promień wodzący punktu P: r Zatem sin cos Odpowiedź: sin, cos. 9 9

192 Zadanie o o Wiedząc, że sin oraz, że Oblicz wartość pozostałych funkcji 3 trygonometrycznych. Rozwiązanie: Obliczamy wartość cosinusa kąta sin cos 1 Po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej mamy równanie: cos 1 3 cos cos cos lub 3 cos cos nie należy do odpowiedzi ponieważ należy do III ćwiartki. 3 sin tg cos tg tg

193 ctg Odpowiedź: 5 cos lub 3 5 cos, tg, ctg. 5

194 Zadanie 3 Udowodnij tożsamość: 1 1 ctg a) 1 cos 1 cos sin Rozwiązanie: Należy przyjąć kilka założeń 1 cos 0 1 cos 0 sin 0 Założenia będą spełnione dla: o o o Należy przekształcić obie strony równości, w taki sposób aby miały identyczną postać. Przekształcamy stronę lewą: 1 1 L odejmujemy 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos (1 cos )(1 cos ) cos 1 cos zamieniamy z jedynki trygonometrycznej cos sin Przekształcamy prawą stronę

195 ctg sin korzystamy z tożsamości cos ctg sin cos sin sin cos sin Odpowiedź: Dla wszystkich kątów, które spełniały założenia L=P.

196 b) cos 1 sin cos sin Rozwiązanie: L sin sin cos cos 1 sin cos Odpowiedź: L P 1 1 c) 1 sin 1 sin cos Rozwiązanie: 1 1 L 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin (1 sin )(1 sin ) 1 sin cos 1 Odpowiedź: Dla wszystkich kątów, które spełniały założenia L=P.

197 Zadanie 4 o Oblicz: sin140, cos 60 o, tg 330 o. o o o o a) sin140 sin sin 40 0, 648 o o o o b) cos 60 cos cos80 0, 1736 o o o o c) tg 330 tg tg30 3 Zadanie 5 Oblicz: sin150 o o o o tg135 cos 10 ctg 330 o o o sin 150 tg135 cos 10 ctg 330 sin(180 o 30 o ) tg (180 o 45 o o ) cos(70 o 60 o o o o o sin30 ( tg 45 ) ( sin 60 ) ctg ( ) 1 3 ( 1) ( ctg 30 o ) o ) ctg (360 o 330 o )

198 Test do samodzielnego rozwiązania 1. Kąt jest ostry i sin. Wówczas cos jest równy: 5 a) 3 b) c) Wiadomo, że jest większym kątem ostrym w trójkącie prostokątnym. Wtedy: a) sin tg b) sin tg c) sin cos 3 3. Jeśli jest kątem ostrym i tg, to: 4 a) 4 cos 5 b) 4 cos 5 c) 3 sin 7 4. W kwadracie połączono wierzchołek A ze środkiem O boku BC. Kąt OAB ma miarę. Wynika stąd, że: a) b) c) o 45 cos tg Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i 6, natomiast ramię ma długość 4. Miara kąta ostrego trapezu jest równa: a) b) o 45 o 60

199 c) o Wiadomo, że tg 3 o o i Wynika stąd, że: a) b) c) o o o Sinus kąta ostrego jest dwa razy większy od jego cosinusa. Wtedy: a) 1 cos 3 b) cos 5 5 c) sin 5 5 o 8. Przekątna rombu tworzy z jego bokiem a kąt 30. Wiadomo, że a 6cm. Dłuższa przekątna rombu ma długość: a) 6 3 b) 6 c) Dla pewnego kąta ostrego prawdziwy jest warunek sin cos. Zatem wyrażenie W sin cos ma wartość : a) W=3 b) W=0 c) W=1 10. Cosinus kąta ostrego jest trzy razy większy od jego sinusa. Wtedy: a) 1 tg 3 b) 1 sin 3 c) 3 cos 4

200

201 Test odpowiedzi 1. a) 3. b) sin tg 4 3. a) cos c) tg. o 5. c) 60. o 6. a) b) cos a) b) W= a) tg, 3

202 Ciągi liczbowe. Monotoniczność ciągu liczbowego. Ciąg arytmetyczny i jego własności. Ciąg geometryczny. Ciągi liczbowe Def. Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór dodatnich liczb naturalnych. Def. Ciąg nazywamy liczbowym, rzeczywistymi. gdy jego wartości są liczbami Dla ciągu f. N R wartość f ( n) an nazywamy n tym wyrazem ciągu. Liczby 1,,3,..., n nazywa się wskaźnikami lub indeksami wyrazów. Def. Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Podczas wypisywania kolejnych wyrazów ciągu należy korzystać z podstawowej własności zbiorów liczb naturalnych, czyli po każdej liczbie n następuje bezpośrednio liczba n 1. Kolejne wyrazy ciągu nieskończonego można zapisać w następujący sposób: a a, a,..., a, a, a, a, a,... 1, 3 n n1 n n1 n ( a n. Taki ciąg oznacza się: ) Przykład Ciąg naturalnych potęg liczby 9 jest ciągiem nieskończonym. Def. Jeżeli dziedzina ciągu ograniczona jest do pewnego skończonego podzbioru zbioru liczb naturalnych dodatnich, to otrzymamy ciąg skończony. Przykład Ciąg numerów budynków na jednej ulicy jest ciągiem skończonym. 1,,3,..., n

203 Oznaczamy go: n a lub a a, a,..., 1, 3 a n Def. Ciąg liczbowy, którego wszystkie wyrazy są równe nazywa się ciągiem stałym.

204 Przykład b n jest ciągiem odwrotności kolejnych liczb nieparzystych 1,,,, Znajdź wartość setnego wyrazu tego ciągu. Rozwiązanie: Aby odnaleźć setny wyraz tego ciągu, musimy wypisać sto kolejnych wyrazów b ), albo podać wzór ogólny tego ciągu. ( pierwszym będzie : 1 1 Ponieważ n tą liczbę nieparzystą możemy zapisać jako: n 1, 1 więc jej odwrotność wynosi. n 1 Czyli wzór ogólny ciągu b n będzie następujący: Odpowiedź: Setny wyraz ciągu to : b b n. n 1

205 Monotoniczność ciągu liczbowego Def. ciągu rosnącego ( nazywany również ściśle monotonicznym) Dla każdego n naturalnego: a a 0 n1 n Np. 3,6,9,1, a n 3n 1,3,5,7, n 1 a n Def. ciągu malejącego Dla każdego n naturalnego: a a 0 n1 n Np. -1,-4,-9, -3,-6,-9, a n n a n 3n Def. ciągu stałego Dla każdego n naturalnego: a n 1 an Wnioski: 1. Każdy ciąg malejący jest nierosnący, a każdy ciąg rosnący jest niemalejący.. Ciąg stały jest ciągiem niemalejącym i nierosnącym. 3. Ciąg monotoniczny to ciąg niemalejący lub nierosnący. Ciągi ograniczone Ciąg nazwiemy ograniczonym z góry jeżeli wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Ciąg jest ograniczony z dołu jeżeli wszystkie wyrazy są większe od pewnej ustalonej liczby. Np. 1,,3,4,5,6, to ciąg ograniczony z dołu Ciąg ograniczony to ciąg, którego wszystkie wyrazy należą do pewnego przedziału skończonego, czyli jest ograniczony z góry i dołu Np. 1,,,,,,... ciąg ten jest ograniczony, ponieważ wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (0,1].

206

207 Ciąg arytmetyczny i jego własności Def. Ciąg liczbowy ( a n ) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje z wyrazu poprzedniego przez dodanie stałej liczby r tzn. an1 an r dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n. Ciąg arytmetyczny musi się składać z co najmniej trzech wyrazów. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Mając daną wartość wyrazu pierwszego a1 d, otrzymujemy wzór, który jest wzorem rekurencyjnym ciągu arytmetycznego: a1 d an 1 an r dla n N Z tego wzoru łatwo otrzymać wzór na Obliczamy: a a 1 r a a r a r) r a r 3 ( a3 r ( a1 r) r a1 a 3r Otrzymujemy wzór na n ty wyraz: a n a1 ( n 1) r dla n N n ty wyraz ciągu. Monotoniczność ciągu arytmetycznego Ponieważ w ciągu arytmetycznym różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała, to łatwo można stwierdzić, jaka jest jego monotoniczność. Ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym a n a ( n 1) r dla 1 r 0 - ciąg arytmetyczny jest rosnący

208 r 0 - ciąg jest malejący r 0 - ciąg arytmetyczny jest ciągiem o jednakowych wyrazach, czyli ciągiem stałym Wniosek: Każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny

209 Tw. W ciągu arytmetycznym ( a n ) każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących: an 1 an1 a n Jeżeli trzy liczby a, b, c spełniają równość b a c to oznacza, że b=a+c i b-a=c-b. Z powyższego wzoru wynika, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów, to znaczy wyrazów poprzedniego i następnego: Suma S n a... wyraża się wzorem: a a a n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r 1 3 n S n a 1 a n n lub S n a 1 n 1 r n Przykład Dane są liczby 6, x, 34. Oblicz liczbę x, aby po podstawieniu został utworzony ciąg arytmetyczny. Rozwiązanie: 6 34 x 40 0

210 Ciąg geometryczny Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez ustaloną liczbę q. Iloraz kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest stały równy q, gdzie q 0. Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. n Ciąg a nazywamy geometrycznym, jeżeli dla każdego n, a 1 pierwszy wyraz ciągu q iloraz ciągu Gdy: 1 a n 1 a, R \ 0 n q cons tan s q, a 0 q to ciąg jest stały, 0 q 1 i a1 - ciąg jest malejący, q 1 i a1 - ciąg jest malejący, 0 q 1 i a1 - ciąg jest rosnący, q 1 i a1 - ciąg jest rosnący, q - ciąg jest naprzemienny- kolejne wyrazy różnią się znakami n Mając dany pierwszy wyraz ciągu a 1 i iloraz q można wyznaczyć każdy jego wyraz. Należy wtedy korzystać z następujących wzorów: a n a 1 q lub n a n a 1 q n1 Zależność między trzema kolejnymi wyrazami w ciągu geometrycznym: an an 1 an1 lub a n an 1 an 1 Suma kolejnych wyrazów ciągu:

211 S n n 1 q a1, gdy 1 1 q q S n n a1, gdy q 1 Przykład Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a1 i q. Rozwiązanie: q S 6 a q 1 1 Test do samodzielnego rozwiązania 1. Wskaż ciąg, który jest ciągiem arytmetycznym. a) 5,3,1,-1,-3 b) 5,3,1,-3,5 c) 5,3,1,-,-4. Dany jest ciąg o wzorze ogólnym a n ( n 1)( n ). Pierwsze trzy wyrazy tego ciągu to: a) a, a 0, a b) a 0, a 4, a 10 3 c) a 1 3, a 4, a Ciąg arytmetyczny dany jest wzorem ogólnym 3n 5, wtedy: a) a1, r 3, b) a1, r 1, c) a1, r 1, 4. Jeżeli a 1 3, q 1, to suma dziesięciu początkowych wyrazów w tym ciągu geometrycznym jest równa: a) -3 b) 0 c) Suma wszystkich naturalnych liczb dwucyfrowych wynosi: a n

212 a) 5340 b) 5940 c) Jeżeli w ciągu arytmetycznym ( a n ) zachodzi, że 5 6 a) a 1 10 b) a 1 14 c) a 1 x 1 x 3 7. Liczby,0, 5 5 a) x=- b) x=-4 c) x= są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, jeżeli: 8. Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a n n 3 jest równa: a) 118 b) 155 c) 140

213 9. Jeżeli ciąg ( n ) a) a n a n 1 b) a n a n 1 c) a n a n 1 a jest rosnący, to dla każdego n N \ Wyraz ogólny ciągu dany jest wzorem, b n n n 1, wtedy pierwsze trzy wyrazy tego ciągu mają postać: a), 9, 16 b) 4, 9, 16 c), 1, - n n 11. Ciąg b ( 1) ( 1) jest: n a) rosnący b) stały c) żaden z powyższych zachodzi: 1. Wyraz ogólny ciągu geometrycznego dany jest wzorem Wtedy iloraz jest równy: a) q 3 1 b) q 3 c) q 3 b 3 n n.

214 Test -odpowiedzi 1. a) 5,3,1,-1,-3,. b) a 0, a 4, a c) a 1, r 1, 4. b)0 5. c) a) a c) x= 8. c) a) a n a n c),1,- 11. b) stały, 1. a) q 3 3

215 Zadania z odpowiedziami Zadanie 1. Rozwiąż równania: a) x=145 b) (x+1)+ (x+4)+(x+7)+...+(x+8)=155 Zadanie Znajdź sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę. Zadanie 3. 3 Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie ax bx cx d 0 wiedząc, że a 0 i współczynniki a, b, c, d tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 3. Rozwiązanie zadań Zadanie 1 a) x 3n ( n 1)3 145 n, n N, otrzymujemy n 10 czyli x 8 b) x 8 an i a n x 3n x 8 x 3n n 10 ( x 1 x 8) ( x 1 x 8) x 5 5x x x 10 x 1 Zadanie Są to liczby postaci 3n+

216 Należy rozwiązać dwie nierówności, aby znaleźć najmniejszą i największą z tych liczb 3n 10 i 3n 100 3n 8 i 3n n i n 3 3 n i n n 3, 3 Najmniejszą z tych liczb dla n 3jest liczba 11, a największą dla n 3 liczba 98, dlatego takich liczb dwucyfrowych jest 30. a1 a30n S n Zad. 3. Ciąg ( a, b, c, d) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 3, Dlatego : b 3a, c 9a, d 7a, 3 Dane równanie możemy napisać w postaci: a ( x 3x 9x 7) 0 Ponieważ a 0 więc x 3 3x 9x 7 0, czyli ( x 3)( x 9) 0. Stąd x=-3. Zadania do samodzielnego rozwiązania. Zad. 1 Wyznacz liczbę n wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że: a) 16; S n a 1 31 r 4 b) S a a n 1 n 585; 57 33

217 Zad. Wyznacz ciąg geometryczny, czyli jego pierwszy wyraz i iloraz wiedząc że wyraz trzeci jest równy 6, a siódmy 96. Zad. 3 Jaką najmniejszą liczbę kuponów należałoby wypełnić, aby mieć pewność trafienia w totolotku szóstki, przy założeniu, że na każdym kuponie skreślamy 6 liczb. Zad. 4 Długości trzech krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=. Objętość prostopadłościanu jest V=105. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu

218 Płaszczyzny i prosta w przestrzeni. Wzajemne położenia dwóch różnych prostych w przestrzeni. Położenie płaszczyzn. Położenie dwóch prostych w przestrzeni. Położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni. Kąt między prostą i płaszczyzną. Kąt dwuścienny. Powierzchnia wielościenna. Wielościan. Graniastosłupy. Ostrosłupy. Obliczanie pola powierzchni i objętości graniastosłupa prostego i ostrosłupa z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Bryły obrotowe: walec, stożek, kula. Płaszczyzny i prosta w przestrzeni. Wzajemne położenia dwóch różnych prostych w przestrzeni. Płaszczyzna jest wyznaczona w przestrzeni: trzema punktami nie położonymi na jednej prostej: prostą i punktem nie położonym na niej: dwiema przecinającymi się prostymi:

219 dwiema równoległymi prostymi:

220 Położenie płaszczyzn Płaszczyzny równoległe: nie mają punktów wspólnych lub się pokrywają. Przez punkt nie należący do danej płaszczyzny przechodzi dokładnie 1 płaszczyzna do niej równoległa. Płaszczyzny przecinające się: ich częścią wspólną jest prosta.